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1 FLUSSO DI UN VETTORE Si dice flusso di un vettore V attraverso una superficie S, perpendicolare a tale vettore, il prodotto della superficie per il modulo del vettore Φ(V)= S·V

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FLUSSO DI UN VETTORE

Si dice flusso di un vettore V attraverso una superficie S, perpendicolare a tale vettore, il prodotto della superficie per il modulo del vettore

Φ(V)= S·V

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FLUSSO DI UN VETTORE

Se il vettore non è perpendicolare alla superficie si inserisce anche il coseno dell’angolo compreso tra il vettore e la normale alla superficie

Φ(V)= S·V ·cosα

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FLUSSO DI UN VETTORE

Se la superficie è irregolare o il vettore non ha valore costante su tutta la superficie:- Si suddivide la superficie in tanti piccolissimi pezzettini

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FLUSSO DI UN VETTORE

- Si calcola il flusso su ogni singolo pezzettino

Φi = Si ·Vi ·cosαi

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FLUSSO DI UN VETTORE

- Poi si sommano tutti i flussi elementari su ogni pezzettino

- E si fa tendere all’infinito il numero di pezzettini: questa è la definizione generale di flusso di un vettore

n

iiiiS vsV

1

cos)(

n

iiii

nS vsLimV

1

cos)(

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FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO

L’operazione matematica di flusso permette di formulare in modo generale le leggi dell’elettromagnetismo.Ad esempio, se consideriamo il campo elettrico E e una superficie chiusa che contiene un dato numero di cariche…

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FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO

…la legge di Coulomb può essere sostituita da questa, detta teorema di Gauss

n

kk

osc QE

1

1)(

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FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO

n

kk

osc QE

1

1)(

Ovvero, il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale alla somma delle cariche in essa contenuta divisa per la costante dielettrica

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FLUSSO DEL CAMPO MAGNETICO

Se invece applichiamo il flusso attraverso una superficie chiusa al campo magnetico B, troviamo che questo è sempre uguale a zero

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FLUSSO DEL CAMPO MAGNETICO

Questo è dovuto al fatto che le linee di forza di B sono sempre chiuse, ovvero non esistono poli magnetici isolati, in cui le linee possano avere origine o fine.

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FLUSSO DEL CAMPO MAGNETICO

Questo fa sì che per ogni elemento di superficie in cui il flusso è entrante (negativo) ve ne sia uno in cui è uscente (positivo) portando ad una cancellazione dei due flussi

0)( BSC

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CONSERVATIVITA’ DI E

A queste leggi si può aggiungere quella secondo la quale la differenza di potenziale tra due punti è indipendente dal percorso; questo si esprime dicendo che il campo elettrico è conservativo

A

B

ΔV=10 v

ΔV=10 v

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CONSERVATIVITA’ DI E

Si può anche dire che la differenza di potenziale in una linea chiusa (in cui non siano inseriti generatori) è nulla.Infatti, poiché le ddp sui percorsi 1 e 2 sono uguali, quella nell’intero percorso ABA è nulla

A

B

2

1

0 LCV

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DDP E CIRCUITAZIONE

La differenza di potenziale tra due punti è uguale al prodotto del campo elettrico per la distanza per il coseno dell’angolo compreso tra il vettore E e il segmento che unisce i due estremi: questo se il percorso è rettilineo eIl campo uniforme

A

B

E

S

α

cos SEV

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DDP E CIRCUITAZIONE

In altri casi si divide il percorso in tanti pezzetti e poi si sommano le ddp sui singoli pezzi

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3

4

Si

Ei

αi

n

iiii SEV

1

cos

A

B

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DDP E CIRCUITAZIONE

Naturalmente, poi si passa al limite facendo tendere il numero dei pezzetti all’infinito

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3

4

Si

Ei

αi

n

iiii

nSELimV

1

cos

A

B

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DDP E CIRCUITAZIONE

Se il percorso è chiuso questa operazione prende anche il nome di circuitazione del vettore E sulla linea L

n

iiii

nL SELimVEC

1

cos)(

l

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DDP E CIRCUITAZIONE

La legge secondo cui la differenza di potenziale su un percorso chiuso è nulla può anche essere espressa dicendo che la circuitazione del vettore campo elettrico è nulla

0)( ECL

l

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CIRCUITAZIONE E CAMPO MAGNETICO

In realtà possiamo definire la circuitazione di un vettore qualsiasi, per esempio del campo magnetico B.

n

iiii

nL SBLimBC

1

cos)(

l

B

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TEOREMA DI AMPÈRE

Per mezzo della circuitazione è possibile formulare in modo più generale la legge di Biot-Savart.Supponiamo che la linea L sia attraversata da un filo percorso da una corrente i (corrente concatenata alla linea)

l

i

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TEOREMA DI AMPÈRE

Allora la circuitazione del vettore campo magnetico B prodotto da tale corrente è uguale all’intensità i per la costante μo.In formule:l

i

iBCL 0)(

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LEGGI DELL’ELETTROMAGNE-TISMO NEL CASO STATICO

Per riassumere, abbiamo queste quattro leggi:

iBCL 0)(

0)( ECL

n

kk

osc QE

1

1)(

0)( BSC

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INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

Questo però vale solo in condizioni statiche.Faraday scoprì che se una bobina elettrica viene sottoposta a un campo magnetico variabile in essa nasce una differenza di potenziale, e quindi una corrente indotta.

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INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

Nel primo esperimento di Faraday la variazione del campo magnetico era ottenuta avvicinando e allontanando una calamita alla bobina.Il fenomeno prese il nome di induzione elettromagnetica

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INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

Diversi altri esperimenti dimostrarono che ogni volta che in un circuito avviene una variazione di campo magnetico in questo circuito nasce una differenza di potenziale elettrico.Questo provò che campo elettrico e magnetico non sono due campi distinti, ma due aspetti dello stesso campo, detto campo elettromagnetico

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INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

La legge matematica dell’induzione e.m. fu formulata da Neumann e Lenz.Se una linea L, che racchiude una superficie S, è interessata da un campo magnetico B il cui flusso attraverso S varia in un intervallo di tempo Δt…

L

B

S

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INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

…allora la ddp indotta è pari alla variazione di flusso diviso il tempo, cambiata di segno.(Legge di Faraday-Neumann-Lenz)

L

B

S

tB

LSV

)(

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INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

Il segno “-” indica il fatto che il verso della corrente indotta è sempre tale da opporsi alla variazione di flusso magnetico che l’ha prodotta.Se la calamita viene allonta-nata dalla bobina, il campo magnetico prodotto dalla corrente indotta tenderà ad attrarla verso la bobina, rallentandone il movimento

S

N

S

N

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INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

Viceversa, se la calamita è avvicinata alla calamita, il campo prodotto dalla corrente indotta tenderà a respingerla, rallentandone anche in questo caso il moto.L’energia meccanica persa dal moto della calamita è uguale all’energia elettrica della corrente indotta: così il principio di conservazione dell’energia è rispettato

S

N

N

S

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ALTERNATORE

L’esperimento di Faraday è, in pratica, l’invenzione dell’alternatore, in cui la variazione di flusso di B è ottenuta facendo ruotare una serie di bobine all’interno di un campo magnetico

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ALTERNATORE

E’ da notare che l’alternatore non produce energia dal nulla, ma converte in elettrica l’energia meccanica sviluppata generalmente da moto di una turbina, a sua volta azionata o dall’acqua o dal vapore

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DINAMO

Nella dinamo la bobina è invece fissa, mentre sono dei magneti permanenti a ruotare

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TRASFORMATORE

Nel trasformatore una corrente alternata in una bobina (inducente) produce una variazione di flusso magnetico in una seconda bobina (indotta) e quindi una ddp, ovvero una corrente indotta, con intensità e tensione diverse dalla corrente originaria

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INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

Ricordando che la ddp calcolata su una linea chiusa equivale matematicamente alla circuitazione del vettore campo elettrico possiamo anche scrivere così la legge di Faraday-Neumann-Lenz

L

B

S

)()( Bdt

dEC SL

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IPOTESI DI MAXWELL

Seguendo le idee di Faraday, secondo il quale esiste una profonda unità tra campo elettrico e magnetico, Maxwell propose che, così come una variazione di flusso magnetico produce un campo elettrico, una variazione di flusso elettrico possa produrre un campo magnetico

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IPOTESI DI MAXWELL

Secondo questa ipotesi, nel processo di scarica di un condensatore, tra le armature che si stanno scaricando (provocando una brusca riduzione del campo elettrico) è come se circolasse una corrente, detta corrente di spostamento

++++++++++++

------------E

Corrente dispostamento

Corrente elettrica

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IPOTESI DI MAXWELL

Questa corrente di spostamento produce tra le armature del condensatore un campo magnetico del tutto analogo a quello che produce la corrente elettrica nel filo che unisce le armature, secondo il teorema di Ampère

++++++++++++

------------E

Corrente dispostamento

Corrente elettrica

B

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CORRENTE DI SPOSTAMENTO

Maxwell propose per la corrente di spostamento una formula analoga a quella di Faraday:Se la superficie S è interessata da una variazione di flusso del campo elettrico E in un tempo Δt allora…

L

E

S

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CORRENTE DI SPOSTAMENTO

…è come se attraverso S passasse un filo percorso da una corrente, is, la cui intensità è pari al rapporto tra la variazione di flusso elettrico e il tempo, moltiplicata per la costante dielettrica

L

is

S

t

Ei S

os

)(

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CORRENTE DI SPOSTAMENTO

O, più esattamente, considerando un tempo infinitamente piccolo:

L

is

S )(Edt

di Sos

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EQUAZIONI DI MAXWELL

Nella teoria di Maxwell quindi campo elettrico e magnetico cessano di essere enti distinti, ma diventano solo le due componenti di un unico ente fisico, detto campo elettromagnetico, governato da leggi unitarie.La distinzione in componente elettrica e magnetica resta solo per comodità di calcolo, specie nelle applicazioni tecniche.

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EQUAZIONI DI MAXWELL

Secondo Maxwell le leggi fondamentali del campo elettromagnetico sono:Per la componente elettrica- Il teorema di Gauss

- La legge di Faraday-Neumann-Lenz

n

kk

osc QE

1

1)(

)()( Bdt

dEC SL

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EQUAZIONI DI MAXWELL

Per la componente magnetica- Il teorema di Gauss

- Il teorema di Ampère, in cui assieme alle correnti elettriche vanno considerate le correnti di spostamento

)()( 00 E

dt

diBC SL

0)( BSC

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EQUAZIONI DI MAXWELL

Una delle conseguenze più notevoli delle equazioni di Maxwell è che, anche in assenza di cariche elettriche e di correnti elettriche può svilupparsi un campo elettromagnetico che si propaga sotto forma di onde

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ONDE ELETTROMAGNETICHE

Infatti, le due equazioni della circuitazione:

Ammettono sì la soluzione E=0, B=0, ma questa non è l’unica possibile: esiste infatti anche una soluzione in cui sia campo elettrico che magnetico sono onde sinusoidali, sempre in fase tra loro e in propagazione nella stessa direzione

)()( 00 Edt

dBC SL

)()( B

dt

dEC SL

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ONDE ELETTROMAGNETICHE

Si tratta in effetti di un’unica onda, detta onda elettromagnetica, con due componenti, una elettrica e l’altra magnetica, sempre perpendicolari tra di loro

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ONDE ELETTROMAGNETICHE

La velocità di propagazione dell’onda è prevista anch’essa dalle equazioni di Maxwell e nel vuoto vale.

Il valore di tale velocità risultò essere molto simile a quello della luce nel vuoto, il che fece supporre che la luce fosse una manifestazione delle onde elettromagnetiche ipotizzate da Maxwell

00

1

v

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ESPERIENZE DI HERTZ

Il lavoro di Maxwell era puramente teorico. Fu Hertz, con una serie di esperimenti, a provare sperimentalmente l’esistenza delle onde elettromagnetiche, riuscendo a produrle e rilevarle in laboratorio

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LA RADIO

La teoria di Maxwell e le esperienze di Hertz portarono all’invenzione della radio, da parte di Guglielmo Marconi, negli ultimi anni dell’800.