Introduccin.Imagnese que se hace un corte longitudinal a un recipiente con agua y considrese un elemento volumen del lquido de masa m en su superficie; que rota uniformemente alrededor de un eje; para que se de este movimiento, se necesita de una fuerza centrpeta Fc

dada por:Dnde x es la distancia del elemento de volumen al eje de rotacin, m su masa y la velocidad angular a la que este gira. Las fuerzas que actan sobre el elemento de agua son el peso W=-mg, la fuerza centrpeta Fc y la fuerza boyante Fb.

De la figura 1, vemos que la tangente del ngulo se puede expresar como:

Por otra parte, si y, es la altura que el agua toma a una distancia x del eje de rotacin,por la geometra del problema, tenemos que tan()=dy/dx, as que:

Integrando la ecuacin tres:

La ecuacin 4, es una funcin que determina la altura y que tomar el agua a una distancia x del eje de rotacin cuando se tienes una velocidad angular dada; de esto se sigue que la forma de la superficie adquirida por el corte a la superficie de agua es una parbola.

Superficie parablica de un fluido en revolucin. Francisco Pez Larios.

Facultad de Ciencias, 20 de septiembre de 2012.Universidad Nacional Autnoma de Mxico.

Resumen.Se construyo un dispositivo para hacer girar un volumen de agua entorno a un eje, se tomaron fotografas de la forma adquirida por el agua y se analizaron posteriormente con el uso del programa Tracker. Se verific que la fuerza centrpeta y el peso del agua, causan que su superficie adquiera una forma de paraboloide de revolucin.

Fc = mx2ec.1

Figura 1. Fuerzas actuando sobre el agua.

tan() =

Fcmg

=mx 2

mg

tan() =

2xg ec.2

dydx

= 2xg

dy =

2xg

dxec.3

y(x ) =

2x 2

2g ec.4

Desarrollo experimental.El arreglo experimental, consisti en un disposit ivo para hacer girar un recipiente con agua entorno a un eje fijo. El dispositivo se construy con un motor elctrico y una probeta no graduada de 10 cm de dimetro construida en la facultad de ciencias; la probeta se sujet mediante una pieza de madera atornillada al eje del motor en la que se coloc plastilina para cmo adhesivo. El motor era alimentado por una fuente de tensin variable de 0 a 200 V, para variar la velocidad del motor slo era necesario cambiar esta tensin.

Una vez ensamblado el dispositivo, se verti agua en la probeta y se puso a girar el motor; al comienzo se observ inestabilidad en el agua y precesin en la probeta, pero debido a la viscosidad del agua despus de un tiempo estos efectos desaparecieron, cuando la probeta se estabiliz, se observ que el agua en el interior adquira una forma curva que se mantena con el tiempo. Para medir la velocidad angular, se us una f o t ocompue r t a PASCO de

resolucin 0.0001 s, con la que se midi el tiempo T necesario para que se completara una revolucin, de esta manera la velocidad angular 1, esta dada por:

Para analizar la forma tomada por el agua en estas condiciones, se tomaron fotografas de la curva y se analizaron con Tracker, un software que permite el anlisis de la cinemtica de cuerpos capturados en fotografa y video.Para la adquisicin de datos, la velocidad angular del motor se vari 8 veces. La fotografa de cada una, se tom hasta el momento en el que la superficie del agua se volvi estable y para cada una de estas velocidades angulares, el tiempo T se midi 5 veces .Resultados.Con el uso de Tracker, para cada velocidad angular, se ajustaron puntos a la superficie del agua, que despus se a n a l i z a r o n c o n e l p r o g r a m a Mathematica 7; este anlisis consisti en hacer un ajuste de la forma y=cx2 a cada serie de puntos, ya que de sta manera teniendo el coeficiente c, es posible comparar la velocidad angular 1 obtenida de la medicin con la fotocompuerta, con el valor de 2 dado por:

Las siguientes grficas, muestran la dispersin de puntos y el ajuste de cada fotografa; El coeficiente c encontrado para cada una, la velocidad angular obtenida de l y la obtenida con la fotocompuerta, se muestran en la tabla 1 ; Por exper iencia de trabajos anteriores, el valor de la incertidumbre

Figura 2. Arreglo experimental.

1 =

2T ec.5

2 = 2gc ec.6

para cada coeficiente c, se estima de 5%; esto es por que Tracker no proporciona informacin alguna acerca de la incertidumbre que su uso genera; las incertidumbres U(1) y U(2) para los valores de 1 y 2, se obtuvieron con la ley de propagacin de la i n ce r t i d um b re a pa r t i r d e l a incertidumbre combinada de cada variable.

Discusin.De las grficas anteriores, observamos que para las fotografas 1 y 2 el modelo de una parbola no se ajusta como se esperaba a la superficie del agua, en estos 2 casos, la rama izquierda de la parbola, se desva de los puntos notablemente,en un mximo de 3 cm; sin embargo, la rama derecha de la parbola alcanza los intervalos de incert idumbre de los puntos, y m a n t i e n e s u m i s m o p a t r n , comportndose para las fotos 1 y 2 casi paralela a los puntos. Estos dos comportamientos, los podemos ver reflejados en que la diferencia entre 1 y 2 no alcanza a ser cubierta por los intervalos de incertidumbre. De las grficas siguientes, vemos que este efecto desaparece al disminuir la velocidad angular, lo que lleva a pensar que debido a esta, hay un efecto

secundario que no se esta tomando en cuenta; la primer sospecha que se tiene, es que la precesin e inestabilidad de la probeta, causaron la inclinacin del dispositivo y esto a su vez caus estos efectos.Los ajustes hechos a las dispersiones de puntos de las fotografas restantes, muestran que el modelo predicho se com po r t a s a t i s f a c t o r i am e n t e , presentando una desviacin mxima de 0 . 3 c m d e l o e s p e ra d o , e s t a s desviaciones de los puntos respecto al ajuste, es mnima y conservan una misma trayectoria.El hecho de que para ninguna fotografa el punto mas bajo coincida con el origen, puede ser originado por efectos de turbulencia o bien, variaciones en la perspectiva al tomar la fotografa y analizarla con Tracker; adems hay que considerar que la viscosidad del aire puede tener efectos sobre la superficie del agua, intuitivamente, estos efectos seran de mayor intensidad a una velocidad angular mas alta, lo que es consistente con los ajustes para las primeras 2 fotografas.En la tabla 1, se muestra que las velocidades angulares obtenidas con la fotocompuerta y el ajuste, varan de una forma considerable, no obstante los los intervalos de incertidumbre cubren esta diferencia. Observamos que la desviacin entre 1 y 2 disminuye conforme estas toman valores ms bajos ,y se destaca que el ajuste hecho a los puntos mejora; esto da mas peso a la hiptesis de que los efectos de la precesin, la turbulencia del agua y l o s e f e c t o s d e l a i r e i n fl u y e n directamente en la superficie del agua. Conclusiones.Se concluye que el modelo de una parbola describe adecuadamente la

Fotogra-fa

1 U(1) c 2 U(2)

12345678

36.68 0.011 0.416 28.44 3.4234.47 0.001 0.381 27.22 3.5732.48 0.006 0.486 30.74 3.1630.32 0.002 0.383 27.29 3.5627.84 0.001 0.336 25.56 3.8025.44 0.004 0.293 23.87 4.0722.40 0.016 0.208 20.11 4.8315.24 0.001 0.079 12.39 7.84

Tabla 1. Velocidad angular 1 medida con la fotocompuerta y 2 obtenida a partir de c.

superficie del agua en rotacin, justificamos este hecho con los ajustes hechos la superficie; todos mantiene un m i s m o p a t r n y s e a j u s t a n adecuadamente a una parbola, incluso en los casos en los que la velocidad angular es alta, por lo menos una rama de la parbola describe bien los puntos y para velocidades angulares mas bajas el modelo describe consistentemente a la superficie.

Bibliografa. J. Miranda , Eva luac in de la

Incertidumbre en Datos Experimentales (Instituto de Fsica, UNAM, Mxico, 2000).

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