IL TEOREMA DI GAUSS - prof. Danilo Saccoccioni · Il flusso ΦS del campo elettrico E attraverso...

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IL TEOREMA DI GAUSS

Il flusso S del campo elettrico E

attraverso una superficie chiusa S uguale al rapporto fra la somma algebrica delle

cariche contenute allinterno della superficie e la costante dielettrica del mezzo in cui si trovano le cariche. Nel vuoto:

0 0

( )S

QSomma Q

= =

Premesse geometriche alla dimostrazione del teorema:

1. Una superficie sferica di raggio r ha area 24S r= .

2. Si considerino due superfici sferiche concentriche di raggio 1r

e 2r e un cono, con vertice nel centro, che sottende due tratti di

superficie 1S e 2S . E noto dalla geometria che le aree delle superfici sono direttamente proporzionali al quadrato dei rispettivi raggi,

sicch possiamo scrivere: 1 22 2

1 2

S S

r r

=

DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DI GAUSS La dimostrazione pu essere condotta distinguendo tre casi: CASO N 1 (il pi semplice): la superficie S sferica ed presente ununica carica puntiforme Q al centro della sfera.

Possiamo suddividere la superficie sferica S in tanti tratti S e applicare la definizione di flusso:

( ) 20

1

4SQ

Somma E n S Somma Sr

= =

Infatti E

ed n

sono paralleli; inoltre in questo caso conviene prendere Q con il segno (senza modulo), perch ci rende conto del verso reale

del campo elettrico (langolo con n

pu essere 0 o 180).

Le quantit Q, 2r ed 0 possono essere portate fuori della somma ( un raccoglimento a fattor comune), perch non dipendono dal tratto

S scelto, pertanto:

( )

( )

20

22 2 2

0 0 0 0

1

4

1 1 1 4

4 4 4

S

QSomma E n S Somma S

r

Q Q Q QSomma S S r

r r r

= = =

= = = =

Dunque nel caso 1 il teorema dimostrato.

CASO N 2 : la superficie S non sferica e allinterno presente ununica carica puntiforme Q in una posizione qualsiasi.

Oltre ad S possiamo costruire una superficie sferica di raggio 1r e anche in questo caso suddividere le due superfici in tante

parti, come mostra la figura:

Applichiamo la definizione di flusso e svolgiamo i calcoli, tenendo presente che il prodotto scalare costringe a considerare la componente perpendicolare al campo elettrico del tratto S , cio S :

( )

( )

2 20 0

211 12 2 2

0 01 0 1 0 1

1

4 4

44 4 4

S

SQ QSomma E n S Somma S Somma

r r

SQ Q Q QSomma Somma S r

r r r

= = = =

= = = =

Ci dimostra il teorema anche nel caso 2.

CASO N 3 (caso generale): la superficie S non sferica e allinterno contenuto un numero qualsiasi di cariche distribuite in

modo qualsiasi.

La dimostrazione immediata: basta tenere presente il principio di sovrapposizione del campo elettrico e il caso 2.