IL TEOREMA DI GAUSS - prof. Danilo Saccoccioni · Il flusso ΦS del campo elettrico E attraverso...
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IL TEOREMA DI GAUSS
Il flusso SΦ del campo elettrico E��
attraverso una superficie chiusa S è uguale al rapporto fra la somma algebrica delle
cariche contenute all’interno della superficie e la costante dielettrica del mezzo in cui si trovano le cariche. Nel vuoto:
0 0
( )S
QSomma Q
ε εΦ = = ∑
Premesse geometriche alla dimostrazione del teorema:
1. Una superficie sferica di raggio r ha area 24S rπ= .
2. Si considerino due superfici sferiche concentriche di raggio 1r
e 2r e un cono, con vertice nel centro, che sottende due tratti di
superficie 1S∆ e 2S∆ .
E’ noto dalla geometria che le aree delle superfici sono direttamente proporzionali al quadrato dei rispettivi raggi,
sicché possiamo scrivere: 1 22 2
1 2
S S
r r
∆ ∆=
DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DI GAUSS La dimostrazione può essere condotta distinguendo tre casi: CASO N° 1 (il più semplice): la superficie S è sferica ed è presente un’unica carica puntiforme Q al centro della sfera.
Possiamo suddividere la superficie sferica S in tanti tratti S∆ e applicare la definizione di flusso:
( ) 20
1
4S
QSomma E n S Somma S
rπε
Φ = ⋅ ∆ = ∆
�� �
Infatti E��
ed n�
sono paralleli; inoltre in questo caso conviene prendere Q con il segno (senza modulo), perché ciò rende conto del verso reale
del campo elettrico (l’angolo con n�
può essere 0 o 180°).
Le quantità Q, 2r ed 0ε possono essere portate fuori della somma (è
un raccoglimento a fattor comune), perché non dipendono dal tratto S∆ scelto, pertanto:
( )
( )
20
22 2 2
0 0 0 0
1
4
1 1 1 4
4 4 4
S
QSomma E n S Somma S
r
Q Q Q QSomma S S r
r r r
πε
ππε πε πε ε
Φ = ⋅ ∆ = ∆ =
= ⋅ ∆ = ⋅ = ⋅ =
�� �
Dunque nel caso 1 il teorema è dimostrato.
CASO N° 2 : la superficie S non è sferica e all’interno è presente un’unica carica puntiforme Q in una posizione qualsiasi.
Oltre ad S possiamo costruire una superficie sferica di raggio 1r e anche in questo caso suddividere le due superfici in tante
parti, come mostra la figura:
Applichiamo la definizione di flusso e svolgiamo i calcoli, tenendo presente che il prodotto scalare costringe a considerare la componente perpendicolare al campo elettrico del tratto S∆ , cioè S⊥∆ :
( )
( )
2 20 0
211 12 2 2
0 01 0 1 0 1
1
4 4
44 4 4
S
SQ QSomma E n S Somma S Somma
r r
SQ Q Q QSomma Somma S r
r r r
πε πε
ππε επε πε
⊥⊥
∆ Φ = ⋅ ∆ = ∆ = ⋅ =
∆= ⋅ = ⋅ ∆ = ⋅ =
�� �
Ciò dimostra il teorema anche nel caso 2.
CASO N° 3 (caso generale): la superficie S non è sferica e all’interno è contenuto un numero qualsiasi di cariche distribuite in
modo qualsiasi.
La dimostrazione è immediata: basta tenere presente il principio di sovrapposizione del campo elettrico e il caso 2.