10. Integrali di superficie

Davide Cataniadavide.catania@unibs.it

Esercitazioni di Analisi Matematica 2

Integrali di campi scalari su una superficie

Flusso di un campo vettoriale

Una superficie S ⊆R3 è data da una funzione continuaϕ : T →R3, dove T ⊆R2 ha interno connesso e

ϕ(u,v) = x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k .

La funzione ϕ è detta parametrizzazione di S.

La superficie è detta regolare se ϕ è di classe C1 e i vettori

ϕu = xu(u,v)i+yu(u,v)j+zu(u,v)k ,

ϕv = xv(u,v)i+yv(u,v)j+zv(u,v)k

sono linearmente indipendenti (non sono paralleli), cioè ilprodotto vettoriale ϕu ×ϕv /= 0, per ogni (u,v) interno a T .

ϕu ×ϕv = det

i j kxu yu zuxv yv zv

.

Sia S =ϕ(T) una superficie regolare parametrizzata daϕ : T →R3 e sia g(x,y,z) : S →R un campo scalare (su S) diclasse C1.

Allora definiamo l’integrale di superficieÏS

g(x,y,z)dS =Ï

Tg(x(u,v),y(u,v),z(u,v)

)|ϕu ×ϕv|dudv .

Se S è in forma cartesiana z = f (x,y), alloraÏS

g(x,y,z)dS =Ï

Tg(x,y, f (x,y)

)√1+ f 2

x + f 2y dx dy .

Ponendo g ≡ 1, si hanno le formule per il calcolo dell’area:

Area(S) =Ï

T|ϕu ×ϕv|dudv forma generale ,

Area(S) =Ï

T

√1+ f 2

x + f 2y dx dy forma cartesiana .

Esercizio 1Calcola l’area A della superficie sferica di raggio R > 0.

Esercizio 2Calcola l’area A della porzione di paraboloide

z = 1

2x2 + 1

2y2 , con (x,y) ∈ T = {

(x,y) ∈R2 : x2 +y2 < 8}

.

Esercizio 3Calcola I =

ÏS

x2 dS , dove S è la superficie di equazione

parametrica

r(u,v) = 3cosu i1 +3sinu i2 +v i3 , u ∈ [0,2π], v ∈ [1,5] .

Esercizio 4Calcola I =

ÏS

(2x+ 4

3y+z

)dS , dove S è la porzione di

superficie del pianox

2+ y

3+ z

4= 1

contenuta nel primo ottante

O1 ={(x,y,z) ∈R3 : x Ê 0, y Ê 0, z Ê 0

}.

Esercizio 5Data la superficie cartesiana

S : z = f (x,y) = 2x2 +y2

con (x,y) ∈ T = {(x,y) ∈R2 : x2 É y É |x|} ,

calcolaI =

ÏS

(z−y2)(1+16x2 +16y2)−1/2

dS .

Suggerimenti: da x2 É y É |x|, ricaviamo x2 É |x|, cioè−1 É x É 1. Inoltre, la funzione integranda risulta pari in x, e siottiene

I =Ï

T2x2 dx dy = 2

ÏT+

2x2 dx dy ,

dove T+ è dato da 0 É x É 1, x2 É y É x.

Esercizio 6Data la semisfera S di centro (0,0,0) e raggio 4 contenuta nelsemispazio

{(x,y,z) ∈R3 : z É 0} ,

calcolaI =

ÏS

(x2 +y2 +z2)1/2 dS .

Integrali di campi scalari su una superficie

Flusso di un campo vettoriale

Data una superficie regolare S con versore normale n, il flussodi un campo vettoriale continuo F : S →R3 attraverso S (nelverso di n) è definito da

ΦF (S) =Ï

SF ·n dS .

Se S è parametrizzata da ϕ : T →R3, il versore normale è datoda

n =± ϕu ×ϕv

|ϕu ×ϕv|(il segno dipende dal verso scelto). Dunque

ΦF (S) =±Ï

TF

(ϕ(u,v)

) · ϕu ×ϕv

|ϕu ×ϕv||ϕu ×ϕv|dudv

=±Ï

TF

(ϕ(u,v)

) · (ϕu ×ϕv)dudv .

Esercizio 7Calcola il flusso del campo F(x,y,z) = xyi1 +xyi2 +zi3 , versol’alto, attraverso la superficie

S :

{z = 1−x2 −y2 ,

z Ê 0.

Esercizio 8Calcola il flusso di

F(x,y,z) = 2x

x2 +y2i+ 3y

x2 +y2j+k

attraverso la superficie S di equazioner(u,v) = ucosv i+usinv j+u2 k, con 0 É u É 1

2 e 0 É v É 2π, eorientata in modo che il versore normale punti verso il basso.

Teorema del rotore (di Stokes). Sia S una superficie regolaresemplice (cioè con parametrizzazione iniettiva) e sia F uncampo vettoriale C1 in un aperto contenente S. AlloraÏ

SrotF ·n dS =

∫∂+S

F ·dr ,

cioè il flusso del rotore attraverso S coincide con lacircuitazione di F lungo il bordo di S.Nota. ∂+S è il bordo di S orientato in modo che, percorrendolo,n rimanga a sinistra.

Esercizio 9Calcola il flusso del rotore del campo F(x,y,z) = y i1 +z i2 +x i3 ,verso l’alto, attraverso la superficie

S :

{z = 1−x2 −y2 ,

z Ê 0.

Esercizio 10Verifica, usando la definizione, che il flusso del campo

F(x,y,z) =− y

x2 +y2i+ x

x2 +y2j+2z k

verso l’esterno della superficie

S = {z =−x2 −y2, −1 É z É 0}

è nullo.

Verifica inoltre che l’integrale curvilineo di F lungo il bordo,opportunamente orientato, vale 2π.

Spiega perché non vale il teorema di Stokes.

Teorema della divergenza (di Gauss). Sia D⊆R3 un dominiosolido limitato, con bordo ∂+D formato dall’unione di unnumero finito di superfici chiuse, regolari e orientabili, e conversore normale esterno n.Sia F un campo vettoriale C1 su D. AlloraÑ

DdivF dx dy dz =

Ï∂+D

F ·n dS ,

cioè l’integrale triplo in D della divergenza di F coincide con ilflusso di F uscente dalla superficie che delimita D.

Ricordiamo che la divergenza di un campo vettorialeF = F1i+F2j+F3k è

divF =∇·F = ∂xF1 +∂yF2 +∂zF3 .

Esercizio 11Calcola il flusso del campo F(x,y,z) = y i+x j+z k attraverso lasuperficie data dal bordo della regione

T = {x2 +y2 É z É 1}

con normale rivolta verso l’esterno.