CONDUZIONECONDUZIONEIN REGIME VARIABILEIN REGIME VARIABILE

Conduzione in regime variabileConduzione in regime variabileCORPO SOTTILE 1/5CORPO SOTTILE 1/5

T uniformex

y

z

volume V, superficie Avolume V, superficie A

h = costanteh = costante

T ambiente = T

Corpo in quiete, T all’istante τ=0 pari a Ti

L’assunzione principale è che il solido si mantenga a temperatura uniforme durante l’evolversi del fenomeno. La conseguenza è che all’interno del corpo non ci sono gradienti di temperatura.

Tale ipotesi si avvicina alla realtà quanto più la resistenza superficiale convettiva è elevata rispetto alla resistenza per conduzione:

Conduzione in regime variabileConduzione in regime variabile CORPO SOTTILE 2/5CORPO SOTTILE 2/5

Bi = numero di Biot (1774 -1862)

1,01

1

k

hL

h

kA

V

Bi C

Bilancio energetico

Conduzione in regime variabileConduzione in regime variabile CORPO SOTTILE 3/5CORPO SOTTILE 3/5

d

dQ

d

dU

TThAd

dTCV )(

Conduzione in regime variabileConduzione in regime variabile CORPO SOTTILE 4/5CORPO SOTTILE 4/5

La condizione iniziale fornisce:

Qi = Ti-T

TT

Conduzione in regime variabileConduzione in regime variabile CORPO SOTTILE 5/5CORPO SOTTILE 5/5

La soluzione particolare è dunque:

Il gruppo ha le dimensioni di un tempo

e rappresenta il tempo necessario affinchè ilvalore di q raggiunga il 36,8% di qi

shA

CV

Conduzione in regime variabileConduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 1/10transitori in sistemi a T non uniforme 1/10

Bi = numero di Biot

1.01

1

h

kA

V

Bi

LASTRA PIANA INDEFINITA• Effetti ai bordi

trascurabili;• mezzo omogeneo ed isotropo;• assenza di sorgenti di calore:

T

x

Ta

2

2

C

ka

2L

x

Conduzione in regime variabileConduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 2/10transitori in sistemi a T non uniforme 2/10Si ipotizza che la funzione T=T(x,τ) possa esprimersi come prodotto di funzioni ad una sola variabile:

YxXxT ,

L’equazione di Fourier diventa: d

dYX

dx

XdaY

2

2

Separando le variabili:

22

2 11

d

dY

aYdx

Xd

XLa soluzione costante è l’unica possibile poichè ogni membro è funzione di una sola variabile, il segno negativo garantisce la soluzione decrescente nel tempo.

Conduzione in regime variabileConduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 3/10transitori in sistemi a T non uniforme 3/10

2'1

2 0 aeCYaYd

dY xCxCxXXdx

Xd cossin0 '3

'2

22

2

La soluzione generale può dunque esprimersi come:

xCxCexT a cossin, ''2

''1

2

ed introducendo la funzione

TxTx ,,

si ottiene l’espressione seguente:

xCxCex a cossin, 21

2

Conduzione in regime variabileConduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 4/10transitori in sistemi a T non uniforme 4/10

A. CONDIZIONE AL CONTORNO CON T IMPOSTA SULLE SUPERFICI ESTERNE

1) τ= 0 0 ≤ x ≤ 2L θ = θi = Ti – T

2) τ> 0 x = 0 θ = 0

3) τ> 0 x = 2L θ = 0

C2 = 0

2μL = nπ

xC nn

ni sin1

dxL

xn

LC

L

in

2

0 2sin

1 Il II membro della 1 è lo svil. in serie di Fourier del I:

...... ,5 ,3 ,1per 2

sin14

,1

2

2

nL

xnen

xn

aL

n

i

Conduzione in regime variabileConduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 5/10transitori in sistemi a T non uniforme 5/10B. CONDIZIONE AL CONTORNO CONVETTIVA SULLE SUPERFICI ESTERNE

τ< 0 Tlastra = Tfluido = Ti τ 0 Tfluido = T

1) τ = 0 0 ≤ x ≤ L θ = θi

2) τ > 0 x = 0

0x

3) τ> 0 x = L

k

h

x

La condizione 2 fornisce: 0sincos 1

021

0

2

CxCxCex x

a

x

La condizione 3 fornisce:

LhL

kLctgLCe

k

hLCe aa cossin 22

22

x

2L

0

hh

Conduzione in regime variabileConduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 6/10transitori in sistemi a T non uniforme 6/10

Fissato L, esistono infiniti valori di μ = μn che soddisfano l’equazione:

1

cos,2

nn

an xeCx n

La condizione 1 fornisce:

1

0 cosn

nni LxxC

Attraverso alcuni passaggi analitici si ottiene la soluzione totale:

xLLL

Lex n

n nnn

nai

n

coscossin

sin2,

1

2

Con μn n-esima radice dell’equazione 0tan k

hLLL nn

CILINDRO INDEFINITO

Conduzione in regime variabileConduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 7/10transitori in sistemi a T non uniforme 7/10

i

i

TT

TT

Introducendo

h

R

2R0

T(0,r) = Ti

h

TT f

x

l’equazione del transitorio si esprime come:

axrr

rr

112

2

con la condizione iniziale: 00,, rx

e la condizione al contorno di convezione imposta:

1hr

k

CILINDRO DI DIMENSIONI FINITE

Conduzione in regime variabileConduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 8/10transitori in sistemi a T non uniforme 8/10

Il cilindro di lunghezza 2L e raggio R0 è prodotto dall’intersezione

di una lastra piana indefinita ed un cilindro indefinito

2L

R0 Alle condizioni al contorno del cilindro indefinito si aggiunge la convezione sulle basi:

1hx

k

Conduzione in regime variabileConduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme 9/10transitori in sistemi a T non uniforme 9/10

La combinazione delle due soluzioni base si esplicita esprimendo la

funzione θ attraverso la separazione delle variabili:

,,,, rCxPrx

Sostituendo nell’equazione generale si ottengono due formulazioni:

,1 e 00,con 1

2

2

LPhx

PkxP

P

ax

P

Lx

LASTRA PIANA

,1r

Ck-con

110

0

rChC

ar

Cr

rr rr

CILINDRO

Entrambe sono note, il loro prodotto fornisce la soluzione

generale.

Conduzione in regime variabileConduzione in regime variabile transitori in sistemi a T non uniforme transitori in sistemi a T non uniforme

10/1010/10Allo stesso modo possono ricavarsi le soluzioni per altri corpi

ottenibili come combinazioni di solidi indefiniti

2L1

2L32L2

Il parallellelepipedo, ad esempio può pensarsi come l’intersezione di tre lastre indefinte di spessore 2L1, 2L2, e 2L3

Tale metodo è applicabile quando:

- tutte le superfici sono soggette alle stesse condizioni

convettive;

- le superfici esterne sono tra loro ortogonali.