ACEDAnálise Complexa e Equações Diferenciais

Michael Paluch • 2o Semestre 2016/2017

Ficha 6 de Exercícios

1. Classifique a singularidade da função f(z) no ponto z0 para:

(a) f(z) =1

z− sen z, z0 = 0; Resolução: tem um polo de ordem 3

(b) f(z) =sen z

e−z + z− 1, z0 = 0; Resolução: tem um polo simples

(c) f(z) =1+ cos zz− π

, z0 = π; Resolução: tem uma singularidade removível

(d) f(z) =Sh zz

, z0 = 0; Resolução: tem uma singularidade removível

(e) f(z) =z2 − 1

z6 + 2z5 + z4, z0 = 0; Resolução: tem um polo de ordem 4

(f) f(z) =z2 − 1

z6 + 2z5 + z4, z0 = −1; Resolução: tem um polo simples

2. Classifique todas as singularidades da função f(z) para:

(a) f(z) =1

1− sen z, Resolução: tem polos de ordem 2 em

4k+ 1

2π

(b) f(z) = cos(z−1

), Resolução: tem uma singularidade essencial em z = 0

(c) f(z) =1

e−z − 1+ z−2. Resolução: tem um polo de ordem 2 em z = 0 e tem polos simples

em z = i2kπ 6= 0

3. Calcule os resíduos

(a) Resz=0zn−1

senn z, n = 1, 2, . . . ; Resolução: Resz=0

zn−1

senn z= 1

(b) Resz=0ez − 1− z

(1− cos 2z) sen z; Resolução: Resz=0

ez − 1− z

(1− cos 2z) sen z= 1/4

(c) Resz=0zn−2

Shn z, n = 2, 3, . . . . Resolução: Resz=0

zn−2

Shn z= 0

4. Calcule os resíduos da função f(z) em todos os pontos singulares

(a) f(z) =tg z

z2 − πz/4, Resolução: Resz=0 f = 0, Resz=π/4 f =

4

π, Resz=(2k+1)π/2 f =

−8

π2(2k+ 1)(4k+ 1)

(b) f(z) = z3e1/z, Resolução: Resz=0 f =1

4!

(c) f(z) =ch z

(z2 + 1)(z− 3), Resolução: Resz=i f =

−1+ i3

20cos(1), Resz=−i f =

−1− i3

20cos(1), Resz=3 f =

ch 310

(d) f(z) =eπz

z− i, Resolução: Resz=i f = −1

(e) f(z) =e1/z

z+ 1. Resolução: Resz=−1 f =

1

e, Resz=0 f = 1−

1

e

1

5. Calcule os integrais

(a)‰|z|=1

ez

z2 − 6zdz; Resolução:

‰|z|=1

ez

z2 − 6zdz = 2πiResz=0

ez

z2 − 6z= −2πi

1

6

(b)‰|z|=2

sen izz2 − 4z+ 3

dz; Resolução:‰|z|=2

sen izz2 − 4z+ 3

dz = 2πiResz=1sen iz

z2 − 4z+ 3= π Sh(1)

(c)‰|z|=1

tg zze1/(z+2)

dz; Resolução:‰|z|=1

tg zze1/(z+2)

dz = 2πiResz=0tg z

ze1/(z+2)= 0

(d)‰|z|=2

cos izz3

dz; Resolução:‰|z|=2

cos izz3

dz = 2πiResz=0cos izz3

= iπ

(e)‰γ

z

(z− 1)2(z+ 2)dz, γ = {z = x+ iy | x2/3 + y2/3 = 32/3}; Resolução:

‰γ

z

(z− 1)2(z+ 2)dz =

2πi

(Resz=1

z

(z− 1)2(z+ 2)+ Resz=−2

z

(z− 1)2(z+ 2)

)= 0

(f)‰γ

cos(z/2)z2 − 4

dz, γ = {z = x+ iy | x2/9+ y2/4 = 1}; Resolução:

‰γ

cos(z/2)z2 − 4

dz = 2πi

(Resz=2

cos(z/2)z2 − 4

+ Resz=−2cos(z/2)z2 − 4

)= 0

(g)‰γ

e2z

z3 − 1dz, γ = {z = x+ iy | x2+y2−2x = 0}. Resolução:

‰γ

e2z

z3 − 1dz = 2πiResz=1

e2z

z3 − 1=

2πie2

3

6. Classifique a singlaridade da função f(z) no ponto z = ∞(a) f(z) =

z+ 1

z4, Resolução: Resz=∞ z+ 1

z4= 0

(b) f(z) = cos (1/z), Resolução: Resz=∞ cos(1/z) = 0

(c) f(z) = z3e1/z, Resolução: Resz=∞ z3e1/z = −1/4!.

7. Usando o resíduo em z = ∞, calcule os integrais

(a)‰|z|=2

1

1+ z12dz, Resolução:

‰|z|=2

1

1+ z12dz = 0

(b)‰|z|=2

1000z+ 2

1+ z1224dz. Resolução:

‰|z|=2

1000z+ 2

1+ z1224dz = 0

8. Calcule os integrais

(a)ˆ ∞0

x2 + 1

x4 + 1dx; Resolução:

√2

2π

(b)ˆ +∞−∞

1

(x2 + 1)3dx; Resolução:

3

8π

(c)ˆ ∞0

x senaxx2 + 1

dx, a > 0; Resolução:π

2ea

(d)ˆ 2π

0

1

1− 2p cos x+ p2dx, 0 < p < 1; Resolução:

2π

1− p2

2