cap2 frequencia complexa EIII 2003 -...

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Octávio Páscoa Dias 19 Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III ) (t v t 2 – Frequência Complexa (revisão) n Considere-se a expressão, que representa uma sinusoide com a amplitude modulada por uma exponencial. Com s real, tem-se, n se s>0 a amplitude de v(t) cresce com o tempo; n se s<0 a amplitude de v(t) decresce com o tempo; n se s=0 a amplitude de v(t) é constante. 1 ) ( ) cos( ) ( 0 0 V t v V t v e = = = = q w s ) cos( ) ( q w s = t Ve t v t tensão constante (tensão dc) Figura 1.19 – Tensão constante (dc).

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)(tv

t

2 – Frequência Complexa (revisão)2 – Frequência Complexa (revisão)

n Considere-se a expressão,

que representa uma sinusoide com a amplitude modulada por umaexponencial. Com σ real, tem-se,n se σ>0 a amplitude de v(t) cresce com o tempo;n se σ<0 a amplitude de v(t) decresce com o tempo;n se σ=0 a amplitude de v(t) é constante.

1)()cos()(00 VtvVtve =⇒=⇒== θωσ

)cos()( θωσ += tVetv t

tensão constante (tensão dc)

Figura 1.19 – Tensão constante (dc).

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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)

tensão sinusoidal de amplitude constante)cos()(00 θωωσ +=⇒≠= tVtve

tensão exponencial crescentett eVtvVetve σσ θωσ 1)()cos()(00 =⇒=⇒=>

t

)(tv

Figura 1.20 – Tensão sinusoidal de amplitude constante.

Figura 1.21 – Tensão exponencial crescente.

)(tv

t

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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)

tensão exponencial decrescentett eVtvVetve σσ θωσ 1)()cos()(00 =⇒=⇒=<

)(tv

t

Figura 1.22 – Tensão exponencial decrescente.

n Considerando o caso particular da tensão exponencial,teVtv σ

1)( =

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tjeVtv ω1)( =

e substituíndo σ por jω

ααα jsine j += cos

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que coincide com a representação complexa de uma função sinusoidal. De facto, tendo em conta a fórmula de Euler,

)cos()( θω += tXtx m

uma grandeza sinusoidal,

pode escrever-se na forma:

[ ]tjeXtx ωRe)( =onde,

θjmeXX =

representa a amplitude complexa da grandeza sinusoidal x(t)

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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)

Re

Im

mX

X

θ

Figura 1.23 – Amplitude complexa de uma função sinusoidal.

n A analogia entre as expressões,tjt eVtveeVtv ωσ

11 )()( ==Permite indentificar,σ com a parte real de uma frequência complexa eω com a parte imaginária dessa frequência complexa.

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n Representando por s a frequência complexa acabada de definir, podeescrever-se, ωσ js +=

2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)

stketf =)(

onde, k e s são constantes complexas independentes do tempo, é caracterizada pela frequência complexa,

ωσ js +=

n Deste modo, uma função do tempo, que possa ser escrita na forma,

n Deve ser realçado que a representação,stketf =)(

é compatível com os resultados obtidos anteriormente.

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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)

tensão constante (tensão dc)

1)( Vtv =pode ser escrita na forma,

000)( 01 ==⇒=⇒= ωσ eseVtv tj

tensão exponencialteVtv σ

1)( =

corresponde a,

000 =≠⇒+= ωσσ ejs

De facto,

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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)

Quanto à tensão sinusoidal de amplitude constante, tem-se,

)cos()( θω += tVtv

Recorrendo à identidade de Euler,

2cos

αα

αjj ee −+

=

pode escrever-se,

)(21

)cos( )()( θωθωθω +−+ +=+ tjtj eet

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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)

assim,

tjjtjj

jtjjtj

tjtj

eVeeVe

eeeeV

eeVtVtv

ωθωθ

θωθω

θωθωθω

−−

−−

+−+

+=

+=

+=+=

)21

()21

(

)(21

)(21

)cos()(

)

)()(

Podendo escrever-se,tsts ekektv 21

21)( +=com,

ωωθθ jsjsVekVek jj −==== −2121 ;;

21

;21

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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)

Deste modo, a função,)cos()( θω += tVtv

pode ser representada pela soma de duas exponênciais complexas,

sendo de realçar a presença de duas frequências complexas,

tjtj ekektv ωω −+= 21)(

ωω jej −

Tendo em conta que k1 é o conjugado de k2 e que s1 é o conjugado de s2, pode concluir-se que os dois termos da soma,

são complexos conjugados, e assim, a sua soma conduz a umaquantidade real.

tjtj ekek ωω −+ 21

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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)

Retomando a expressão da sinusoide modulada por uma exponencial,

)cos()( θωσ += tVetv t

e sabendo que ela pode ser representada na forma exponencial recorrendoà identidade de Euler,

obtém-se,

tjjtjj

jtjtjtjt

tjtjt

t

eVeeVe

eeVeeeVe

eeVe

tVetv

)()(

)()(

21

21

)(21

)(21

)(21

)cos()(

ωσθωσθ

θωσθωσ

θωθωσ

σ θω

−−+

−−

+−+

+=

+=

+=

+=2

cosαα

αjj ee −+

=

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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)

logo,tjjtjj eVeeVetv )()(

21

21

)( ωσθωσθ −−+ +=

Verifica-se, assim, que as frequências complexas,

ωσωσ jsejs −=+= 21

são também necessárias para representar uma sinusoide com a amplitude modulada por uma exponencial.

De facto, a expressão,)cos()( θωσ += tVetv t

com σ≠0 e ω≠0, representa o caso mais geral de uma sinusoide,

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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)

onde,n a tensão constante (tensão dc, σ=0 e ω=0);

n a tensão sinusoidal de amplitude constante (σ=0 e ω≠0);

n e a tensão exponencial (σ≠0 e ω=0) casos particulares que dela podemser derivados.

Pode, assim, concluir-se, que a frequência complexa, s, descreve a variaçãoda sinusoide, estando:

n a parte real, σ, associada à variação exponencial da amplitude;

n e parte imaginária, ω, à variação da frequência cíclica.

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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)

σ

ωj

Figura 1.24 – Comportamento de v(t) com a variação de σ e ω.

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2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)2 – Frequência Complexa (revisão – cont.)

Assim,

−−=+−=

⇒+=

−==

=⇒=

+−=⇒=

=⇒=

6363

)º106sin(4)(

500500

500sin2)(

025)(

0100)(

2

13

2

1

2

jsjs

tetv

jsjs

sttv

jsetv

stv

t

t

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2.1 – Utilização da Frequência Complexa (revisão)2.1 – Utilização da Frequência Complexa (revisão)

Tomando a expressão geral da sinusoide modulada por uma funçãoexponencial,

)cos()( θωσ += tVetv t

e tendo em conta a identidade de Euler,

ααα jsine j += cosconstata-se que a parte real de,

))sin()(cos()( θωθωσθωσ +++=+ tjtVeeVe ttjt

descreve a tensão,

)cos()( θωσ += tVetv t

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2.1 – Utilização da Frequência Complexa (revisão – cont.)2.1 – Utilização da Frequência Complexa (revisão – cont.)

isto é, { })(Re)( θωσ += tjteVetvou,

{ })(Re)( θωσ −−= tjteVetvuma vez que,

)cos()cos( θθ −=Constata-se assim, que o par de frequências conjugadas, jω e -jω , estáassociado à representação de uma função sinusoidal de amplitude variável (σ≠0) ou amplitude constante (σ=0). A expressão,

{ })(Re)( θωσ += tjteVetvPode ser escrita na forma,

{ } { }tjjjtjt eVetveeVetv )(Re)(Re)( ωσθθωσ +=⇔=

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2.1 – Utilização da Frequência Complexa (revisão – cont.)2.1 – Utilização da Frequência Complexa (revisão – cont.)

e como, ωσ js +=obtém-se,

{ }stj eVetv θRe)( =Tendo em conta que a amplitude complexa de uma grandeza sinusoidal pode ser descrita por,

θθ ∠== VVouVeV j

então, { }steVtv Re)( =

que no domínio das frequências físicas, s=jω, toma a forma,

{ } θω θ jtj VeVouVVeVtv =∠== ;Re)(

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2.1 – Utilização da Frequência Complexa (revisão – cont.)2.1 – Utilização da Frequência Complexa (revisão – cont.)

Para uma corrente sinusoidal,

)cos()( θωσ += tIeti t

tem-se,

{ }stststj eItieIsIeIesI Re)()()( =⇒=⇔= θ

e,

θθ ∠== IIouIeI j

Para as frequências físicas, s=jω

{ } θω θ jtj IeIouVIeIti =∠== ;Re)(

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2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão)2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão)

BobinaBobina

{ } { }{ } { }

=⇒=

=⇔=

=⇔=

)(Re)()(

Re)(Re)(

Re)(Re)(

st

ststj

ststj

eIdtd

Ltvdtdi

Ltv

eItieIeti

eVtveVetvφ

θ

Para o circuito com bobina representado na figura 1.25, tem-se,

L

)(ti

)(tv

Figura 1.25 –Representação no domínio do tempo de um circuito com bobina.

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{ }stsLeItv Re)( =

2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão – cont.)2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão – cont.)

Dado que, { }steVtv Re)( =tem-se,

{ } { } stststst sLeIeVsLeIeV =⇒= ReRe

Tendo em conta que a impedância, Z, é definida pela relação,

IV

Z =

sLsIsV )()( =Eliminando o termo est de ambos os membros da equação,

sLsZsIsLsI

sZsIsV

sZ LLL =⇒=⇔= )()(

)()(

)()(

)(

assim,

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2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão – cont.)2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão – cont.)

ZY

1=

E como a admitância, Y, se define por,

tem-se,

sLsY

sZsY L

LL

1)(

)(1

)( =⇒=

As figuras 1.26 (a) e (b) representam o circuito com bobina no domíniodas frequências complexas, s, e físicas, ω, respectivamente.

sL

)(sI

)(sV Ljω

)( ωjI

)( ωjV

Figura 1.26 – Circuito com bobina no domínio da frequência(a) (b)

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2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão – cont.)2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão – cont.)

CondensadorCondensador

Figura 1.27 –Representação no domínio do tempo de um circuito com condensador.

Para o circuito com condensador ilustrado na figura 1.27, tem-se,

C)(tv

)(ti

{ } { }{ } { }

=⇒=

=⇔=

=⇔=

)(Re)()(

Re)(Re)(

Re)(Re)(

st

ststj

ststj

eVdtd

Ctidtdv

Cti

eItieIeti

eVtveVetvφ

θ

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2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão – cont.)2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão – cont.)

{ }stsCeVti Re)( =Dado que, { }steIti Re)( =tem-se,

{ } { } stststst sCeVeIsCeVeI =⇒= ReRe

Como a admitância, Y, é definida pela relação,

VI

Y =

sCsVsI )()( =Dividindo por est ambos os membros da equação,

sCsYsVsCsV

sYsVsI

sY CCC =⇒=⇔= )()(

)()(

)()(

)(

tem-se,

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sC1)(sV

)(sI

Cjω1)( ωjV

)( ωjI

YZ

1=

tem-se,

sCsZ

sYsZ C

CC

1)(

)(1

)( =⇒=

As figuras 1.28 (a) e (b) ilustram, respectivamente, o circuito com condensador no domínio das frequências complexas, s, e físicas, ω.

2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão – cont.)2.2 –Impedância e Admitância no Domínio s (revisão – cont.)

Dado que a impedância, Z, é definida pela relação,

Figura 1.28 – Circuito com condensador no domínio da frequência(a) (b)

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2.3 –Transformada de Laplace (revisão)2.3 –Transformada de Laplace (revisão)

A introdução ao conceito de frequência complexa foi realizada com base no regime sinusoidal, tendo-se estabelecido uma correspondência biunívocaentre a função do tempo e a função da frequência.

Por intermédio da ferramenta matemática designada por Transformada de Laplace pode ser estabelecida aquela correspondência para uma excitaçãodiferente da sinusoidal.

De facto, a Transformada de Laplace estabelece uma correspondênciabiunívoca entre a função do tempo x(t) e a sua transformada X(s).

)()( sXtxLaplacededatransforma

→←

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2.3 –Transformada de Laplace (revisão)2.3 –Transformada de Laplace (revisão)

n É usual indicar que X(s) é a transformada de Laplace de x(t) porintermédio da notação,

X(s)=L[x(t)]onde a variável s=σ+jω é a frequência complexa.

n Diz-se que x(t) é a transformada inversa de X(s), representando-se por,

x(t)=L-1[X(s)]

n A transformada de Laplace é definida por,

∫∞

≡0

)()( dtetxsX st

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2.3 –Transformada de Laplace (revisão)2.3 –Transformada de Laplace (revisão)

existindo transformada se,0,)( >< tparaMetx ct

sendo M e c constantes positivas. O integral converge para σ>c.

n Exemplos da transformada de Laplace:

<≥

==

+=

+=

+=

=== ∫

0 t,00 t,1

)( com ,1

)]([

;1])sin([sin ;)][cos( ;1][

;1)]([ );(1

])([ );()]([

2222

0

tus

tuL

stL

sstL

aseL

tLsFs

dfLssFtfdtd

L

at

t

ωωω

ωω

δλλ

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2.4 –Descrição do comportamento aos terminaisdos componentes de redes (revisão)

2.4 –Descrição do comportamento aos terminaisdos componentes de redes (revisão)

n Resistência

Ritv =)(

)()( sRIsV =

RsIsV

=)()(

n Bobina

dtdi

Ltv =)(

)()( ssLIsV =

sLsIsV

=)()(

n Condensador

dtdv

Cti =)(

)()( ssCVsI =

sCsIsV 1)()(

=

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Rede resistiva Rede reactiva

valores instatâneos regime sinusoidal

transformadas de Laplace

(condições iniciais nulas)

Variáveis v(t), i(t) ,V I )(sV , )(sI

Leis de Kirchhoff ∑ = ,0)(ti ∑ = 0)(tv ∑ = ,0I ∑ = 0V ∑ = ,0)(sI ∑ = 0)(sV

Componentes v(t)=Ri(t) IZV = )()()( sIsZsV =

2.4 –Correspondência entre as redes resistivas e as redes reactivas2.4 –Correspondência entre as redes resistivas e as redes reactivas

A tabela 2.1 mostra as equações nos domínios do tempo, da frequênciafísica e da frequência complexa.

Tabela 2.1 – Correspondência entre os domínios do tempo, frequência física e frequência complexa.

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n A analogia formal entre a descrição das redes resistivas e redesreactivas permite utilizar muitos resultados estabelecidos para as redesresistivas , nomeadamente: associação em série e em paralelo, divisão de tensões divisão de correntes, teoremas da sobreposição e de Thevenin-Norton.

nÉ importante notar que, quando se considera a impedância Z(s) dabobina ou do condensador e se faz, s=jω, se obtém o resultadoencontrado para no estudo do regime sinusoidal. Pode assim ser estabelecida uma correspondência (tabela 2.2) entre a descrição dasredes em termos das transformadas de Laplace (com condições iniciaisnulas), e as equações do regime forçado sinusoidal em termos dasamplitudes complexas.

2.4 –Correspondência entre as redes resistivas e as redes reactivas(cont.)

2.4 –Correspondência entre as redes resistivas e as redes reactivas(cont.)

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transformadas de Laplace

(condições iniciais nulas) → = ωjs regime sinusoidal

s ωj

V(s) V

I(s) I

R R

sL jωL

1/sC 1/jωC

2.5 –Correspondência entre o regime sinusoidale a frequência complexa

2.5 –Correspondência entre o regime sinusoidale a frequência complexa

Tabela 2.2 – Correspondência entre o regime sinusoidale o domínio s.