Elasticidad Plana

Dorian L. Linero S. , Lina A. Herrera Ch.

Elasticidad plana mediante el

método de los elementos finitos

utilizando ANSYS

Elemento Triangular LinealElemento Triangular LinealElemento bidimensional de aproximación lineal, tres nudos y un grado

de libertad por nudo.

φi

φk

φj

yaxaa ⋅+⋅+= 210φFunción de aproximación

Elemento Trian

gular Lineal. Fun

cion

es de for

ma

Elemento Trian

gular Lineal. Fun

cion

es de for

ma

)(2

1ycxba

AN iiii ⋅+⋅+⋅=

)(2

1ycxba

AN kkkk ⋅+⋅+⋅=

)(2

1ycxba

AN jjjj ⋅+⋅+⋅=

ijjik

kiikj

jkkji

yxyxa

yxyxa

yxyxa

⋅−⋅=

⋅−⋅=

⋅−⋅=jik

ikj

kji

yyb

yyb

yyb

−=

−=

−=

ijk

kij

jki

xxc

xxc

xxc

−=

−=

−=

Coordenadas de Coordenadas de áárea en el elemento triangular linealrea en el elemento triangular lineal

Coordenadas Coordenadas de de áárearea

kk

jj

ii

LL11

LL22

LL33

L

jj

ii

LL11

kk4

11 =L

2

11 =L

4

31 =L

11 =L

01 =L

kk

L

jj

ii

LL11 bb11

hh11

ss11

1

11

h

sL =

kk

L

xx

yy

kk

jj

ii

bb11

hh11A

A

hb

sbL

2

2 1

11

111 =

⋅

⋅=

ss11

AA11AA22

AA33

Coordenadas de Coordenadas de áárea en el elemento rea en el elemento

triangular linealtriangular lineal

L

xx

yy

kk

jj

ii

hh22

bb22A

A

hb

sbL

2

2 2

22

222 =

⋅

⋅=

AA11

AA33

AA22 ss22 L

xx

yykk

jj

ii

bb33

hh33A

A

hb

sbL

2

2 3

33

333 =

⋅

⋅=

AA11AA22

ss33AA33

[ ]iiiijkkjjkkj

jkkjjkkj

kk

jj

NycxbaA

yxxxyyyxyxA

L

yxxxyyyxyxA

yx

yx

yx

A

=⋅+⋅+=⋅−+⋅−+⋅−⋅⋅=

⋅−+⋅−+⋅−⋅==

)(2

1)()()(

2

1

)()()(2

1

1

1

2

1

11

ii

kk

yx

yx

yx

A

1

1

1

2 2 =

jj

ii

yx

yx

yx

A

1

1

1

2 3 =

k

j

i

NL

NL

NL

=

=

=

3

2

1

Coordenadas de Coordenadas de áárea en el elemento rea en el elemento

triangular linealtriangular lineal

∫ ⋅+++

⋅⋅=⋅⋅

A

cbaA

cba

cbadALLL 2

)!2(

!!!321

EisenbergEisenberg & & MalvernMalvern. 1973. 1973

b

sL

b

s

hb

sbh

A

AL

''1

2

22

)'(2

2

22

11 =−=

−

==

L

xx

yy

kk

jj

ii

bb

hh

AA22

AA33=0=0

AA11

ss’’AA11

ji NlLNlL ==== 2211

AbramowitzAbramowitz & & StegunStegun. 1964. 1964

Integral de Integral de áárearea

Integral de lIntegral de líínea. lado nea. lado ijij

∫ +++

⋅⋅=⋅⋅

1

021

)!1(

!!

cba

baLdlllL

ba

ElemElem. . UnidimUnidim. lineal. lineal

Elementos finitos de campo bidimensionalElementos finitos de campo bidimensional

L

xx

yy 33

22

11

Triangular Triangular LinealLineal

L

xx

yy 33

22

11

Triangular Triangular cuadrcuadrááticotico

44

55

66

yaxaa 210 ++=φ

2

5

2

43210 yaxaxyayaxaa +++++=φ

432234

3223

22

1

yxyyxyxx

yxyyxx

yxyx

yx

TriTriáángulo ngulo de Pascalde Pascal

L

xx

yy 33

22

11

Triangular Triangular ccúúbicobico

4455

66

7788

1010

99

Elementos finitos de campo bidimensional. Triangulares

Ele

me

nto

s f

inito

s d

e c

am

po

E

lem

en

tos f

inito

s d

e c

am

po

bid

ime

nsio

na

lb

idim

en

sio

na

l

xx

yy

33

2211

Rectangular Rectangular BilinealBilineal. . LagrangeLagrange

44

xx

yy33

2211

Rectangular de 9 nudos. Rectangular de 9 nudos. LagrangeLagrange

44

55

66

77

88 99

xx

yy33

2211

Rectangular de 5 nudos. Rectangular de 5 nudos. SerendipitySerendipity

44

55

Elementos finitos de campo bidimensional. Rectangulares

xx

yy33

2211

Rectangular de 8 nudos. Rectangular de 8 nudos. SerendipitySerendipity

44

55

66

77

88

Elemento Rectangular BilinealElemento Rectangular BilinealElemento bidimensional de cuatro nudos y un g.l. por nudo.

tsatasaa ⋅⋅+⋅+⋅+= 3210φFunción de aproximación

Elemento Rectangular Bilineal. Funciones de formaElemento Rectangular Bilineal. Funciones de forma

ab

ta

sb

Ni

4

)2(

)2(

−⋅

−=

ab

ta

sN

j4

)2(

−⋅

=

ab t

sN

k4

⋅=

ab

sb

tN

m4

)2(

−⋅

=

Ele

me

nto

s f

inito

s d

e c

am

po

E

lem

en

tos f

inito

s d

e c

am

po

bid

ime

nsio

na

lb

idim

en

sio

na

l

Elementos finitos de campo bidimensional. Rectangulares

33

2211

44

Elemento PatrElemento Patróónn

Rectangular Rectangular BilinealBilineal

xx

yy33

2211

Cuadrilateral Lineal. Cuadrilateral Lineal. IsoparamIsoparaméétricotrico

44

ξξ

ηη

33

2211

44

Elemento PatrElemento Patróónn

77

6688

55

99

xx

yy33

2211

Rectangular de 9 nudos. Rectangular de 9 nudos. IsoparamIsoparaméétricotrico

44

55

66

77

88 99 ξξ

ηη

Elemento Cuadrilateral LinealElemento Cuadrilateral Lineal

Elementos finitos de campo bidimensional. Cuadrilateral Lineal

)1)(1(4

1

)1)(1(4

1

)1)(1(4

1

)1)(1(4

1

ηξ

ηξ

ηξ

ηξ

+−=

++=

−+=

−−=

m

k

j

i

N

N

N

N

xx

yy

33

2211

44

ss

tt

ξξ

ηη

bb bb

aa

aa

Coordenadas globalesCoordenadas globales

Coordenadas localesCoordenadas locales

Coordenadas naturalesCoordenadas naturales

Rectangular Rectangular BilinealBilineal

xx

yy

33

2211

44

ξξ

ηη

( )11, yx( )22 , yx

( )33 , yx

( )44 , yx

( )yx,

Cuadrilateral LinealCuadrilateral Lineal

44332211

44332211

44332211

yNyNyNyNy

xNxNxNxNx

NNNN

⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅= φφφφφ

[ ] [ ]

⋅=

44

33

22

11

yx

yx

yx

yx

Nyx

[ ] { } [ ] [ ] [ ]XNyxN n ⋅=⋅= φφ

Funciones de Form

aFunciones de Form

a

FunciFuncióón de n de aproximaciaproximacióónn

GeometrGeometríía del a del elementoelemento


Matriz Matriz JacobianaJacobiana


[ ] ηξηξ ddJfdtdstsfdydxyxf ∫ ∫∫∫∫∫− −

⋅==1

1

1

1

det),(),(),(

[ ] [ ] [ ] [ ]

⋅

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=⋅⋅

∂

∂∂

∂

=⋅

∂

∂∂

∂

=

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=

44

33

22

11

4321

4321

yx

yx

yx

yx

NNNN

NNNN

XNyxyx

yx

J

ηηηη

ξξξξ

η

ξ

η

ξ

ηη

ξξ

Cambio de variables para integrales dobles Cambio de variables para integrales dobles

[ ] [ ] [ ]XB

yx

yx

yx

yx

J ⋅=

⋅

−++−−−

+−+−−−⋅= ~

)1()1()1()1(

)1()1()1()1(

4

1

44

33

22

11

ξξξξ

ηηηη


n ξi WiMayorP.

1

2

3

-0.577350

0.0

0.0

1.0

1.0

8/9

2.0

5/9

5/9

3

2

1

5

4

+0.577350

+0.774597

-0.774597

∑∑∫ ∫= =− −

⋅⋅=n

i

m

j

jiji gWWddg1 1

1

1

1

1

),(),( ηξηξηξ

Cuadratura de Gauss Cuadratura de Gauss -- LegendreLegendre

)577350.0(0.1)577350.0(0.1)(

1

1

+⋅+−⋅=∫−

ggdg ξξ

-0.577350 +0.577350-1 +1

g(ξ)

g(-0.577350) g(+0.577350)

ξξ dg∫−

1

1

)(

ξ

g(ξ)

η

ξ

depotenciamayorm

depotenciamayorn

≥−

≥−

12

12


Vector de tVector de téérminos independientesrminos independientes


{ } [ ] [ ]∑∑= =

⋅⋅⋅⋅=n

i

m

j

T

jiji JNWWQf1 1

det),( ηξ

[ ] [ ] [ ]

⋅

−−

−−⋅=⋅=

44

33

22

11

)0,0()0,0(1111

1111

4

1~ˆ

yx

yx

yx

yx

XBJ

{ } [ ] [ ] [ ] [ ] ηξηξ ddJNQdtdstsNQdydxyxNQfTTT

∫ ∫∫∫∫∫− −

⋅⋅=⋅=⋅=1

1

1

1

det),(),(),(

[ ] [ ]

⋅⋅=

1

1

1

1

det )0,0(JQf

{ } { [ ] [ ])0,0()0,0( det221 JNQfmnT

WW jii

⋅⋅⋅⋅=⇒==⋅


Matriz de RigidezMatriz de Rigidez


[ ]

{ }

{ }

{ }

{ } [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]BJBBJ

y

Nx

N

yx

yx

N

N

B~~ 1

),(),( ⋅=⇒⋅=

∂

∂∂

∂

⋅

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=

∂

∂∂

∂

=−

ηξηξ

ηη

ξξ

η

ξ

Matriz de operadores diferenciales actuando sobre funciones de fMatriz de operadores diferenciales actuando sobre funciones de formaorma

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ηξηξηξηξ ddJBDBdydxBDBKT

yx

T

yxD ∫ ∫∫∫− −

⋅⋅⋅=⋅⋅=1

1

1

1

),(),(),(),(),( det

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑= =

⋅⋅⋅⋅⋅=n

i

m

j

T

jiD JBDBWWK1 1

),(),(),( det ηξηξηξ

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ]∑∑= =

−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

n

i

m

j

T

jiD JBJDBJWWK1 1

),(),(

1

),(),(

1

),( det~~

ηξηξηξηξηξ


Matriz de rigidezMatriz de rigidez


puntopunto ξξ ηη WW

11 --0.5773500.577350 --0.5773500.577350 1.01.0

22 --0.5773500.577350 0.5773500.577350 1.01.0

33 0.5773500.577350 --0.5773500.577350 1.01.0

44 0.5773500.577350 0.5773500.577350 1.01.0

n=m=2n=m=2

[ ] [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ]( )[ ]∑∑= =

−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

n

i

m

j

T

jiD XBBXBDBXBWWK1 1

11 ~det

~~~~

[ ] [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ]( )[ ]∑=

−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

4

1

)()(

1

)()(

1

)(

~det

~~~~11

i

iii

T

iiD XBBXBDBXBK

[ ]

−++−−−

+−+−−−⋅=

)1()1()1()1(

)1()1()1()1(

4

1~)(

iiii

iiii

iBξξξξ

ηηηη

Elemento Cuadrilateral Lineal. Matriz de Elemento Cuadrilateral Lineal. Matriz de

rigidezrigidez


(ξ,η)=((ξ,η)=(--0.577350, 0.577350, --0.577350)0.577350) (ξ,η)=((ξ,η)=(--0.577350, 0.577350)0.577350, 0.577350)

(ξ,η)=((ξ,η)=(0.577350, 0.577350, --0.577350)0.577350) (ξ,η)=((ξ,η)=(0.577350, 0.577350)0.577350, 0.577350)

[ ])(

~iB


Matriz de RigidezMatriz de Rigidez


[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ηξηξηξηξ ddJNNGdydxNNGKT

yx

T

yxG ∫ ∫∫∫− −

⋅⋅⋅=⋅⋅=1

1

1

1

),(),(),(),(),( det

[ ] [ ] [ ] [ ]∑∑= =

⋅⋅⋅⋅⋅=n

i

m

j

T

jiG JNNWWGK1 1

),(),(),( det ηξηξηξ

puntopunto ξξ ηη WW

11 --0.5773500.577350 --0.5773500.577350 1.01.0

22 --0.5773500.577350 0.5773500.577350 1.01.0

33 0.5773500.577350 --0.5773500.577350 1.01.0

44 0.5773500.577350 0.5773500.577350 1.01.0

n=m=2n=m=2

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ]∑=

⋅⋅⋅⋅⋅=4

1

)()()(

~det11

i

ii

T

iG XBNNK

Elemento Cuadrilateral Lineal. Matriz de Elemento Cuadrilateral Lineal. Matriz de

rigidezrigidez


(ξ,η)=((ξ,η)=(--0.577350, 0.577350, --0.577350)0.577350) (ξ,η)=((ξ,η)=(--0.577350, 0.577350)0.577350, 0.577350)

(ξ,η)=((ξ,η)=(0.577350, 0.577350, --0.577350)0.577350) (ξ,η)=((ξ,η)=(0.577350, 0.577350)0.577350, 0.577350)

0.386894 0.103668 0.027778 0.103668

0.103668 0.027778 0.007443 0.027778

0.027778 0.007443 0.001994 0.007443

0.103668 0.027778 0.007443 0.027778

0.027778 0.007443 0.027778 0.103668

0.007443 0.001994 0.007443 0.027778

0.027778 0.007443 0.027778 0.103668

0.103668 0.027778 0.103668 0.386894

0.027778 0.103668 0.027778 0.007443

0.103668 0.386894 0.103668 0.027778

0.027778 0.103668 0.027778 0.007443

0.007443 0.027778 0.007443 0.001994

0.001994 0.007443 0.027778 0.007443

0.007443 0.027778 0.103668 0.027778

0.027778 0.103668 0.386894 0.103668

0.007443 0.027778 0.103668 0.027778

[ ] [ ])()( i

T

i NN ⋅

1 2

3 4

Elasticidad Plana

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