Apostila de Geometria Plana 2015
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1 GEOMETRIA PLANA PROF. ENZO MARCON TAKARA EDIÇÃO 2015
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GEOMETRIA PLANA
PROF. ENZO MARCON TAKARA
EDIÇÃO 2015
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1-FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA PLANA 1. (FUVEST) Na figura adiante, as retas r e s são
paralelas, o ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede
55°. A medida, em graus, do ângulo 3 é:
a) 50 b) 55 c) 60 d) 80 e) 100 2. (UEL) A medida α de um ângulo é igual ao triplo da medida do seu suplemento. Nestas condições, tgα é igual a a) 1 b)2 c) 0 d)1/2 e) - 1 3. (UEL) Na figura a seguir, as medidas x, y e z são diretamente proporcionais aos números 5, 20 e 25, respectivamente.
O suplemento do ângulo de medida x tem medida igual a
a) 144° b) 128° c) 116° d) 82° e) 54° 4. (UNIRIO) As retas r1 e r2 são paralelas. O valor
do ângulo α, apresentado na figura a seguir, é:
a) 40° b) 45° c) 50° d) 65° e) 130° 5. (UNAERP) As retas r e s são interceptadas pela transversal "t", conforme a figura. O valor de x para que r e s seja, paralelas é:
a) 20° b) 26° c) 28° d) 30° e) 35° 6. (CFTCE) O ângulo cujo suplemento excede de
6° o quádruplo do seu complemento, é:
a) 58° b) 60° c) 62° d) 64° e) 68° 7.(ANGLO) Dois ângulos são complementares. Se
a medida de um deles excede 30 o triplo da medida do outro, a diferença entre a medida desses dois ângulos é:
a) 22,5 b) 25 c) 37,5 d) 45 e) 60 GABARITO 1)E 2)E 3)A 4)B 5)C 6)C 7) E
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2-ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA 2.1-ÂNGULO CENTRAL 2.2- ÂNGULO INSCRITO
2.3-ÂNGULO DE SEGMENTO
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1. (FUVEST) A medida do ângulo ADC inscrito na
circunferência de centro O é:
a) 125° b) 110
° c) 120
° d) 100
° e) 135
°
2. (UFRRJ) Um arquiteto vai construir um obelisco de
base circular. Serão elevadas sobre essa base duas
hastes triangulares, conforme figura a seguir, onde o
ponto O é o centro do círculo de raio 2 m e os ângulos
BOC e OBC são iguais.
O comprimento do segmento AB é
a) 2 m. b) 3 m. c) 3 2 m. d) 2 5 m. e) 2 3 m.
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3. (CFTMG) Na figura, os segmentos PB e PD são
secantes à circunferência, as cordas AD e BC são
perpendiculares e AP = AD. A medida x do ângulo BPD
é
a) 30
° b) 40
° c) 50
° d) 60
°
4. (CFTMG) Na figura, o triângulo ABC está inscrito em
uma circunferência de centro O, cujo comprimento é 10
cm. Se o lado AB mede 6 cm, a medida do lado BC, em
cm, é
a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 5. (CFTMG ) Na figura, os triângulos ABC e BCD estão
inscritos na circunferência. A soma das medidas m + n,
em graus, é
a) 70 b) 90 c) 110 d) 130 6. (UFES) Na figura, os segmentos de reta AP e DP
são tangentes à circunferência, o arco ABC mede 110
graus e o ângulo CAD mede 45 graus. A medida, em
graus, do ângulo APD é
a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 7. (UFES) Na figura, A, B, C e D são pontos de uma
circunferência, a corda CD é bissetriz do ângulo A C B e
as cordas AB e AC têm o mesmo comprimento. Se o
ângulo BÂD mede 40°, a medida α do ângulo BÂC é
a) 10
° b) 15
° c) 20
° d) 25
° e) 30
°
8. (MACK)
O ângulo α da figura mede:
a) 60° b) 55
° c) 50
° d) 45
° e) 40
°
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9. (UFMG) Observe a figura.
Nessa figura, BD é um diâmetro da circunferência
circunscrita ao triângulo ABC, e os ângulos A B D e AÊD
medem, respectivamente, 20° e 85
°.
Assim sendo, o ângulo CB D mede
a) 25° b) 35
° c) 30
° d) 40
°
10. (PUC) O ângulo x, na figura a seguir, mede:
a) 60
° b) 80
° c) 90
° d) 100
° e) 120
°
11-(ANGLO)
12-(ANGLO)
13-(ANGLO)
GABARITO 1)A 2)E 3)A 4)C 5)A 6)B 7)C 8)C 9)A 10)B 11)B 12)D 13)C
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3-TRIÂNGULOS – ELEMENTOS BÁSICOS 3.1- A soma dos ângulos Considere o triângulo ABC da figura. Traçamos uma paralela ao lado BC, passando pelo vértice A. Os ângulos B são iguais da mesma maneira que os ângulos C , por serem alternos internos entre duas paralelas.
3.2- TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO Considere o triângulo ABC da figura. Vamos mostrar que um ângulo externo é igual à soma dos internos não adjacentes.
3.3- RELAÇÃO ENTRE LADO E ÂNGULO OPOSTO Num triângulo qualquer: o maior lado é oposto ao maior ângulo o menor lado é oposto ao menor ângulo
3.4-CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE TRIÂNGULO Como a menor distância entre dois pontos é a medida do segmento de reta que une estes pontos podemos afirmar que: um lado de um triângulo é sempre menor que a soma dos outros dois. conseqüentemente, um lado do triângulo é sempre maior que a diferença entre os outros dois.
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3.5- TRIÂNGULO INSCRITO EM UMA CIRCUNFERÊNCIA Como um ângulo de 90o está inscrito numa semi-circunferência, a hipotenusa é o diâmetro da circunferência circunscrita. O circuncentro está sobre o ponto médio da hipotenusa.
SE UM DOS LADOS DE UM TRIÂNGULO INSCRITO EM UMA CIRCUNFERÊNCIA FOR O DIÂMETRO, ENTÃO: 1) ESSE TRIÂNGULO É RETÂNGULO 2) A MEDIANA ( RAIO) RELATIVA A HIPOTENUSA MEDE METADE DA HIPOTENUSA ( DIÂMETRO). EXERCÍCIOS BÁSICOS
1. (cftmg 2011) Referindo-se às afirmações seguintes, assinale (V) para as verdadeiras e, (F) para as falsas. ( ) Dois triângulos semelhantes são sempre congruentes. ( ) Dois triângulos equiláteros são sempre semelhantes. ( ) Dois triângulos retângulos são sempre semelhantes. ( ) Dois triângulos retângulos isósceles são sempre congruentes. A sequencia correta encontrada é a) V, V, V, F. b) F, V, F, F. c) F, V, F, V. d) F, F, F, V. 2. (Fatec 2010) Na figura tem-se:
• a circunferência de centro O tangente à reta CE e
à reta EF nos pontos D e F, respectivamente;
• a reta OB perpendicular à reta AC ;
• a reta EF paralela à reta OB .
Nível médio
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Sabendo que a medida do maior ângulo CE F é
igual a 230º, a medida do ângulo agudo A C E é igual
a
a) 20º. b) 30º. c) 40º. d) 50º. e) 60º. 3. (FUVEST) Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a ela. Além disso,
(1) A, B, C, e A, O, D, são colineares;
(2) AB = OB;
(3) CÔD mede α radianos.
Nessas condições, a medida de AB O, em radianos,
é igual a:
a) π - (α/4) b) π - (α/2) c) π - (2α/3) d) π - (3α/4) e) π - (3α/2)
4. (UFT) Na figura a seguir considere A = 30°, á =
B
3
e â = C
3. No triângulo BDC o ângulo D é:
a) 90
° b) 130
° c) 150
° d) 120
°
5. Num triângulo isóscele, cada ângulo da base
mede o dobro da medida do ângulo do vértice. A
medida do ângulo do vértice é:
a) 36°. b) 72
°. c) 50
°. d) 40
°. e) 80
°.
6. (FGV) Num triângulo isósceles ABC, de vértice A,
a medida do ângulo obtuso formado pelas bissetrizes
dos ângulos B e C é 140°.
Então, as medidas dos ângulos A, B e C são,
respectivamente:
a) 120°, 30
° e 30
° b) 80
°, 50
° e 50
°
c) 100°, 40
° e 40
° d) 90
°, 45
° e 45
°
e) 140°, 20
° e 20
°
7. Na figura, AQ e AP são, respectivamente,
bissetrizes interna e externa do triângulo ABC. Se
BQ = 8 m e QC = 6 m, então, a medida de QP, em
metros, é
a) 32 b) 36 c) 42 d) 48 8. Na figura a seguir, AB = AC, D é o ponto de
encontro das bissetrizes do triângulo ABC e o ângulo
BDC é o triplo do ângulo A.
Então, a medida do ângulo B é
a) 54° b) 60
° c) 72
° d) 84
°
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9. Na figura, a, 2a, b, 2b e x representam as
medidas, em graus, dos ângulos assinalados.
O valor de x, em graus, é
a) 100 b) 110 c) 115 d) 120 10. (G1 - cftmg 2006) Na figura, A = 90
°, BM = CM,
BS é bissetriz do ângulo B e ASB = 126°.
Nessas condições, o ângulo C mede
a) 30° b) 36
° c) 44
° d) 54
°
11. (Fgv) Na figura a seguir, o triângulo AHC é
retângulo em H e s é a reta suporte da bissetriz do
ângulo CÂH.
Se c = 30° e b = 110
°, então:
a) x = 15° b) x = 30
° c) x = 20
° d) x = 10
° e) x = 5
°
12. (cftce 2005) Na figura, tg(x) é:
a) 0 b) 1 c) 3 d) - 3 e) ( 3)
3
13. ( cftce ) A altura e a mediana traçadas do vértice
do ângulo reto de um triângulo retângulo formam um
ângulo de 24°. Sendo assim, os ângulos agudos do
triângulo são:
a) 33° e 57
° b) 34
° e 56
° c) 35
° e 55
°
d) 36° e 54
° e) 37
° e 53
°
14. (Ufc) Sejam α, β e θ os ângulos internos de um
triângulo. Se as medidas desses ângulos são
diretamente proporcionais a 1, 2 e 3,
respectivamente, e a bissetriz do ângulo β mede
duas unidades de comprimento (u.c.), a medida do
perímetro deste triângulo é:
a) 3( 3 + 2) u.c. b) ( 3 + 1) u.c. c) 3 3 u.c.
d) 3( 3 + 1) u.c. e) (3 3 - 1) u.c.
15. (Ufmg) Na figura a seguir, a circunferência tem
centro O e o seu raio tem a mesma medida do
segmento BC. Sejam α a medida do ângulo AÔD e β
a medida do ângulo A C D.
A relação entre α e β é
a) α = 5
2
β b) α = 3β c) α =
7
2
β d) α = 2β
16. (Fuvest) Na figura a seguir, tem-se que AD=AE, CD=CF e BA=BC. Se o ângulo EDF mede 80
°, então
o ângulo ABC mede:
a) 20
° b) 30
° c) 50
° d) 60
° e) 90
°
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17. (Ufmg) Observe esta figura:
Nessa figura, os pontos F, A e B estão em uma reta
e as retas CB e ED são paralelas.
Assim sendo, o ângulo AB C mede
a) 39° b) 44
° c) 47
° d) 48
°
18. (UFC ) Na figura a seguir, os segmentos de reta
AB , AC e CD são congruentes, â é um ângulo
externo, e á um ângulo interno do triângulo ABD.
Assinale a opção que contém a expressão correta de
â em termos de á.
a) β= 3α b) β = 2α. c) β = 2
α.
d) β= 2
3
α. e) β =
3
2
α.
19. (Mack) Na figura a seguir, a distância d vale:
a) 5
2 b)
3
2 c)
3
2 d) 2 e)
3 3
4
20. (Fuvest) Na figura a seguir, AD = 2cm, AB =
3 cm, a medida do ângulo BÂC é 30° e BD = DC,
onde D é ponto do lado AC . A medida do lado BC ,
em cm, é
a) 3 b) 2 c) 5 d) 6 e) 7
21. (Uff) O triângulo MNP é tal que ângulo M = 80
° e
ângulo P = 60°. A medida do ângulo formado pela
bissetriz do ângulo interno N com a bissetriz do
ângulo externo P é:
a) 20° b) 30
° c) 40
° d) 50
° e) 60
°
22. O triângulo cujos lados medem 10 cm, 24 cm e
26 cm:
a) é acutângulo b) é retângulo c) é equilátero d) é isósceles e) é obtusângulo 23. (Ufes) Um dos ângulos internos de um triângulo
isósceles mede 100°. Qual é a medida do ângulo
agudo formado pelas bissetrizes dos outros ângulos
internos?
a) 20° b) 40
° c) 60
° d) 80
° e) 140
°
24. Com três segmentos e comprimentos iguais a 10
cm, 12 cm e 23 cm...
a) é possível apenas formar um triângulo retângulo b) é possível formar apenas um triângulo
obtusângulo c) é possível formar apenas um triângulo acutângulo d) é possível formar os três triângulos e) não é possível formar um triângulo
25. (UFPE) Considere um triângulo equilátero de
lado ℓ como mostra a figura a seguir. Unindo-se os
pontos médios dos seus lados obtemos 4 (quatro)
novos triângulos. O perímetro de qualquer um destes
quatro triângulos é igual a:
a) 5
2 b) ℓ c) 3ℓ d)
2 e)
3
2
26. Num triângulo isósceles, a base tem 8 cm e o ângulo oposto à base mede 120
°. Cada um dos
outros dois lados do triângulo mede:
a) 3 cm b) 2 5 cm c) 4 5 cm
d) 4 3
3 cm e)
8 3
3 cm
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27. (UFMG) Observe a figura a seguir. Nessa figura,
B e D são pontos da circunferência de centro O e
diâmetro AC , M é ponto médio da corda ADe o
ângulo AB M mede 35°. A medida x do ângulo DÂC,
em graus, é
a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 37,5 28. (UFMG) Observe a figura a seguir. Nessa figura,
AD = BD, C = 60° e DÂC é o dobro de B .
A razão AC
BC é igual
a) 1
3 b)
1
2 c)
3
3 d)
2
2 e)
3
2
29. (UFMG) Observe a figura a seguir. Nessa figura,
D é um ponto da circunferência de centro C e
diâmetro AB , e M e N são pontos médios dos
segmentos AC e AD , respectivamente. A medida MN
em função do diâmetro AB é
a) AB
5 b)
2
5 AB c) AB
4 d) AB
3 e) AB
2
30.(ANGLO)
31-(ANGLO)
Gabarito:1)B 2)C 3)C 4)B 5)A 6)C 7)D 8)C 9)D 10)D 11)D 12)D 13)A 14)D 15)B 16)A 17)D 18)A 19)D 20)A 21)C 22)B 23)B 24)E 25)E 26)E 27)A 28)B 29)C 30)D 31)B
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4- POLÍGONOS Propriedades dos polígonos convexos O número de vértices é igual ao número de lados. De cada vértice de um polígono de n lados, saem n − 3 diagonais (dv).
O número de diagonais (d) de um polígono é dado por 2
3nnd , onde n é o número de lados do
polígono.
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados (Si) é dada por 0180.2n .
A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de n lados (Se) é igual a 0360 .
Em um polígono convexo de n lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de cada vértice é dado por n − 2.
A medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados (ai) é dada porn
n 0180.2.
A medida do ângulo externo de um polígono regular de n lados (ae) é dada porn
0360.
A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de n lados (Sc) é igual a 0360 .
A medida do ângulo central de um polígono regular de n lados (ac) é dada porn
0360.
EXERCÍCIOS BÁSICOS 1. (Utfpr) A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º. A soma das medidas dos ângulos internos de um hexágono é: a) 180º b) 360º c) 540º d) 720º e) 900º 2. (Uece) Sejam P e Q polígonos regulares. Se P é
um hexágono e se o número de diagonais do Q,
partindo de um vértice, é igual ao número total de
diagonais de P então a medida de cada um dos
ângulos internos, em graus, de Q é
a) 144 b) 150 c) 156 d) 162 3. (Puc-rio 2009)
Considere o pentágono regular ABCDE. Quanto
vale o ângulo ACE?
a) 24° b) 30
° c) 36
° d) 40
° e) 45
°
4. Considere um quadrado com 3 2 cm de lado,
inscrito em um círculo como mostra a figura.
O raio desse círculo mede, em centímetros
a) 2. b) 3 . c) 3 3
2. d) 3. e) 2 3 .
5. (cftce) Se a razão entre o número de diagonais d
e de lados n, com n > 3, de um polígono, é um
número inteiro positivo, então o número de lados do
polígono:
a) é sempre par b) é sempre ímpar c) é sempre múltiplo de 3 d) não existe e) é sempre primo
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6. (UFRS) Na figura a seguir, o pentágono ABCDE,
inscrito no círculo, é regular.
A soma das medidas dos ângulos a, b, c, d e e,
indicados na figura, é
a) 150°. b) 180
°. c) 270
°. d) 360
°. e) 450
°.
7. (UFSCAR) Um polígono regular com exatamente
35 diagonais tem
a) 6 lados. b) 9 lados. c) 10 lados. d) 12 lados. e) 20 lados. 8. (UEL) Se um círculo de 5 cm de raio está inscrito
em um hexágono regular, o perímetro do hexágono,
em centímetros, é igual a
a) 20 3 b) 18 3 c) 15 2 d) 12 3 e) 9 2
9.(ANGLO)
10-(ANGLO)
11-(ANGLO)
12. (Fuvest ) Os pontos A, B e C pertencem a uma
circunferência γ e AC é lado de um polígono regular
inscrito em γ. Sabendo-se que o ângulo AB C mede
18° podemos concluir que o número de lados do
polígono é igual a:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 12
GABARITO 1)D 2)B 3)C 4)D 5)B 6)B 7)C 8)A 9)D 10)C
11)D 12)D
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5-QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS Um quadrilátero é considerável notável se possuir pelo menos dois lados paralelos 5.1-TRAPÉZIO 5.1.1- Trapézio isósceles 5.1.2- Trapézio retângulo
α = β e AB = CD e AD// BC 5.2- PARALELOGRAMO
Lados opostos congruentes ângulos opostos congruentes Diagonais que se cortam ao meio 5.3-RETÂNGULO
Todos os ângulos congruentes e retos Diagonais congruentes Diagonais se cortam no ponto médio
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5.4-LOSANGO
Todos os lados congruentes Diagonais perpendiculares Diagonais bissetriz dos ângulos internos Diagonais se cortam no ponto médio 5.5-QUADRADO
Todos os lados congruentes Diagonais perpendiculares Diagonais bissetriz dos ângulos internos Ângulos congruentes e retos Diagonais se cortam no ponto médio
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EXERCÍCIOS BÁSICOS
1. (Udesc) No paralelogramo ABCD, conforme
mostra a figura, o segmento CE é a bissetriz do
ângulo DCB.
Sabendo que AE = 2 e AD = 5, então o valor do
perímetro do paralelogramo ABCD é:
a) 26 b) 16 c) 20 d) 22 e) 24 2. (cftmg) ABC é um triângulo isósceles no qual AB
= AC = 10 cm. O perímetro do paralelogramo que
se obtém, traçando, por um ponto qualquer da base
BC, paralelas aos lados AB e AC é, em cm,
a) 15 b) 20 c) 30 d) 40 3. (Ufmg) Esta figura representa o quadrilátero
ABCD:
Sabe-se que
- AB = 1 cm e AD = 2 cm;
- o ângulo ABC mede 120°; e
- o segmento CD é perpendicular aos segmentos
AD e BC.
Então, é CORRETO afirmar que o comprimento do
segmento BD é
a) 3 cm. b) ( 5)
2cm. c)
( 5)
2cm. d) 2 cm.
4.O valor do raio R do círculo inscrito no trapézio
retângulo de bases 15 cm, 10 cm e lado oblíquo 13
cm, em cm, é:
a) 12 b) 10 c) 6 d) 5 e) 3
5. (cftce 2005) Sabendo-se que, em um trapézio, a
soma da base média com a mediana de Euler é
igual a 12 cm e que a razão entre as bases do
trapézio é 2, a base menor desse trapézio mede:
a) 5 cm b) 6 cm c) 7 cm d) 8 cm e) 9 cm 6. (Ufrs 2004) A opção que apresenta todas as
possibilidades do número de pontos de interseção
de um círculo com um retângulo é
a) 0, 1, 2, 4 ou 8. b) 0, 2, 4, 6 ou 8. c) 0, 1, 3, 5 ou 7. d) 0, 2, 3, 5 ou 7. e) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8. 7. (Unifesp ) Em um paralelogramo, as medidas de
dois ângulos internos consecutivos estão na razão
1:3.
O ângulo menor desse paralelogramo mede
a) 45°. b) 50
°. c) 55
°. d) 60
°. e) 65
°.
8. (Fuvest) Um trapézio retângulo tem bases 5 e 2
e altura 4. O perímetro desse trapézio é:
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 9. (Uerj) Se um polígono tem todos os lados iguais,
então todos os seus ângulos internos são iguais.
Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se
usar como exemplo a figura denominada:
a) losango b) trapézio c) retângulo d) quadrado 10. (Puc) ABCD é um paralelogramo, M é o ponto
médio do lado CD, e T é o ponto de intersecção de
AM com BD. O valor da razão DT/BD é:
a) 1/2. b) 1/3. c) 2/5. d) 1/4. e) 2/7. 11. (Puc) Na figura a seguir tem-se representado o
losango ABCD, cuja diagonal menor mede 4 cm.
A medida do lado desse losango, em centímetros,
é
a) 6 3 b) 6 c) 4 3 d) 4 e) 2 3
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12. (Puc) A área máxima de um paralelogramo com lados a, b, a, b é: a) a
2 + b
2. b) 2 ab. c) ab. d) a + b. e) a/b.
13. (Fuvest 1997) No retângulo a seguir, o valor,
em graus, de á + â é
a) 50 b) 90 c) 120 d) 130 e) 220 14. (FEI) As bases de um trapézio medem 8 cm e
12 cm, respectivamente, e a altura 4 cm. A que
distância da base menor fica o ponto de encontro
das retas-suporte dos lados não-paralelos?
a) 8 cm b) 12 cm c) 16 cm d) 4 cm 15. (Universidade Federal de Ouro Preto)
Assinale a afirmativa incorreta:
a) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra;
b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo;
c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um paralelogramo são paralelas.
d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo, este fica decomposto em quatro triângulos congruentes.
e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas. 16. (ITA)
Dadas as afirmações:
I - Quaisquer dois ângulos opostos de um
quadrilátero são suplementares.
II - Quaisquer dois ângulos consecutivos de um
paralelogramo são suplementares.
III - Se as diagonais de um paralelogramo são
perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto
médio, então esse paralelogramo é um losango.
Podemos garantir que:
a) todas são verdadeiras. b) apenas I e II são verdadeiras. c) apenas II e III são verdadeiras. d) apenas II é verdadeira.
e) apenas III é verdadeira. 17. (Ufrs) Considere as seguintes afirmações
sobre um quadrilátero convexo.
I - Se as diagonais se interceptam em seus
respectivos pontos médios, então o quadrilátero é
um retângulo.
II - Se as diagonais se interceptam
perpendicularmente em seus respectivos pontos
médios, então o quadrilátero é um losango.
III - Se as diagonais se interceptam
perpendicularmente e são congruentes, então o
quadrilátero é um quadrado.
Quais estão corretas?
a) Apenas II b) Apenas III c) Apenas I e II d) Apenas I e III e) I, II e III 18. (Unesp) Considere as seguintes proposições:
- todo quadrado é um losango;
- todo quadrado é um retângulo;
- todo retângulo é um paralelogramo;
- todo triângulo equilátero é isóscele.
Pode-se afirmar que:
a) só uma é verdadeira. b) todas são verdadeiras. c) só uma é falsa. d) duas são verdadeiras e duas são falsas. e) todas são falsas. 19-(ANGLO)
GABARITO
1)E 2)B 3)A 4)C 5)B 6)E 7)A 8)D 9)A 10)B 11)D 12)C 13)D 14)A 15)E 16)C 17)A 18)B 19)D
18
7- CIRCUNFERÊNCIA
Comprimento da circunferência: c=2 r
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1. (Ufpb) Um ciclista, para vencer uma competição,
percorreu 1885 m em uma bicicleta com rodas de
raio 30 cm (incluindo o pneu). O número de voltas
completas que cada roda da bicicleta deu, para
percorrer essa distância, foi:
Use: = 3,14
a) 900 b) 1000 c) 1040 d) 1250 e) 1500 2. (Puc) A roda de uma bicicleta tem 90 cm de
diâmetro. Então, a distância percorrida por um
ciclista nessa bicicleta em movimento, quando a roda
dá 2.000 voltas completas sem deslizar:
Considere = 3,14.
a) é inferior a 3 quilômetros. b) está entre 3 e 4 quilômetros. c) está entre 4 e 5 quilômetros. d) é superior a 5 quilômetros. 3. (Pucmg 2007) Os moradores de certa cidade
costumam fazer caminhada em torno de duas de
suas praças. A pista que contorna uma dessas
praças é um quadrado de lado L e tem 640 m de
extensão; a pista que contorna a outra praça é um
círculo de raio R e tem 628 m de extensão. Nessas
condições, o valor da razão R/L é aproximadamente
igual a: Use = 3,14.
a) 1/2 b) 5/8 c) 5/4 d) 3/2 4. (Ufscar 2007) Os satélites de comunicação são
posicionados em sincronismo com a Terra, o que
significa dizer que cada satélite fica sempre sobre o
mesmo ponto da superfície da Terra. Considere um
satélite cujo raio da órbita seja igual a 7 vezes o raio
da Terra. Na figura, P e Q representam duas cidades
na Terra, separadas pela maior distância possível
em que um sinal pode ser enviado e recebido, em
linha reta, por esse satélite.
Se R é a medida do raio da Terra, para ir de P até Q,
passando pelo satélite, o sinal percorrerá, em linha
reta, a distância de
a) 6( 3 )R. b) 7( 3 )R. c) 8( 3 )R.
d) 10( 2 )R. e) 11( 2 )R. 5. (Pucmg 04) Na figura, o triângulo ABC é retângulo
em C, e a medida de sua área é 12ðm2; o
comprimento do cateto BC é igual ao comprimento
da circunferência que tem AC como diâmetro. A
medida do raio dessa circunferência, em metros, é:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8
19
6. (Ufrs 1997) Seja a figura
Sabendo-se que AD = 12 cm; AE = 15 cm e AB = 8
cm; pode-se afirmar que a medida do raio do círculo
é
a) 4 cm b) 4,5 cm c) 5 cm d) 5,5 cm e) 6 cm
GABARITO 1)B 2)D 3)B 4)C 5)B 6)C
8-RETAS TANGENTES A UMA CIRCUNFERÊNCIA
AS DISTÂNCIA DOS PONTO P AOS PONTOS DE TANGÊNCIA SÃO IGUAIS
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1. (Unb 97) A partir de um ponto C, exterior a uma
circunferência traçam-se duas retas tangentes, como
mostra a figura adiante. Os segmentos tangentes CR
e CS, que são necessariamente congruentes,
medem, cada um, 23,5 cm. Em um dos arcos de
extremos R e S, escolhe-se, ao acaso, um ponto P,
traçando-se o segmento AB, tangente a
circunferência em P.
Calcule, em centímetros, o perímetro do triângulo
ABC, desprezando a parte fracionária de seu
resultado, caso exista.
2. (Mackenzie 1996) Na figura a seguir, M, N e P
são pontos de tangência e a medida de OM é 16.
Então o perímetro do triângulo assinalado é:
a) 32. b) 34. c) 36. d) 38. e) 40.
20
3. (Mackenzie 96) No triângulo da figura a seguir, a circunferência inscrita tem raio 1 e T é o ponto de tangência. Então o menor lado do triângulo mede:
a) 3. b) 20
7. c)
7
2. d)
9
2. e)
30
7.
4. (Mackenzie 1996) Na figura a seguir, M e N são
pontos médios dos lados do quadrado ABCD e T é o
ponto de tangência. Se CT mede k, então a área do
quadrado vale:
a) 2 k2 b)
23k
4 c) k
2 d)
2k
4 e)
24k
5
GABARITO 1) 47cm 2) A 3)B 4)C
21
9-SEGMENTOS PROPORCIONAIS /T. TALES
1. ( cftpr 2006) O jardineiro do Sr. Artur fez um
canteiro triangular composto por folhagens e flores
onde as divisões são todas paralelas à base AB do
triângulo ABC, conforme figura.
Sendo assim, as medidas x e y dos canteiros de
flores são, respectivamente:
a) 30 cm e 50 cm. b) 28 cm e 56 cm. c) 50 cm e 30 cm.
d) 56 cm e 28 cm. e) 40 cm e 20 cm. 2. (Ufrrj 2005) Pedro está construindo uma
fogueira representada pela figura abaixo. Ele sabe
que a soma de x com y é 42 e que as retas r, s e t
são paralelas.
A diferença x - y é
a) 2. b) 4. c) 6. d) 10. e) 12. 3. (Ufrn 2004) Phidias, um arquiteto grego que
viveu no século quinto a.C., construiu o Parthenon
com medidas que obedeceram à proporção áurea,
o que significa dizer que EE'H'H é um quadrado e
que os retângulos EFGH e E'FGH' são
semelhantes, ou seja, o lado maior do primeiro
retângulo está para o lado maior do segundo
retângulo assim como o lado menor do primeiro
retângulo está para o lado menor do segundo
retângulo. Veja a figura abaixo.
Assim, podemos afirmar que a razão da medida da
base do Parthenon pela medida da sua altura é
uma raiz do polinômio:
a) x2 + x + 1 b) x
2 + x - 1 c) x
2 - x - 1 d) x
2 - x + 1
4. (Unesp 2003) Considere 3 retas coplanares
paralelas, r, s e t, cortadas por 2 outras retas,
conforme a figura.
22
Os valores dos segmentos identificados por x e y
são, respectivamente,
a) 3
20 e
3
40. b) 6 e 11. c) 9 e 13.
d) 11 e 6. e) 20
3 e
40
3.
5. (Ufsm 2003) A crise energética tem levado as
médias e grandes empresas a buscarem
alternativas na geração de energia elétrica para a
manutenção do maquinário. Uma alternativa
encontrada por uma fábrica foi a de construir uma
pequena hidrelétrica, aproveitando a correnteza de
um rio que passa próximo às suas instalações.
Observando a figura e admitindo que as linhas
retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar que a
barreira mede
a) 33 m b) 38 m c) 43 m d) 48 m e) 53 m GABARITO 1)B 2)C 3)C 4)E 5)B
10-SEMELHANÇA DE TRÂNGULOS Triângulos são semelhantes se, e somente se, possuirem os mesmos ângulos internos
EF
BC
DF
AC
DE
AB
EXERCÍCIOS BÁSICOS 1. (G1 - cps 2010) A figura representa os triângulos retângulos PQR e STR, sendo
RS 5 cm, ST 3 cm e QT 6 cm . A medida
do cateto PQ, em centímetros, é
23
a) 7,5. b) 8,2. c) 8,6. d) 9,0. e) 9,2. 2. (G1 - cftmg 2008) Um homem, ao passar pelo
prédio A de altura h observa que sua sombra
corresponde a 10% se comparada com a desse
prédio. Algum tempo depois, passando pelo edifício
B de de altura, verifica que a projeção de sua
sombra é de e a do prédio B é de 30 metros. Nessa
situação, a altura h de A, em metros, vale
a) 15 b) 18 c) 21 d) 24 3. (G1 - cftsc 2008) Sabendo que uma pessoa de
1,80 m projeta uma sombra de 1,60 m, calcule a
altura de uma árvore que projeta uma sombra de 20
m nas mesmas condições.
a) 22 m. b) 22,50 m. c) 24 m. d) 28,80 m. e) 17,80 m. 4. (Uel 2008) Para medir a altura de um edifício, um
engenheiro utilizou o seguinte procedimento: mediu a
sombra do prédio obtendo 10,0 metros. Em seguida,
mediu sua própria sombra que resultou em 0,5
metros. Sabendo que sua altura é de 1,8 metros, ele
pôde calcular a altura do prédio, obtendo:
a) 4,5 metros. b) 10,0 metros. c) 18,0 metros. d) 36,0 metros. e) 45,0 metros. 5. (G1 - cftce 2006) Sendo, na figura a seguir,
AB//DE, AB = 5 cm, AC = 6 cm e DE = 10 cm, o valor
de CD e CE, nesta ordem, em cm, é:
a) 14 e 12. b) 12 e 10. c) 10 e 8. d) 16 e 14. e) 8 e 6. 6. (Pucmg 2006) Em um mapa, o parque turístico P
e as cidades A, B, C e D estão dispostos conforme a
figura a seguir, sendo AB paralelo a CD. Sabendo-se
que, na realidade, AB = 40 km, AD = 30 km e DC =
25 km, a distância da cidade A até o parque P, em
quilômetros, é:
a) 65 b) 70 c) 75 d) 80 7. (Ufjf 2006) Seja o triângulo de base igual a 10 m e
altura igual a 5 m com um quadrado inscrito, tendo
um lado contido na base do triângulo. O lado do
quadrado é, em metros, igual a:
a) 10/3. b) 5/2. c) 20/7. d) 15/4. e) 15/2. 8. (G1 - cftmg 2005) Num triângulo isósceles de
altura 8 cm, inscreve-se uma circunferência de raio 3
cm. A medida da base do triângulo, em cm, é
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 9. (G1 - cftmg 2005) Na figura, ABC é um triângulo
retângulo em A e DEFG é um quadrado inscrito
nesse triângulo. Considerando-se que BG = 9 e CF =
4, o perímetro desse quadrado é igual a
a) 24 b) 28 c) 32 d) 36
10. (G1 - cftce 2005) Considere o trapézio escaleno
indicado na figura a seguir. Sabendo-se que a
diagonal AC mede 9 cm e os lados DC = 8 cm e
AB = 10 cm, tendo a informação de que a diagonal
AC intercepta a diagonal BD no ponto E, os
comprimentos dos segmentos AE e EC são,
respectivamente, iguais a:
24
a) 4 cm e 5 cm b) 5 cm e 4 m c) 2 cm e 7 cm d) 7 cm e 2 cm e) 6,5 cm e 2,5 cm 11. (Ufg 2005) Uma fonte luminosa a 25 cm do
centro de uma esfera projeta sobre uma parede uma
sombra circular de 28 cm de diâmetro, conforme
figura a seguir.
Se o raio da esfera mede 7 cm, a distância (d) do
centro da esfera até a parede, em cm, é
a) 23 b) 25 c) 28 d) 32 e) 35 12. (Uel 2003) Após um tremor de terra, dois muros
paralelos em uma rua de uma cidade ficaram
ligeiramente abalados. Os moradores se reuniram e
decidiram escorar os muros utilizando duas barras
metálicas, como mostra a figura adiante. Sabendo
que os muros têm alturas de 9 m e 3 m,
respectivamente, a que altura do nível do chão as
duas barras se interceptam? Despreze a espessura
das barras.
a) 1,50 m b) 1,75 m c) 2,00 m d) 2,25 m e) 2,50 m
13. (Ufc 2002) Na figura a seguir, os triângulos ABC
e AB'C' são semelhantes. Se AC = 4. AC' então o
perímetro de AB'C' dividido pelo perímetro de ABC é
igual a:
a) 1
8 b)
1
6 c)
1
4 d)
1
2 e) 1
14. (Ufrs 2001) Na figura a seguir AB, CD e EF são
paralelos, AB e CD medem, respectivamente, 10 cm
e 5 cm.
O comprimento de EF é
a) 5
3. b) 2. c) 3. d)
10
3. e) 4.
15-(ANGLO)
25
16-(ANGLO)
17-(ANGLO)
GABARITO 1)A 2)B 3)B 4)D 5)A 6)D 7)A 8)D 9)A 10)B 11)A 12)D 13)C 14)D 15)D 16)B 17)A
11-POTÊNCIA DE PONTO CASO 1 CASO 2 CASO3
PA.PB = PD.PC PA.PB=PC. PD PT² = PA.PB EXERCÍCIOS BÁSICOS
1. (CFTMG) Na figura, AB = 4, BC = 2, AC é diâmetro
e os ângulos ABD e CBD são iguais. A medida da
corda BD é
26
a) 2 3 + 1 b)(9 5)
5 c)3 2 d) 2 + 5
2. (CESGRANRIO) Na figura a seguir, AB = 8 cm,
BC = 10 cm, AD = 4 cm e o ponto O é o centro da
circunferência. O perímetro do triângulo AOC mede,
em cm:
a) 36 b) 45 c) 48 d) 50 e) 54
3. (UFMG) Observe esta figura:
Nessa figura, o círculo tem centro O e raio 6 e OP=16.
A reta PT é tangente ao círculo em T e o segmento TQ
é perpendicular à reta OP.
Assim sendo, o comprimento do segmento QP é
a) 13,75 b) 13,85 c) 14,25 d) 14,5 4) O ponto P dista 17 cm de uma circunferência. Conduzindo-se por P um segmento de reta que é tangente à circunferência no ponto T. tem-se PT =15cm. A medida do raio desta circunferência em cm é: a)7 b)8 c)9 d)10 e)11 5.(ANGLO)
GABARITO 1)C 2)E 3)A 4)B 5)D
27
12-TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado posto em dois segmentos proporcionais aos lados adjacentes.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1) Num triângulo MNP, a bissetriz interna MC do ângulo M determina no lado NP os segmentos NC
e CP cuja razão é 3
2
CP
NC Sabendo-se que M =
12 cm, determinar a medida do lado MP. 2) No triângulo ABC da figura, AD é bissetriz do ângulo A
O perímetro desse triângulo é a) 28 b) 34 c) 36 d) 40 e) 42 GABARITO 1) 18 cm 2) D
28
13-TEOREMA DA BASE MÉDIA (TRIÂNGULO E TRAPÉZIO)
Unindo-se os pontos médios de dois lados de um triângulo qualquer, obtemos a base média de um triângulo. Consequências: a base média ( MN) é paralela a base AB e tem a metade do comprimento da base AB.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1. (UNEMAT) No triângulo equilátero ABC, os pontos M e N são respectivamente pontos médios
dos lados ABe AC . O segmento MNmede 6 cm.
A área do triângulo ABC mede:
a) 218 3 cm b) 224 2 cm c) 230 2 cm
d) 230 3 cm e) 236 3 cm 2. (PUC) No triângulo ABC temos AB = 5, BC = 9 e
AC = 10. Se P é o ponto médio de AB e Q é o ponto
médio de BC, então o comprimento PQ é:
a) 4 b) 5 c) 8 e) 9 3) (ANGLO)
GABARITO 1)E 2)B 3)C
29
14-RELAÇÕES MÉTRICAS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
1) a.h = b.c 2) h² = m.n 3) b² = a.m 4) c² = a.n 5) a² = b² + c² ( TEOREMA DE PITÁGORAS) EXERCÍCIOS BÁSICOS 1. (Ufmg 2006) Nesta figura, estão representadas
três circunferências, tangentes duas a duas, e uma
reta tangente às três circunferências:
Sabe-se que o raio de cada uma das duas
circunferências maiores mede 1 cm.
Então, é CORRETO afirmar que a medida do raio da
circunferência menor é
a) 1
3cm. b)
1
4cm. c)
( 2)
2cm. d)
( 2)
4cm.
2. (Fgv 2006) As bases de um trapézio isósceles
medem 20 m e 36 m, e a soma das medidas dos
lados não paralelos é 20 m. A medida da altura
desse trapézio é:
a) 6 m b) 3 m c) 8 m d) 4 m e) 10 m 3. (Puc-rio 2004) A maior distância entre dois pontos
de um retângulo de base 8 cm e altura 6 cm é:
a) 14 cm b) 10 cm c) 7 cm d) 11 cm e) 12 cm 4. (Ufes 2002) Três pontos A, B e C pertencem a
uma circunferência de raio igual a 1. O segmento AB
é um diâmetro e o ângulo, AB C mede 15°. A
medida da corda BC é
a) (1 3) b) (2 3)
c) 2 (3 3) d) 2 (3 3)
e) 2 5. (Fuvest 2001) Um lenhador empilhou 3 troncos de
madeira num caminhăo de largura 2,5 m, conforme a
figura a seguir. Cada tronco é um cilindro reto, cujo
raio da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em
metros, é:
a) (1 7)
2 b)
(1 7)
3 c)
(1 7)
4
d) 7
13
e) 1+7
4
30
6. (Ufc 1999) No triângulo ABC a seguir, 'a' é a
base, 'h' a altura relativa a esta base, e 'b' o lado
oposto ao ângulo de 45°.
Se a + h = 4, então o valor mínimo de b2 é:
a) 16. b) 16
5. c)
4
5. d) 4 5 . e) 16 5 .
7. (Puc-rio 1999) A hipotenusa de um triângulo
retângulo mede 2 61 . A diferença entre os
comprimentos dos dois outros lados é 2. Então o
menor lado tem comprimento:
a) 30 . b) 7. c) 10. d) 5 6 . e) 11.
8. (UERJ) Observe a figura:
Depois de tirar as medidas de uma modelo, Jorge
resolveu fazer uma brincadeira:
10.) esticou uma linha AB , cujo comprimento é
metade da altura dela;
20.) ligou B ao seu pé no ponto C;
30.) fez uma rotação de BA com centro B, obtendo o
ponto D sobre BC ;
40.) fez uma rotação CD com centro C,
determinando E sobre AC .
Para surpresa da modelo, C E é a altura do seu
umbigo.
Tomando AB como unidade de comprimento e
considerando 5 = 2,2, a medida C E da altura do
umbigo da modelo é:
a) 1,3 b) 1,2 c) 1,1 d) 1,0 9. (Uece 1999) A medida, em cm, da diagonal maior
de um paralelogramo cujos lados medem 6 cm e 8
cm e o menor ângulo mede 60° é igual a:
10. (Unirio 1998)
Na figura a seguir, o valor da secante do ângulo
interno C é igual a:
a) 5
3 b)
4
3 c)
5
4 d)
7
6 e)
4
5
11. (UFRS) Na figura a seguir, o valor numérico do
diâmetro AB é 5, e C é um ponto do círculo. Uma
solução possível para os valores numéricos de AC e
BC é
a) 1 e 2 6 b) 2 e 3 c) 1 e 4
d) 1,5 e 3,5 e) 6 e 2
31
12-(ANGLO)
13. (Ufrs 1997) Dada a figura
Qual o valor de x?
a) 2,15 b) 2,35 c) 2,75 d) 3,15 e) 3,35 14. (G1 1996) Um quadrado e um triângulo
equilátero têm perímetros iguais. Se a diagonal do
quadrado mede 9 2 m, então a altura do triângulo,
em metros é:
a) 3
2 b) 3 c) 2 3 d) 4 3 e) 6 3
15. (ACAFE - SC)
As projeções dos catetos de um triângulo retângulo
sobre a hipotenusa medem 9 dm e 16 dm. Neste
caso os catetos medem:
a) 15 e 20 b) 10 e 12 c) 3 e 4 d) 8 e 6 16. (UECE) Na figura a seguir, MNPQ é um
retângulo e S é um ponto de base MQ tal que SP =
NP. Se NS = 2 7 cm, NP = (12 - k1) cm, SQ = k1 cm
e MN = K2 cm, então k12 + k2
2 é igual a:
a) 34 b) 45 c) 49 d) 60 17. (G1 1996) Em um triângulo retângulo OAB,
retângulo em O, com OA = a e OB = b são dados os
pontos P em OA e Q em OB de tal maneira que AP =
PQ = QB = x. Nestas condições, o valor de x é:
a) ab - a - b b) - a - b a + b - (2ab)
c) 2 2a b d) a + b + 2ab
e) ab + a + b
18. (Mack) No triângulo retângulo em A da figura a
seguir, h pode ser:
a) 2a
3. b)
3a
4. c)
4a
5. d)
3a
5. e)
2a
5.
19. Num triângulo retângulo cujos catetos medem
3 e 4 a hipotenusa mede:
a) 5 b) 7 c) 8 d) 12 e) 13
20. Uma escada de 25 dm de comprimento se apóia
num muro do qual seu pé dista 7 dm. Se o pé da
escada se afastar mais 8 dm do muro, qual o
deslocamento verificado pela extremidade superior
da escada?
a) 4 dm b) 5 dm c) 6 dm d) 7 dm e) 8 dm
32
21. (Ufes) Na figura a seguir está representada uma circunferência com centro no ponto C e raio medindo 1 unidade de comprimento.A medida do segmento
de reta AB nesta unidade de comprimento é igual a
a) 1
2 b)
3
2 c)
3
2 d)
1 3
2 e) 3
22. No triângulo a seguir, o valor de x é:
a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22 23. (UNIRIO) Os lados de um triângulo retângulo
estão em progressão aritmética. Sabendo-se que o
perímetro mede 57 cm, podemos afirmar que o maior
cateto mede:
a) 17 cm b) 19 cm ) 20 cm d) 23 cm e) 27 cm 24. (Fei) Se em um triângulo os lados medem 9, 12
e 15 cm, então a altura relativa ao maior lado mede:
a) 8,0cm b) 7,2cm c) 6,0cm d)5,6 cm e) 4,3 cm 25. (CESGRANRIO) Os catetos b e c de um
triângulo retângulo ABC medem 6 e 8,
respectivamente. A menor altura desse triângulo
mede:
a) 4,0. b) 4,5. c) 4,6. d) 4,8. e) 5,0. 26. (ANGLO) Num triângulo retângulo a medida da hipotenusa é o triplo da medida de um dos catetos.
Se o outro cateto mede 4 2 cm, o perímetro desse
triângulo, em cm, é:
a) 1+12 2 b) 8 2 c) 12 2
d) 8+4 2 e) 6+4 2
27.(ANGLO) Um dos ângulos de um triângulo retângulo mede 30°. Se o perímetro desse triângulo
é ( 24 + 8 3 )cm, a hipotenusa ,em cm mede:
a) 4 b)8 c)8 3 d) 16 e) 16 3
28.(ANGLO)
29.(ANGLO)
GABARITO
1)B 2)A 3)B 4)B 5)E 6)B 7)C 8)B 9)B 10)A 11)A 12)E 13)C 14)E 15)A 16)C 17)B 18)E 19)B 20)A 21)D 22) x=14 23)B 24)B 25)D 26)D 27)B 28)A 29)C
33
15-LEI DO COSSENO Vamos considerar o triângulo ABC onde traçamos a altura h relativa ao lado b. A altura h divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos.
Repetindo a demonstração para os outros lados obtemos
EXERCÍCIOS BÁSICOS 1. (Fuvest 2006) Na figura a seguir, tem-se AC = 3,
AB = 4 e CB = 6. O valor de CD é
a) 17
12 b)
19
12 c)
23
12 d)
25
12 e)
29
12
2. (Ufscar 06) Se os lados de um triângulo medem x,
x + 1 e x + 2, então, para qualquer x real e maior que
1, o cosseno do maior ângulo interno desse triângulo
é igual a
a) x / (x + 1). b) x / (x + 2). c) (x + 1) / (x + 2). d) (x - 2) / 3x. e) (x - 3) / 2x. 3. Um dos ângulos internos de um paralelogramo de
lados 4 m e 6 m mede 120°. A maior diagonal desse
paralelogramo mede, em metros
4. (Ufpi 2000) Em um triângulo, um dos ângulos mede 60
° e os lados adjacentes a este ângulo
medem 1cm e 2cm. O valor do perímetro deste triângulo, em centímetros, é:
a) 3 + 5 b) 5 + 3 c) 3 + 3
d) 3 + 7 e) 5 + 7
5. (Uel 1999) Sobre uma circunferência λ, de centro
O e raio r = 2 3 cm, são marcados dois pontos A e
B que determinam em λ uma corda de 6 cm de comprimento. A medida, em radianos, do menor dos ângulos AÔB é
a) 5
6 b)
2
3 c)
3 d)
4 e)
6
6. (Fei) Se em um triângulo ABC o lado AB mede 3 cm, o lado BC mede 4 cm e o ângulo interno formado entre os lados AB e BC mede 60
°, então o lado AC
mede:
a) 37 cm b) 13 cm c) 2 3 cm
d) 3 3 cm e) 2 2 cm
34
7. (Cesgranrio) Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo vale: a) 11/24 b) - 11/24 c) 3/8 d) - 3/8 e) - 3/10
8. (Ufg 2010) Uma empresa de vigilância irá instalar um sistema de segurança em um condomínio fechado, representado pelo polígono da figura a seguir.
A empresa pretende colocar uma torre de comunicação, localizada no ponto A, indicado na figura, que seja equidistante dos vértices do polígono, indicados por P, Q, R, S e T, onde serão instalados os equipamentos de segurança. Sabe-se que o lado RQ desse polígono mede 3000 m e as medidas dos outros lados são todas iguais à distância do ponto A aos vértices do polígono. Calcule a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono. 9. Na figura a seguir, determine o valor de x e o
perímetro do triângulo.
10. (Fuvest) Um triângulo ABC tem lados de
comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e
N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa
ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB.
Determinar o comprimento de MN.
11. (Ufrj) Os ponteiros de um relógio circular
medem, do centro às extremidades, 2 metros, o dos
minutos, e 1 metro, o das horas.
Determine a distância entre as extremidades dos
ponteiros quando o relógio marca 4 horas.
12-(ANGLO)
Gabarito:
1)E 2)E 3)B 4)C 5)B 6)B 7)B 8) 1000 3 m.
9) x = 3
2 2 P = 7,5 cm 10) MN = 11/30 unidades
de comprimento 11) d = 7 m 12)A
35
16-LEI DO SENO Considere o triângulo amarelo da figura. Vamos inicialmente calcular o valor do ângulo A.
EXERCÍCIOS BÁSICOS 1. (Uece) Em um triângulo, as medidas de seus
lados, em metros, são três números inteiros
consecutivos e a medida do maior ângulo é o dobro
da medida do menor. A medida do menor lado
deste triângulo é
a) 3 m b) 4 m c) 5 m d) 6 m 2. (Fuvest) Na figura a seguir, O é o centro da
circunferência de raio 1, a reta AB é secante a ela,
o ângulo â mede 60° e sen á =
( 3)
4.
a) Determine sen OAB em função de AB.
b) Calcule AB.
3. (Unicamp) Sejam A, B, C e N quatro pontos em
um mesmo plano, conforme mostra a figura a
seguir.
a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos
pontos A, B e N.
b) Calcule o comprimento do segmento NB.
4. (Ufsm) Na instalação das lâmpadas de uma
praça de alimentação, a equipe necessitou calcular
corretamente a distância entre duas delas,
colocadas nos vértices B e C do triângulo, segundo
a figura. Assim, a distância "d" é
36
a) 50 2 m b) 50 ( 6)
3m c) 50 3 m
d) 25 6 m e) 50 6 m
5. (Ufpe) Uma ponte deve ser construída sobre um
rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na
figura a seguir. Para calcular o comprimento AB,
escolhe-se um ponto C, na mesma margem em
que B está, e medem-se os ângulos CBA = 57° e
ACB = 59°. Sabendo que BC mede 30m, indique,
em metros, a distância AB. (Dado: use as
aproximações sen(59°) ≈ 0,87 e sen(64
°) ≈ 0,90)
6. (Unesp) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são
interligadas por rodovias, conforme mostra a figura.
A rodovia AC tem 40 km, a rodovia AB tem 50 km,
os ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC,
são tais que senx = 3
4 e seny =
3
7. Deseja-se
construir uma nova rodovia ligando as cidades D e
E que, dada a disposição destas cidades, será
paralela a BC.
a) Use a lei dos senos para determinar quantos
quilômetros tem a rodovia BC.
b) Sabendo que AD tem 30 km, determine quantos
quilômetros terá a rodovia DE.
7. (Unicamp 2000) Os lados de um triângulo têm,
como medidas, números inteiros ímpares
consecutivos cuja soma é 15.
a) Quais são esses números?
b) Calcule a medida do maior ângulo desse
triângulo.
c) Sendo á e â os outros dois ângulos do referido
triângulo, com â > á, mostre que sen2α - sen
2 < 1/4.
8. (Unicamp) Sejam A, B e C pontos de uma
circunferência tais que, AB =2km, BC =1km e a
medida do ângulo AB C seja de 135°.
a) Calcule o raio dessa circunferência.
b) Calcule a área do triângulo ABC.
9. (Mack) Supondo 3 = 1,7, a área do triângulo
da figura vale:
a) 1,15 b) 1,25 c) 1,30 d) 1,35 e) 1,45
10. (Cesgranrio) No triângulo ABC, os lados AC e
BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente, e o
ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale:
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/5 e) 5/6
37
11. (Fuvest) A corda comum de dois círculos que se interceptam é vista de seus centros sob ângulos de 90
° e 60
°, respectivamente, como é mostrado na
figura a seguir. Sabendo-se que a distância entre
seus centros é igual a 3 1, determine os raios
dos círculos.
12-(ANGLO)
Gabarito:
1)B 2) a) sen OAB = ( 3)
4 AB
b) AB = [( 13) 1]
6 3) a) 1 km b) 2 km
4)A 5) 29 metros. 6) a) BC = 70 km b) DE = 42 km 7) a) 3, 5, 7 b) 120
°
c) No Triângulo
Pela lei dos senos, tem-se:
(sen β)/5 = (sen α)/3 = (sen 120°)/7
(sen2 β - sen
2 α)/(25 - 9) = 3/196
sen2 β - sen
2 α < 1/4
8) a) R =5 2 2
2km b) S =
2
2km
2
9)D 10)B 11) R=2; r= 2 12)C
38
17-PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO 1) INCENTRO O ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo, denominado de incentro, é eqüidistante dos lados sendo portanto o centro da circunferência inscrita no triângulo
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE CONSIDERE UMA CIRCUNFERÊNCIA DE DIÂMETRO d INSCRITA EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO DE MEDIDAS a, b e c. SE a e b SÃO CATETOS E c A HIPOTENUSA,TEMOS A RELAÇÃO a+b = d+c
2) CIRCUNCENTRO O ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo, denominado de circuncentro, é eqüidistante dos vértices sendo portanto o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
3)BARICENTRO O ponto de encontro das medianas, denominado de baricentro por ser o centro de massa do triângulo, está situado a uma distância do vértice igual à 2/3 do comprimento da mediana.
39
4) CIRCUNCENTRO As alturas de um triângulo se encontram num ponto denominado de ortocentro.
EXECÍCIOS BÁSICOS 1. (Ufpi 2000) No triângulo ABC (figura abaixo), os
lados AB, AC e BC medem respectivamente 5 cm,
7 cm e 9 cm. Se P é o ponto de encontro das
bissetrizes dos ângulos B e C e PQ//MB, PR//NC e
MN//BC, a razão entre os perímetros dos triângulos
AMN e PQR é:
a) 10
9 b)
9
8 c)
7
6 d)
4
3 e)
7
5
2. (Pucmg) Na figura, o triângulo ABC é equilátero
e está circunscrito ao círculo de centro 0 e raio 2
cm. AD é altura do triângulo. Sendo E ponto de
tangência, a medida de AE, em centímetros, é:
a) 2 3 b) 2 5 c) 3 d) 5 e) 26
3. (UNIRIO)
Na figura anterior, o triângulo ABD é equilátero, e
seu lado mede 3m.; H é o ortocentro, sendo que os
pontos F e G são os pontos médios dos lados AD
e BD , respectivamente. Quantos rolos de fita
adesiva serão necessários, no mínimo, para cobrir
todos os segmentos da figura, se cada rolo possui
1m de fita?
a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26 4. (UNITAU) O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta suporte do lado oposto é denominado: a) mediana. b) mediatriz. c) bissetriz. d) altura. e) base. 5-(ANGLO)
40
Gabarito: 1)D 2)A 3)E 4)D 5) C
18-ÁREAS DE POLÍGONOS 18.1-TRIÂNGULO
R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo
r é o raio da circunferência inscrita ao triângulo
41
18.2-QUADRILÁTEROS TRAPÉZIO:
PARALELOGRAMO
RETÂNGULO
LOSANGO
QUADRADO
18.3-HEXÁGONO REGULAR
A=4
3.6
2a
42
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1. (Fuvest 1989) A área de um triângulo de lados
a, b e c é dada pela fórmula S
= p p a p b (p c) , onde p é o
semiperímetro (2p = a + b + c). Qual a área de um
triângulo de lados 5, 6 e 7?
a) 15 b) 21 c) 7 5 d) 210 e) 6 6
2. (Unesp 1997) A área de um triângulo isósceles
é 4 15 dm2 e a altura desse triângulo, relativa à
sua base, mede 2 15 dm. O perímetro desse
triângulo é igual a a) 16 dm. b) 18 dm. c) 20 dm. d) 22 dm. e) 23 dm. 3. (Mackenzie 1997) O retângulo inscrito no
triângulo isósceles A B C da figura tem área
máxima. Então a área do triângulo assinalado AMN
é:
a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 16 4. (G1 1996) (Escola Técnica Federal - RJ)
A área do triângulo retângulo no qual a medida da
hipotenusa é 13 cm e a de um dos catetos é 5 cm é
igual a:
a) 128 cm2 b) 65 cm
2 c) 30 cm
2
d) 39 cm2 e) 60 cm
2
5. (Ufpe 1996) Na figura a seguir CD =3
2AB e a
área do triângulo OAB é 8. Qual o valor da área do
triângulo ODC?
a) 16 b) 18 c) 9
4 d) 24 e) 12
6. (Mackenzie 1996) Na figura a seguir, AC e BD
medem, respectivamente, 8 3 e 5. Então a área
do quadrilátero ABCD é:
a) 30 b) 35 c) 40 d) 60 e) 80 7. (Mackenzie 1996) Na figura a seguir, o
perímetro do triângulo equilátero ABC é 12 e o
ponto P é médio do lado BC. Então a área do
triângulo AED é:
43
a) 3
2 b) 3 c) 4 d) 2 e)
2
2
8. (Ufmg 1994) Observe a figura.
Nessa figura, o segmento AC é paralelo ao
segmento ED, AB = BC = 3cm e BC
ED= 2.
A área do triângulo ABE é igual a 3 cm2.
A área do trapézio BCDE, em cm2, é
a) 9
2 b) 6 c) 9 d)
11
2 e) 12
9. (Fuvest 1994) O triângulo ABC está inscrito
numa circunferência de raio 5 cm. Sabe-se que A e
B são extremidades de um diâmetro e que a corda
BC mede 6 cm. Então a área do triângulo ABC, em
cm2, vale:
a) 24 b) 12 c) 5 3
2 d) 6 2 e) 2 3
10. (Fei 1994) Se os triângulos ABC e DEF são
construídos de tal maneira que: DE = 2 AB, EF = 2
BC e DF = 2AC, podemos afirmar que a divisão da
área do triângulo DEF pela área do triângulo ABC é
igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 3
11. (Cesgranrio 1991) O triângulo ABC está
inscrito em círculo cujo diâmetro BC mede 1 e
cujos ângulos satisfazem a condição B =2 C ,
conforme se vê na figura. A área desse triângulo
ABC vale:
a) 3 3
8. b)
2 3
5. c)
3
5.
d) 3
6. e)
3
8.
12. (Cesgranrio 1990) Se, no trapézio retângulo
ABCD da figura adiante, AB = BC = 3 e á =3
π,
então a sua área vale:
a) 3 3 3
2. b)
3 5 3
2. c)
3 4 2
3.
d) 3 5 2
3. e)
6 3 2
3.
13. (Fuvest 1989) Os lados de um retângulo de
área 12 m2 estão na razão 1:3. Qual o perímetro do
retângulo?
a) 8 m b) 12 m c) 16 m d) 20 m e) 24 m Gabarito: 1)D 2)C 3)B 4)C 5)B 6)A 7)A 8)A 9)A 10)D 11)E 12)A 13)C 14)E
44
19-ÁREA DE CÍRCULO E SUAS PARTES
19.1-CÍRCULO: A = r²
19.2- COROA CIRCULAR: A= R² - r² A área da coroa circular é a diferença das áreas entre os círculos concêntricos.
19.3-SETOR CIRCULAR:0
2
360
.rA
19.4-ÁREA DE UM SEGMENTO CIRCULAR: A= senrr 2
0
2
2
1
360
..
A área de um segmento circular é a diferença entre a área do setor circular e a área do triângulo.
45
EXERCÍCIOS BÁSICOS 1. (Fatec 1998) Na figura a seguir tem-se uma
circunferência C de centro O e raio de medida 3
cm. Os pontos A e B pertencem a C, e a medida do
ângulo AÔB é 45°
A área da região sombreada, em centímetros
quadrados, é igual a
a) 3
4.
2
2π
b) 3
2.
4 3
π
c) 9
4.
2 2
π
d) 9
2.
4 2
π
e) 9
2.
2 1
π
2. (Cesgranrio 1998) Os pontos A, B e C
pertencem a uma circunferência de centro 0. Sabe-
se que BC = 5 cm, AC = 10 cm e que os pontos A e
B são diametralmente opostos. A área do círculo
determinado por esta circunferência, em cm2, é
igual a:
a) 125π/8 b) 125 /4 c) 125 /2
d) 125 e) 250 3. (Pucmg 1997) O comprimento de uma
circunferência é o quádruplo do perímetro de um
quadrado. A razão entre a área do quadrado e a
área do círculo é:
a) π/64 b) /72 c) /80 d) /120 e) /128 4. (Ufrs 1997) A altura de um triângulo equilátero
inscrito numa circunferência é 2 3 cm. A razão
entre a área desse triângulo e a área de um
quadrado inscrito nessa mesma circunferência é
a) 3
4
b) 3 3
4
c) 3
8
d) 3
8
e) 3 3
8
5. (Uel 1997) Na figura a seguir tem-se a reta r
tangente à circunferência de centro C e o triângulo
equilátero ABC, cujo lado mede 8 3 cm.
A área da região sombreada é, em centímetros
quadrados,
a) 52 π b) 48 c) 36 d) 30 e) 24 π 6. (G1 1996) (UNIRIO 92)
A área da região hachurada vale:
a) 12π – 2 b) 16 - 2 c) 9 -
d) 8 - 2 e) 4 - 7. (Ufmg 1995) Observe a figura a seguir. Nessa
figura, OA = 4 3 , OB = 2 3 e AB e AC
tangenciam a circunferência de centro O em B e C.
46
A área da região hachurada é
a) - 3 b) 2 - 3 c) 4 - 3 3
d) 4 - 2 3 e) 4 - 3
8. (Uel 1995) A área do triângulo equilátero OAB,
representado na figura a seguir é 9 3 cm2. A área
do círculo de centro O e tangente ao lado AB do
triângulo é, em centímetros quadrados,
a) 27 π b) 32 π c) 36 π d) 42 π e) 48 π 9. (Uel 1994) Um rolo de tela com 28 m de
comprimento será totalmente aproveitado para
cercar um jardim com formato de setor circular
como mostra a figura a seguir. Se a área do setor é
40 m2 e x é maior que y, então o raio do setor é um
número
a) divisor de 35. b) menor que 8. c) múltiplo de 5. d) quadrado perfeito. e) ímpar. 10. (Uel 1994) Um trapézio, inscrito numa
circunferência de centro O, pode ser dividido em
três triângulos equiláteros congruentes, como
mostra a figura a seguir. Se a área do trapézio é
27 3 cm2, então a área do círculo limitado por
essa circunferência, em centímetros quadrados, é
igual a
a) 9 b) 16 c) 25 d) 36 e) 49 Gabarito: 1)C 2)B 3)A 4)E 5)E 6)D 7)C 8)A 90C 10)D
47
EXERCÍCIOS GERAIS
1-(ifsp 2011) Na figura, a reta t é tangente, no ponto
P, ao círculo de centro O. A medida do arco é
100º e a do arco é 194º. O valor de x, em graus, é
a) 53. b) 57. c) 61. d) 64. e) 66. 2- Na figura os triângulos ABD e ACD estão
inscritos na circunferência de raio 2 cm.
A D A B C
Se ABD = 85 , ADB = 21 e BAC = 29 , então o lado CD, em cm, mede :
a) 1 b) 2 c) 3/2 d) 3 e)2
3- Na figura, os pontos A e B estão no mesmo plano que contém as retas paralelas r e s.
Assinale o valor de α a) 30° b) 50° c) 40° d) 70° e) 60° 4- As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x, 2x e x² + 2. Sendo P o perímetro desse triângulo, podemos afirmar que: a) P < 6b) P > 8 c) 4 < P < 8
d) 8 < P < 14 e) 6 < P < 12. 5-(ESPM) A figura abaixo representa uma praça de forma triangular, sendo que o ângulo  é reto. Duas pessoas percorrem o contorno da praça a partir do ponto A, mas em sentidos contrários, até se encontrarem num ponto P do lado BC. Sabendo-se que elas percorreram distâncias iguais, podemos concluir que a distância do ponto P ao ponto A, em linha reta é de, aproximadamente:
(adote 5 = 2,25)
a) 22m b) 25m c) 27m d) 30m e) 32m. 6- O ponto D é o centro de uma circunferência de 26cm de diâmetro. O triângulo ABC inscrito nesta circunferência possui base BC = 10cm e é isósceles. A área hachurada do círculo é igual,em cm², a :
a)169π-125 b)44π c)149π-75 d)130π-125 e)26π-25 7-Um salão de festas na forma de um hexágono regular, com 10m de lado, tem ao centro uma pista de dança na forma de um círculo, com 5m de raio.
A área, em metros quadrados, da região do salão de festas que não é ocupada pela pista de dança é:
a)25(30 3 - π) b) 25(12 3 - π) c)25(6 3 -π)
d)10(30 3 - π) e)10(15( 3 - π)
48
8- Considere um polígono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética de razão igual a 5º. Então, seu maior ângulo mede, em graus, A) 120 B)130 C)140 D) 150 E)160 09- (VUNESP) Duas circunferências concêntricas α
e β têm raios de 6cm e 6 2 cm respectivamente.
Seja AB uma corda de β, tangente à α. A área da menor região delimitada pela corda AB e pelo arco AB mede, em cm² A) 9(π– 3) B) 18(π+ 3) C) 18(π– 2) D) 18(π+ 2) E) 16(π+ 3) 10- Na figura, se o triângulo ABC é isósceles, a medida de AE é:
a) 3 b) 5/3 c) 4/3 d) 2/3 e) 2
11- O triângulo ABC é eqüilátero e o círculo de
centro O tem raio 4
AD
Se a área do círculo é 3π, a área do triângulo é:
a) 12π b) 16 3 c)8 2 d)9π e)20 5
12- Na figura, cada vértice do losango ABCD é o centro de um arco de raio igual a 1. Se o ângulo de vértice A mede 60º e a área assinalada é igual a 8
3 - π , o lado do losango é igual a:
a) 3 b) 4 c) 3,5 d) 5 e) 4,5
13- A figura mostra duas circunferências de raios 8cm e 3cm, tangentes entre si e tangentes à reta r. C e D são os centros das circunferências.
Se é a medida do ângulo CÔP, calcule o valor do
sen A) 1/6. B) 5/11 C) 1/2 D) 8/23 E) 3/8 14- Um observador situado num ponto O, localizado na margem de um rio, precisa determinar sua distância até um ponto P, localizado na outra margem, sem atravessar o rio. Para isso marca, com estacas, outros pontos do lado da margem em que se encontra, de tal forma que P, O e B estão alinhados entre si e P, A e C também. Além disso, OA é paralelo a BC, OA = 25m, BC = 40m e OB = 30m, conforme figura.
A distância, em metros, do observador em O até o ponto P, é: A) 30. B)35 C)40 D) 45 E)50 15- Um lateral L faz um lançamento para um atacante A, situado 32m à sua frente em uma linha paralela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, segue uma trajetória retilínea, mas não paralela à lateral e quando passa pela linha de meio do campo está a uma distância de 12m da linha que une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha de meio do campo está à mesma distância dos dois jogadores, a distância mínima que o atacante terá que percorrer para encontrar a trajetória da bola será de: a) 18,8m b) 19,2m c) 19,6m d) 20m e) 20,4m
49
16-Na figura ao lado, ABCD é um quadrado de 4cm de lado. Os segmentos AF e DE são perpendiculares e BE = 1cm. A área sombreada mede, cm²:
a) 8,32 b) 7,86 c) 7,42 d) 6,84 e) 6,16
17-Um quadrado de área 3
2
027,0 m² tem, em
metros, um perímetro igual a: a)20/3 b)10/3 c)20/9 d)40/3 e)40/9 18- Numa circunferência de raio 5, uma corda perpendicular a um diâmetro separa esse diâmetro em duas partes, uma das quais mede 2. O comprimento da corda é: a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 5 19- Um retângulo xyzw está dividido em quatro retângulos menores. As áreas de três deles estão na figura a seguir.
Logo, a área do retângulo xyzw é: a) 55 b) 80 c) 86 d) 36 e) 91 20-O triângulo ABC, inscrito numa circunferência,
tem um lado medindo 20
cm, cujo ângulo oposto é
de 15º. O comprimento da circunferência, em cm, é
a) 20 2 ( 1 + 3 ) b) 400( 2+ 3 )
c) 80(1 + 3 ) d) 10( 2 3 +5)
e) 20( 1+ 3 )
21-Sobre uma circunferência de centro O e raio
r=2 3 cm, são marcados dois pontos A e B que
determinam uma corda de 6cm de comprimento. A medida, em radianos, do menor dos ângulos AÔB é
a) 5 /6 b) 2 /3 c) /3 d) /4 e) /6
22- A soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo equilátero aos seus lados é 9. Assim, a medida do lado do triângulo é :
a) 5 3 b)6 3 c)7 3 d)8 3 e)9 3
23-Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1.
Logo, a área da região hachurada é
a) 1-6
+4
3 b) 1-
3 +
2
3 c) 1-
6 -
4
3
d) 1+3
-2
3 e) 1 -
3-
4
3
24-Na figura abaixo, os dois círculos de raios unitários são tangentes aos semi-círculos e aos lados do quadrado. A área desse quadrado é:
a) 42,25 b) 49 c) 56,25 d) 64 e) 72,25. 25-A figura representa uma marca onde os arcos têm centros nos vértices do quadrado de lado igual a 10cm. Se as partes clara e escura devem ter a mesma área, a medida do raio de cada arco deve ser:
considere 5,22
a) 4,50 cm b) 4,40 cm c) 4,25 cm d) 4,15 cm e) 4,00 cm 26-Considere o triângulo de vértices A, B e C, sendo D um ponto do lado AB e E um ponto do lado AC. Se AB = 8cm , AC = 10 cm , AD = 4 cm e AE = 6
50
cm, a razão entre as áreas dos triângulos ADE e ABC é : a) 1/2 b) 3/5 c) 3/8 d) 3/10 e) 3/4 27-A cidade D localiza-se à mesma distância das cidades A e B, e dista 10km da cidade C. Em um mapa rodoviário de escala 1:100.000, a localização das cidades A, B, C e D mostra que A, B e C não estão alinhadas. Nesse mapa, a cidade D está localizada na intersecção entre A) a mediatriz de AB e a circunferência de centro C e raio 10cm. B) a mediatriz de AB e a circunferência de centro C e raio 1cm. C) as circunferências de raio 10cm e centros A, B e C. D) as bissetrizes de CÂB e CˆBA e a circunferência de centro C e raio 10cm. E) as bissetrizes de CÂB e CˆBA e a circunferência de centro C e raio 1cm. 28-Na figura abaixo, os catetos do triângulo retângulo ABC medem 8 cm, sendo N e M pontos médios dos lados AC e AB, respectivamente. A circunferência tangencia os segmentos MB, BC e NM.
Considerando π = 3,1, tem-se que a área da região hachurada, em centímetros quadrados, é igual a a) 11,6 b) 11,8 c) 12,4 d) 24,2 e) 37,6 29-Observe a figura:
Nessa figura, a medida da hipotenusa AB e a do cateto AD do triângulo DBA são 13 e 5, respectivamente; C é o ponto médio de DB; os ângulos em A e em C medem a; e os pontos A, D e E são colineares. A medida do segmento DE é: A) 7,5 B) 9 C) 10 D) 14,4 30- Na figura abaixo, além das medidas dos ângulos indicados, sabe-se que B é ponto médio de AC e
AC = 2 cm A medida de DE, em centímetros, é igual a
a) 1/2 b)1 c) 2 d) 1,5 e) 3
31- Na figura, ABC é um triângulo com AC = 20cm, AB = 15cm e BC = 14cm.
Sendo AQ e BP bissetrizes interiores do triângulo
ABC, o quociente AR
QR é igual a
A) 0,3 B) 0,35 C) 0,4 D) 0,45 E) 0,5 32- O lado de um quadrado inscrito num círculo
mede 212 m; a medida do lado do triângulo
eqüilátero circunscrito, em metros, vale:
a) 320 b) 520 c)24 5
d) 324 e) 40
33-Considere que os ângulos de todos os cantos da figura abaixo são retos e que todos os arcos são arcos de circunferências de raio 2, com centros sobre os pontos em destaque.
A área da região sombreada é igual a a) 4 b) 4 π c) 16 d) 16 π e) 64 34- Se o diâmetro da semicircunferência abaixo mede 5cm AB mede 1cm e o ângulo ABC mede 90º, então a medida de BC é , em cm, igual a
51
a) 1 b) 2 c) 2 d) 2 2 e) 2 3
35- Na figura, ABCD é um paralelogramo cujo lado BC é tangente, no ponto B, à circunferência de diâmetro AD = 6. A área da região assinalada é:
a) 11 b)12 c)9 d) 8 e) 10 36- Na figura, se MB = 18cm e A, B e C são pontos de tangência, o perímetro do triângulo assinalado é, em metros, igual a:
a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38 37-Um polígono regular tem 170 diagonais. A medida de um ângulo interno desse polígono é : a) 160º b) 161º c) 162º d) 165º e) 168º 38-A figura abaixo representa um terreno com a forma de um trapézio isósceles, cujas dimensões indicadas são dadas em metros.
Pretende-se construir uma cerca paralela ao lado AB, de modo a dividir o terreno em duas superfícies de áreas iguais. O comprimento dessa cerca, em metros, deverá ser aproximadamente igual a A) 26 B) 29 C) 33 D) 35 E) 37 39-A figura representa um retângulo subdividido em 4 outros retângulos com as respectivas áreas.
O valor de a é: A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12. 40- Na figura abaixo o ângulo x, em graus pertence ao intervalo
a) ( 0° , 15° ) b) ( 15°, 20°) c) ( 20° , 25°) d) (25°, 30 ° ) 41-O comprimento de uma mesa retangular é o dobro de sua largura. Se a mesa tivesse 45 cm a menos de comprimento e 45 cm a mais de largura, seria quadrada. Assim sendo, a área da mesa é, em m², de A) 1,62 B) 1,45 C) 1,58 D) 1,82 42-A bandeira representada ao lado mede 4m de comprimento por 3m de largura. A faixa escura cobre 50% da superfície da bandeira. A medida x vale:
a) 1,0m b) 1,2m c) 1,4m d) 1,6m e) 1,8m. 43- Em uma residência, há uma área de lazer com uma piscina redonda de 5m de diâmetro. Nessa área há um coqueiro,representado na figura por um ponto Q. Se a distância de Q (coqueiro) ao ponto de tangência T (da piscina) é 6m, a distância d = QP, do coqueiro à piscina, é:
A) 4m B) 4,5m C) 5m D) 5,5E) 6m. 44-Os pontos A e B estão, ambos, localizados na superfície terrestre a 60° de latitude norte; o ponto A está a 15°45' de longitude leste e o ponto B a 56°15' de longitude oeste.
52
a) Dado que o raio da Terra, considerada perfeitamente esférica, mede 6.400 km qual é o raio do paralelo de 60°? b) Qual é a menor distância entre os pontos A e B, medida ao longo do paralelo de 60°? [Use 22/7 como aproximação para π] 45- (VUNESP-06-J) A área do anel entre dois círculos concêntricos é 25πcm². O comprimento da corda do círculo maior, que é tangente ao menor, em centímetros, é
A) 5/ 2 B)5. C)5 2
D) 10 E)10 2
46- As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos diametralmente postos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6370km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente a) 16 horas. b) 20 horas. c) 25 horas. d) 32 horas. e) 36 horas. 47- Três cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada reta; B situa-se entre A e C e a distância de B a C é igual a dois terços da distância de A a B. Um encontro foi marcado por 3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, localizado entre as cidades B e C e à distância de 210 km de A. Sabendo-se que P está 20 km mais próximo de C do que de B, determinar a distância que o morador de B deverá percorrer até o ponto de encontro. 48- (VUNESP-06-J) Na figura, ABCD é um retângulo de base 10cm e altura 6cm. Os pontos E e F dividem o lado CD em três partes iguais. A área do triângulo AEF, em cm² é
A)20/3 B)8 C)10 D) 16 E)20 49-O triângulo MNP é tal que ângulo M = 80° e ângulo P=60°. A medida do ângulo formado pela bissetriz do ângulo interno N com a bissetriz do ângulo externo P é: a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60° 50- Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, de modo que a soma de dois dos ângulos agudos formados vale 72°. Então, qualquer dos ângulos obtusos formados mede: a) 142°. b) 144°. c) 148°. d) 150°. e) 152°.
51- Um triângulo eqüilátero tem o mesmo perímetro que um hexágono regular cujo lado mede 1,5 cm. Calcule: a) O comprimento de cada lado do triângulo. b) A razão entre as áreas do hexágono e do triângulo. 52- Quatro triângulos congruentes são recortados de um retângulo de 11x13. O octógono resultante tem oito lados iguais. O comprimento do lado deste octógono é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 53- Na figura, α = 30°, O é o centro da circunferência e AB é o lado do polígono regular inscrito na circunferência. Se o comprimento da circunferência é 4π, a área desse polígono é:
a) 4 3 b) 6 3 c) 8 3 d) 12 3 e) 16 3
54- Considere três polígonos regulares tais que os números que expressam a quantidade de lados de cada um constituam uma progressão aritmética. Sabe-se que o produto destes três números é igual a 585 e que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 3780°. O número total das diagonais nestes três polígonos é igual a: a) 63 b) 69 c) 90 d) 97 e) 106 55-A figura mostra uma circunferência, de raio 4 e
centro 1C , que tangencia internamente a
circunferência maior, de raio R e centro 2C . Sabe-
se que A e B são pontos da circunferência maior, AB mede 8 e tangencia a circunferência menor em
T, sendo perpendicular à reta que passa por 1C e
2C .
A área da região hachurada é:
53
A) 9π B) 12π C) 15π D) 18π E) 21π. 56- Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos internos consecutivos estão na razão 1 : 3 . O ângulo menor desse paralelogramo mede A) 45° B) 50° C) 55° D) 60° E) 65° 57- De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a: A) 63 B) 65 C) 66 D) 70 E) 77 58-Considere três polígonos regulares tais que os números que expressam a quantidade de lados de cada um constituam uma progressão aritmética. Sabe-se que o produto destes três números é igual a 585 e que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 3780º. O número total das diagonais nestes três polígonos é igual a: A) 63 B) 69 C) 90 D) 97 E) 106 21. (MACK-06-J) Na figura, a circunferência de centro O tem raio 4cm, os pontos C, M e D são de tangência e M é o ponto médio de AB. A área assinalada, em cm², vale
a) 12 b) 18 c) 36 d) 16 e) 24 60- Na circunferência da figura, de centro O, MN = OP. .A razão entre as medidas dos ângulos QÔP e MÔN é:
a)4/3 b) 3/2 c) 3 d) 5/2 e) 4 61- Na figura, a soma das áreas dos três quadrados é 18. A área do quadrado maior é:
a) 9 b) 10 c) 12 d) 6 e) 8 62- Na figura, O é o centro da circunferência. O ângulo APB mede:
a) 120° b) 130° c) 140° d) 150° e) 160° 63- Na figura , os ângulos assinalados são iguais, AC = 2 e AB =6. A medida de AE é:
a)6/5 b)7/4 c) 9/5 d) 3/2 e) 5/4 64- No retângulo da figura, cosα vale:
a) 2 /2 b)1/2 c) 3 /3 d)1/3 e)1/4
65- Num triângulo retângulo de área 15 e hipotenusa 10 a altura relativa à hipotenusa mede: a) 4 b) 3,5 c)2 d) 3 e)4,5 66- Na figura, ABCDE é um pentágono regular, EF é paralelo a AB e BF é paralelo a AE. A medida do ângulo α é:
54
a) 72º b) 54º c) 60º d) 76º e) 36º 67-No triângulo ABC da figura, o lado BC mede 4,5 e o lado do quadrado DEFG mede 3.
A altura do triângulo ABC, em relação ao lado BC, mede: a) 7,5 b) 8,0 c) 8,5 d) 9,0 e) 9,5 68- Na figura, AB= AC e CE= CF. A medida de β é:
a) 90° b) 120° c) 110° d) 130° e) 140° 69- Na figura, a circunferência de centro O tem raio 2 e o triângulo ABC é equilátero. Se PQ//BC , a área assinalada vale:
a) 2
3 b)
3
3 c)
3
32 d)
4
33 e)
3
34
70-(FUVEST-06) Na figura ao lado, a reta s passa pelo ponto P e pelo centro da circunferência de raio R, interceptando-a no ponto Q, entre P e o centro. Além disso, a reta t passa por P, é tangente à circunferência e forma um ângulo α com a reta s. Se PQ = 2R, então cosα vale
a) 2 /6 b) 2 /3 c) 2 /2
d)2 2 /3 e)3 2 /5
71- Se um círculo e um quadrado têm áreas iguais, então a razão entre o comprimento da circunferência do círculo e o perímetro do quadrado é:
a) 2
b) 2
c) 2
d)2π e) π/2
72- Na figura, ABCD é um quadrado inscrito no triângulo EFG. Se a medida de FG é 10, o perímetro do quadrado é:
a) 20 b) 15 c) 18 d) 16 e) 17 73- As bases de um trapézio isósceles medem 7 e 13. Se a altura do trapézio é 4, o seu perímetro é: a) 27 b) 25 c) 20 d) 30 e) 40 74- Se a circunferência de um círculo tiver o seu comprimento aumentado de 100%, a área do círculo ficará aumentada de: a) 300% b) 400% c) 250% d) 100% e) 200%
75- Um quadrado de área 3
2
027,0 m² tem, em
metros, um perímetro igual a: a) 20/3 b)10/3 c) 20/9 d) 40/3 e) 40/9
55
76- No setor circular da figura, α = 60° e M, N e P são pontos de tangência. Se o raio do setor é 12, a área do círculo de centro O é :
a) 18π b) 16π c) 9π d) 4π e) 12π 77- Na figura, se a área do quadrilátero ABCD
é8
33, o perímetro do triângulo eqüilátero ABC é:
a)3 b) 3/2 c) 3/8 d)6 e) 3/4 78- Um veículo percorre uma pista circular de raio 300m, com velocidade constante de 10m/s, durante um minuto. Dentre os valores abaixo, o mais próximo da medida, em graus, do arco percorrido é: a) 90 b) 115 c) 145 d) 75 e) 170 78- Na figura, a diferença entre as áreas dos quadrados ABCD e EFGC é 56. Se BE = 4, a área do triângulo CDE vale:
a) 18,5 b) 20,5 c) 22,5 d) 24,5 e) 26,5
79- Na figura, se AB= 5AD= 5FB, a razão DE
FG
vale:
a) 3 b)4 c)5 d) 5/2 e)7/2 80- Na representação em escala, os quadrados são iguais e cada centímetro representa 100km. Um avião sai da cidade A, faz escala na cidade C, chegando cidade B, conforme a figura. Das alternativas dadas, assinale o valor mais próximo, em km, da distância percorrida pelo avião, de A até B, passando por C.
a) 1000 b)950 c) 150 d) 1400 e) 1250 81- Um terreno retangular tem área igual a 1000m², sendo a largura igual a 2/5 do comprimento. Seu perímetro, em metros, é: a) 192 b) 184 C) 140 d) 196 e) 204 82- Na figura, AH = 4, BC = 10 e DC = 8. A medida de AB é:
a) 4,8 b) 5,2 c) 5,0 d) 4,6 e) 5,4 83- Na figura, ABCD é um quadrado de lado 2 e as curvas são arcos de circunferências com centros em D e em C. A área do triângulo DCE é:
a) 3 b) 3 /2 c)2 3 d) 3 /4 e)4 3
84- Considere um poste perpendicular ao plano do chão. Uma aranha está no chão, a 2m do poste, e começa a se aproximar dele no mesmo instante em que uma formiga começa a subir no poste.A velocidade da aranha é de 16cm por segundo e a da formiga é de 10cm por segundo. Após 5 segundos do início dos movimentos, a menor distância entre a aranha e a formiga é, em metros a) 2,0 b)1,3 c)1,5 d) 2,2 e) 1,8
56
85- Numa circunferência de raio 5, uma corda perpendicular a um diâmetro separa esse diâmetro em duas partes, uma das quais mede 2. O comprimento da corda é: a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 5 86- Na figura, AB é diâmetro da semicircunferência de centro O.
Se AB mede 2, a área assinalada vale: a)π/2 b) π/4 c) π/6 d)π e) π/8
87-Num paralelogramo, a diagonal maior mede 7
e um ângulo interno mede 60°. Se a medida de um lado é o dobro da medida do outro, o perímetro desse paralelogramo é igual a: a) 9 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 88- Na figura, CB é diâmetro, os menores arcos AC e CD medem 60° e a área do quadrilátero ACDB é
3
34 A medida de AB é :
a)3 b)2 c) 2 d) 3 e)3/2
89- Na figura, AB = AC , AD= AE e CDE = 10°. O ângulo α mede:
a) 10° b) 15º c) 20º d) 25º e) 30º 90- Na figura, se r // s, AB = 4, BC = 3, CD = 2 e CF = 5, a área de CDEF é:
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 91- Na figura, as circunferências têm o mesmo centro O e os menores arcos AB e EF são tais que AB = EF = 40º. A medida do menor arco CD é:
a) 50º b) 70º c) 65° d) 60º e) 80º 92- Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e M é ponto médio de AD. Considerando-se x a medida da área do triângulo AEM e y a medida da área do triângulo AEB, é válido afirmar-se que:
a) 2x = y b) x =y c) 3x = y d) 3x = 2y e) 4x = y 93- Na figura abaixo o raio da circunferência maior é o triplo do raio da menor. A reta s é tangente às duas circunferências. A reta t é tangente às duas circunferências, no mesmo ponto. Quanto vale cos
2
a)1/3 b)1/2 c) 2
2 d)
2
3 e)
3
2
57
94- Uma praça possui a forma da figura, onde ABCE é um quadrado, CD = 500m, ED = 400m. Um poste de luz foi fixado em P, entre C e D. Se a distância do ponto A até o poste é a mesma, quando se contorna a praça pelos dois caminhos possíveis, tanto por B como por D, conclui-se que o poste está fixado a
A) 300m do ponto C. B) 300m do ponto D. C) 275m do ponto D. D) 250m do ponto C. E) 175m do ponto C. 95-O número de diagonais de um polígono convexo
de x lados é dado por N(x)= 2
32 xx. Se polígono
possui 9 diagonais, seu número de lados é A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 96-Uma piscina retangular, de 6m de largura por 12m de comprimento, é contornada por uma superfície ladrilhada de 2m de largura, porém tendo os cantos formando triângulos, como mostra a figura.
A área (em m²) dessa região ladrilhada, que está marcada na figura, é A) 72. B)80 C)88 D) 120 e)152 97-A sombra de um prédio, num terreno plano, numa determinada hora do dia, mede 15m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5m mede 3m.
A altura do prédio, em metros, é A) 25 B)29 C)30 D) 45 E)75 98-Uma estação de tratamento de água (ETA) localiza-se a 600m de uma estrada reta. Uma
estação de rádio localiza-se nessa mesma estrada, a 1000m da ETA. Pretende-se construir um restaurante, na estrada, que fique à mesma distância das duas estações. A distância do restaurante a cada uma das estações deverá ser , em metros, de A) 575 B)600 c) 625 D) 700 E) 750 99- Os dois maiores lados de um triângulo retângulo medem 12dm e 13dm. O perímetro desse triângulo é, em dm: a) 36 b) 35 c) 34 d) 33 e) 30 100-As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são, respectivamente, 30 cm e 40 cm. A altura relativa à hipotenusa mede: a) 24 b) 20 c) 31 d) 23 e) 25 101-Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. O co-seno do maior ângulo de T é: a) 5/6. b) 4/5 c) 3/4 d) 2/3 e) 1/8. 102- No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale: a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/5 e) 5/6 103- O menor país do mundo em extensão é o Estado do Vaticano, com uma área de 0,4km². Se o território do Vaticano tivesse a forma de um quadrado, então a medida de seus lados estaria entre: a) 200m e 201m b) 220m e 221m c)401m e 402m d)632m e 633m e)802m e 803m. 104-Um triângulo tem lados 20, 21 e 29. O raio da circunferência a ele circunscrita vale: a) 8 b) 8,5 c) 10 d)12,5 e) 14,5 105-O retângulo ABCD tem área igual a 60cm². Sabendo-se que E é um ponto do lado CD, podemos afirmar que a área do triângulo ABE é: a) 30 b) 40 c) 50 d) 40 e) 50 106- Na figura , a reta r é paralela ao segmento AC , sendo E o ponto de intersecção de r com a reta determinada por D e C. Se as áreas dos triângulos ACE e ADC são 4 e 10, respectivamente, e a área do quadrilátero ABED é 21,então a área do triângulo BCE é:
a) 6 b)7 c)8 d) 9 e)10
58
107- Quantos lados tem um polígono regular com exatamente 35 diagonais ? A) 6 B) C)10 D) 12 E)20 108- Sobre um assoalho com 8 tábuas retangulares idênticas, cada uma com 10cm de largura, inscreve-se uma circunferência, como mostra a figura.
Admitindo que as tábuas estejam perfeitamente encostadas umas nas outras, a área do retângulo ABCD inscrito na circunferência, em cm², é igual a
A)1600 3 B)1200 3 C)800 3
D)1400 2 E)800 2
109- Um programa de rádio é gerado em uma cidade plana, a partir de uma central C localizada 40km a leste e 20km a norte da antena de transmissão T. C envia o sinal de rádio para T, que em seguida o transmite em todas as direções, a uma distância máxima de 60km. O ponto mais a leste de C, que está 20km a norte de T e poderá receber o sinal da rádio, está a uma distância de C, em km, igual a
A) 20( 2 -1) B)30 13 C)40( 2 -1)
D)40 13 E)50 22
110- Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo a é:
a) 32º b) 34º c) 36º d) 38º e) 40º 111-Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircunferência de raio 2. Então a área da região hachurada é:
a)π/2+2 b) π+ 2 c) π + 3 d) π + 4 e) 2π + 1 112-Na figura, ABC é um triângulo retângulo de catetos AB = 4 e AC = 5. O segmento DE é paralelo a AB , F é um ponto de AB e o segmento CF intercepta DE no ponto G, com CG = 4 e GF = 2. Assim, a área do triângulo CDE é:
a) 16/3 b) 35/6 c) 39/8 d) 40/9 e) 70/9 113-Na figura abaixo, ABC é um triângulo isósceles e retângulo em A e PQRS é um quadrado de lado
3
22. Então, a medida do lado AB é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
114-Na figura seguinte, E é o ponto de intersecção das diagonais do quadrilátero ABCD e q é o ângulo agudo BEC. Se EA = 1, EB = 4, EC = 3 e ED = 2, então a área do quadrilátero ABCD será:
a) 12sen b) 8sen c) 6sen d) 10cos e)
8cos
59
115-(FUVEST-07) A figura representa um retângulo ABCD, com AB = 5 e AD = 3. O ponto E está no segmento CD de maneira que CE = 1, e F é o ponto de interseção da diagonal ACcom o segmento BE. Então a área do triângulo BCF vale
a) 6/5 b)5/4 c) 4/3 d) 7/5 e) 3/2 116-(MACK-06-J) No triângulo abaixo, temos AB = BC e CD = AC. Se x e y são as medidas em graus dos ângulos A e B , respectivamente, então x + y é igual a
a) 120° b) 110° c) 115° d) 95° e) 105° 117-(IBMEC-06-J) Em um triângulo ABC, AB = 1cm,
BC= 3 cm e o ângulo C mede 30°. Se P é o
perímetro do triângulo ABC, em centímetros, então: a) P < 3,0. d) 4,0 <P <5,5. b) 3,0 <P <4,0. e) P <4,5. c) 3,5 <P <5,0. 118-(UNIFESP-07) Em um triângulo com lados de comprimentos a, b, c, tem-se (a + b + c)(a + b – c) = 3ab. A medida do ângulo oposto ao lado de comprimento c é A) 30° B) 45º C) 60º D) 90° E) 120º 119-(FUVEST-08) No retângulo ABCD da figura
tem-se CD = e AD = 2 . Além disso, o ponto E
pertence à diagonal BD , o ponto F pertence ao lado BC e EFé perpendicular a BD. Sabendo que a área do retângulo ABCD é cinco vezes a área do triângulo BEF, então BF mede
a) 2 /8 b) 2 /4 c) 2 /2
d) 3 2 /4 e) 2
120-(FUVEST-07) Uma fazenda estende-se por dois municípios A e B. A parte da fazenda que está em A ocupa 8% da área desse município. A parte da fazenda que está em B ocupa 1% da área desse município. Sabendo-se que a área do município B é dez vezes a área do município A, a razão entre a área da parte da fazenda que está em A e a área total da fazenda é igual a a)2/9 b)3/9 c)4/9 d)5/9 e)7/9 121-(FUVEST-07) Na figura, OAB é um setor circular com centro em O, ABCD é um retângulo e o segmento CD é tangente em X ao arco de extremos
A e B do setor circular. Se AB= 32 e AD=1então a
área do setor OAB é igual a
a) /3 b)2 /3 c) 4 /3 d)5 /3 e)7 /3 122-(UNIFESP-08) Você tem dois pedaços de arame de mesmo comprimento e pequena espessura. Um deles você usa para formar o círculo da figura I, e o outro você corta em 3 partes iguais para formar os três círculos da figura II.
Se S é a área do círculo maior e s é a área de um dos círculos menores, a relação entre S e s é dada por A) S = 3s. B) S = 4s. C) S = 6s. D) S = 8s. E) S = 9s 123-(UNIFESP-08) Tem-se um triângulo eqüilátero em que cada lado mede 6cm. O raio do círculo circunscrito a esse triângulo, em centímetros, mede
a) 3 b)2 3 c)4 d) 23 e) 3 3
124-(UNIFESP-08) A soma de n – 1 ângulos internos de um polígono convexo de n lados é 1900º. O ângulo remanescente mede A) 120°. B) 105°. C) 95°. D) 80°. E) 60°.
60
125-(UNIFESP-08) Na figura, o ângulo C é reto, D é ponto médio de AB, DE é perpendicular a AB, AB = 20cm e AC = 12cm
A área do quadrilátero ADEC, em cm², é A) 96. B) 75. C) 58,5. D) 48. E) 37,5. 126-(UNIFESP-07) De um cartão retangular de base 14cm e altura 12cm, deseja-se recortar um quadrado de lado x e um trapézio isósceles, conforme a figura, onde a parte hachurada será retirada
O valor de x em centímetros, para que a área total removida seja mínima, é A) 3 B)2. C)1,5. D)1. E)0,5. 127-(UNIFESP-07) A figura mostra duas roldanas circulares ligadas por uma correia. A roldana maior, com raio 12cm, gira fazendo 100 rotações por minuto, e a função da correia é fazer a roldana menor girar. Admita que a correia não escorregue
Para que a roldana menor faça 150 rotações por minuto, o seu raio, em centímetros, deve ser A) 8 B)7 C) 6. D) 5. E) 4. 128-(UNIFESP-07) Dois triângulos congruentes ABC e ABD, de ângulos 30°, 60° e 90°, estão colocados como mostra a figura, com as hipotenusas AB coincidentes. Se AB = 12cm, a área
comum aos dois triângulos, em centímetros quadrados, é igual a
a)6 b)4 3 c)6 3 d)12 e)12 3
129-(UNIFESP-07) Se um arco de 60º num círculo I tem o mesmo comprimento de um arco de 40º num círculo II, então, a razão da área do círculo I pela área do círculo II é a)2/9 b)4/9 c)2/3 d)3/2 e)9/4 130-(UNIFESP-07) A figura mostra um arco parabólico ACB de altura CM = 16cm, sobre uma base AB de 40cm. M é o ponto médio de AB.
A altura do arco em centímetros, em um ponto da base que dista 5cm de M, é A) 15. B) 14 C) 13 D) 12. E) 10. 131-(VUNESP-08) Uma certa propriedade rural tem o formato de um trapézio como na figura. As bases WZ e XY do trapézio medem 9,4km e 5,7km, respectivamente, e o lado YZ margeia um rio.
Se o ângulo XYZ é o dobro do ângulo X W Z, a medida, em km, do lado YZ que fica à margem do rio é: A) 7,5. B) 5,7 C) 4,7 D) 4,3. . E) 3,7
61
132-(VUNESP-07) A figura representa um triângulo retângulo de vértices A, B e C, onde o segmento de reta DE é paralelo ao lado AB do triângulo.
. Se AB = 15cm, AC = 20cm e AD = 8cm, a área do trapézio ABED, em cm², é A) 84. B) 96 C) 120. D) 150. E) 192. 133-(PUC) Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico, supostamente plano: X, à velocidade constante de 16 milhas por hora, e Y à velocidade constante de 12 milhas por hora. Sabe-se que às 15 horas de certo dia Y estava exatamente 72 milhas ao sul de X e que, a partir de então, Y navegou em linha reta para o leste, enquanto que X navegou em linha reta para o sul, cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições, às 17 horas e 15 minutos do mesmo dia, a distância entre X e Y, em milhas, era a) 45 b) 48 c) 50 d) 55 e) 58 134-(UFSCAR) A figura representa três semicírculos, mutuamente tangentes dois a dois, de diâmetros AD , AC e CD. Sendo CB perpendicular a AD, e sabendo-se que AB = 4cm e DB = 3cm, a medida da área da região sombreada na figura, em cm², é igual a
A) 1,21 B) 1,25 C) 1,36 D) 1,44 E) 1,69 135-(ITA-08) Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, BÂC, mede 40°. Sobre o lado AB, tome o ponto E tal que ACE = 15°. Sobre o lado AC , tome o ponto D tal que DBC =35°. Então, o ângulo EDB vale A) 35° B) 45° C) 55° D) 75°E) 85° 136-(MACK-08) Alguns filmes em DVD apresentam imagens, cuja razão entre largura e altura é 16/9.
Para esses filmes serem exibidos sem distorções, em uma TV tradicional de tela plana, cuja razão entre largura e altura é 4/3, surgem faixas pretas na horizontal. A área ocupada pelas faixas pretas, em relação à área total da tela dessa TV, é a) 20% b) 23% c) 25% d) 28% e) 30% 137-(MACK-08) Na figura ao lado, a circunferência de raio 6 é tangente às retas r e s nos pontos P e Q.
A área da região sombreada é
a) 8 2 b)6 2 +2 c) 3 d) 8 3 -4 e) 4 3 +4
138-(ESPM) Os retângulos ABCD e AEFG são congruentes e seus perímetros medem 18cm. O maior valor que a área sombreada pode ter é: (em cm²)
a) 18 b) 30 c) 24 d) 27 e) 36 139-(ESPM-07-J) Os triângulos ABC e BCD da figura abaixo são retângulos. A área do triângulo BCE, em centímetros quadrados, é igual a:
a) 12,5 b) 15 c) 20 d) 17, e) 10
62
140-(ESPM-07) No triângulo ABC abaixo, os segmentos x, y, z e w possuem medidas inteiras de centímetros e são todos distintos entre si. A área desse triângulo, em cm², vale:
a) 64 b) 48 c) 92 d) 84 e) 108 141-(ESPM-07) Na figura abaixo, cada quadrícula
tem área igual a 1
m². A corda AB é tangente à
circunferência interna da coroa circular de centro O. A área dessa coroa vale:
a) 11m² b)7m² c)10m² d) 8m² e) 9m² 142-(IBMEC-08) Os triângulos da figura abaixo são equiláteros, todos os quadriláteros apresentados são quadrados e o polígono do meio é um hexágono regular. A razão entre a soma das áreas das regiões sombreadas e a soma das áreas das regiões em branco é igual a
a) 3 /4 b) 3 /2 c) 3 d)2 3 e)4 3
143-(IBMEC-08) Na figura abaixo: • os segmentos AF e BF são congruentes;
• a soma das medidas dos ângulos BCE, AD E e CED totaliza 130º.
Nessas condições, o ângulo DAB mede a) 25º b) 30º c) 35º d) 40º e) 45º 144-(IBMEC-08) No triângulo ADE da figura, em que B e C são pontos dos lados AD e AE, respectivamente, AB = AC, BC = BD e CD = CE.
Então, a) x = 48º. b) x = 50º c) x = 52º. d) x = 54º e) x = 56º 145-(IBMEC-08) Na figura ao lado, ABCDEF é um hexágono regular de lado 4cm, PA = PB e PD = PE. Se a área do triângulo ABP é o triplo da área do triângulo PDE, então a distância entre os pontos P e E, em cm, vale
a) 7 b) 6 c) 5 d) 3 e) 2
146-(UNICAMP-08) Uma ponte levadiça, com 50 metros de comprimento, estende-se sobre um rio. Para dar passagem a algumas embarcações, pode-se abrir a ponte a partir de seu centro, criando um vão AB, conforme mostra a figura abaixo. Considerando que os pontos A e B têm alturas iguais, não importando a posição da ponte, responda às questões abaixo
63
a) Se o tempo gasto para girar a ponte em 1° equivale a 30 segundos, qual será o tempo necessário para elevar os pontos A e B a uma altura de 12,5m, com relação à posição destes quando a ponte está abaixada? b) Se α = 75º, quanto mede AB?
147. (FUVEST 2012) O segmento AB é lado de um
hexágono regular de área 3 . O ponto P pertence à
mediatriz de AB de tal modo que a área do triângulo
PAB vale 2 . Então, a distância de P ao segmento AB é igual a
a) 2 b) 2 2 c) 3 2 d) 3 e) 2 3 148-(UNICAMP-07) Em um triângulo com vértices A, B e C, inscrevemos um círculo de raio r. Sabe-se que o ângulo  tem 90º e que o círculo inscrito tangencia o lado BC no ponto P, dividindo esse lado em dois trechos com comprimentos PB = 10 e PC = 3. a) Determine r. b) Determine AB e AC . c) Determine a área da região que é, ao mesmo tempo, interna ao triângulo e externa ao círculo 149-(GV-08-ADM) Num triângulo retângulo, a medida da hipotenusa é o triplo da medida de um dos catetos. A razão entre a medida da hipotenusa e a medida do outro cateto é igual a:
a) 3
2 23
b) 4
23 c) 2
3
2.3
d) 12
2 e)9
150-(GV-08-ECON) Dado um pentágono regular ABCDE, constrói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e E, respectivamente. A medida do menor arco BE na circunferência construída é
A) 72º B)108º C)120º D)135º E) 144º 151-(GV-08-ECON) Em relação a um quadrilátero ABCD, sabe-se que med(BAD) = 120º, med(ABC) = med(AD C) = 90º, AB = 13 e AD = 46. A medida do segmento ACé A) 60 B) 62 C) 64 D) 65 E) 72 152-(GV-08-ECON) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o lado BC foi prolongado, como mostra a figura, até o ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao triângulo PCA.
O comprimento do segmento PC é A) 7. B) 8 C) 9. D) 10. E) 11. 153-(UNIFESP-09) O hexágono cujo interior aparece destacado em cinza na figura regular e origina-se da sobreposição de dois triângulos equiláteros.
Se k é a área do hexágono, a soma das áreas desses dois triângulos é igual a: a) k. b) 2k. c) 3k. d) 4k. e) 5k. 154-(UEL-09) Um losango com lado 20 cm e um ângulo de 30° tem área de ( em cm²) : a) 57 b) 87 c) 200 d) 346 e) 400
64
155-(UNICAMP-09) A figura mostra um sapo de origami, a arte japonesa das dobraduras de papel. A figura à direita mostra o diagrama usado para a confecção do sapo, na qual se utiliza um retângulo de papel com arestas iguais a c e 2c. As linhas representam as dobras que devem ser feitas. As partes destacadas correspondem à parte superior e à pata direita do sapo, e são objeto das perguntas a
. a) Quais devem ser as dimensões, em centímetros, do retângulo de papel usado para confeccionar um sapo cuja parte superior tem área igual a 12cm²? b) Qual a razão entre os comprimentos das arestas a e b da pata direita do sapo? 156-(ITA-09) Do triângulo de vértices A, B e C, inscrito em uma circunferência de raio R = 2cm, sabe-se que o lado BC mede 2cm e o ângulo interno ABC mede 30º. Então, o raio da circunferência inscrita neste triângulo tem o comprimento, em cm, igual a
a) 32 b) 1/3 c) 4
2
d) 332 e)0,5
157-(FUVEST-09) Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a ela.
Além disso, (1) A, B, C e A, O, D são colineares; (2) AB = OB; (3) CÔD mede α radianos. Nessas condições, a medida de ABO, em radianos, é igual a
a) - /4 b) - /2 c) -2 /3
d) ´3 /4 e) -3 /2
158-(FUVEST-09) A figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a
a) 3 3 b)2 3 c)3 3 /2 d) 3 e) 3 /2
159-(VUNESP-09) Paulo e Marta estão brincando de jogar dardos. O alvo é um disco circular de centro O. Paulo joga um dardo, que atinge o alvo num ponto, que vamos denotar por P; em seguida, Marta joga outro dardo, que atinge um ponto denotado por M, conforme figura.
Sabendo-se que a distância do ponto P ao centro O do alvo é PO= 10cm, que a distância de P a M é PM= 14cm e que o ângulo PÔM mede 120°, a distância, em centímetros, do ponto M ao centro O é A) 12. B) 9. C) 8. D) 6. E) 5 160-(FUVEST-10) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB , o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC , de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, então a área do paralelogramo DECF vale
A) 63/25 B)12/5 C) 58/25 D)56/25 E)11/5
65
161-(FUVEST-10) A figura representa um quadrado ABCD de lado 1. O ponto F está em BC, BF mede
4
5, o ponto E está em CD e AF é bissetriz do
ângulo BÂE. Nessas condições, o segmento DE mede
A) 40
53 B)
40
57 C)
40
59
D) 40
511 E)
40
513
162-(UNICAMP-10) O papagaio (também conhecido como pipa, pandorga ou arraia) é um brinquedo muito comum no Brasil. Afigura abaixo mostra as dimensões de um papagaio simples, confeccionado com uma folha de papel que tem o formato do quadrilátero ABCD, duas varetas de bambu (indicadas em cinza) e um pedaço de linha. Uma das varetas é reta e liga os vértices A e C da folha de papel. A outra, que liga os vértices B e D, tem o formato de um arco de circunferência e tangencia as arestas AB e AD nos pontos B e D, respectivamente.
a) Calcule a área do quadrilátero de papel que forma o papagaio. b) Calcule o comprimento da vareta de bambu que liga os pontos B e D.
163. (col.naval 2011) ABC é um triângulo equilátero. Seja P um ponto do plano de ABC e exterior ao triângulo de tal forma que PB intersecta AC em Q (Q está entre A e C). Sabendo que o
ângulo ˆAPB é igual a 60º, que PA 6 e PC 8, a
medida de PQ será
a) 24
7 b)
23
5 c)
19
6 d)
33
14 e)
11
4
164. ( cftmg 2011) Referindo-se às afirmações seguintes, assinale (V) para as verdadeiras e, (F) para as falsas. ( ) Dois triângulos semelhantes são sempre congruentes. ( ) Dois triângulos equiláteros são sempre semelhantes. ( ) Dois triângulos retângulos são sempre semelhantes. ( ) Dois triângulos retângulos isósceles são sempre congruentes. A sequencia correta encontrada é a) V, V, V, F. b) F, V, F, F. c) F, V, F, V. d) F, F, F, V. 165- ( cftmg 2011) No loteamento Recanto Verde, um professor comprou uma chácara, cujo terreno
tem forma retangular e dimensões 40m 90m . Ele
pretende cercar essa área com estacas de cimento
distanciadas de 2,5muma da outra. O número de
estacas necessário para cercar todo esse terreno é a) 102 b) 103 c) 104 d) 108
166-(Espm 2011) Uma parede retangular cujo comprimento mede o dobro da altura, foi revestida com azulejos quadrados, inteiros e de mesmo tamanho, sendo que, em todo o contorno externo, foi feita uma faixa decorativa com 68 peças mais escuras, como na figura exemplo abaixo.
O número de azulejos mais claros usados no interior da parede foi de: a) 260 b) 246 c) 268 d) 312 e) 220 167- (Ufpr 2011) Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura ao lado. Os suportes nas extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura.
66
A altura do suporte em B é, então, de: a) 4,2 metros. b) 4,5 metros. c) 5 metros. d) 5,2 metros. e) 5,5 metros. 168-(Eewb 2011) Na figura, ANM é um triângulo e
ABCD é um quadrado. Calcule a área do quadrado:
AM = 4 cm NA = 6 cm
a) 2,4 cm b) 2,0 cm c) 1,6 cm d) 1,4 cm 169. (Ita 2011) Seja ABC um triângulo retângulo
cujos catetos AB e BC medem 8 cm e 6 cm,
respectivamente. Se D e um ponto sobre AB e o triângulo ADC e isósceles, a medida do segmento
AD , em cm, é igual a
a) 3
4 b)
15
6 c)
15
4 d)
25
4 e)
25
2
170-(col.naval 2011) ABCD é um quadrado de lado L. Sejam K a semicircunferencia, traçada internamente ao quadrado, com diâmetro CD, e T a semicircunferencia tangente ao lado AB em A e tangente à K. Nessas condições, o raio da semicircunferencia T será
a) 5L
6 b)
4L
5 c)
2L
3 d)
3L
5 e)
L
3
171-(Eewb 2011) Uma pessoa caminhou 5 km para
o norte, 5 km para o leste e 7 km para o norte,
novamente. A que distância ela está do seu ponto
de partida?
a) 5 km b) 13 km c) 20 km d) 27 km 172-(Unicamp 2011) Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma escada na parede de sua casa, de forma que o topo da escada ficou a uma altura de 4 m. Enquanto Roberto subia os degraus, a base da escada escorregou por 1 m, tocando o muro paralelo à parede, conforme ilustração abaixo.
Refeito do susto, Roberto reparou que, após deslizar, a escada passou a fazer um ângulo de 45º com o piso horizontal. A distância entre a parede da casa e o muro equivale a
a) 4 3 + 1 metros. b) 3 2 −1 metros.
c) 4 3 metros. d) 3 2 −2 metros.
173-( ifsp 2011) Na figura, a reta t é tangente, no ponto P, ao círculo de centro O. A medida do arco
é 100º e a do arco é 194º. O valor de x, em graus, é
a) 53. b) 57. c) 61. d) 64. e) 66. 174-(col.naval 2011) Em um triângulo acutângulo não equilátero, os três pontos notáveis (ortocentro, circuncentro e baricentro) estão alinhados. Dado que a distância entre o ortocentro e o circuncentro é 'k', pode-se concluir que a distância entre o circuncentro e o baricentro será
a) 5k
2 b)
4k
3 c)
4k
5 d)
k
2 e)
k
3
175-(Ufpel 2011) A área, em cm
2, de um hexágono
regular de 3 cm de lado, está no intervalo a) [10,15] b) [15,20] c) [20,25] d) [25,30] 176- (col.naval 2011) Tem-se o quadrado de vértices ABCD com lados medindo ‘k' cm. Sobre AB
marca-se M, de modo que BM
AM3
. Sendo N o
simétrico de B em relação ao lado CD, verifica-se que MN corta a diagonal AC em P. Em relação à área ABCD, a área do triângulo PBC equivale a: a) 18% b) 24% c) 27% d) 30% e) 36%
67
177- (Ufpr 2011) O retângulo ABCD foi dividido em nove quadrados, como ilustra a figura ao lado. Se a área do quadrado preto é 81 unidades e a do quadrado cinza 64 unidades, a área do retângulo ABCD será de:
a) 860 unidades. b) 990 unidades. c) 1024 unidades. d) 1056 unidades. e) 1281 unidades. 178- (Insper 2011) Na figura, em que as retas r e
s são paralelas, A é um ponto que dista 1 de r e
2 de s. Dada uma medida , em graus, tal que
0 90, tomam-se os pontos B e P sobre r e
C e Q sobre s tais que ˆˆm(ABP) m(ACQ) .
Nessas condições, a área do triângulo ABC é :
a) tg . b) 2tg . c) tg cotg .
d) cotg . e) 2cotg .
179. (Fuvest 2011) Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC são quadrados. A área do polígono DEFGHI vale
a) 1 3 b) 2 3 c) 3 3
d) 3 2 3 e) 3 3 3
180. (Ita 2011) Sejam ABCD um quadrado e E um
ponto sobre AB . Considere as áreas do quadrado ABCD, do trapézio BEDC e do triângulo ADE. Sabendo que estas áreas definem, na ordem em que estão apresentadas, uma progressão aritmética
cuja soma é 200 cm2, a medida do segmento AE ,
em cm, é igual a
a) 10
3 b) 5 c)
20
3 d)
25
3 e) 10
181. (Uel 2011) As quadras de tênis para jogos de simples e de duplas são retangulares e de mesmo comprimento, mas a largura da quadra de duplas é 34% maior do que a largura da quadra de simples.
Considerando que a área da quadra de duplas é 66,64 m
2 maior, a área da quadra de simples é:
a) 89,00 m2 b) 106,64 m
2 c) 168,00 m
2
d) 196,00 m2 e) 226,58 m
2
182- (Ita 2011) Um triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5 cm. Sabe-se ainda
que ABé o diâmetro, BC mede 6 cm e a bissetriz
do ângulo intercepta a circunferência no ponto D. Se e a soma das áreas dos triângulos ABC e
ABD e é a área comum aos dois, o valor de
– 2 , em cm2, é igual a
a) 14. b) 15. c) 16. d) 17. e) 18. 183- (Cpcar) 2011) A figura abaixo representa o logotipo que será estampado em 450 camisetas de uma Olimpíada de Matemática realizada entre os alunos do “Colégio Alfa”. Essa figura é formada por um círculo de centro O inscrito num triângulo
isósceles cuja base BC mede 24 cm e altura relativa
a esse lado mede 16 cm O círculo será pintado com tinta cinza e sabe-se que é necessário, exatamente, 1 pote de tinta cinza para
pintar 25400 cm .
68
Adote 3π
Com base nesses dados, é correto afirmar que o número de potes necessários para pintar o círculo em todas as camisetas é igual a a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 184-(Uel 2011) Observe a figura a seguir.
Com base nessa figura, é correto afirmar: a) A área de ataque da quadra é 50% da área de
defesa. b) As áreas de defesa somam 1/4 da área total da
quadra. c) A área da quadra é 176 m
2.
d) A razão entre a área de ataque e a área de defesa é de 2 para 3.
e) A diagonal da quadra mede 27 m. 185- (cftmg 2011) A figura abaixo representa o vitral de uma janela quadrada ABCD de área S, em que cada lado esta dividido em três segmentos congruentes. Retirando-se os quatro triângulos sombreados, obtém-se um octógono, cuja área é
a) 7
S9
b) 5
S8
c) 3
S4
d) 2
S3
186-(ifsp 2011) A figura representa dois semicírculos com o diâmetro em dois lados consecutivos de um quadrado. Sabendo-se que a
diagonal do quadrado mede 3 8 cm , a área da
figura, em centímetros quadrados, é igual a
Adote 3
a) 72. b) 63. c) 54. d) 45. e) 30. 187-(Uel 2011) Sabendo-se que o terreno de um sítio é composto de um setor circular, de uma região retangular e de outra triangular, com as medidas indicadas na figura ao lado, qual a área aproximada do terreno?
a) 238,28 km
b) 245,33 km
c) 256,37 km d)
258,78 km
e) 260,35 km
69
188-(Uftm 2011) O quadrilátero ABCD foi dividido em duas regiões, P e Q, conforme mostra a figura, sendo que a região P, com a forma de um triângulo
equilátero, ficou com área igual a 29 3 km .
A razão entre as áreas das regiões Q e P, nessa ordem, é
a) 1
.9
b) 1
.6
c) 1
.4
d) 1
.3
e) 1
.2
189- (Ufrs 2011) As figuras abaixo apresentam uma decomposição de um triângulo equilátero em peças que, convenientemente justapostas, formam um quadrado.
O lado do triângulo mede 2 cm, então, o lado do quadrado mede, em centímetros,
a) 3
3. b)
3
2. c) 4 3 . d) 3 3 . e) 3 .
190-(Ufu 2011) Uma indústria de embalagens fabrica, em sua linha de produção, discos de papelão circulares conforme indicado na figura abaixo. Os discos são produzidos a partir de uma folha quadrada de lado L cm. Preocupados com o desgaste indireto produzido na natureza pelo desperdício de papel, a indústria estima que a área do papelão não aproveitado, em cada folha
utilizada, é de 2100 25 cm .
Com base nas informações acima, é correto afirmar
que o valor de L é:
a) primo b) divisível por 3 c) ímpar d) divisível por 5 191-(cftmg 2011) Um parque ecológico com formato circular, cujo diâmetro AC mede 500 metros, tem 3 entradas M, N e P que dão acesso ao espaço triangular ABC, reservado ao plantio de
árvores, conforme figura abaixo. Considere 3π
Se o lado BC do triângulo mede 300 m, então, a área do parque, externa ao espaço plantado,
em2m , é igual a
a) 93.700 b) 127.500 c) 147.500 d) 153.750 192- (Uel 2011) Determine a área da região hachurada, que é a região delimitada por um hexágono regular obtida pela intersecção das regiões delimitadas por dois triângulos equiláteros
inscritos na circunferência cuja área é de 23 cmπ .
Assinale a alternativa correta.
a) 23 3cm
2 b) 23 3 cm c) 22 6 cm
d) 24 3cm
2 e) 22 6 cm
70
193-(Uftm 2011) Se a folha retangular ABCD for dividida conforme indicado na figura 1, obter-se-ão 6 quadrados (Q) congruentes. Entretanto, se a mesma for dividida conforme indicado na figura 2, obter-se-ão 6 retângulos (R) congruentes.
Sabendo-se que o semiperímetro de cada retângulo R mede 65 cm, então a área da folha ABCD é igual a
a) 20,54 m . b)
20,64 m . c) 20,72 m .
d) 20,81 m . e)
21,08 m .
194-(Afa-2011) As circunferências 1λ e 2λ da
figura abaixo são tangentes interiores e a distância
entre os centros 1C e 2C
Se a área sombreada é igual à área não sombreada
na figura, é correto afirmar que o raio de 2λ , em
cm, é um número do intervalo.
a) 11
2,5
b) 11 23
,5 10
c) 23 5
,10 2
d) 5 13
,2 5
195- (Fuvest 2011) Poema ZEN, Pedro Xisto, 1966.
Diagrama referente ao poema ZEN.
Observe as figuras acima e assinale a alternativa correta. a) O equilíbrio e a harmonia do poema ZEN são elementos típicos da produção poética brasileira da década de 1960. O perímetro do triângulo ABF, por exemplo, é igual ao perímetro do retângulo BCJI. b) O equilíbrio e a harmonia do poema ZEN podem ser observados tanto no conteúdo semântico da palavra por ele formada quanto na simetria de suas formas geométricas. Por exemplo, as áreas do triângulo ABF e do retângulo BCJI são iguais. c) O poema ZEN pode ser considerado concreto por apresentar proporções geométricas em sua composição. O perímetro do triângulo ABF, por exemplo, é igual ao perímetro do retângulo BCGF. d) O concretismo poético pode utilizar proporções geométricas em suas composições. No poema ZEN, por exemplo, a razão entre os perímetros do trapézio ADGF e do retângulo ADHE é menor que 7/10. e) Augusto dos Anjos e Manuel Bandeira são representantes do concretismo poético, que utiliza proporções geométricas em suas composições. No poema ZEN, por exemplo, a razão entre as áreas do triângulo DHG e do retângulo ADHE é 1/6. 196-(Ifsp 2011) A figura representa • duas circunferкncias, de centros B e D, tangentes no ponto C;
• os segmentos HB e FD , que sгo raios das circunferкncias dadas, com HB = 6 cm e FD = 4
cm, sгo perpendiculares aos diвmetros AC e CE ,
respectivamente;
• as semirretas AH e EF que se interceptam no ponto G; • os pontos A, C e E alinhados.
71
Nessas condiзхes, o perнmetro do triвngulo AEG, em centнmetros, й aproximadamente a) 36,8. b) 40,0. c) 48,2. d) 52,4. e) 56,1. 197- (Eewb 2011) Um ciclista deu 100 voltas em
uma pista que tinha a forma de um hexágono
regular. Cada lado do hexágono media 15 m.
Quantos quilômetros ele percorreu?
a) 9 b) 90 c) 900 d) 9000 198-(Espm 2011) Os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um polígono regular com 20 diagonais, cujo lado mede 1. O comprimento do segmento AD é igual a:
a) 2 b) 1 2 c) 2 2 1
d) 2 2 1 e) 2 2
199-(Uftm 2011) O maior relógio de torre de toda a Europa é o da Igreja St. Peter, na cidade de Zurique, Suíça, que foi construído durante uma reforma do local, em 1970. O mostrador desse relógio tem formato circular, e o seu ponteiro dos minutos mede 4,35 m.
Considerando 3,1, a distância que a extremidade
desse ponteiro percorre durante 20 minutos é, aproximadamente, a) 10 m. b) 9 m. c) 8 m. d) 7 m. e) 6 m. 200-(Epcar (Afa) 2011) Na figura abaixo, têm-se
quatro círculos congruentes de centros 1O , 2O ,
3O e 4O e de raio igual a 10 cm. Os pontos M, N,
P, Q são pontos de tangência entre os círculos e A, B, C, D, E, F, G, H são pontos de tangência entre os círculos e a correia que os contorna.
Sabendo-se que essa correia é inextensível, seu perímetro, em cm, é igual a
a) 2 40π b) 5 16π
c) 20 4π d) 5 8π
201-(Uel 2011) Uma pista de corrida de 400 m é constituída por trechos retos e semicirculares, conforme a figura a seguir: Suponha que dois atletas, nas curvas, sempre se mantenham na parte mais interna de suas raias, de modo a percorrerem a menor distância nas curvas, e que a distância medida a partir da parte interna da raia 1 até a parte interna da raia 8 seja de 8 m. Para que ambos percorram 400 m, quantos metros o atleta da raia mais externa deve partir à frente do atleta da raia mais interna? Dado:π = 3, 14
a) 10,00 m b) 25,12 m c) 32,46 m d) 50,24 m e) 100,48 m 202-(Uerj 2011) Um ciclista pedala uma bicicleta em trajetória circular de modo que as direções dos deslocamentos das rodas mantêm sempre um ângulo de 60º. O diâmetro da roda traseira dessa bicicleta é igual à metade do diâmetro de sua roda dianteira. O esquema a seguir mostra a bicicleta vista de cima em um dado instante do percurso.
Admita que, para uma volta completa da bicicleta, N1 é o número de voltas dadas pela roda traseira e N2 o número de voltas dadas pela roda dianteira em torno de seus respectivos eixos de rotação.
A razão 1
2
N
N é igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 203-(Unesp 2011) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e
72
marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia
que os ângulos BÂC e valem 30°, e o vale 105°, como mostra a figura:
a) 12,5. b) 12,5 2 . c) 25,0.
d) 25,0 2 . e) 35,0.
204-( cftmg 2011) Um grupo de escoteiros pretende escalar uma montanha ate o topo, representado na figura abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40° do acampamento B e de 60° do acampamento A.
Dado: sen 20º 0,342
Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e realizado segundo um angulo de 30° em relação a base da montanha, então, a distância entre B e D, em m, e de, aproximadamente, a) 190. b) 234. c) 260. d) 320. 205-(Ufsm 2011) A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana.
A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o
ângulo A mede 45° e o ânguloC mede 75°. Uma
maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é
a) 8 6
3 b) 4 6 c) 8 2 3
d) 8( 2 3) e) 2 6
3
206-(Fuvest 2011) No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto
médio de AB , N é o ponto médio de BC e
14MN4
.Então, DM é igual a
a) 2
4 b)
2
2 c) 2 d)
3 2
2 e)
5 2
2
207-(epcar (Cpcar) 2011) Considere o octógono regular ABCDEFG inscrito numa circunferência λ de
raio R. Se esse mesmo octógono circunscreve uma circunferência α de raio r, então a razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências
λ e α é, nessa ordem, igual a
a) 2 2 b) 2 2 2
c) 2 2 2 d) 2 2
73
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: Os dois triângulos da figura são congruentes, ambos isósceles com base e altura medindo 1.
O triângulo da esquerda foi dividido em três partes de áreas iguais por duas retas paralelas à sua base e o da direita foi dividido em três partes de áreas iguais por duas retas perpendiculares à sua base. 208-(Insper 2011) A distância entre as duas retas paralelas tracejadas no triângulo da esquerda é igual a
a) 3 1
.3
b) 3 2
.3
c) 6 1
.3
d) 6 3
.3
e) 6 3
.3
209- (Insper 2011) A distância entre as duas retas perpendiculares à base no triângulo da direita é igual a
a) 3 2
.6
b) 3 2
.6
c) 3 3
.3
d) 6 6
.6
e) 3 6
.3
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: O mosaico da figura é formado por losangos congruentes entre si e por pentágonos regulares.
A razão entre as áreas de um pentágono e um losango, nessa ordem, é igual a R.
210-(Insper 2011) O perímetro de cada pentágono
regular da figura é 5cm. Assim, sendo sen72 x,
a área de cada pentágono regular, em 2cm , é igual
a
a) 22Rx 1 x . b) 22Rx . c) 2Rx 1 x .
d) 2Rx . e) 2Rx
.2
211-(Insper 2011) A razão entre a área da região clara e a área da região escura da figura, nessa ordem, é aproximadamente igual a
a) 3R. b) 2R. c) R. d) R
.2
e) R
.3
212-(ANGLO)
213. (Ita 2015) Num triângulo PQR, considere os
pontos M e N pertencentes aos lados PQ e PR,
respectivamente, tais que o segmento MN seja tangente
à circunferência inscrita ao triângulo PQR. Sabendo-se
que o perímetro do triângulo PQR é 25 e que a
medida de QR é 10, então o perímetro do triângulo
PMN é igual a a) 5. b) 6. c) 8. d) 10. e) 15. 214. (G1 - cftmg 2015) Somando-se todos os ângulos
internos de três polígonos convexos obtém-se 2160 . Sabe-se que o número de lados desses polígonos é
n 2, n e n 2. Dentre eles, o que possui menor
número de lados é um a) triângulo. b) quadrilátero. c) pentágono. d) hexágono. 215. (Unicamp 2015) A figura abaixo exibe um retângulo
ABCD decomposto em quatro quadrados.
74
O valor da razão AB
BC é igual a
a) 5
.3
b) 5
.2
c) 4
.3
d) 3
.2
216. (G1 - cftmg 2015) O perímetro do triângulo ABC
vale 120cm e a bissetriz do ângulo  divide o lado
oposto em dois segmentos de 18 e 22cm, conforme a
figura.
A medida do maior lado desse triângulo, em cm, é
a) 22 b) 36 c) 44 d) 52 217. (Fuvest 2015) No triângulo retângulo ABC,
ilustrado na figura, a hipotenusa AC mede 12cm e o
cateto BC mede 6cm.
Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do
ângulo MAC é igual a
a) 2
7 b)
3
7 c)
2
7 d)
2 2
7 e)
2 3
7
218. (Ita 2015) Seja ABCD um trapézio isósceles com
base maior AB medindo 15, o lado AD medindo 9 e o
ângulo ˆADB reto. A distância entre o lado AB e o
ponto E em que as diagonais se cortam é
a) 21
.8
b) 27
.8
c) 35
.8
d) 37
.8
e) 45
.8
219. (Udesc 2015) Observe a figura.
Sabendo que os segmentos BC e DE são paralelos, que
o ponto I é incentro do triângulo ABC e que o ângulo
BIC é igual a 105 , então o segmento AC mede:
a) 5 2 b) 10 2
3 c) 20 2 d) 10 2 e)
20 2
3
220. (Upe 2015) Na ilustração a seguir, ABCD é um
quadrado de lado 2 2 cm. M e N são pontos médios
dos lados AD e BC, e P e Q são pontos de
intersecção do quadrado, com a circunferência, com
centro em M e raio MN.
Qual é a medida, em 2cm , mais próxima da área do
setor circular MNQ ? (Considere 3π ) a) 1,0 b) 1,4 c) 1,6 d) 2,0 e) 2,4 221. (G1 - cftmg 2015) Na figura a seguir, ABCD é um
quadrado de lado igual a 16cm. Os segmentos AF e
BE medem, respectivamente, 12 e 10cm.
75
A área do triângulo CEF, em 2cm , é igual a
a) 54 b) 80 c) 108 d) 148 222. (Uerj 2015) Uma chapa de aço com a forma de um
setor circular possui raio R e perímetro 3R, conforme
ilustra a imagem.
A área do setor equivale a:
a) 2R b) 2R
4 c)
2R
2 d)
23R
2
223. (Upe 2015) Na figura representada a seguir, o
segmento DE divide o trapézio ABCD em duas figuras de mesma área.
Nessas condições, quanto mede o segmento AE? a) 13cm b) 20cm c) 27cm d) 28cm e) 40cm
224. (Uece 2014) No triângulo OYZ, os lados OY e OZ têm medidas iguais. Se W é um ponto do lado OZ tal que os segmentos YW, WO e YZ têm a mesma medida, então, a medida do ângulo YÔZ é a) 46°. b) 42°. c) 36°. d) 30°.
225. (Uece 2014) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de diagonais, então o valor de n é a) 9. b) 11. c) 13. d) 15. 226. (Fuvest 2014) Uma circunferência de raio 3 cm está
inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB AC. A
altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento
de BC é, portanto, igual a a) 24 cm b) 13 cm c) 12 cm d) 9 cm e) 7 cm 227. (Ita 2014) Considere o triângulo ABC retângulo em
A. Sejam AE e AD a altura e a mediana relativa à
hipotenusa BC, respectivamente. Se a medida de BE é
2 1 cm e a medida de AD é 1 cm, então AC
mede, em cm,
a) 4 2 5. b) 3 2. c) 6 2 2.
d) 3 2 1 . e) 3 4 2 5.
228. (Ita 2013) Uma reta r tangencia uma circunferência num ponto B e intercepta uma reta s num ponto A exterior à circunferência. A reta s passa pelo centro desta circunferência e a intercepta num ponto C, tal que o
ângulo ˆABC seja obtuso. Então o ângulo ˆCAB é igual a
a) 1 ˆABC.2
b) 3 ˆ2 ABC.2π c)
2 ˆABC.3
d) ˆ2 ABC .π e) ˆABC .2
π
229. (Unicamp 2013) O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo isósceles ABC, conforme a figura abaixo.
Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular,
respectivamente, por S φ e T ,φ podemos afirmar
que a razão S T ,φ φ quando 2φ π radianos, é
a) 2.π b) 2 .π c) .π d) 4.π
76
230. (Unicamp 2012) Um vulcão que entrou em erupção gerou uma nuvem de cinzas que atingiu rapidamente a cidade de Rio Grande, a 40 km de distância. Os voos com destino a cidades situadas em uma região circular com centro no vulcão e com raio 25% maior que a distância entre o vulcão e Rio Grande foram cancelados. Nesse caso, a área da região que deixou de receber voos é
a) maior que 210000 km .
b) menor que 28000 km .
c) maior que 28000 km e menor que 29000 km .
d) maior que 29000 km e menor que 210000 km . GABARITO 1)D 2)E 3)D 4)E 5)C 6)A 7)C 8)E 9)C 10) B 11)B 12)B 13)B 14)E 15)B 16)E 17)D 18)D 19)E 20) A 21)B 22)B 23)C 24)D 25) E 26)D 27)A 28)A 29)D 30)E 31)C 32)D 33)C 34)C 35) C 36)D 37)C 38)B 39)B 40)B 41)A 42)A 43)A 44) a) 3200 km b) 28160/7 km 45)D 46)C 47)60 km 48)C 49)C 50)B 51) a) 3 cm b) 3/2 52)C 53)B 54)D 55)A 56)A 57)B 58)D 59)D 60)C 61)A 62)B 63)D 64)B 65)D 66)A 67)D 68)B 69)E 70)D 71)C 72)B 73)D 74)A 75)D 76)B 77) A 78)B 79)B 80)E 81)C 82) C 83)A 84)B 85)D 86)E 87) B 88)A 89)C 90)C 91)E 92)A 93)D 94)A 95)E 96)B 97)A 98)C 99)E 100)A 101)E 102)B 103)D 104)E 105)A 106)B 107)C 108)A 109)C 110)C 111)B 112)D 113)A 114)A 115)B 116)E 117)C 118)C 119)E 120)C 121)C 122)E 123)B 124)E 125)C 126)D 127)A 128)E 129)B 130)A 131)E 132)B 133)A 134)D 135)D 136) C 137)C 138)D 139)B 140)D 141)E 142)B 143)A 144)C 145)A 146)a) 15 min
b) 32225HEAB ou
2642
25HEAB 147) E 148)a) r=2
b) AB=12 e AC=5 c) 215.2 149)B 150) E
151)B 152)C 153)C 154)C 155) a) 8cm e 16cm.b)
a/b = 22 156)D 157)C 158)E 159)D
160)A 161)D 162)a) 2)13(625 cm b)
2
225
163)A 164)B 165 C 166)E 167)D 168)A 169)D 170)E 171)B 172)B 173)D 174)E 175)C 176)D 177)D 178)E 179)C 180)C 181)D 182)A 183)A 184)A 185)A 186)B 187) D 188)E 189)C 190)D 191)B 192)A 193)A 194)C 195)B 196)C 197)A 198)B 199)B 200)C 201)E 202)A 203)B 204)B 205)B 206)B 207)C 208)D 209)E 210)A 211)B 212)C 213)A 214)B 215)A 216)C 117)B 218)E 219)D 220)D 221)C 222)C 223)E 224)C 225)A 226)C 227)C 228)B 229)A 230)B
