Questões geometria plana UFC

Retrospectiva UFC ( 1976 – 2006)

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Geometria Plana

1. Na figura abaixo ABCD é um retângulo, ABMN é um quadrado e MD é um arco da circunferência de centro A e raio AM. O valor de θtg é :

a) 3

b) 2

3

c) 2

d) 2

2

2. Na figura plana, abaixo, ABCDE é um paralelogramo e EDCE = , CBA∧

= 120º,

DAB∧

= 80º, DCB∧

= 90º .O ângulo θ mede: a) 20º b) 30º c) 40º d) 60º 3. Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e º60=θ é um dos ângulos formados pelas diagonais. Se a e b são, respectivamente, os lados CD e BC pode-se dizer que:

a) ab 3=

b) ab2

3=

c) ba 3=

d) ba2

3=

4. Um polígono convexo com 21 diagonais: a) Tem 30 lados. b) Tem mais de 30 lados. c) Tem menos de 30 lados. d) Não existe.

5. Num triângulo retângulo ABC, os catetos AB e AC medem, em cm,

respectivamente: 3 e 1. O seno do ângulo oposto ao lado AB é:

a) 2

3 b)

2

1 c)

3

3 d)

3

1


2

6. Na figura abaixo, MQPM ⊥ , NQPN ⊥ , NQMQ = e o ângulo NPM∧

= 60º.

O ângulo MQP∧

mede: a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º

7. Na figura abaixo, 1==== STRSQRPQ cm, PQQR ⊥ , PRRS ⊥ , PSST ⊥ .

Então o comprimento PT , em cm, é igual a:

a) 2

b) 3 c) 2 d) 3 8. Um quadrado e um triângulo eqüilátero têm o mesmo perímetro. Se a área do

triângulo é 39 cm 2 , então a diagonal do quadrado, em centímetros, é:

a) 2

9 b) 29

c) 2

2 d)

2

29

9. Na figura abaixo, MN é o diâmetro do círculo de centro O e P é um ponto da

circunferência tal que o ângulo NOP∧

= 60º. Se o diâmetro do círculo é 4 cm, o

comprimento da corda MP, em cm, é:

a) 32

b) 34

c) 22

d) 24 10. Se o comprimento de um retângulo R é diminuído de 1 cm e a largura é aumentada de 2 cm, então sua área é aumentada de 2 cm 2 . Se o seu comprimento é aumentado de 2 cm e a sua largura diminuída de 1 cm, então sua área é diminuída de 1 cm 2 . A área de R, em cm 2 , é: a) 4 b) 6 c) 8 d) 10

11. Um triângulo tem ângulos de 30º e 45º. Se o lado oposto ao ângulo de 45º mede

8 cm, então o lado oposto ao ângulo de 30º mede, em cm:

a) 4 b) 22 c) 6 d) 24


3

12. Na figura abaixo, GNMNFM == e o ângulo º28=∧

MNG . Então o ângulo

MFG∧

mede: a) 28º b) 56º c) 62º d) 64º 13. Seja P um ponto interior a um triângulo eqüilátero de altura h. A soma das distâncias de P aos lados é:

a) 4

3h b)

2

h c)

3

2h

d) h

14. Coloque V nas afirmações verdadeiras e F nas falsas. ( ) Dado um ponto M num plano existe uma única reta passando por M e contida no plano. ( ) Dados dois pontos distintos P e Q no espaço, existe um plano que os contém. ( ) Existe um único plano que contém três pontos não colineares. ( ) Três pontos quaisquer num plano, determinam sempre três retas contidas neste plano. A seqüência correta de letras, de cima para baixo, é: a) V, V, F, F b) V, F, F, V c) F, V, V, F d) F, F, V, V

15. Coloque V nas afirmações verdadeiras e F nas falsas. ( ) O lugar geométrico dos pontos de um plano situado a uma distância d de um ponto P é uma reta. ( ) A intersecção de dois planos não paralelos é uma reta. ( ) Para que uma reta seja paralela a um plano é necessário e suficiente que seja paralela a toda reta do plano. ( ) Um plano fica bem determinado por uma reta e um ponto. A seqüência correta de letras, de cima para baixo, é: a) V, F, V, V b) F, F, V, F c) V, V, F, V d) F, V, F, F

16. Na figura abaixo 1C e 2C são duas circunferências concêntricas, PQ é uma

corda de 2C e tangente a 1C . Se a área entre 1C e 2C é igual a π16 cm 2 , então o

comprimento de PQ , em centímetros, é:

a) 8 b) 10 c) 16 d) 32

17. Considere 20 retângulos de bases iguais a 1 cm e altura, em cm, dadas respectivamente por 23 += jh j , j = 1, 2, K , 20. A soma das áreas desses

retângulos, em cm 2 , é: a) 380 b) 335 c) 760 d) 670


4

18. O ângulo igual a 2

3 do seu suplemento mede:

a) 72º b) 78º c) 108º d) 112º

19. Um trapézio isósceles circunscrito a um círculo, tem perímetro igual a 40 cm e

uma das bases excede a outra de 12 cm. Então a área do círculo, em cm 2 , mede

a) π18 b) π16 c) π12 d) π9

20. A área de um losango mede 28 cm 2 e a distância entre dois lados opostos mede

4 cm. Então o perímetro do losango, em cm, é:

a) 20 b) 24 c) 28 d) 32 21. Considere a figura abaixo.

A soma das áreas dos retângulos indicados na figura é:

a) 216

54 b)

216

55 c)

216

56 d)

216

57

22. Se x é a medida do ângulo agudo formado pelas diagonais de um retângulo de

lados 5 cm e 10 cm, então cosecx é igual a:

a) 3

32 b)

2

23 c)

4

5 d)

3

5

23. Na figura abaixo, MNPQ é um retângulo. 6=MN cm, 3=NP cm e

SPRSMR == . A área do triângulo RSN, em cm 2 , é igual a:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

24. Na figura abaixo, sr // e r, s, t são tangentes ao círculo, 3=PQ cm e

8=MN cm. A área do círculo, em cm 2 , é igual a:

a) π24 b) π26 c) π28 d) π30


5

25. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 17 cm e as medidas dos catetos são números consecutivos. Este triângulo é base de um prisma reto cujo volume mede 32 cm 3 . A altura do prisma em cm, mede: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 26. Considere uma circunferência de raio r e duas tangentes paralelas a essa circunferência. A circunferência e as tangentes pertencem ao mesmo plano. O número de elementos do conjunto de pontos deste plano eqüidistantes da circunferência e das duas tangentes é: a) 0 b) 1 c) 3 d) infinito

27. Três semi-retas partem de um mesmo ponto Q, formando três ângulos que cobrem todo o plano e são proporcionais aos números 11, 12 e 13. O suplemento do maior dos três ângulos, em graus, mede: a) 50 b) 60 c) 70 d) 80

28. Um polígono regular de n lados está inscrito em um circulo de raio igual a 2 cm.

Se o polígono tem área igual a 12 cm 2 , então o valor de

°n

senn360

. é:

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12

29. Na figura, r é paralela a s, AB = 2 cm e CD = 6 cm. Determine o valor de N

M,

onde M é a área do triângulo ABC e N é a área do triângulo ABD. 30. Na figura, ABC é um triângulo retângulo em A, ADEF é um quadrado,

π150

=AC cm e π100

=AB cm. Determine o comprimento do círculo inscrito no

quadrado ADEF, em cm.

31. Considere os pontos P(0, 2), Q(0, -2), R(- 12 , 0) e S( 12 , 0) . C1 e C 2 são circunferências que passam pelos pontos P, Q, R e P, Q, S, respectivamente. Calcule a melhor aproximação inteira para a área hachurada na figura, usando as

aproximações 1,3=π e 8,13 = .


6

OBS.: A melhor aproximação é obtida quando as substituições de π e 3 são feitas no final dos cálculos.

32. Na figura, AE é perpendicular a BD , 6=AC cm, 7=BD cm e KAB = cm, sendo AE e BD as medianas correspondentes aos lados BC e AC, respectivamente. Qual o valor de 2K ? 33. Os quatro vértices de um retângulo são os pontos A, B , C e D. Calcular o número máximo de circunferências distintas que contenham pelo menos três destes pontos. 34. Sejam 1Q um quadrado de lado l = 2m; 2Q o quadrado construído a partir de

1Q , ligando-se os pontos médios de cada um de seus lados e 3Q o quadrado

construído a partir de 2Q , ligando-se os pontos médios de cada um de seus lados,

conforme a figura. Calcule, em m 2 , a área da região sombreada. 35. Um polígono regular de 12 lados é inscrito numa circunferência de raio igual a 3 cm. Determine, em cm 2 , a área do polígono.

36. Na figura, os segmentos AB e CD são paralelos, αθ 2= , 12=BD cm e

7=AB cm. Determine, em cm, o comprimento do segmento CD.

37. Os catetos de um triângulo medem 27 cm e 242 cm. Determine, em cm, o comprimento da bissetriz do ângulo reto deste triângulo.

38. Seja AB o diâmetro de uma circunferência de raio igual a 3cm e C um ponto sobre esta circunferência diferente de A e B. Calcule, em cm 2 , a maior área possível que o triângulo ACB pode ter quando o ponto C se desloca sobre a circunferência.


7

39. Na figura abaixo, 4=AD cm, 9=DE cm, 27=FC cm. Os segmentos

FBCEBD ,, e GA estão dispostos de modo que BD é paralelo a CE e FB é

paralelo a GA . Calcule, em cm, o comprimento de GC . 40. Considere um triângulo com ângulos internos βα , e γ . Sabendo-se que

7,1cot =γg e 9,0cot =βg e ainda que o lado oposto ao ângulo α mede 46,8cm, calcule, em cm, o comprimento da altura do triângulo em relação a esse lado. 41. No trapézio isósceles ABCD (Figura abaixo) é conhecido que a medida da base maior AB é o dobro da medida da base menor CD e que o ângulo α mede 60º. Se a

medida da base CD é 4 32 cm, determine em cm 2 a área do trapézio.

42. A figura abaixo representa um quadrado de lado igual a )12(32 + m, no interior do qual estão dispostos cinco círculos de raios iguais, de tal forma que um deles é concêntrico ao quadrado e que tangencia os outros quatro. Sabendo-se que cada um dos quatro círculos não concêntricos ao quadrado é tangente a dois lados consecutivos do quadrado, calcule em metros o raio destes círculos.

43. A área de um triângulo é dada pela fórmula 4

22 baA

+= onde a e b são dois de

seus lados. Determine (em graus) a medida do maior dos ângulos do triângulo. 44. Determine, em m 2 , a área da região do plano limitada por um polígono regular de doze lados, inscrito numa circunferência de raio igual a 5m.

45. Em um trapézio retângulo, o prolongamento dos seus lados não paralelos forma um ângulo de 30°. Sabendo que um destes lados mede 4 cm e que a área do trapézio

é 3 cm 2 , calcule em cm o valor de (a + b)(a - b), onde a e b expressam em cm a medidas das bases maior e menor do trapézio.

46. Determine o número n de lados de um polígono regular convexo que possui 54 diagonais.


8

47. O hexágono regular ABCDEFA tem 10 cm 2 , da figura estrelada abaixo, obtida prolongando-se os lados do hexágono nos dois sentidos. 48. Considere, na figura abaixo, a circunferência de centro O e raio R. Sabendo-se que as retas r e s são tangentes à circunferência e perpendiculares em P e que o

segmento AB , paralelo à s, mede 2 cm, calcule o valor de 22−R , em cm. 49. Na figura abaixo, AB é um diâmetro do círculo de raio 1 cm, CD é uma corda tal

que 2

1== EOAE cm. Se o ângulo AEC mede 45º e S é a área da região hachurada,

determine o valor da expressão π

18 −S.

50. Na figura abaixo, O é o centro do círculo, BC é paralelo a AO e o ângulo OAC mede 35º. Determine o valor, em graus, do ângulo AOB. 51. Um ponto P está localizado no interior de um retângulo de modo que sua distância a um vértice é 5 cm, ao vértice oposto é 14 cm e a um terceiro vértice é 10 cm. Determine a distância, em cm, de P ao quarto vértice. 52. Se a é um número real positivo, considere Q e T respectivamente um quadrado e um triângulo eqüilátero cujos lados medem a cm. Se S é a razão entre a área de Q e

a área de T, calcule o valor de SA 3= .


9

53. Por um ponto S interior a um triangulo ABC, traçam-se retas 1r e 2r ,

perpendiculares aos lados AB e AC , respectivamente. Seja }{1 MrAB =∩ e

}{2 NrAC =∩ . Determine, em graus, o valor do ângulo MSN, sabendo-se que BAC, ABC e ACB são proporcionais a 3, 2 e 1, respectivamente. 54. Considere no plano, um triângulo eqüilátero ABC de lado igual a L cm em três círculos tangentes dois a dois, com centros nos vértices do triângulo e de raios iguais a 2 cm. Seja A a área obtida da intersecção do triângulo com o complementar

da união dos três círculos. Calcule )32( π−

A.

55. Duas das diagonais de um pentágono regular convexo se interceptam determinando sobre cada uma delas dois segmentos. Se x é o menor destes

segmentos e o lado do pentágono é igual a 4 cm, determine o valor de x)15( + .

56. Se 22=AB cm é a hipotenusa do triângulo ABC abaixo, ACDE e BCFG, retângulos, APC e BQC, semicircunferências e Y, em cm 2 a área da região hachurada; calcular Y+π .

57. O quadrilátero ABCD, abaixo, é um paralelogramo. Os segmentos DE e DF

são perpendiculares aos lados AB e BC , respectivamente. Se 50=AB cm,

40=AD cm e 32=DE cm, calcule o comprimento de DF em cm. 58. Na figura abaixo, os arcos MN, NP e PQ são semicírculos de centros O, M, N,

respectivamente e raios 2

1, 1 e 2. Determine

3611

96

−πA

, onde A é a área da figura

limitada pelo arco RPS e o segmento RS perpendicular a PO .


10

59. Sejam a e b lados do retângulo de área máxima dentre os retângulos cujos lados satisfazem a equação:

60101

100

101

3

101

2

101=

+++

++

++

++b

ab

ab

ab

aa K .

Calcule 101 a + 20 b.

60. Determine a área, em cm 2 , de um trapézio isósceles circunscrito a uma circunferência de raio igual a 2 cm, sabendo-se que o seno do ângulo agudo é 0,5. 61. Calcule a décima parte da soma dos ângulos internos e externos de um polígono, cujo número de diagonais é igual ao número de lados.

62. Determine a área (em m 2 ) do setor circular hachurado na figura abaixo,

sabendo que o ângulo CBA∧

mede 6

πrd e o diâmetro AB mede

π6

8 m.

63. Seja ABC um triângulo retângulo onde 34=AC e 33=AB . Se AD é o

segmento de reta que forma um ângulo de rd4

π com AC , determine o valor (em

cm) de ADx67 .

64. Em um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em A, a hipotenusa BC mede 12 cm. Se M é o ponto médio da hipotenusa e a mediana AM é a média geométrica dos catetos AB e AC, calcule o comprimento, em centímetros, da altura relativa à hipotenusa. 65. Uma secante r a uma circunferência de 6 cm de raio determina uma corda

28=AB cm de comprimento. A reta s é paralela a r e tangencia a circunferência no menor arco AB. Determine a distância (em cm) entre r e s.

66. Um dos catetos de um triângulo retângulo foi aumentado em 25% de seu comprimento. Para que a área do triângulo não se altere é necessário que o outro cateto sofra uma diminuição percentual de p%. Determine o valor de p.


11

67. Seja ABC um triângulo com área igual a 9 m 2 e o ângulo Â igual a 30º. Se o comprimento do lado BC é o menor possível, determine, em metros, a soma dos outros dois lados do triângulo. 68. Um pedaço de papel, em forma retangular, tem vértices nos pontos A, B, C e D conforme mostra a figura. Dobra-se o papel de tal forma que o vértice C fique sobre

o lado AD . Sabendo que AB = 6 cm e 2

3cos =θ , calcule, em centímetros, o

comprimento da dobra BE .

69. Na figura, r e s são retas perpendiculares ao segmento AB . Se P é um ponto fixo entre A e B e o triângulo PXY é retângulo em P, determine, em graus, a medida

do ângulo BYP∧

de modo que a área do triângulo PXY seja mínima. 70. O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio igual a 15 cm. Se AB = 10 cm e AC = 6 cm, determine, em centímetros, a altura do triângulo ABC relativa

ao lado BC . 71. Em um triângulo retângulo, a hipotenusa a e o cateto b satisfazem à relação

6loglog 22 ≥+ ba . Se o seno do ângulo oposto ao cateto b é igual a 2

3, determine

o valor mínimo que a área do triângulo pode assumir.

72. Em um triângulo retângulo ABC a razão entre os catetos AC e AB é 3

2. Se B é o

ângulo oposto ao menor cateto, então ∧

Bsen é igual a:

a) 2

1 b)

13

2 c)

13

1 d)

3

3 e)

3

1

73. As bases de um trapézio isósceles circunscritível medem 8 cm e 2 cm. Então, a área do trapézio mede: a) 20 cm 2 b) 15 cm 2 c) 10 cm 2 d) 25 cm 2 e) 30 cm 2


12

74. Seja r o raio do círculo circunscrito ao triângulo cujos lados medem 10 m, 17 m e 21 m. Determine, em metros, o valor de 8r. 75. Dada uma circunferência C de raio r, seja R a razão entre a área do hexágono regular circunscrito e a área do hexágono regular inscrito em C. Determine o valor de 30R. 76. Os lados de um triângulo medem 8 cm, 10 cm e 12 cm. O menor lado é prolongado até encontrar a bissetriz do ângulo externo oposto a este lado. Qual é a medida, em cm, deste prolongamento? 77. A figura abaixo, ABCD é um quadrado com área igual a uma unidade. Se o triângulo CMN é eqüilátero, então sua área é igual a:

a) 332 −

b) 3

31−

c) 4

3

d) 2

2

e) 324 − 78. Um observador estando 18 m de um prédio o visualiza sob um certo ângulo. Afastando-se, na direção perpendicular ao prédio, mais 30 m, o ângulo de visualização é a metade do anterior. Qual é, em metros, a altura do prédio? 79. As mediatrizes de dois lados adjacentes de um polígono regular formam um ângulo de 24°. Determine o número de diagonais desse polígono. 80. Seja ABCD um quadrado de lado 4 cm com centro O e diagonais AC e BD. Se P e Q são, respectivamente, os pontos médios dos segmentos AO e BO, então a área do quadrilátero ABQP, em cm 2 , é igual a:

a) 2

5

b) 3 c)

2

10

d) 4

e) 6

81. Considere m quadrilátero convexo ABCD de área igual a 66 cm 2 . Determine, em cm 2 , a área do quadrilátero cujos vértices são os pontos médios dos lados do quadrilátero ABCD. 82. Num triângulo ABC, os lados AC e BC medem, respectivamente, 7 cm e 8 cm, e,

o ângulo ∧

B mede 60º. Determine a medida do lado AB, em cm, sabendo que esta é maior do que 3 cm. 83. Duas tangentes são traçadas em um círculo de um ponto exterior A e tocam o círculo nos pontos B e C, respectivamente. Uma terceira tangente intercepta o segmento AB em P e AC em R e toca o círculo em Q. Se AB = 20 cm, então o perímetro do triângulo APR, em cm, é igual a :


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a) 39,5 b) 40 c) 40,5 d) 41 e) 41,5 84. O raio do círculo inscrito em um triângulo é igual a 4 cm. Um dos lados do triângulo é dividido pelo seu ponto de tangência em dois segmentos medindo 6 cm e 8 cm, respectivamente. Determine, em cm, o triplo da soma das medidas dos outros dois lados. 85. O paralelogramo ABCD tem as medidas do lado AB e da diagonal BD iguais a 7 cm. Se L é a medida, em cm, do lado AD, determine o valor de 2L para que a área do paralelogramo seja máxima.

86. Os lados AC e CD dos triângulos eqüiláteros ABC e CED medem respectivamente 6 m e 3 m. Os segmentos AC e CD estão numa reta r, são consecutivos e AD mede 9 m. Se os vértices B e E estão no mesmo semiplano determinado por r, então o perímetro, em metros, do quadrilátero ABED é igual a:

a) )36(3 +

b)

+

3

563

c)

+

2

273

d)

−

4

283

e)

+

2

373

87. Em uma coroa circular estão inscritas 6 circunferências, cada uma tangente às duas vizinhas. Sabendo que o raio da circunferência interna da coroa mede 6 cm, determine, em cm, o raio da circunferência externa da coroa. 88. Sejam ABC um triangulo e D, E e F, respectivamente, pontos entre A e B, B e C, e, A e C. Sabendo-se que AFED é um losango de lado L e que os lados AC e AB medem, respectivamente, 54 cm e 108 cm, determine, em cm, o valor de L.

89. Os triângulos retângulos APC e ARC têm em comum o cateto AC. Suas hipotenusas PC e RA cortam-se no ponto Q entre A e R. Seja B o pé da perpendicular baixada de Q sobre AC e x a medida, em cm, do segmento QB. Se PA e RC medem respectivamente 9 cm e 7 cm, determine o valor de 16x.


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90. No triangulo Â é reto e D é um ponto do cateto AC tal que os segmentos BD e DC têm o mesmo comprimento igual a 1 m. Seja F o ponto do lado BC de modo que AF é perpendicular a BC. Se o segmento FC mede 1 m, determine o comprimento do cateto AC. 91. Um pedaço de arame de 20 m de comprimento é dividido em duas partes. Com cada uma destas partes constrói-se um quadrado de lado igual a x metros e com a outra parte constrói-se um círculo de raio igual a y metros. Se A é a soma das medidas, em m 2 , da área do quadrado e da área do círculo, determine x para que A seja a maior possível. 92. Na figura abaixo, temos um círculo, de raio igual a 2 cm, inscrito num triângulo ABC, retângulo em C. O círculo toca a hipotenusa AB num ponto P e o cateto BC no ponto E. Se AP mede 6 cm e BE mede 4 cm, determine, em cm 2 , a área do triângulo ABC. 93. Se um hectare mede 10.000m 2 , calcule quantos quilômetros quadrados possui uma fazenda com 700 hectares. 94. Sejam a e b as bases de h a altura, medidas em centímetros, de um trapézio, cuja área mede 169 cm 2 . Se os números a, h e b, nesta ordem, em progressão aritmética, calcule, em cm, o valor de ba + .

95. Na figura, temos: 6== ACAB cm, 5,2=PQ cm e 5,1=PR cm. Se PQ é

perpendicular a AB e PR é perpendicular a AC , calcule, em cm 2 , a área do triângulo ABC. 96. Sejam A e B as medidas, em graus, dos ângulos indicados na figura. Determine, em graus, o valor de A + B.


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97. Na figura, ABD é um triângulo retângulo em A, AB = AC = CD e AD = 8 cm. Calcule, em cm 2 , a área do triângulo ABC.

98. Sejam ABC um triângulo retângulo em A, AD sua altura, relativa ao lado BC ,

e DE a altura do triângulo ABD, relativa ao lado AB . Se 9=AC cm e 4=DE cm,

calcule, em centímetros, o valor de AD . 99. Em um mapa cartográfico, 4 centímetros representa 12 quilômetros. Neste mesmo mapa, 10 centímetros representarão quantos quilômetros? 100. Um triângulo ABC é inscrito num círculo de raio R cm. Se o segmento

π2

8=BC cm e o arco BC = 90º, calcule, em cm 2 , a área do círculo.

101. Num triângulo ABC, tem-se α=Â , α2=∧

C , XAB = cm e BC = 5 cm. Se

5

3)cos( =α , encontre o valor de X.

102. Dado um triângulo retângulo, nele se inscreve uma circunferência de raio r cm e a ele se circunscreve uma outra circunferência de raio R cm. Se a soma dos comprimentos destas circunferências é 21π cm e um dos catetos mede 8 cm, calcule, em cm 2 , a área do triângulo.

103. Seja ABCD um paralelogramo. Traçam-se as bissetrizes dos ângulos Â e ∧

B , as

quais se interceptam em P. Se 3=AB cm e 3

1

2=

Âsen , calcule, em cm 2 , a área

do triângulo ABP. 104. Dois círculos tangentes entre si são ambos tangentes nos dois lados de um ângulo de medida θ2 . Sabendo-se que o círculo maior possui raio R, calcule o raio do círculo menor.


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105. Um quadro Q se encontra numa parede vertical com sua base ao nível dos olhos de um observador que o vê segundo um ângulo de 15°. Após caminha horizontalmente 5 metros na direção perpendicular ao quadro, o observador passa e vê-lo segundo um ângulo de 30°. Determine a altura h do quadro.

106. A hipotenusa de um triângulo mede 212 cm e a soma de seus catetos é 20 cm. Determinar a área deste triângulo. 107. Quantos azulejos quadrados, medindo 15 cm de lado, são necessários para revestir uma área retangular que mede 90 cm de comprimento por 120 cm de largura? 108. Considere a figura abaixo na qual os segmentos de reta AB e CD são

perpendiculares ao segmento de reta BC. Se 19=AB cm, 12=BC cm e 14=CD cm, determine a medida, em centímetros, do segmento de reta AD. 109. Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Determine a tangente do menor ângulo agudo deste triângulo. 110. Observe a figura abaixo, na qual temos uma circunferência com centro no ponto O, e cujo raio mede 2 cm. Se AB é um diâmetro desta circunferência, e o ângulo BOC mede 60°, calcule a área hachurada.


17

111. Considere a figura abaixo na qual BCAB ⊥ , CDBC ⊥ e DECD ⊥ . Se

3=AB cm, 4=BC cm e 8=DE cm, então a medida, em cm, de AE será:

a) 17 b) 15 c) 13 d) 11 e) 6

112. Sejam r e s retas paralelas conforme a figura: Se 1S representa a área do triangulo ABC e 2S representa a área do paralelogramo

ADFC e B o ponto médio do segmento AD , então 2

1

S

S é igual a :

a) 1

b) 4 c)

4

1

d) 2 e)

2

1

113. Considere a circunferência abaixo, onde AD é um diâmetro, AB , BD , AC e

AB são cordas.

Se o raio desta circunferência mede 6,5 cm, 3=AB cm e 5=CD cm, então as

cordas BD e AC medem, em cm, respectivamente:

a) 104 e 12 b) 16 e 8

c) 5 e 3 d) 6 e 4

e) 7 e 5


18

114. Considere as duas circunferências concêntricas abaixo:

Seja t a reta tangente à menor circunferência no ponto B, e seja s a reta tangente à maior circunferência no ponto B. Se o menor ângulo, entre t e s, mede 30º, determine a razão entre as áreas da maior e da menor circunferência.

116. Considere a figura abaixo na qual: 1. A área do semicírculo c1 é quatro vezes a área do semicírculo c2. 2. A reta r é tangente a c1 e a reta s é tangente a c1 e c2.

Então podemos afirmar corretamente que:

a) βα2

5=

b) βα2

3=

c) βα 4= d) βα 2=

e) βα3

2=

117. Um muro com y metros de altura se encontra a x metros de uma parede de um edifício. Uma escada que está tocando a parede e apoiada sobre o muro faz um

ângulo θ com o chão, onde 3

x

ytg =θ . Suponha que o muro e a parede são

perpendiculares ao chão e que este é plano (veja figura),


19

o comprimento da escada é:

a) 2

1

2

3

2

3

+ yx

b) 2

3

3

2

3

2

+ yx

c) 3

2

2

3

2

3

+ yx

d) 2

3

2

1

2

1

+ yx

e) 3

2

2

1

2

1

+ yx

118. Considere a figura abaixo, em que a reta que passa por P e O é paralela à reta que passa por Q e N. Analise agora as afirmativas abaixo. I. A área do triângulo PQN é maior do que a área do triângulo OQN. II. As áreas dos triângulos PQN e OQN são iguais. III. A área do triângulo OQM é igual à área do quadrilátero NPQM.

É correto afirmar que: a) apenas I é verdadeira. b) apenas a II é verdadeira. c) apenas III é verdadeira. d) apenas a I e III são verdadeiras. e) apenas II e III são verdadeiras.

119. Na figura abaixo, a reta passando por P e Q é tangente às duas circunferências em P e Q. Se a distância entre os centros das circunferências é igual a 18 cm e os seus raios medem 4 cm e 5 cm, respectivamente, então o número real que representa a distância, em cm, entre P e Q é:

a) 313

b) 312

c) 311

d) 310

e) 39

120. Um arame medindo 30 cm será cortado em duas partes que serão utilizadas, uma para fazer um quadrado e outra para fazer um triângulo eqüilátero. Se usarmos x cm para fazermos o quadrado e (30 - x) cm para fazermos o triângulo eqüilátero, a função que expressa a soma das áreas das duas figuras em termos de x será:

a) 4

3

310

16)(

22

−+=xx

xf

b) 412

10)(22xx

xf +

−=

c) ( )22

102

3)( x

xxf −+=

d)

22

410

4

3)(

−+=xx

xf

e)

22

310)(

−+=x

xxf


20

121. Considere a figura abaixo, na qual:

� O segmento de reta AB é tangente à circunferência α em A;

� O segmento de reta AC é um diâmetro da circunferência α ;

� O comprimento do segmento de reta AB é igual à metade do comprimento da circunferência α . Então a área do triângulo ABC dividida pela área de α é igual a:

a) 2

1

b) 3

2

c) 1

d) 3

4

e) 3

5

122. Na figura abaixo, os triângulos ABC e AB’C’ são semelhantes. Se 4'=

AC

AC,

então o perímetro AB’C’ dividido pelo perímetro de ABC é igual a:

a) 8

1

b) 6

1

c) 4

1

d) 2

1

e) 1

123. Na figura abaixo, temos dois triângulos eqüiláteros ABC e A’B’C’ que possuem

o mesmo baricentro, tais que '','' CAACBAAB e ''CBBC . Se a medida dos

lados de ABC é igual a 33 cm e a distância entre os lados paralelos mede 2 cm, então a medida das alturas de A’B’C’ é igual a: a) 11,5 cm b) 10,5 cm c) 9,5 cm d) 8,5 cm e) 7,5 cm


21

124. Sejam α e β os ângulos agudos de um triângulo retângulo. Se βα sensen = e se a medida da hipotenusa é 4 cm, a área desse triângulo (em cm2) é: a) 2

b) 4

c) 8

d) 12

e) 16

125. Sejam βα , e θ os ângulos internos de um triângulo. Se as medidas desses ângulos são diretamente proporcionais a 1, 2 e 3, respectivamente, e a bissetriz do ângulo β mede duas unidades de comprimento (u.c.), a medida do perímetro desse triângulo é:

a) ..)23(3 cu+

b) ..)13( cu+

c) ..33 cu

d) ..)13(3 cu+

e) ..)13(3 cu−

126. Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em B. O cosseno do ângulo

CAB ˆ é:

a) 13

12

b) 13

11

c) 13

10

d) 13

6

e) 13

1

127. Na figura abaixo, a razão entre o perímetro da região hachurada e o perímetro da circunferência é:

a) 3

1

b) π

π4

4+

c) 4

π

d) π

π2

4+

e) 2


22

128. A razão K

H

área

área, onde H é o hexágono regular ABCDEF (com vértices

nomeados no sentido horário) e K é o hexágono obtido pela intersecção dos triângulos ACE e BDF, é igual a: a) 2 b) 2,5

c) 3

d) 3,5

e) 4

129. Uma folha de cartolina quadrada é colocada sobre uma mesa. A cartolina é branca no seu lado visível e preta no seu verso. Ao dobramos a cartolina, sem emborcá-la, ao longo de um segmento que une um vértice ao ponto médio de um lado não incidente sobre esse vértice, resulta num polígono P que tem uma parte branca e uma parte preta visíveis. Assinale a alternativa na qual consta a melhor aproximação da porcentagem da área branca visível do polígono P em relação à área de P. a) 67% b) 65%

c) 50%

d) 35%

e) 33%

Questões geometria plana UFC

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