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Emilio
Martínez
Ros
C D A
B
D
30º 45º
30 m
αααα
r=1
O cosαααα
senαααα
tgαααα
cotgαααα
secαααα
cosecαααα
Trigonometría Plana
1. Ángulos. Unidades para su medida.......................................................1 1.1 Ángulos y arcos 1.2 Unidades para la medida de ángulos
• Sistema sexagesimal • Sistema Internacional
1.3 Ampliación del concepto de ángulo • Ángulos orientados • Ángulos de barrido
2. Razones trigonométricas de un ángulo .................................................4 2.1 Definiciones 2.2 Signo de las razones trigonométricas de un ángulo
2.3 Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo • Identidades trigonométricas • Obtención de las razones de un ángulo a partir de una de ellas
3. Ángulos relacionados por sus razones trigonométricas.........................8 3.1 Ángulos de distinto cuadrante 3.2 Ángulos complementarios
4. Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo ...........................9 4.1 Razones trigonométricas de los ángulos más utilizados
• Ángulos extremos de los cuadrantes • Ángulos 30º, 45º y 60º • Ángulos asociados a los anteriores
4.2 Razones trigonométricas de los restantes ángulos
5. Operaciones recíprocas al cálculo de razones ....................................12 6. Resolución de triángulos rectángulos..................................................14
6.1 Relaciones entre los elementos de un triángulo rectángulo 6.2 Casos de resolución de triángulos rectángulos 6.3 Aplicaciones
7. Razones de los angulos suma, diferencia, doble y mitad ....................18 7.1 Suma de ángulos 7.2 Diferencia de ángulos
7.3 Ángulo doble
7.4 Ángulo mitad
7.5 Aplicaciones
8. ¡Uf!, más fórmulas trigonométricas......................................................21 8.1 Fórmulas de transformación de productos en sumas
• senαcosβ • senαsenβ • cosαcosβ 8.2 Fórmulas de transformación de sumas en productos
• senA+senB • senA-senB • cosA+cosB • cosA-cosB
9. Ecuaciones trigonométricas ................................................................23 10. Resolución de triángulos.....................................................................24
10.1 Relaciones entre los elementos de un triángulo
• Teorema del seno • Teorema del coseno
10.2 Casos de resolución de triángulos 10.3 Aplicaciones
EJERCICIOS
Trigonometría Plana
1
Trigonometría Plana
Trigonometría es la parte de las Matemáticas que tiene por objeto el estudio de
las relaciones existentes entre los ángulos y los lados de un triángulo.
Esta rama de las Matemáticas es especialmente útil en Física para el estudio de fuerzas, fenómenos vibratorios y ondulatorios, etc. y en Topografía para la medida de terrenos, distancias entre puntos inaccesibles, etc. También se usa en otros campos como Astronomía, Navegación, ...
1. Ángulos. Unidades para su medida
1.1 Ángulos y arcos
Dos semirrectas n y s con origen común O dividen al plano en dos regiones, α y β. Cada una de estas regiones es un ángulo. Las semirrectas n y s son los lados de ambos ángulos y O el vértice.
Si trazamos una circunferencia con centro en el vértice O y radio cualquiera, los lados n y s la cortan en dos puntos, respectivamente A y B. Estos, determinan sobre la circunferencia dos arcos, en la figura contigua dibujados con distinto trazo.
Como a cada ángulo corresponde un arco de circunferencia y recíprocamente, para identificar un ángulo concreto, en adelante dibujaremos además de sus lados, su arco correspondiente.
1.2 Unidades para la medida de ángulos
Un ángulo y su arco de circunferencia correspondiente utilizan la misma medida. Para obtener esta, existen varias unidades de medida, de las cuales las más utilizadas son:
• El grado sexagesimal, que con sus submúltiplos, el minuto y el segundo, constituyen el Sistema Sexagesimal de medida de ángulos.
• El radián, que es la unidad de medida de ángulos en el Sistema Internacional.
α
s
n
O β
β
s
O
A
n
B
s
O
n
s
O α β
n
Trigonometría Plana
2
Sistema sexagesimal
La unidad fundamental de medida de ángulos en el sistema sexagesimal es el grado sexagesimal (º) que, como sabes, es la medida del ángulo cuya amplitud es la noventava parte de un ángulo recto. Para medir ángulos más pequeños utilizamos los submúltiplos del grado:
• 1 minuto (1') = sesentava parte de grado. • 1 segundo (1") = sesentava parte de minuto.
La medida de un ángulo en este sistema puede venir expresada en una única unidad (forma incompleja) o en varias (forma compleja): 24,22º = 24º13'12" Forma incompleja Forma compleja Para pasar de una a otra forma basta aplicar las equivalencias entre las diferentes unidades.
Ejemplos
1. Expresa en segundos y posteriormente en grados 35º17'26"
35x3600= 126000" + 17·60= 1020"
26" 127046"
127046"=(127046/3600)º≅35,29º
2. Expresa en forma compleja 32046"
32046" 60 204 534' 60 246 54' 8º 32046"=8º54'6" 6"
Por otra parte, las calculadoras científicas poseen la tecla , que nos permite transformar la forma compleja de un ángulo en su incompleja y viceversa. Investiga sobre la forma de usarla.
Sistema Internacional
Como hemos dicho, la unidad de medida de ángulos en el sistema internacional es el radián (rad). Para definirlo, procedemos del siguiente modo:
� Trazamos una circunferencia de radio arbitrario y marcamos un radio OA .
� A partir del punto A tomamos un arco AB de longitud igual a la del radio.
� El ángulo central AOB que abarca el arco AB mide un radián.
Un radián es la medida del ángulo central de una circunferencia que abarca un
arco de longitud igual a la del radio.
º ' "
O
A
B
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3
Como la longitud de la circunferencia es 2πr, ésta contiene 2π veces la longitud del radio. Por tanto, 360º=2π rad, equivalencia esta que nos va a permitir pasar de grados a radianes y viceversa.
Ejemplos
1. Expresa en radianes 25º
25º=25·360
2πrad=
36
5πrad≅0,44rad
2. Expresa en grados 12
5πrad
12
5πrad=
�
π⋅
π
2
360
12
5=75º
Con mucha frecuencia se identifica un ángulo con su medida, por lo que, a partir de ahora, observarás expresiones como α=15º, ∠(n,s)=30º, AOB=π rad, A =45º, etc.
Por otra parte, siempre que omitamos la unidad en que viene dado un ángulo, daremos por supuesto que esta es radianes, nunca grados. Así por ejemplo,
α=2
3π=
2
3πrad, α=15=15rad≠15º, ...
1.3 Ampliación del concepto de ángulo
Ángulos orientados
Partiendo de un punto cualquiera de una circunferencia podemos volver a él, siguiendo la circunferencia, de dos maneras:
• En sentido negativo: Si lo hacemos como las agujas de un reloj. • En sentido positivo: Si lo hacemos al contrario que las agujas de un reloj.
Asimismo, diremos que un ángulo es positivo si lo es el sentido de recorrido de su arco correspondiente y negativo en caso contrario. En cualquiera de ambos casos, estaremos hablando de ángulos orientados en los que habrá primer lado (aquel desde donde parte el arco) y segundo lado (aquel a donde llega).
Sentido positivo
Sentido negativo
s
O
n
∠(n,s)=+75º n es el primer lado s es el segundo lado
s
O
n
∠(s,n)=-75º s es el primer lado n es el segundo lado
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4
Ángulos de barrido
Hasta ahora, solamente hemos considerado arcos y ángulos cuya medida en valor absoluto es menor o igual que 360º (2π rad). Vamos a continuación a ampliar el concepto de arco y ángulo, para lo cual, supongamos que nos desplazamos en la circunferencia de la figura contigua, partiendo del punto A y girando en sentido positivo: • Si paramos en el punto P el arco recorrido es AP. Sea m su
medida. • Si damos una vuelta completa a la circunferencia y
continuamos hasta llegar a P, el arco recorrido medirá m+360º.
• Si damos k vueltas antes de detenernos en P, entonces el arco recorrido medirá m+k·360º.
El ángulo correspondiente a estos arcos mayores que una circunferencia ya no se puede considerar como una región angular, sino como un ángulo de barrido. Repitiendo el proceso anterior, pero desplazándonos en sentido negativo, obtenemos ángulos de barrido negativos. Ejemplos de ángulos de barrido los puedes encontrar viendo moverse una aguja de un reloj u observando el funcionamiento de un radar.
2. Razones trigonométricas de un ángulo
2.1 Definiciones
Sea α el ángulo orientado de la figura de la izquierda.
Fijado un sistema de coordenadas, situamos α de forma que coincidan su vértice con el origen del
sistema y su 1er lado con la parte positiva del eje de abcisas.
A continuación, trazamos una circunferencia con centro en O y radio cualquiera r. Siendo P(x,y) el punto de corte del segundo lado de α, s, con la circunferencia, definimos las razones trigonométricas del ángulo α de la siguiente forma:
Seno de α Coseno de α Tangente de α
senα=r
y cosα=
r
x tgα=
x
y
Cosecante de α Secante de α Cotangente de α
cosecα=y
r secα=
x
r cotgα=
y
x
Las tres recuadradas se llaman razones trigonométricas fundamentales.
O
A
P
O
A
P
α
s
n
O
α
s
n O
α
s
n
P(x,y) r
O
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Como se puede ver en la figura contigua, si tomamos otra circunferencia de radio r', al ser los triángulos OP'Q' y OPQ semejantes se tiene que,
senα='r
'y
r
y= cosecα=
'y
'r
y
r=
cosα='r
'x
r
x= secα=
'x
'r
x
r=
tgα='x
'y
x
y= cotgα=
'y
'x
y
x=
es decir, las razones trigonométricas de α no dependen de la circunferencia elegida.
Tomemos a continuación la circunferencia de radio la unidad (r=1).
Si observamos la figura contigua, podemos comprobar, utilizando la definición de cada una de las razones trigonométricas del ángulo α, que cada una de ellas representa la medida de un segmento relacionado con α:
senα= PQy1
y==
cosα= OQx1
x==
tgα= SR1
SR
OR
SR
OQ
PQ
x
y==== (Los triángulos OPQ y OSR son semejantes)
cosecα= OT1
OT
OM
OT
PQ
OP
y
1==== (Los triángulos OPQ y TOM son semejantes)
secα= OS1
OS
OR
OS
OQ
OP
x
1==== (Los triángulos OPQ y OSR son semejantes)
cotgα= TM1
TM
OM
TM
PQ
OQ
y
x==== (Los triángulos OPQ y TOM son semejantes)
Siempre que nos sea posible, utilizaremos la circunferencia de radio la unidad, que, como acabamos de ver, hace más simples las definiciones de las razones y muestra el significado geométrico de ellas.
Además, siendo α un ángulo de un cuadrante cualquiera, de las fórmulas anteriores se deduce que: -1≤senα≤1 y -1≤cosα≤1
α
s
n
r'
r
P'(x',y')
P(x,y)
Q Q' O
α
P
r=1
O Q R
S
cosα
senα tgα
cotgα
secα
cosecα
T M
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2.2 Signo de las razones trigonométricas de un ángulo
Teniendo en cuenta que el primer lado de un ángulo siempre se situa en la parte positiva
del eje de abcisas, se dice que el ángulo pertenece o está en el
cuadrante4cuadrante3
cuadrante2cuadrante1
º
ºer
er
si su segundo
lado está entre
abcisasdeejedelpositivapartelayordenadasdeejedelnegativapartelaordenadasdeejedelnegativapartelayabcisasdeejedelnegativapartela
abcisasdeejedelnegativapartelayordenadasdeejedelpositivapartelaordenadasdeejedelpositivapartelayabcisasdeejedelpositivapartela
.
Basta observar las figuras de arriba para concluir los resultados de la tabla siguiente.
r=1 senα=y cosα=x tgα=xy
cosecα=y1 secα=
x1 cotgα=
yx
α está en 1er cuadrante + + + + + + α está en 2º cuadrante + - - + - - α está en 3er cuadrante - - + - - + α está en 4º cuadrante - + - - + -
2.3 Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo
Identidades trigonométricas
De la propia definición de cada una de las razones trigonométricas se deduce que:
• tgα=α
α
cos
sen • cotgα=
α=
α
α
tg
1
sen
cos • cosecα=
αsen
1 • secα=
αcos
1
Por otra parte, puesto que el triángulo de la figura contigua es rectángulo, aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que (senα)2+(cosα)2=1. En la práctica, las potencias de las razones trigonométricas suelen escribirse así: (senα)2=sen2α, (cosα)3=cos3α, ... De esta forma, la igualdad anterior, conocida como fórmula fundamental de la Trigonometría, es sen2α+cos2α=1
s
n
P(x,y) r=1
O
+ +
Primer cuadrante
s
n
P(x,y)
r=1
O
- +
Segundo cuadrante
s
n
P(x,y)
r=1 O
Tercer cuadrante
- -
s
n
P(x,y)
r=1 O
Cuarto cuadrante
+ -
P(x,y) r=1
O α
Trigonometría Plana
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Dividiendo la fórmula fundamental de la Trigonometría por cos2α, se tiene:
α
=α
α+
α
α22
2
2
2
cos
1
cos
cos
cos
sen, es decir, 1+tg2α=sec2α
Dividiendo nuevamente la fórmula fundamental, esta vez por sen2α, se tiene:
α
=α
α+
α
α22
2
2
2
sen
1
sen
cos
sen
sen, es decir, 1+cotg2α=cosec2α
Ejemplos sobre la utilización de las fórmulas anteriores
1. Simplifica la expresión cos2α·α
α+
cotg
tg1 2
cos2α·α
α+
cotg
tg1 2
= cos2α·α
α
cotg
sec2
=cos2α·
α
αα
sen
coscos
12
=α
α
cos
sen=tgα
2. Demuestra la igualdad secα-cosα=tgα·senα
secα-cosα=αcos
1-cosα=
α
α=
α
α=
α
α−
cos
sen
cos
sen
cos
cos1 22
·senα=tgα·senα
Obtención de las razones de un ángulo a partir de una de ellas
Si conocemos una razón cualquiera de un ángulo y el cuadrante en que se encuentra este, las identidades trigonométricas anteriores nos van a permitir obtener las restantes razones trigonométricas de dicho ángulo. Veamos algunos ejemplos:
1. Sabiendo que cosα=3
2 y que 270º<α<360º, obtén las restantes razones de α.
cosα=3
2 secα=
2
3
sen2α=1-cos2α=1-9
5
9
4= ⇒senα=-
3
5
9
5−= cosecα=-
5
3
tgα=α
α
cos
sen=
3
5− :
3
2=
2
5− cotgα=-
5
2
2. Sabiendo que tgα=-4
3 y que α∈2º cuadrante, obtén las restantes razones de α.
tgα=-4
3 cotgα=-
3
4
sec2α=1+tg2α=1+16
25
16
9= ⇒secα=-
4
5
16
25−= cosα=-
5
4
tgα=α
α
cos
sen⇒senα=cosαtgα=-
5
4·(-
4
3)=
5
3 cosecα=
3
5
α∈2º cuadrante
α∈4º cuadrante
Trigonometría Plana
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3. Ángulos relacionados por sus razones trigonométricas
3.1 Ángulos de distinto cuadrante
En este apartado, trabajaremos solo con ángulos entre 0º y 360º. Tomado un ángulo en un cuadrante cualquiera, existe un ángulo en cada uno de los restantes cuadrantes cuyas razones trigonométricas son, en valor absoluto, iguales a las de dicho ángulo. Se dice entonces que los cuatro ángulos están asociados. Como se puede ver en la figura contigua, los segundos lados de estos cuatro ángulos forman dos rectas simétricas respecto a los dos ejes de coordenadas, y, si los observamos con detenimiento, nos será fácil descubrir a partir de la medida de uno de ellos lo que miden los tres restantes. Además, si conocemos las razones trigonométricas de uno, podemos hallar fácilmente las razones de los otros tres asociados.
Ejemplos
1. a. Calcula los tres ángulos asociados a 60º Observando la figura anterior (nos vale aunque el ángulo del primer cuadrante no corresponda exactamente a 60º) se adivina fácilmente que: 2º cuadrante: 180º-60º=120º 3er cuadrante: 60º+180º=240º 4º cuadrante: 360º-60º=300º
b. Calcula las tangentes de estos tres ángulos a partir de la de 60º
120º∈2º cuad. y 60º∈1er cuad. tienen tangentes opuestas: tg120º=-tg60º 240º∈3er cuad. y 60º∈1er cuad. tienen tangentes iguales: tg240º=tg60º 300º∈4º cuad. y 60º∈1er cuad. tienen tangentes opuestas: tg300º=-tg60º
2. a. Sabiendo que 180º<α<270º, calcula los ángulos asociados a α Observa nuevamente la figura de arriba y descubrirás que los ángulos son: 1er cuadrante: α-180º (Usamos este para calcular los otros dos) 2º cuadrante: 180º-(α-180º)=180º-α+180º=360º-α 4º cuadrante: 360º-(α-180º)=360º-α+180º=540º-α
b. Sabiendo que secα=-3, calcula la secante de los tres ángulos asociados a α sec(α-180º)=-secα=3 (α-180º∈1er cuad. y α∈3er cuad. tienen secantes opuestas) sec(360º-α)=secα=-3 (360º-α∈2º cuad. y α∈3er cuad. tienen la misma secante) sec(540º-α)=-secα=3 (540º-α∈4º cuad. y α∈3er cuad. tienen secantes opuestas)
(a,b) r=1
O
(-a,b)
(-a,-b) (a,-b)
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3. Sabiendo que tgα= 3 y que 0º<α<90º, calcula cos(180º+α)
Como se observa en la figura contigua, α y 180º+α son ángulos asociados con tangentes iguales.
tg(180º+α)=tgα= 3 sec2(180º+α)=1+tg2(180º+α)=1+3=4⇒
sec(180º+α)=- 4 =-2 cos(180º+α)=-2
1
3.2 Ángulos complementarios Dos ángulos entre 0º y 90º se llaman complementarios si suman 90º. Si uno de ellos es α, evidentemente el otro es entonces 90º-α.
Observando con atención la figura contigua, descubrimos que
sen(90º-α)=cosα y cos(90º-α)=senα,
y de estas igualdades deducimos que
tg(90º-α)=α
α=
α−
α−
sen
cos
)º90cos(
)º90sen(=cotgα
cotg(90º-α)=α
α=
α−
α−
cos
sen
)º90sen(
)º90cos(=tgα
sec(90º-α)=α
=α− sen
1
)º90cos(
1=cosecα
cosec(90º-α)=α
=α− cos
1
)º90sen(
1=secα
Ejemplos
1. Sabiendo que sec60º=2, calcula cosec330º cosec330º=-cosec30º=-sec60º=-2 2. Sabiendo que cotgα=4 y que 0º<α<90º, calcula tg(270º-α) tg(270º-α)=tg(270º-α-180º)=tg(90º-α)=cotgα=4
4. Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo
4.1 Razones trigonométricas de los ángulos más utilizados La obtención de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera es, en general, difícil y no puede hacerse por medio de métodos elementales.
O
180+α α
180º+α∈3er cuadrante
30º y 60º son complementarios 330º y 30º son asociados
90º-α y α son complementarios 270º-α∈3er cuadrante y 270º-α-180º∈1er cuadrante son asociados
P(a,b)
O α
90º-α
Q(b,a)
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Existen sin embargo algunos ángulos, frecuentemente utilizados, cuyas razones pueden calcularse de forma más o menos sencilla. A continuación vamos a conocerlos.
Ángulos extremos de los cuadrantes
Basta observar las figuras de arriba para deducir los resultados de la tabla siguiente:
Seno Coseno Tangente Cosecante Secante Cotangente 0º 0 1 0 No existe 1 No existe 90º 1 0 No existe 1 No existe 0 180º 0 -1 0 No existe -1 No existe 270º -1 0 No existe -1 No existe 0
Ángulos 30º, 45º y 60º
30º
El triángulo OSP de la figura adjunta es equilátero, con lo
que, sen30º=2
1BP = .
Además, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo OBP, tenemos
2
3º30cosOB
4
3
4
11OB1
2
1OB
22
2==⇒=−=⇒=
+
45º
El triángulo OBP es rectángulo isósceles ya que cos45º= BPOB = =sen45º, con lo que, aplicando el teorema de Pitágoras, cos245º+cos245º=1⇒2cos245º=1⇒
⇒cos245º=2
1
2
2
2
1º45cos ==⇒ =sen45º
60º
Al ser 60º complementario de 30º, resulta que
sen60º=cos30º=2
3 y cos60º=sen30º=
2
1
P(1,0) r=1
O
0º
P(0,1)
r=1
O
90º
P(0,-1)
r=1 O
270º
P(-1,0)
r=1
O
180º
O 30º
B
S
P
30º
r=1
O
45º B
P
r=1
Trigonometría Plana
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De todo lo anterior, deducimos con facilidad todas las razones de 30º, 45º y 60º, que son:
Seno Coseno Tangente Cosecante Secante Cotangente
30º 2
1
2
3
3
3
3
1= 2
3
32
3
2= 3
45º 2
2
2
2 1 2
2
2= 2
2
2= 1
60º 2
3
2
1 3
3
32
3
2= 2
3
3
3
1=
Basta con que memorices las razones resaltadas (busca una regla mnemotécnica), ya que las restantes se deducen con facilidad de estas.
Ángulos asociados a los anteriores
Veamos, mediante varios ejemplos, como calcular razones de ángulos asociados con alguno de los anteriores:
1. cos135º=-cos45º=-2
2 2. tg240º=tg60º= 3 3. cotg330º=-cotg30º=- 3
4. sen3645º=sen(10·360º+45º)=sen45º=2
2
5. sec720º=sec(2·360º+0º)=sec0º=1
6. cotg-300º=cotg60º=3
3
7. sen–3000º=sen(-8·360º-120º)=sen-120º=sen(360º-120º)=sen240º=-sen60º=-2
3
8. cos51π=cos(25·2π+π)=cosπ=-1
9. tg-4
13π=tg-585º=tg(-360º-225º)=tg-225º=tg(360º-225º)=tg135º=-tg45º=-1
10. cosec2
11π=cosec990º=cosec(2·360º+270º)=cosec270º=-1
11. cotg-3π=cotg(-2π-π)=cotg-π=cotgπ No existe
O 60º
r=1
-
-
+
+
240º
O 30º
r=1
- +
330º +
O
45º
r=1
- -
135º
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sin cos tan
4.2 Razones trigonométricas de los restantes ángulos Razones trigonométricas como sen33º, cos2, ... no es posible hallarlas con métodos sencillos, pero afortunadamente, para su obtención, disponemos de las calculadoras. Estas poseen las teclas , con las que podremos calcular seno, coseno y tangente de cualquier ángulo. Para ello, debemos en primer lugar escoger el modo adecuado al tipo de unidades (DEG→grados, RAD→radianes) con la tecla y en segundo lugar escribir el ángulo y pulsar la tecla correspondiente. Aunque la calculadora te sirve para calcular cualquier razón trigonométrica, es imprescindible que sepas obtener, sin usarla, las razones de los ángulos más utilizados.
Ejemplos
1. sen33º:
(Modo DEG)
2. cos2:
(Modo RAD)
5. Operaciones recíprocas al cálculo de razones
Hasta aquí hemos aprendido, dado un ángulo, a calcular sus razones trigonométricas, pero, ¿qué ocurriría si no dispusiésemos del ángulo y sí de una de sus razones?, ¿sabríamos obtener dicho ángulo? Para ayudarnos a resolver estas cuestiones, definimos como sigue las operaciones recíprocas al cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo:
Sea x un número real cualquiera. Arcoseno de x: arcsenx={ángulos cuyo seno es x} Arcocoseno de x: arccosx={ángulos cuyo coseno es x} Arcotangente de x: arctgx={ángulos cuya tangente es x} Arcocosecante de x: arccosecx={ángulos cuya cosecante es x} Arcosecante de x: arcsecx={ángulos cuya secante es x} Arcocotangente de x: arccotgx={ángulos cuya cotangente es x}
Ejemplos
Casos que debemos saber resolver sin calculadora
1. arcsen2
1={30º+k·360º, k∈Z}∪{150º+k·360º, k∈Z}
2. arctg-1={135º+k·360º, k∈Z}∪{315º+k·360º, k∈Z}={135º+k·180º, k∈Z}
3. arcsec2=arccos2
1={60º+k·360º, k∈Z}∪{300º+k·360º, k∈Z}
4. arcsen0={0+k·2π, k∈Z}∪{π+k·2π, k∈Z}={0+k·π, k∈Z}
Mode
3 sin 3 0,54463904
2 cos -0,41614684
Trigonometría Plana
13
sin cos tan
5. arccosec-1=arcsen-1={2
3π+k·2π, k∈Z}
6. arccos0={2
π+k·2π, k∈Z}∪{
2
3π+k·2π, k∈Z}={
2
π+k·π, k∈Z}
Casos en los que es necesario usar la calculadora y ... algo más
Si el valor dado corresponde a una de las tres razones fundamentales, el proceso es muy sencillo, basta con escribirlo y, a continuación, pulsar la tecla seguida de la razón de que se trate, , o . Ahora bien, si el valor dado corresponde a la cosecante, secante o cotangente, se introduce su valor en pantalla, se pulsa la tecla , con lo que se obtiene la razón inversa, y se continua la operación de la misma forma que antes.
7. arcsen0,4:
(Resultado en grados, modo DEG) arcsen0,4={23,578178º+k·360º, k∈Z}∪{180º-23,578178º+k·360º, k∈Z}= ={23,578178º+k·360º, k∈Z}∪{156,421822º+k·360º, k∈Z}
8. arccos-0,6:
(Resultado en radianes, modo RAD) arccos-0,6={π-0,92729522+k·2π, k∈Z}∪{π+0,92729522+ k·2π, k∈Z}= ={2,214297434+k·2π, k∈Z}∪{4,068887874+k·2π, k∈Z} Piensa sobre como llegar al mismo resultado a partir de,
9. arctg-4:
(Resultado en grados, modo DEG) arctg-4={180º-75,963757º+k·180º, k∈Z}={104,036243º+k·180º, k∈Z} Piensa sobre como llegar al mismo resultado a partir de,
10. arcsec3:
(Resultado en grados, modo DEG) arcsec3={70,528779º+k·360º, k∈Z}∪{360º-70,528779º+k·360º, k∈Z}= ={70,528779º+k·360º, k∈Z}∪{289,471221º+k·360º, k∈Z}
Como hemos podido observar en los ejemplos, el ángulo que aparece en la pantalla de una calculadora cuando intentamos calcular arcoseno, arcocoseno o arcotangente de un número, está comprendido siempre entre –90º y 180º. Parece claro entonces, que el procedimiento más sencillo para calcular arcoseno, arcocoseno o arcotangente de un número es aquel que consiste en hallar, mediante la calculadora, el ángulo del 1er cuadrante que resulta al hacer arcoseno, arcocoseno o arcotangente repectivamente del valor absoluto del número, para, a partir de el y mediante procedimientos que ya conoces, hallar los ángulos buscados.
INV
1/x
0 INV sin . 4 23,578178
0 INV cos . 6 0,92729522
0 INV cos . 6 2,2142974 +/-
4 INV tg 75,963757
4 INV tg +/- -75,963757
3 INV cos 1/x 70,528779
Trigonometría Plana
14
Por otra parte, en muchas ocasiones no buscamos todos los ángulos cuya razón trigonométrica es un número dado, sino solamente uno o varios de ellos. Así, con frecuencia encontrarás y utilizarás expresiones como arcsen1=90º, arccos0,5=60º, arctg0=0, etc. Piensa siempre si son correctas en el contexto en el cual las estás usando. Ejemplos bastante claros de esto, los encontrarás en el siguiente apartado.
6. Resolución de triángulos rectángulos
6.1 Relaciones entre los elementos de un triángulo rectángulo
Dado el triángulo rectángulo ABC de la figura contigua, recto en A, y cuyos lados opuestos a los vértices A, B y C son a, b, y c respectivamente, se trata de establecer todas las relaciones posibles entre los lados a, b y c, y los ángulos
C y B ,A de modo que conocidos varios de ellos podamos calcular los restantes.
Sabemos ya que
• º90CBº90A
º180CBA=+⇒
=
=++, es decir, C y B son complementarios.
• a2=b2+c2 (Teorema de Pitágoras)
Si situamos el triángulo como puedes observar en la figura adjunta, aplicando las definiciones de las razones trigonométricas, tenemos que
Bcosa
cCsen ==
Bsena
bCcos ==
Bcotgb
cCtg ==
Btgc
bCcotg ==
o, dicho más resumido, si α es un ángulo no recto de un triángulo rectángulo, entonces,
senα=hipotenusa
opuesto cateto, cosα=
hipotenusa
contiguo cateto y tgα=
contiguo cateto
opuesto cateto.
6.2 Casos de resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo rectángulo consiste en hallar todos sus elementos (tres lados y tres ángulos de los cuales el recto ya sabemos que mide 90º), conocido un número mínimo de los mismos que sea suficiente para determinarlo. En Geometría se demuestra que es preciso conocer al menos dos elementos distintos del ángulo recto.
A
A
C
B
B
C
a c
b
A
A
C
B
B
C
a c
b
Trigonometría Plana
15
A continuación, utilizando las relaciones existentes entre los distintos elementos, vamos a ver, mediante ejemplos, los cuatro casos posibles de resolución de triángulos rectángulos.
1er caso: Los datos son un ángulo agudo y la hipotenusa
a=10, C =40º:
B=90º-40º=50º
Ccosaba
bCcos =⇒= =10cos40º≅10·0,766=7,66
Csenaca
cCsen =⇒= =10sen40º≅10·0,643=6,43
2º caso: Los datos son un cateto y un ángulo agudo
b=6, B=49º:
C =90º-49º=41º
95,775471,0
6
º49sen
6
Bsen
ba
a
bBsen ≅≅==⇒=
216,515037,1
6
º49tg
6
Btg
bc
c
bBtg ≅≅==⇒=
3er caso: Los datos son la hipotenusa y un cateto
a=25, b=20:
c= 2254006252025 22 =−=− =15
'52º365
4arccosC
5
4
25
20
a
bCcos ≅=⇒===
B≅90º-36º52'=53º8'
4º caso: Los datos son los dos catetos
b=8, c=24:
a= 64057664248 22 =+=+ ≅25,3
º6,713arctgC38
24
b
cCtg ≅=⇒===
B≅90º-71,6º=18,4º
6.3 Aplicaciones La resolución de triángulos rectángulos es de gran utilidad en el estudio de numerosos problemas geométricos (cálculo de longitudes, áreas, volúmenes, etc. de figuras geométricas), problemas físicos (estudio de fuerzas, movimientos, etc.) o problemas topográficos (medida de extensiones de tierra, distancias entre puntos y objetos de la superficie terrestre, ángulos, etc.).
A C
B
a=10 c
b
40º
A C
B
a c
b=6
49º
A C
B
a=25 c
b=20
A C
B
c=24
b=8
Trigonometría Plana
16
A continuación, vamos a ver algunos de entre los muchos ejemplos de estos problemas que podrían proponerse.
1. La base de un triángulo isósceles mide 10 m y el ángulo opuesto 50º. Halla el área del triángulo.
Consideremos que el triángulo es el de la figura.
tg 25º= m 7225,104663'0
5
º25tg
5AH
AH
5≅≅=⇒
Área de ABC= AH · BH =5 · 10,7225=53,6126 m2
2. Calcula el lado de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 8 m de radio.
Consideremos que el octógono es el de la figura.
AOB= º458
º360=
Trazando la apotema OM , el triángulo AOB queda dividido en dos triángulos rectángulos iguales, el OAM y el OMB.
AOM=2
º45
2
AOB= =22º30'
sen22º30'= '30º22·sen8AMOA
AM=⇒ =3,06147 m
El lado del octógono es m 123,606147,3·2AM2AB ===
3. Un cuerpo cuyo peso es de 50 Kp cae por un plano inclinado de 30º. Halla las fuerzas tangencial y normal al plano.
Consideremos el problema planteado en la figura adjunta.
El peso PQ se descompone en las fuerzas
PR y PS , paralela y normal al plano, respectivamente.
sen30º=2
1· 50º30sen|PQ||PS|
|PQ|
|PS|==⇒ =25 Kp
cos30º= 3252
3·50º30cos|PQ||PR|
|PQ|
|PR|===⇒ Kp
4. Para determinar la altura de un faro, a 50 m de distancia en horizontal del centro de su base se dispone un teodolito, aparato topográfico destinado a la medición de ángulos, y desde el mismo se lanza una visual al punto más alto del faro, observándose que dicha visual forma un ángulo de 38º32' con la horizontal. Considerando que el anteojo del teodolito se encuentra a 1,70 m de altura sobre el suelo, calcula la altura del faro.
B H C
A
25º 25º
5 m 5 m
M
O
E
8 m
A B
C
D
F
H
G
P
30º
30º
30º Q
S
R
Trigonometría Plana
17
Representado gráficamente el problema en la figura de arriba,
tgACB= ABAC
AB⇒ =50·tg38º32'=50·0,79639⇒AB =39,82 m
Teniendo en cuenta la altura a que se encuentra el anteojo del teodolito, h=h'+AB =1,70+39,82=41,52 m
5. Con objeto de determinar la altura de un árbol situado en el mismo plano horizontal que nosotros pero en un lugar inaccesible, disponemos un teodolito en un punto accesible y desde el mismo lanzamos una visual al punto más alto del árbol, obteniendo un ángulo de inclinación de 30º. A continuación, adelantamos el teodolito una distancia de 30 m en dirección al árbol y volvemos a lanzar otra visual al mismo punto, obteniendo en este caso un ángulo de 45º. Calcula la altura del árbol, considerando que el anteojo del teodolito se encuentra a 1,50 m de altura sobre el suelo.
C D A
B
D
30º 45º
30 m
38º32' A
B
C h'
h
50 m
Trigonometría Plana
18
Representado gráficamente el problema en la figura anterior, si escribimos hAB ,dDA == , tenemos que,
tg45º=d
h⇒1=
d
h⇒d=h
tg30º=d30
h
+⇒
d30
h
3
1
+=
⇒13
30h)13(h30h3h30
h30
h
3
1
−=⇒−=⇒=+⇒
+= ≅40,98 m
Por tanto, la altura del árbol será, h + 1,50 m = 40,98 m + 1,50 m =42,48 m
� Como has podido observar en los ejemplos anteriores, en Trigonometría es muy frecuente tomar aproximaciones para resolver con más comodidad los problemas. Cuando así lo hagas, utiliza al menos tres cifras decimales para las razones trigonométricas, aunque para los ángulos, las distancias, áreas, etc. utilices menos. ¿Por qué crees que es necesario usar más cifras decimales para las razones que para otras medidas?
7. Razones trigonométricas de los ángulos suma, diferencia, doble y mitad
7.1 Suma de ángulos
Sean α y β los dos ángulos de la figura.
βα=⇒
α=⇒=α
==β
·cossenCA
OA·senCAOA
CAsen
OA1
OAcos
βα=⇒
α=⇒=α
==β
·sencosAE
AB·cosAEAB
AEcos
AB1
ABsen
sen(α+β)= AECACEDB +== ⇒ sen(α+β)=senαcosβ+cosαsenβ
βα=α=⇒=α ·coscosOA·cosOCOA
OCcos
βα=α=⇒=α ·sensenAB·senBEAB
BEsen
cos(α+β)= BEOCDCOCOD −=−= ⇒ cos(α+β)=cosαcosβ-senαsenβ
⇒
O
α
β
E
r=1
B
α
A
D C
Trigonometría Plana
19
Aunque la demostración de las fórmulas anteriores está hecha con dos ángulos del primer cuadrante, ambas fórmulas son ciertas para cualquier par de angulos α y β.
Además, tg(α+β)=
βα
βα−βαβα
βα+βα
=βα−βα
βα+βα=
β+α
β+α
coscos
sensencoscoscoscos
sencoscossen
sensencoscos
sencoscossen
)cos(
)sen(⇒
⇒ tg(α+β)=βα−
β+α
tgtg1
tgtg
7.2 Diferencia de ángulos
Sean α y β dos ángulos cualesquiera.
sen(α-β)=sen(α+(-β))=senαcos(-β)+cosαsen(-β)=senαcosβ-cosαsenβ
cos(α-β)=cos(α+(-β))=cosαcos(-β)-senαsen(-β)=cosαcosβ+senαsenβ
tg(α-β)=tg(α+(-β))=βα+
β−α=
β−α−
β−+α
tgtg1
tgtg
)tg(tg1
)tg(tg
Las fórmulas resultantes son por tanto
sen(α-β)=senαcosβ-cosαsenβ cos(α-β)=cosαcosβ+senαsenβ tg(α-β)=βα+
β−α
tgtg1
tgtg
7.3 Ángulo doble
Sea α un ángulo cualquiera. Aplicando las fórmulas de las razones de una suma a α+α,
sen2α=sen(α+α)=senαcosα+cosαsenα=2senαcosα cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-senαsenα=cos2α-sen2α
tg2α=tg(α+α)=α−
α=
αα−
α+α2tg1
tg2
tgtg1
tgtg
Las fórmulas resultantes son por tanto
sen2α=2senαcosα cos2α=cos2α-sen2α tg2α=α−
α2tg1
tg2
7.4 Ángulo mitad
Sea α un ángulo cualquiera y 2
α su mitad.
cosα=cos22
α=cos2
2
α-sen2
2
α=1-sen2
2
α-sen2
2
α=1-2sen2
2
α⇒ sen
2
α=
2
cos1 α−±
Dividimos numerador y denominador por cosαcosβ
Fórmula del seno de una suma
Fórmula del coseno de una suma
Fórmula de la tangente de una suma tg(-β)=-tgβ
cos(-β)=cosβ y sen(-β)=-senβ
La elección del signo depende del cuadrante en que se encuentre α/2
Fórmula del coseno del ángulo doble
Trigonometría Plana
20
cosα=cos22
α=cos2
2
α-sen2
2
α=cos2
2
α-1+cos2
2
α=2cos2
2
α-1⇒ cos
2
α=
2
cos1 α+±
Además,
α+
α−±=
α⇒
α+±
α−±
=α
α
=α
cos1
cos1
2tg
2
cos12
cos1
2cos
2sen
2tg
7.5 Aplicaciones Veamos a continuación algunos ejemplos de aplicación de las fórmulas anteriores:
1. Calcula, sin hallar razones trigonométricas con la calculadora, las razones sen15º, cos15º, tg75º:
sen15º=+2
º30cos1−=+
2
32
22
31
−+=
−≅0,259
cos15º=+2
º30cos1+=+
2
32
22
31
++=
+≅0,966
tg75º=tg(30º+45º)=2
324
13
13
1·3
11
13
1
º45tgº30tg1
º45tgº30tg +=
−
+=
−
+
=−
+≅3,732
2. Sabiendo que sen20º≅0,342, halla, sin usar la calculadora para razones trigonométricas, las razones cos40º, sen5º:
cos40º=cos(2·20º)=cos220º-sen220º=1-sen220º-sen220º=1-2sen220º≅0,7661
sen5º=sen(20º-15º)=sen20ºcos15º-cos20ºsen15º≅0,342·0,966-0,940·0,259≅0,087
3. Sabiendo que tg2α= 8 y que 180º<2α<270º, halla senα, cosα y tg2
α:
sec22α=1+tg22α=1+8=9⇒sec2α=-3⇒cos2α=-3
1
senα=+2
2cos1 α−=+
3
2
23
11
+=+
cosα=-2
2cos1 α+=-
3
1
23
11
−=−
La elección del signo depende del cuadrante en que se encuentre α/2
cos20º= º20sen12
− =0,940
Trigonometría Plana
21
tg2
α=
13
13
3
11
3
11
cos1
cos1
−
+=
−
+
=α+
α−
4. Simplifica la expresión
2tg1
2tg2
2 α+
α
:
22sen
2cos
2sen2
2cos
12
cos
2sen
2
2sec
2tg2
2tg1
2tg2
2
22
α=
αα=
α
α
α
=α
α
=α
+
α
=senα
5. Demuestra que sen(90º-α)=cosα, cos(90º-α)=senα:
sen(90º-α)=sen90ºcosα-cos90ºsenα=1·cosα-0·senα=cosα cos(90º-α)=cos90ºcosα+sen90ºsenα=0·cosα+1·senα=senα
8. ¡Uf!, más fórmulas trigonométricas
8.1 Fórmulas de transformación de productos en sumas Estas fórmulas tienen por objeto transformar un producto de razones trigonométricas de ángulos cualesquiera, en suma o diferencia de razones de otros ángulos relacionados con los primeros.
Transformación en suma del producto senαααα·cosββββ
Sumando miembro a miembro las fórmulas del seno de una suma y de una diferencia, sen(α+β)=senαcosβ+cosαsenβ sen(α-β)=senαcosβ-cosαsenβ se obtiene
sen(α+β)+sen(α-β)=2senαcosβ ⇔ senαcosβ=2
1(sen(α+β)+sen(α-β))
Transformación en suma del producto senαααα·senββββ
Restando miembro a miembro las fórmulas del coseno de una diferencia y de una suma, cos(α-β)=cosαcosβ+senαsenβ cos(α+β)=cosαcosβ-senαsenβ se obtiene
cos(α-β)-cos(α+β)=2senαsenβ ⇔ senαsenβ=2
1(cos(α-β)-cos(α+β))
Trigonometría Plana
22
Transformación en suma del producto cosαααα·cosββββ
Sumando miembro a miembro las fórmulas del coseno de una suma y de una diferencia, cos(α+β)=cosαcosβ-senαsenβ cos(α-β)=cosαcosβ+senαsenβ se obtiene
cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ ⇔ cosαcosβ=2
1(cos(α+β)+cos(α-β))
8.2 Fórmulas de transformación de sumas en productos Estas fórmulas tienen por objeto transformar una suma o una diferencia de razones trigonométricas de ángulos cualesquiera, en producto de razones de otros ángulos relacionados con los primeros.
Transformación en producto de la suma senA+senB
Si en la fórmula de la pregunta anterior sen(α+β)+sen(α-β)=2senαcosβ hacemos
α+β=A 2α=A+B⇒α=2
BA +
α-β=B 2β=A-B⇒β=2
BA −
resulta senA+senB=2sen2
BA +cos
2
BA −
Transformación en producto de la diferencia senA-senB
Si aplicamos la fórmula anterior a los ángulos A y –B,
senA+sen(-B)=2sen2
)B(A −+cos
2
)B(A −−, y puesto que sen(-B)=-senB,
resulta senA-senB=2sen2
BA −cos
2
BA +
Transformación en producto de la suma cosA+cosB
Si en la fórmula de la pregunta anterior cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ hacemos α+β=A α-β=B
resulta cosA+cosB=2cos2
BA +cos
2
BA −
Transformación en producto de la diferencia cosA-cosB
Si en la fórmula de la pregunta anterior cos(α-β)-cos(α+β)=2senαsenβ hacemos α+β=A α-β=B
resulta cosA-cosB=-2sen2
BA +sen
2
BA −
⇒
⇒α=2
BA + y β=
2
BA −
⇒α=2
BA + y β=
2
BA −
Trigonometría Plana
23
9. Ecuaciones trigonométricas Ecuaciones trigonométricas son aquellas en las que la incógnita está sometida a alguna razón trigonométrica.
Ejemplos
1. 2senx+cos2x=1 2. senx+cosx=-1 3. sen3x+senx=0
Aunque no existe un método de carácter general que permita afrontar con garantía la resolución de ecuaciones trigonométricas, para una gran mayoría de ellas, es aconsejable seguir los siguientes pasos:
• Se expresan todas las razones trigonométricas en función de una de ellas. • Se toma esta razón como incógnita, sustituyéndola por una letra. • Se resuelve la ecuación algebraica obtenida. • Se hallan los valores correspondientes a la incógnita inicial, discutiendo los
resultados y rechazando aquellos que sean absurdos. • En algunos casos, es necesario comprobar si las soluciones obtenidas
verifican la ecuación inicial.
Ejemplos
1. 2senx+cos2x=1:
2senx+1-sen2x=1⇔2senx-sen2x=0 Hacemos senx=y:
2y-y2=0⇔(2-y)y=0⇒
=
=
2y
0y
y=senx=0⇒x=arcsen0=0º+k·180º, k∈Z y=senx=2⇒x=arcsen2 no existe Las soluciones de la ecuación son por tanto x=0º+k·180º, k∈Z
2. senx+cosx=-1:
Elevando al cuadrado los dos miembros de la ecuación, (senx+cosx)2=(-1)2⇔sen2x+cos2x+2senxcosx=1⇔1+sen2x=1⇔sen2x=0⇒ ⇒2x=arcsen0=0º+k·180º, k∈Z ⇒ x=0º+k·90º, k∈Z Las soluciones correspondientes a la primera vuelta positiva de circunferencia son 0º, 90º, 180º y 270º. Sin embargo, si las comprobamos,
sen0º+cos0º=0+1=1≠-1 sen90º+cos90º=1+0=1≠-1 sen180º+cos180º=0-1=-1 sen270º+cos270º=-1+0=-1
observamos que 0º y 90º no verifican la ecuación.
Las soluciones de la ecuación son por tanto
+=
+=
º360·kº270x
º360·kº180x, k∈Z
Trigonometría Plana
24
3. sen3x+senx=0:
Recordando la fórmula de transformación de una suma de senos en producto,
sen3x+senx=0⇒2sen2
xx3 +cos
2
xx3 −=0⇒2sen2xcosx=0⇒
⇒
∈+==⇒=
∈+=⇒+==⇒=
Zk ,º180·kº900arccosx0xcos
Zk ,º90·kº0xº180·kº00arcsenx20x2sen
Las soluciones de la ecuación son por tanto x=0º+k·90º, k∈Z
10. Resolución de triángulos 10.1 Relaciones entre los elementos de un triángulo
Dado el triángulo ABC de la figura contigua, cuyos lados opuestos a los vértices A, B y C son a, b, y c respectivamente, se trata de establecer todas las relaciones
posibles entre los lados a, b y c, y los ángulos C y B ,A de modo que conocidos varios de ellos podamos calcular los restantes. Sabemos ya que
• º180CBA =++ • Cualquier lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su
diferencia. • A mayor lado corresponde mayor ángulo opuesto y viceversa.
Veamos a continuación las relaciones entre los elementos de un triángulo que nos ofrece la Trigonometría.
Teorema del seno
Dado un triángulo cualquiera ABC, se verifica que Csen
c
Bsen
b
Asen
a
ˆˆˆ==
Demostración:
Consideremos el triángulo ABC de la figura contigua, en el que trazamos la altura correspondiente al vértice C, CH .
⇒=⇒
=⇒=
=⇒=
AsenbBsena
AsenbCHb
CHAsen
BsenaCHa
CHBsen
Bsen
b
Asen
a=⇒ .
De igual modo, trazando la altura correspondiente al vértice B, se demuestra que
Csen
c
Asen
a=
B
B A
C
C
A
b a
c
B A
C
b a
c H
Trigonometría Plana
25
Teorema del coseno a
2=b
2+c
2-2bccos A
Dado un triángulo cualquiera ABC, se verifica que b2=a
2+c
2-2accos B
c2=a
2+b
2-2abcosC
Demostración:
Consideremos el triángulo ABC de la figura contigua, en el que trazamos la altura correspondiente al vértice C, CH .
a2=22
HBCH +
b2=22222
AHbCHAHCH −=⇒+
Sustituyendo 2
CH en la expresión de a2:
a2=222 HBAHb +−
Por otra parte,
AHc2AHc)AHc(HBAHcHBcHBAH2222
−+=−=⇒−=⇒=+
Sustituyendo 2
HB en la última expresión de a2:
a2= AHc2cbAHc2AHcAHb 222222 −+=−++−
Además, AcosbAHb
AHAcos =⇒=
Finalmente, sustituyendo AH en la última expresión de a2, tenemos que a2=b2+c2-2bccos A Procediendo de igual modo, se demuestran b2=a2+c2-2accos B y c2=a2+b2-2abcosC
10.2 Casos de resolución de triángulos Resolver un triángulo consiste en hallar todos sus elementos (tres lados y tres ángulos), conocido un número mínimo de los mismos que sea suficiente para determinarlo. En Geometría se demuestra que es preciso conocer al menos tres elementos de los cuales al menos uno ha de ser un lado. A continuación, utilizando las relaciones existentes entre los distintos elementos, vamos a ver, mediante ejemplos, los cuatro casos posibles de resolución de triángulos.
1er caso: Los datos son los tres lados
a=7, b=10, c=6:
a2=b2+c2-2bccos A⇒cos A = º5,43A120
87
bc2
acb 222
≅⇒=−+
b2=a2+c2-2accos B⇒cos B= º3,100B84
15
ac2
bca 222
≅⇒−=−+
C ≅180º-43,5º-100,3º=36,2º
El único triángulo solución tiene A ≅43,5º, B≅100,3º, C ≅36,2º
B A
C
b a
c H
Trigonometría Plana
26
2º caso: Los datos son dos lados y el ángulo que comprenden
b=5, c=12, A =40º:
a2=b2+c2-2bccos A⇒a= º40cos12014425 −+ ≅8,78
b2=a2+c2-2accos B⇒cos B= º48,21B9306,0ac2
bca 222
≅⇒≅−+
C ≅180º-40º-21,48º=118,52º
El único triángulo solución tiene a≅8,78, B≅21,48º, C ≅118,52º
3er caso: Los datos son dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos
a=6, c=9, A =50º:
1149,1a
AsencCsen
Csen
c
Asen
a>≅=⇒=
No existe un triángulo con estos elementos.
a=8, b=5, A =62º:
=−≅
≅⇒≅=⇒=
válidano º5,146º5,33º180B
º5,33B5518,0
a
AsenbBsen
Bsen
b
Asen
a
C ≅180º-62º-33,5º=84,5º
9Asen
Csenac
Csen
c
Asen
a≅=⇒=
El único triángulo solución tiene B≅33,5º, C ≅84,5º, c≅9
a=7, c=8, A =30º:
=−≅
≅⇒==⇒=
º15,145º85,34º180C
º85,34C
7
4
a
AsencCsen
Csen
c
Asen
a
1ª solución:
º85,34C ≅
B≅180º-30º-34,85º=115,15º
67,12Asen
Bsenab
Bsen
b
Asen
a≅=⇒=
El primer triángulo solución tiene º85,34C ≅ , B≅115,15º, b≅12,67 2ª solución:
º15,145C ≅
B≅180º-30º-145,15º=4,85º
18,1Asen
Bsenab
Bsen
b
Asen
a≅=⇒=
El segundo triángulo solución tiene º15,145C ≅ , B≅4,85º, b≅1,18
Trigonometría Plana
27
4º caso: Los datos son un lado y dos ángulos
a=340, B =42º, C=57º:
A =180º-42º-57º=81º
34,230Asen
Bsenab
Bsen
b
Asen
a≅=⇒=
70,288Asen
Csenac
Csen
c
Asen
a≅=⇒=
El único triángulo solución tiene A =81º, b≅230,34, c≅288,70
10.3 Aplicaciones La resolución de triángulos es de gran utilidad en una extensa variedad de problemas, fundamentalmente geométricos y topográficos. A continuación, vamos a ver algunos ejemplos suficientemente ilustrativos.
1. Halla la diagonal mayor de un paralelogramo, sabiendo que uno de sus ángulos interiores es igual a 70º y que sus lados miden 1 cm y 2 cm.
Sea el paralelogramo el representado en la figura. B=180º-70º=110º Aplicando el teorema del coseno en el triángulo ABC, resulta
B·cosBC·AB·2BCABAC222
−+= = =22+12-2·2·1cos110º≅6,36808⇒AC ≅2,524 cm
2. Los radares de dos portaviones que navegan en paralelo a 350 m de distancia uno del otro detectan una avioneta situada en el mismo plano vertical que los navíos, aunque no entre ellos. Las visuales lanzadas desde cada uno de los barcos a la avioneta producen ángulos de inclinación de 38º y 21º. ¿A qué distancia se encuentra la avioneta de cada uno de los portaviones?
A 2 cm
70º
B
D C
1 cm
A
B C
38º 21º
350 m
Trigonometría Plana
28
Representado gráficamente el problema en la figura de la página anterior, en el triángulo ABC conocemos: C =21º, B=180º-38º=142º, BC=350 m.
Resolviendo dicho triángulo, A =180º-21º-142º=17º
º17sen
º21·sen350
Asen
CsenBCAB
Csen
AB
Asen
BC==⇒= ≅429 m
º17sen
º142·sen350
Asen
BsenBCAC
Bsen
AC
Asen
BC==⇒= ≅737 m
Los portaviones están aproximadamente a 429 m y 737 m de la avioneta.
3. El profesor Van Helsing, enemigo encarnizado del conde Drácula, intenta salvar de los colmillos de este a los monjes que habitan una abadía en los Cárpatos. El profesor, que aún ha de preparar las armas con las que acabar con Drácula, ya sabes, el agua bendita, la ristra de ajos, la estaca de madera, ..., tarda en recorrer el camino hasta la abadía 1 hora. Son las 7 de la tarde y la noche cae a las nueve, hora en que Dracula despierta. Van Helsing, que dispone de un teodolito, como todo profesor precavido, mide los ángulos que puedes observar en la figura, DAC=70º, CAB=34º, ABD=50º, DBC=85º, para lo que se situa en los puntos A y B distantes entre si 300 m. Sabiendo que Drácula vuela a una velocidad constante de 32 km/h, ¿antes de qué hora ha de partir Van Helsing hacia la abadía?
Parece claro que en primer lugar tenemos que calcular la distancia que tiene que recorrer Drácula, es decir CD .
D
C
A B
70º
34º 50º
85º
300 m
Trigonometría Plana
29
En el triángulo ABD, cuyos datos son,
DAB=DAC+CAB=70º+34º=104º, ABD=50º, AB =300 m,
calculamos AD :
ADB=180º-104º-50º=26º
º26sen
º50·sen300
ADBsen
ABDsenABAD
ABDsen
AD
ADBsen
AB==⇒= ≅524,244 m
En el triángulo ABC, cuyos datos son,
CAB=34º, ABC=ABD+DBC=50º+85º=135º, AB =300 m,
calculamos AC :
ACB=180º-34º-135º=11º
º11sen
º135·sen300
ACBsen
ABCsenABAC
ABCsen
AC
ACBsen
AB==⇒= ≅1111,750
En el triángulo ACD, cuyos datos son,
DAC=70º, AD ≅524,244 m, AC ≅1111,750 m,
calculamos CD :
DACcosACAD2ACADCD222
−+= ≅1112141,823⇒CD ≅1054,581 m
La distancia que ha de recorrer Drácula es aproximadamente 1054,581 m=1,054581 km
y, a 32 km/h, tarda en recorrerla
32
60·1,054581≅1,977 minutos ≅ 2 minutos.
Como Van Helsing tarda 1 hora en llegar a la abadía y Dracula despierta a las nueve, el profesor habrá de partir antes de las ocho menos dos minutos.
Epílogo: Aquella noche, Van Helsing, que no sabía resolver triángulos, llegó tarde y no pudo impedir que Drácula realizara su macabra misión. El mal comenzó así a extenderse por toda la Tierra y el profesor, recluyéndose en un monasterio, se prometió no regresar al mundo hasta haber aprendido Trigonometría.
Ejercicios de Trigonometría
1
EJERCICIOS
1. Ángulos. Unidades para su medida
1.1 Expresa en forma incompleja de grados los siguientes ángulos:
a. 15º43'21" b. 36º34'25'' c. 38º25'12" d. 5º12'23"
1.2 Expresa en forma compleja los siguientes ángulos:
a. 324752" b. 5652' c. 25,1646º d. 46,5216º
1.3 Expresa en radianes los siguientes ángulos:
a. 120º b. 330º c. 30º d. 60º
e. 220º f. 780º g. 37º h. -450º
i. 900º j. -990º k. -200º l. 48º32'
m. 50º3'32" n. 127º43'12"
1.4 Expresa en grados (forma incompleja) y en grados-minutos-segundos (forma
compleja) los siguientes ángulos:
a. 6
π rad b.
5
π rad c.
3
4π rad d.
4
3π rad
e. 3
5π rad f. -
10
9π rad g. -8π rad h.
3
10π rad
i. 1 rad j. 2,35 rad k. 3 rad
1.5 Si la longitud de una circunferencia es 6π m, ¿cuánto mide el arco de la
circunferencia abarcado por un ángulo de 2 radianes?
1.6 A partir de las 3 h, ¿qué ángulo describe la aguja minutera de un reloj hasta
marcar las 4 h 35 m?. Expresa el resultado en grados y en radianes.
1.7 ¿Cual es la medida, en grados y en radianes, del ángulo que forman las agujas
del reloj a las 13 h 24 m?
1.8 Halla la longitud de un arco de circunferencia de 5 cm de radio y amplitud
igual a 3 radianes.
1.9 Un arco de circunferencia de 10 cm de radio tiene una longitud de 15,7 cm.
¿Cuántos radianes mide el ángulo central correspondiente?
1.10 Se llama ángulo reducido de un ángulo al mayor o igual que 0º y menor que
360º cuyo segundo lado es el mismo que el del ángulo inicial.
Calcula el ángulo reducido de cada uno de los ángulos siguientes:
a. 427º b. 2538º c. 721º d. 925º
e. –480º f. –4200º g. –710º
Ejercicios de Trigonometría
2
2. Razones trigonométricas de un ángulo
Calcula en cada caso las razones trigonométricas restantes del ángulo α y dibuja
aproximadamente este:
2.1 senα=3
1, 0º<α<90º
2.2 tgα=3, π<α<2
3π
2.3 tgα=2
1, 180º<α<270º
2.4 cotgα=4, 0º<α<90º
2.5 senα=7
3, 90º<α<180º
2.6 secα=4, 2
3π<α<2π
2.7 cotgα=-2
2,
2
π<α<π
2.8 senα=4
1,
2
π<α<π
2.9 cosecα=-5, 270º<α<360º
2.10 senα=5
3, 90º<α<180º
2.11 cosα=5
4, 270º<α<360º
2.12 senα=5
3, 90º<α<180º
2.13 tgα=-4
3,
2
3π<α<2π
2.14 cotgα=-2, 2
3π<α<2π
2.15 secα=2, 270º<α<360º
2.16 senα=2
3,
2
π<α<π
2.17 secα=-3, 180º<α<270º
2.18 cosα=5
1,
2
3π<α<2π
Simplifica las siguientes expresiones:
2.19 sen2α+cos
2α+tg2α
2.20 (senα+cosα)2-tgαcotgα
2.21 α
αα+
α
αα
cseco
tgcos
sec
tgcosen
2.22 cosα(cotgα+tgα)
2.23 αcos
1-cosα-tg
2αcosα
2.24 α
α+α−
sen
)cos1)(cos1(
2.25 αα−α
α−αtg
coscos
sensen3
3
2.26 cotg2α-cotg
2αcos2α
2.27 sen4α-cos
4α+cos2α
2.28 (cosec2α-1)(sec
2α-1)
2.29 α+
α2tgco1
cseco
2.30 cosαsen2α+cos
3α-cosα
2.31 α−αα 2senseccos
2.32 22
4
)sen1(
)sen1(cos
α−
α+α
2.33 α+α tgcotg
1
2.34 cos3α+cos
2αsenα+cosαsen2α+sen
3α
Ejercicios de Trigonometría
3
Demuestra las siguientes identidades:
2.35 tgα+cotgα=secαcosecα
2.36 α
α+=
α
α
tgco
tg1
cos
tg 2
2
2.37 sec2α+cosec
2α=sec2αcosec
2α
2.38 tg2α-sen
2α=tg2αsen
2α
2.39 sen2α
α
α+
cos
tgco1 2
=secα
2.40 cos4α-sen
4α=2cos2α-1
2.41 αα
α+α
tgcos
tgcos=cotgα+secα
2.42 3-4cos2α=4sen
2-1
2.43 tg3α=
α−α
α−α
sencseco
cossec
2.44 α=α
α−−
α−
αtg2
cos
sen1
sen1
cos
2.45 α+=α
α−α 2
2
44
sen1sec
tgsec
2.46 (senα+cosα)2=
αα
+αα
csecosec
2csecosec
2.47 α
−α=
α+α
α−α
tg
1sen2
cossen
cossen 2
2.48 1tg
tg
cossen
cossen222 −α
α=
α−α
αα
2.49 α=α
α++
α+
αsec2
cos
sen1
sen1
cos
2.50 α+
α=
α+α sen1
cos
tgsec
1
2.51 α+α
α+α
tgcotg
tgcotg2=1+sen
2α
2.52 α
−α
cos
1cseco 2
=cotgαcosecα
2.53 (tgα+cotgα)2=sec
2α+cosec2α
2.54 α
α=
α
α−α
cseco
tgco
tgco
sencseco
2.55 Halla el cuadrante en que se encuentra α en cada uno de los siguientes casos:
a. senα>0 y cosα<0 b. senα<0 y tgα>0
c. secα<0 y cosecα<0 d. cotgα<0 y cosα>0
Responde razonadamente las siguientes cuestiones:
2.56 Sabiendo que tgα=tgβ, ¿se puede asegurar que α=β?
2.57 ¿Puede ser cosα=-1,003? ¿Y cosecα=0,2?
2.58 ¿Es posible encontrar un ángulo α que verifique simultáneamente que
senα=4
3 y cosα=
4
1?
2.59 ¿Están relacionadas las razones trigonométricas de los ángulos -α y α? En
caso afirmativo, escribe las relaciones existentes.
2.60 ¿Es cierta la implicación senα<senβ⇒α<β ?
2.61 Al duplicar un ángulo, ¿se duplica el seno?
Ejercicios de Trigonometría
4
3. Ángulos relacionados por sus razones
3.1 Sabiendo que tgα=4
3 y que 0º<α<90º, calcula razonadamente:
a. tg(90º-α) b. tg(270º-α) c. tg(90º+α)
d. tg(270º+α) e. tg(180º-α) f. cotg(-α)
3.2 Sabiendo que senα=5
3 y que 0º<α<90º, calcula razonadamente:
a. sen(90º-α) b. sen(90º+α) c. sen(180º-α)
d. sen(180º+α) e. sen(270º-α) f. sen(270º+α)
g. cos(360º-α) h. tg(720º-α) i. sec(450º+α)
3.3 Sabiendo que tgα=6 y que 180º<α<270º, calcula razonadamente:
a. sen(α+360º) b. cos(360º-α) c. tg(α+180º)
d. cotg(180º-α) e. sec(α+90º) f. cosec(90º-α)
3.4 Sabiendo que cosα=5
4 y que 270º<α<360º, calcula razonadamente:
a. cos(360º-α) b. cos(α-270º) c. cos(α-180º)
d. cos(450º-α) e. cos(α-90º) f. cos(540º-α)
g. cos(630º-α) h. cos(270º+α) i. sec(α-450º)
j. sen(-180º-α) k. cotg(720º-α) l. tg(-630º-α)
3.5 Sabiendo que tgα=-2 y que 90º<α<180º, calcula razonadamente:
a. tg(180º-α) b. tg(90º+α) c. cotg(270º+α)
d. sec(360º-α) e. cosec(180º+α) f. cos(270º-α)
g. tg(-540º-α) h. cotg(990º-α) i. cotg(α-720º)
4. Cálculo de razones trigonométricas
Halla, sin usar la calculadora, las siguientes razones trigonométricas:
4.1 cosec240º
4.2 cos6
5π
4.3 cotg-315º
4.4 cos210º
4.5 tg-120º
4.6 sen-300º
4.7 sec-135º
4.8 cos1410º
4.9 sen6
11π
4.10 cos-11π
4.11 cosec-810º
4.12 cotg-630º
4.13 sec10π
4.14 tg-4
13π
4.15 sec-52π
4.16 cotg-840º
4.17 tg4
5π
4.18 sec3930º
4.19 tg-45º
4.20 cosec570º
Ejercicios de Trigonometría
5
Halla, usando la calculadora, las siguientes razones trigonométricas:
4.21 sen39º
4.22 cos62º
4.23 tg17º
4.24 cotg42º
4.25 sec80º
4.26 cosec19º
4.27 sen1,2
4.28 cos0,03
4.29 tg0,295
4.30 cotg2,5
4.31 sec7,1
4.32 cosec0,2
4.33 sen36º28'
4.34 cos72º10'5"
4.35 tg22º37'50"
4.36 cotg40º40'
4.37 sec83º6'37"
4.38 cosec45º25'
5. Operaciones recíprocas al cálculo de razones
Halla, sin usar la calculadora:
5.1 arccos-1
5.2 arcsen-2
2
5.3 arctg1
5.4 arccosec-2
5.5 arccosec3
2
5.6 arccotg 3
5.7 arcsen-2
1
5.8 arccos-2
5.9 arcsec-2
5.10 arctg3
1
5.11 arcsec- 2
5.12 arccotg-3
1
5.13 arccosec1
5.14 arctg0
5.15 arccotg- 3
Halla, usando la calculadora:
5.16 arcsen0,3
5.17 arccos-0,2
5.18 arctg4,4
5.19 arccotg0,81
5.20 arcsec4,01
5.21 arccosec1,15
5.22 arcsen-0,1
5.23 arccos-0,7
5.24 arctg-8,2
5.25 arccotg-1,7
5.26 arcsec-2,85
5.27 arccosec-1,9
Halla α en cada uno de los siguientes casos:
5.28 senα=-0,41, 270º<α<360º
5.29 cosα=-0,66, 90º<α<180º
5.30 tgα=7, 180º<α<270º
5.31 cotgα=-4, 270º<α<360º
5.32 cosecα=10, 90º<α<180º
5.33 secα=-12, 180º<α<270º
Halla, sin usar la calculadora:
5.34 0º<arccos(cos420º)<360º
5.35 0º<arcsen(cos(-36º))<360º
5.36 0º<arccos(sen420º)<360º
5.37 cos(arctg(-4))
Halla las siguientes expresiones:
5.38 sen(arcsenx)
5.39 sen(arccosx)
5.40 sec(arctgx)
5.41 cotg(arctgx)
Ejercicios de Trigonometría
6
¿Son ciertas las siguientes afirmaciones?
5.42 arcsen(-x)={angulos -α tales que α∈arcsenx}
5.43 arccos(-x)={angulos α-180º tales que α∈arccosx}
5.44 arctg(-x)={angulos -α tales que α∈arctgx}
6. Resolución de triángulos rectángulos
Sabiendo que A =90º, resuelve los triángulos rectángulos ABC siguientes:
6.1 a=7, b=5
6.2 a=7, C =80º
6.3 b=37, B=40º
6.4 a=6, b=3
6.5 a=10, B=53º
6.6 b=4, c=3
6.7 b=8, C =55º
6.8 a=13, c=6
6.9 c=4, B=37º37'
6.10 b=9, B=26º27'
6.11 Calcula el área de un triángulo rectángulo ABC cuya hipotenusa es a=6 cm y
B=38º uno de sus ángulos agudos.
6.12 En un triángulo ABC, rectángulo en A, un cateto es b=6 y un ángulo agudo
C =72º. Calcula su área.
6.13 Un triángulo rectángulo, uno de cuyos ángulos agudos mide 12º, tiene un área
de 100 cm2. Calcula la longitud de su hipotenusa.
6.14 Calcula el ángulo desigual de un triángulo isósceles, sabiendo que sus lados
son a=6 cm, b=c=4 cm.
6.15 Un triángulo ABC es tal que B=C =42º, a=8 m. Calcula su área.
6.16 Halla el área de un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 10 cm y el
ángulo opuesto 50º.
6.17 Calcula el perímetro de un octógono regular inscrito en una circunferencia de
6 m de radio.
6.18 Calcula el lado de un decágono regular circunscrito a una circunferencia que
tiene 10 cm de radio.
6.19 Calcula el área de un pentágono regular cuyo lado mide 12 m.
6.20 Calcula el área de un dodecágono regular inscrito en una circunferencia de 2 m
de radio.
6.21 Calcula el ángulo que forman la diagonal y una de las aristas de un cubo.
6.22 Una circunferencia tiene 4 cm de radio. Calcula la longitud de la cuerda
correspondiente a un ángulo central de 68º.
Ejercicios de Trigonometría
7
6.23 En una circunferencia de 10 cm de diámetro, una cuerda mide 6 cm. Calcula
su distancia al centro de la circunferencia.
6.24 Calcula el ángulo central que corresponde a una cuerda de 10 m de longitud,
en una circunferencia de 6 m de radio.
6.25 Calcula el área de un trapecio isósceles, sabiendo que uno de sus ángulos
interiores es igual a 118º y que sus bases miden 30 cm y 14 cm.
6.26 Calcula el área de un trapecio rectángulo, sabiendo que uno de sus ángulos
interiores es 42º26' y que sus bases miden 6 cm y 12 cm.
6.27 Un trapecio rectángulo es tal que la longitud de su base mayor es 40 m y sus
lados no paralelos miden 22 m y 34 m. Calcula la longitud de su base menor.
6.28 Calcula el perímetro de un rombo que tiene un ángulo de 50º y cuya diagonal
menor mide 13 cm.
6.29 Las diagonales de un rombo miden 20 cm y 14 cm. Calcula los ángulos del
rombo, su perímetro y su área.
6.30 La pirámide de Keops tiene 138 m de altura y su base es un cuadrado de 227 m
de lado. Calcula el ángulo de inclinación de su apotema lateral.
6.31 Una escalera apoyada en una pared forma un ángulo de 60º con la horizontal
del suelo. Si la escalera mide 4 m, halla la altura que hay desde el suelo al
punto de apoyo de la escalera.
6.32 Una escalera de 6,5 m de longitud se apoya en una pared, formando con ella
un ángulo de 18º. Calcula la altura que alcanza.
6.33 Calcula la longitud de la sombra de un árbol de 18 m de altura, cuando los
rayos solares forman con el suelo un ángulo de 22º.
6.34 Sonia que mide 1,65 m proyecta una sombra de 1,8 m. ¿Qué altura mide un
árbol que proyecta una sombra de 15 m?
6.35 Para subir con una carretilla un desnivel de 1,5 m de altura, se coloca un
tablón de apoyo. Calcula la longitud mínima que debe tener dicho tablón, si se
desea que su inclinación no supere los 15º.
6.36 Durante la maniobra de despegue, un avión asciende 300 m por cada 8 km de
desplazamiento horizontal. En el supuesto de que su trayectoria sea una línea
recta, calcula el ángulo formado por dicha trayectoria y el suelo.
6.37 Un observador, situado a 48 m de distancia de la base de una chimenea, lanza
una visual al punto más alto de la misma, la cual forma un ángulo de 36º40'
con la horizontal del suelo. Calcula la altura de la chimenea.
6.38 Dos radares, separados una distancia de 20 km, observan un avión, situado
entre ellos en su mismo plano vertical, bajo ángulos de 36º y 52º
respectivamente. ¿A qué altura vuela el avión?
Ejercicios de Trigonometría
8
6.39 Para hallar la anchura de un río, un hombre procede del siguiente modo:
Observa un árbol situado en la orilla opuesta, perpendicular a su posición;
camina 50 m a lo largo del río y entonces ve el mismo árbol con un ángulo de
64º respecto de una roca que en ese momento se encuentra enfrente de el.
¿Cuál es la anchura del río?
6.40 Juan observa, desde la puerta de su casa, la torre de la iglesia de su pueblo
bajo un ángulo de 45º. Cuando se acerca 60 m en dirección a la torre, divisa la
misma bajo un ángulo de 60º. ¿Cuál será la altura de la torre? ¿A qué
distancia se encuentra la torre de su casa?
6.41 Con objeto de determinar la altura de una montaña situada en las
proximidades de la costa, se lanza una visual desde un barco, obteniéndose un
ángulo de elevación de 26º13'17". Una vez que el barco recorre una distancia
de 1 km en dirección a la montaña, se lanza una segunda visual, obteniéndose
un ángulo de elevación de 39º43'2". ¿Cuál es la altura de la montaña?
6.42 En un mapa a escala 1/300000, los puntos que señalan el Pico de Urbión, en
la provincia de Soria, y la cumbre del monte San Lorenzo, en la comunidad de
La Rioja, distan entre sí 88 mm. Sabiendo que las alturas de estas montañas
son 2223 m y 2271 m respectivamente, calcula el ángulo de inclinación con
que se ve el punto más alto de la segunda cota al visualizarlo desde la cumbre
de la primera.
6.43 Desde un punto A al pie de una colina, una persona camina, en dirección a la
cima, subiendo 300 m por una pendiente de 24º, y a continuación, 100 m por
una pendiente de 31º hasta alcanzar la cima. Calcula la distancia en línea recta
de A a la cima y el ángulo de elevación de la misma observado desde A.
6.44 Una antena de televisión de 1,5 m de altura se ha colocado en el punto más
alto de un edificio. Desde un punto de la calle medimos los ángulos de
elevación de la base y el extremo superior de la antena, que son 46º y 50º
respectivamente. ¿Qué altura tiene el edificio?
6.45 Un avión, que vuela a 2000 m de altura se acerca a dos pueblos situados en
una llanura y en el mismo plano vertical que el avión. Desde la cabina, se ven
ambos pueblos bajo ángulos de 42º y 18º en relación a la horizontal de vuelo
(ángulos de depresión). ¿Qué distancia hay entre ambos pueblos?
6.46 Desde la ventana de un edificio cercano se ve el punto mas alto de un
rascacielos bajo un ángulo de elevación de 57º y la base bajo un ángulo de
depresión de 13º. Sabiendo que la altura de la ventana es de 51 m sobre el
suelo, halla la altura del rascacielos.
6.47 Un avión que vuela a una velocidad de 60 m/seg comienza a descender hacia
un aeropuerto con un ángulo de 6º respecto a la horizontal de vuelo. Si el
avión se encuentra a una altura de 1800 m cuando comienza el descenso,
¿cuánto tiempo tardará en llegar al suelo?
Ejercicios de Trigonometría
9
7. Nuevas fórmulas trigonométricas
Sin usar la calculadora para razones trigonométricas, resuelve los ejercicios siguientes:
7.1 Halla el valor exacto de sen105º, cos105º y tg105º.
7.2 Sabiendo que cos36º=0,8090, halla sen9º y tg6º.
7.3 Sabiendo que sen10º=0,173, halla cosec20º.
7.4 Sabiendo que sen38º=0,62, halla sen19º y cos76º.
7.5 Sabiendo que tgα=4
3, halla tg(α+30º) y tg(45º-α).
7.6 Calcula cos(α-β) si senα=5
4, senβ=
13
12 y tanto α como β son ángulos del
segundo cuadrante.
7.7 Calcula sen(α-β) si senα=-5
1, cosβ=
3
2 y tanto α como β son ángulos del
cuarto cuadrante.
7.8 Calcula sen(α+β) y cos(α-β) si α y β son dos ángulos del tercer cuadrante
tales que senα=-5
3 y cosβ=-
5
1.
7.9 Si tgα=4
3 y tgβ=
2
1 y ambos son del tercer cuadrante, calcula todas las
razones trigonométricas del ángulo α+β.
7.10 Calcula sen2α si sabemos que α es del tercer cuadrante y que senα=-13
12.
7.11 Sabiendo que cosα=0,2, calcula tg(90º-2α).
7.12 Sabiendo que cotgα=3
4, calcula cos2α.
7.13 Sabiendo que tgα=2, calcula sen4α.
7.14 Sabiendo que secα=3 y que 270º<α<360º, halla sen2
α, cos
2
α y tg
2
α.
7.15 Sabiendo que tg2α= 3 y que 0º<α<90º, halla senα y cosα.
7.16 Sabiendo que tgα=-4
3 y que 90º<α<180º, calcula cos
2
α.
7.17 Sabiendo que sec2α=3 y que 270º<2α<360º, halla cosα y sen2
α.
Ejercicios de Trigonometría
10
7.18 Sabiendo que tg2
α=2 y que 90º<α<180º, calcula senα y tg2α.
7.19 Sabiendo que cotg2α=-4 y que 0º<α<90º, halla cosα y sen2
α.
7.20 Sabiendo que cosec2
α=
4
5 y que 180º<α<270º, calcula cosα y sec2α.
7.21 Sabiendo que tg(α+β)=4 y que tgα=-2, calcula tg2β y tg(α-β).
7.22 Halla cos(2arccos2
1).
7.23 Halla tg(2arcsen3
1).
Simplifica las siguientes expresiones:
7.24 sen(5π-α)+sen(π+α)-sen(2
3π +α)
7.25 1)sen(sensen)cos(coscos
1)cos(sencos)sen(cossen
−α−ββ+β+αβ
−α+βα+α+βα
7.26 )sen()cos(sen)sen(
)cos()tg()cos()2sen(2
23 α−πα+παα+
π−α−πα+πα−ππ
7.27 )sen()sen(
)cos()cos(
β+α+β−α
β+α−β−α
7.28 )º180(tgco
)º180sen()º90tg(
α−
α+α+
7.29 α−α
α−αα22
2
sencos
)tg1(cossen
7.30 α
α+
α−
α
cos
cos1·
cos1
2sen 2
4
7.31 α
α+
α−
α
cos
cos1·
cos1
2sen2
7.32 α
α+
α−
α
2sen
)sen1(2
cos2
sen
2
7.33 α+α
α−
tgcotg
2cos1
7.34 sen4α-cos
4α
7.35 α
α−
α
α
cos
3cos
sen
3sen
7.36 α−α
α+α
4cos2cos
4sen2sen
7.37 α+α
α−α
4cos6cos
4sen6sen
7.38 αα
α−α
cossen
cos3cos2
7.39 α+α+α+α
α+α+α+α
7cos5cos3coscos
7sen5sen3sensen
7.40 º20cosº40cos
º20senº40sen
+
+ (Sin calculadora)
7.41 sen75º-sen15º (Sin calculadora)
7.42 sen52,5º·cos7,5º (Sin calculadora)
7.43 cos2αcos3α+sen2αsen3α
7.44 sen2αcos3α+sen3αcos2α
Ejercicios de Trigonometría
11
Demuestra las siguientes identidades:
7.45 senαsen(α+β)+cosαcos(α+β)=cosβ
7.46 sen(2π -α)tg(
2π -α)cos(π+α)tg(π+α)+sen
2α=-cos2α
7.47 tg(4π +α)-tg(
4π -α)=2tg2α
7.48 tgα+tgβ=βα
β+α
coscos
)sen(
7.49 tgα+cotgα=α2sen
2
7.50 )sen()sen(
coscos 22
β+α−=β−α
β−α
7.51 cotg(α+β)=β+α
−βα
tgcotgco
1tgcotgco
7.52 6sen2α+8cos
2α=7+cos2α
7.53 α
α−=
α+
α−
2cos
2sen1
tg1
tg1
7.54 sen6α+cos
6α=1-4
3sen
2α
7.55 sec2
α+
α=
α
sec1
sec2
2
7.56 4sen2
2
αcos
2
2
α=1-cos
2α
7.57 cotg2α-tg
2α=4cotg2αcosec2α
7.58 cosα=
2tg1
2tg1
2
2
α+
α−
7.59
2tg1
2tg2
sen2 α
+
α
=α
7.60 tg2
α=
α+
α
cos1
sen
7.61
2cos4
cos1
2sen
2
22
α
α−=
α
7.62 sec2α+cosec
2α=4cosec22α
7.63 2sen5αcos3α=sen8α+sen2α
7.64 α=α−α
α+αtgco
sen3sen
cos3cos
7.65 α−α
α+α
sen3sen
sen5sen=1+2cos2α
7.66 α=α+α
α+α3tg
2cos4cos
2sen4sen
7.67 Expresa sen3α en función de senα.
7.68 Expresa cos3α en función de cosα.
7.69 Halla sen(α+β+γ) y cos(α+β+γ).
8. Ecuaciones trigonométricas
Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
8.1 senx+2=3cos2x
8.2 cos2x+5cosx+3=0
8.3 cos2x+senx-1=0
8.4 tg2x-tgx=0
8.5 cos3x+cosx=0
8.6 sen2x=cosx
Ejercicios de Trigonometría
12
8.7 3tg2x=sec
2x+1
8.8 senx+cos2x=
4
5
8.9 senxcosx=2
1
8.10 6sen3x=sen2xcosx
8.11 cosxtgx=2
1
8.12 (1+tg2x)cosx=1
8.13 (tgx-1)(4sen2x-3)=0
8.14 tgx·tg2x=1
8.15 sen22x+2cos
2x-2=0
8.16 tgx=2senx
8.17 sen(2x+60º)+sen(x+30º)=0
8.18 senx+cosx=1
8.19 cos4x+cos2x=0
8.20 cosxcos2x+cos2x=0
8.21 cos3x=0
8.22 senx+tgx=0
8.23 6cos2
2
x=1-cosx
8.24 sen2x=cos
2x+2cos2x
8.25 senx=cosx
8.26 cos2x+sen(x+180º)=0
8.27 sen2x+sen8x=0
8.28 cos4x=sen2x
8.29 tg3x=tg(60º-2x)
8.30 sen2x-2sen2
x=senx
8.31 sen5x-cos4x=0
8.32 sen3x+sen5x=0
8.33 sen2x+senx-2cosx-1=0
8.34 cosx+cos5x-cos3x=0
8.35 cos2x-cos6x=sen5x+sen3x
9. Resolución de triángulos
9.1 ¿En que se transforman las fórmulas del teorema del seno y del teorema del
coseno al aplicarlas en un triángulo rectángulo?
9.2 Demuestra que en un triángulo ABC, rectángulo en A, se verifica:
sen2A =sen
2B+sen
2C
9.3 Demuestra que en un triángulo ABC se verifica:
tg A +tg B+tgC =tg A ·tg B ·tgC
Resuelve los triángulos ABC siguientes:
9.4 a=5, b=12, A =40º
9.5 A =30º, B=45º, a=26
9.6 a=7, b=10, c=15
9.7 A =60º, b=40, c=60
9.8 A =60º, B=75º, c= 2
9.9 B=30º, C =105º, a=1
9.10 b=10, c=9, B=40º
9.11 A =80, a=12, c=16
9.12 a=4, b=3, c=6
9.13 a=23, B=53º, C =84º
9.14 a=12, b=9, A =96º
9.15 a=81, b=100, A =40º
Ejercicios de Trigonometría
13
9.16 a=5, b=4, C =47º
9.17 a=7, b=5, c=4
9.18 a=15, b=37, A =56º
9.19 A =40º, B=60º, C =80º
9.20 a=6, c=9, A =50º
9.21 a=13, b=5, c=7
9.22 b=9, c=10, B=50º
9.23 a=3, b=10, C =53º
9.24 a. Demuestra geométricamente, que todo ángulo inscrito en una circunferencia
(su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas) mide
la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco de circunferencia que el.
b. Demuestra que todo ángulo inscrito en una circunferencia cuyos lados
abarcan una semicircunferencia, es siempre un ángulo recto.
9.25 Utilizando los resultados del ejercicio anterior, demuestra que en cualquier
triángulo ABC:
Csen
c
Bsen
b
Asen
a== =Diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo
9.26 Halla el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo de lados 13 m, 14 m y 15 m.
9.27 Halla el radio de la circunferencia circunscrita a ABC siendo a=8 m y A =30º.
9.28 El radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo mide 2 2 cm y dos
de sus ángulos son 30º y 45º. Resuelve dicho triángulo.
9.29 Calcula el área de un triangulo de lados 9 cm, 10 cm y 11 cm.
9.30 Calcula el área de un triángulo ABC sabiendo que a=25 cm, b=28 cm y que
sen2C =0,96 (C <45º).
9.31 Uno de los lados de un triángulo es doble del otro y el ángulo comprendido
entre ambos mide 60º. Halla los otros dos ángulos.
9.32 Calcula los lados de un triángulo ABC sabiendo que su área mide 18 cm2 y
sus ángulos A =30º y B=45º.
9.33 Resuelve un triángulo sabiendo que su superficie es 32 cm2 y dos de sus
ángulos miden 40º y 65º.
9.34 Calcula el área de un triángulo ABC sabiendo que a=8 m, B=30º y C =45º.
9.35 Dos de los lados de un triángulo miden 10 cm y 14 cm, y su área 35 cm2.
Calcula la longitud del otro lado y la medida de sus ángulos.
9.36 Los lados de un paralelogramo miden 4 cm y 6 cm y comprenden un ángulo
cuya tangente es 0,65. Calcula el área del paralelogramo.
9.37 Las diagonales de un paralelogramo miden 12 cm y 8 cm y se cortan
formando un ángulo de 40º. Halla su área.
9.38 Resuelve un triángulo sabiendo que uno de sus ángulos es doble de otro y sus
lados opuestos miden respectivamente 12 cm y 8 cm.
Ejercicios de Trigonometría
14
9.39 Dos puntos, entre los que se quiere construir un túnel a través de una
montaña, distan de un tercer punto visible desde ellos 315 m y 480 m. Si
desde este punto se ven los anteriores bajo un ángulo de 42º, calcula la
distancia entre dichos puntos.
9.40 Un barco se encuentra a una distancia de 3,5 km del espigón del puerto en el
instante en que otro barco se encuentra a 3 km del primero. Si ambos son
observados desde el espigón bajo un ángulo de 43º, ¿a qué distancia se
encuentra el segundo barco del puerto?
9.41 Las dos orillas de un río son rectas y paralelas. Desde dos puntos situados en
una de ellas y separados entre sí 100 m se observa un mismo punto de la orilla
contraria bajo visuales de 15º y 30º respectivamente. Calcula la anchura del río.
9.42 Dos individuos observan un globo situado entre ellos en su mismo plano
vertical. La distancia entre los dos individuos es de 4 km. Los ángulos de
elevación del globo desde los observadores son 46º y 52º. Halla la altura del
globo y su distancia a cada observador.
9.43 Un faro tiene 40 m de altura, hallándose situado sobre una roca. Situados en
un punto A de la playa, hemos comprobado que la distancia que hay hasta la
base del faro es 60 m. y la distancia hasta la cúpula del faro es 80 m. Halla la
altura de la roca sobre la que se encuentra el faro.
9.44 Una torre de una antena está en la cima de un monte. Desde un punto A se ve
la base de la torre con un ángulo de 23º y el extremo superior de la torre con
un ángulo de 28º. Nos alejamos 500 m y observamos la base de la torre con
un ángulo de 18º. Halla la altura del monte y de la torre.
9.45 El ángulo de elevación de una montaña es 47º. Después de caminar hacia ella
1000 m, subiendo una pendiente inclinada 32º respecto de la horizontal, su
ángulo de elevación es de 77º. Halla la altura de la montaña con respecto al
plano horizontal de la primera observación.
9.46 La anchura de un campo de fútbol es 50 m. y la de las porterías 7 m. ¿Bajo
qué ángulo (de poste a poste) ve una portería un jugador situado en un punto
de la banda lateral que está a 20 m de la línea de fondo donde está dicha portería?
9.47 Desde un punto A se ven dos árboles, C y D, situados al otro lado de un río
bajo un ángulo de 50º y desde un punto B, distante 100 m de A y en el mismo
lado del río, se ven los árboles bajo un ángulo de 45º. Midiendo las visuales
ABC y BAD obtenemos 55º y 60º respectivamente. Halla la distancia entre
los dos árboles C y D.
9.48 Desde un lado de un barranco queremos medir la distancia entre los puntos A
y B situados en el otro lado. Para ello, desde el punto C situado en nuestro
lado, medimos los ángulos ACB=30º y ACD=75º. Asimismo, desde otro
punto D de nuestro lado, distante 50 m de C, medimos los ángulos ADC=25º
y BDC=85º. ¿Cuál es la distancia entre A y B?
Ejercicios de Trigonometría
15
9.49 Sean A y B dos puntos inaccesibles pero visibles ambos desde otros puntos
accesibles C y D, separados estos por 73,2 m. Sabiendo que ACD=80º,
BCD=43º, BDC=32º y ADC=23º, calcula la distancia entre A y B.
9.50 Un barco navega paralelamente a la línea que une dos faros F y G distantes
entre sí 10 km. En un momento dado, las visuales dirigidas al barco desde F y
G forman con FG ángulos de 60º y 50º respectivamente. Al cabo de 10
minutos, la visual desde F forma un ángulo de 45º con FG . ¿A qué velocidad
navega el barco?
9.51 Dos móviles parten de un punto A con direcciones que forman entre sí un
ángulo de 60º, uno a 30 km/h y el otro a 50 km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo
distarán uno del otro 100 km?
9.52 Un barco A y otro B salen de un puerto con rumbos que difieren en un ángulo
de 35º. Halla la distancia entre los dos barcos al cabo de 3 horas sabiendo que
la velocidad de A es de 37 km/h y la de B 41 km/h.
9.53 Dos trenes salen de una estación a la misma hora con direcciones distintas que
forman un ángulo de 78º. Al cabo de una hora se encuentran a 234 km de
distancia entre sí. Si uno de los trenes lleva una velocidad de 150 km/h,
calcula la velocidad del otro tren.
9.54 Un vehículo sale en dirección oeste con una velocidad de 90 km/h. Al cabo de
15 minutos gira 82º hacia el sur con respecto a la línea del oeste. ¿A qué
distancia se encontrará del punto de partida al cabo de otros 15 minutos?