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  • Emilio

    Martnez

    Ros

    C D A

    B

    D

    30 45

    30 m

    r=1

    O cos

    sen

    tg

    cotg

    sec

    cosec

  • Trigonometra Plana

    1. ngulos. Unidades para su medida.......................................................1 1.1 ngulos y arcos 1.2 Unidades para la medida de ngulos

    Sistema sexagesimal Sistema Internacional

    1.3 Ampliacin del concepto de ngulo ngulos orientados ngulos de barrido

    2. Razones trigonomtricas de un ngulo .................................................4 2.1 Definiciones 2.2 Signo de las razones trigonomtricas de un ngulo 2.3 Relaciones entre las razones trigonomtricas de un ngulo

    Identidades trigonomtricas Obtencin de las razones de un ngulo a partir de una de ellas

    3. ngulos relacionados por sus razones trigonomtricas.........................8 3.1 ngulos de distinto cuadrante 3.2 ngulos complementarios

    4. Clculo de las razones trigonomtricas de un ngulo ...........................9 4.1 Razones trigonomtricas de los ngulos ms utilizados

    ngulos extremos de los cuadrantes ngulos 30, 45 y 60 ngulos asociados a los anteriores

    4.2 Razones trigonomtricas de los restantes ngulos

    5. Operaciones recprocas al clculo de razones ....................................12 6. Resolucin de tringulos rectngulos..................................................14

    6.1 Relaciones entre los elementos de un tringulo rectngulo 6.2 Casos de resolucin de tringulos rectngulos 6.3 Aplicaciones

    7. Razones de los angulos suma, diferencia, doble y mitad ....................18 7.1 Suma de ngulos 7.2 Diferencia de ngulos 7.3 ngulo doble 7.4 ngulo mitad 7.5 Aplicaciones

    8. Uf!, ms frmulas trigonomtricas......................................................21 8.1 Frmulas de transformacin de productos en sumas

    sencos sensen coscos 8.2 Frmulas de transformacin de sumas en productos

    senA+senB senA-senB cosA+cosB cosA-cosB

    9. Ecuaciones trigonomtricas ................................................................23 10. Resolucin de tringulos.....................................................................24

    10.1 Relaciones entre los elementos de un tringulo Teorema del seno Teorema del coseno

    10.2 Casos de resolucin de tringulos 10.3 Aplicaciones

    EJERCICIOS

  • Trigonometra Plana

    1

    Trigonometra Plana

    Trigonometra es la parte de las Matemticas que tiene por objeto el estudio de

    las relaciones existentes entre los ngulos y los lados de un tringulo.

    Esta rama de las Matemticas es especialmente til en Fsica para el estudio de fuerzas, fenmenos vibratorios y ondulatorios, etc. y en Topografa para la medida de terrenos, distancias entre puntos inaccesibles, etc. Tambin se usa en otros campos como Astronoma, Navegacin, ...

    1. ngulos. Unidades para su medida

    1.1 ngulos y arcos

    Dos semirrectas n y s con origen comn O dividen al plano en dos regiones, y . Cada una de estas regiones es un ngulo. Las semirrectas n y s son los lados de ambos ngulos y O el vrtice.

    Si trazamos una circunferencia con centro en el vrtice O y radio cualquiera, los lados n y s la cortan en dos puntos, respectivamente A y B. Estos, determinan sobre la circunferencia dos arcos, en la figura contigua dibujados con distinto trazo.

    Como a cada ngulo corresponde un arco de circunferencia y recprocamente, para identificar un ngulo concreto, en adelante dibujaremos adems de sus lados, su arco correspondiente.

    1.2 Unidades para la medida de ngulos

    Un ngulo y su arco de circunferencia correspondiente utilizan la misma medida. Para obtener esta, existen varias unidades de medida, de las cuales las ms utilizadas son:

    El grado sexagesimal, que con sus submltiplos, el minuto y el segundo, constituyen el Sistema Sexagesimal de medida de ngulos.

    El radin, que es la unidad de medida de ngulos en el Sistema Internacional.

    s

    n

    O

    s

    O

    A n

    B

    s

    O n

    s

    O

    n

  • Trigonometra Plana

    2

    Sistema sexagesimal

    La unidad fundamental de medida de ngulos en el sistema sexagesimal es el grado sexagesimal () que, como sabes, es la medida del ngulo cuya amplitud es la noventava parte de un ngulo recto. Para medir ngulos ms pequeos utilizamos los submltiplos del grado:

    1 minuto (1') = sesentava parte de grado. 1 segundo (1") = sesentava parte de minuto.

    La medida de un ngulo en este sistema puede venir expresada en una nica unidad (forma incompleja) o en varias (forma compleja): 24,22 = 2413'12" Forma incompleja Forma compleja Para pasar de una a otra forma basta aplicar las equivalencias entre las diferentes unidades.

    Ejemplos

    1. Expresa en segundos y posteriormente en grados 3517'26"

    35x3600= 126000" + 1760= 1020"

    26" 127046"

    127046"=(127046/3600)35,29

    2. Expresa en forma compleja 32046"

    32046" 60 204 534' 60 246 54' 8 32046"=854'6" 6"

    Por otra parte, las calculadoras cientficas poseen la tecla , que nos permite transformar la forma compleja de un ngulo en su incompleja y viceversa. Investiga sobre la forma de usarla.

    Sistema Internacional

    Como hemos dicho, la unidad de medida de ngulos en el sistema internacional es el radin (rad). Para definirlo, procedemos del siguiente modo:

    Trazamos una circunferencia de radio arbitrario y marcamos un radio OA .

    A partir del punto A tomamos un arco AB de longitud igual a la del radio.

    El ngulo central AOB que abarca el arco AB mide un radin.

    Un radin es la medida del ngulo central de una circunferencia que abarca un arco de longitud igual a la del radio.

    ' "

    O

    A

    B

  • Trigonometra Plana

    3

    Como la longitud de la circunferencia es 2r, sta contiene 2 veces la longitud del radio. Por tanto, 360=2 rad, equivalencia esta que nos va a permitir pasar de grados a radianes y viceversa.

    Ejemplos

    1. Expresa en radianes 25

    25=25360

    2rad=

    36

    5rad0,44rad

    2. Expresa en grados 12

    5rad

    12

    5rad=

    2

    360

    12

    5=75

    Con mucha frecuencia se identifica un ngulo con su medida, por lo que, a partir de ahora, observars expresiones como =15, (n,s)=30, AOB= rad, A =45, etc.

    Por otra parte, siempre que omitamos la unidad en que viene dado un ngulo, daremos por supuesto que esta es radianes, nunca grados. As por ejemplo,

    =2

    3=

    2

    3rad, =15=15rad15, ...

    1.3 Ampliacin del concepto de ngulo

    ngulos orientados

    Partiendo de un punto cualquiera de una circunferencia podemos volver a l, siguiendo la circunferencia, de dos maneras:

    En sentido negativo: Si lo hacemos como las agujas de un reloj. En sentido positivo: Si lo hacemos al contrario que las agujas de un reloj.

    Asimismo, diremos que un ngulo es positivo si lo es el sentido de recorrido de su arco correspondiente y negativo en caso contrario. En cualquiera de ambos casos, estaremos hablando de ngulos orientados en los que habr primer lado (aquel desde donde parte el arco) y segundo lado (aquel a donde llega).

    Sentido positivo

    Sentido negativo

    s

    O n

    (n,s)=+75 n es el primer lado s es el segundo lado

    s

    O n

    (s,n)=-75 s es el primer lado n es el segundo lado

  • Trigonometra Plana

    4

    ngulos de barrido

    Hasta ahora, solamente hemos considerado arcos y ngulos cuya medida en valor absoluto es menor o igual que 360 (2 rad). Vamos a continuacin a ampliar el concepto de arco y ngulo, para lo cual, supongamos que nos desplazamos en la circunferencia de la figura contigua, partiendo del punto A y girando en sentido positivo: Si paramos en el punto P el arco recorrido es AP. Sea m su

    medida. Si damos una vuelta completa a la circunferencia y

    continuamos hasta llegar a P, el arco recorrido medir m+360.

    Si damos k vueltas antes de detenernos en P, entonces el arco recorrido medir m+k360.

    El ngulo correspondiente a estos arcos mayores que una circunferencia ya no se puede considerar como una regin angular, sino como un ngulo de barrido. Repitiendo el proceso anterior, pero desplazndonos en sentido negativo, obtenemos ngulos de barrido negativos. Ejemplos de ngulos de barrido los puedes encontrar viendo moverse una aguja de un reloj u observando el funcionamiento de un radar.

    2. Razones trigonomtricas de un ngulo

    2.1 Definiciones

    Sea el ngulo orientado de la figura de la izquierda.

    Fijado un sistema de coordenadas, situamos de forma que coincidan su vrtice con el origen del

    sistema y su 1er lado con la parte positiva del eje de abcisas.

    A continuacin, trazamos una circunferencia con centro en O y radio cualquiera r. Siendo P(x,y) el punto de corte del segundo lado de , s, con la circunferencia, definimos las razones trigonomtricas del ngulo de la siguiente forma:

    Seno de Coseno de Tangente de

    sen=r

    y cos=

    r

    x tg=

    x

    y

    Cosecante de Secante de Cotangente de

    cosec=y

    r sec=

    x

    r cotg=

    y

    x

    Las tres recuadradas se llaman razones trigonomtricas fundamentales.

    O

    A

    P

    O

    A

    P

    s

    n

    O

    s

    n O

    s

    n

    P(x,y) r

    O

  • Trigonometra Plana

    5

    Como se puede ver en la figura contigua, si tomamos otra circunferencia de radio r', al ser los tringulos OP'Q' y OPQ semejantes se tiene que,

    sen='r

    'y

    r

    y= cosec=