Universidade Federal do Rio de Janeiro � Instituto de FísicaFísica II� 2017.2 � Prova Final: 27/11/2017

Versão: A

Seção 1. Múltipla escolha (9× 0,7= 6,3 pontos)

1. Um objeto de massa m está preso a uma molaideal de constante elástica k e se move no eixoOy. Ele também está sujeito a uma forçade amortecimento proporcional à velocidadeFr = −ρy, onde ρ é uma constante positiva.Sobre este sistema, são feitas as seguintes a�r-mativas:

I. Se ρ < 2√mk, há oscilações.

II. Se ρ > 2√mk, o regime de amorteci-

mento é supercrítico.

III. Como se trata de um oscilador amorte-cido, |y(t)| é sempre decrescente, inde-pendente das condições iniciais.

São verdadeiras:

(a) Somente I e II.

(b) Somente II.

(c) Somente II e III.

(d) Somente I.

(e) Somente III.

(f) Somente I e III.

(g) Todas.

(h) Nenhuma.

2. Considere as seguintes a�rmativas:

I. Toda a energia cinética de um objeto étransformada em calor;

II. Um refrigerador remove 100 J de calordos alimentos em seu interior, usandoapenas 75 J de energia elétrica;

III. Uma máquina térmica realiza 25 J detrabalho rejeitando apenas 10 J de calorpara o reservatório frio;

quais delas violam a 2a Lei da Termodinâ-mica?

(a) Apenas a a�rmativa I viola a 2a Lei.

(b) Apenas a a�rmativa II viola a 2a Lei.

(c) As a�rmativas I e II violam a 2a Lei.

(d) Todas as alternativas violam a 2a Lei .

(e) Nenhuma das alternativas violam a 2a

Lei.

3. Um balão de hélio que �utua na atmosfera,carregando um pequeno peso, sobe a veloci-dade constante. Levando em conta que a den-sidade do ar decresce com a altitude e des-prezando qualquer força de resistência do ar,podemos a�rmar que:

(a) O volume do balão aumenta e o empuxosobre o balão aumenta.

(b) O volume do balão não se altera e o em-puxo diminui.

(c) O volume do balão diminui, assim comoo empuxo.

(d) O volume do balão aumenta, mas o em-puxo não se altera.

(e) Tanto o volume do balão quanto o em-puxo permanecem constantes.

4. QUESTÃO ANULADA Dois gases ideais,um monoatômico e um diatômico, sofrem amesma variação de energia interna. Marque aalternativa verdadeira.

(a) Nos dois casos há variação de tempera-tura, e ela é a mesma em ambos.

(b) A variação de temperatura é maior nogás monoatômico.

(c) A variação de temperatura é maior nogás diatômico.

(d) Não é possível relacionar as variações detemperatura pois não sabemos se o sis-tema realiza ou não trabalho durante talprocesso.

(e) As temperaturas não variam.

5. A respeito de processos REVERSÍVEIS so-fridos por um gás ideal, podemos a�rmarque:

(a) Para uma mesma variação positiva devolume a variação de pressão do gás émaior, em módulo, em um processo adi-abático do que em um isotérmico.

(b) A entropia do gás sempre aumenta, paraqualquer processo reversível.

(c) A variação da energia interna do gás ésempre igual à soma do calor PERDIDOpelo gás com o trabalho REALIZADOpor ele.

(d) Para uma mesma variação de tempera-tura o calor fornecido AO gás a volumeconstante é igual ao calor fornecido apressão constante.

(e) É possível realizar um ciclo em queo trabalho realizado pelo gás não sejanulo, mas que o calor total trocado en-tre o gás e o sistema seja nulo.

6. Considere um sistema massa-mola sujeito auma força externa senoidal, com amplitude,frequência e constante de fase �xas. Marquea alternativa que descreve um procedimentopara minimizar os efeitos de ressonância.

(a) Aumentar a constante de amorteci-mento do oscilador.

(b) Diminuir a amplitude inicial do oscila-dor.

(c) Garantir que o oscilador esteja inicial-mente defasado em relação à força ex-terna.

(d) Trocar a mola para que a frequência na-tural do sistema seja igual à da forçaexterna.

(e) Diminuir a constante de amortecimentodo oscilador.

7. O que se pode dizer sobre uma onda em umacorda cujas duas metades são de materiais edimensões diferentes?

I. A velocidade de propagação deve ser amesma nas duas metades.

II. A frequência deve ser igual nas duas me-tades.

III. O período deve ser igual nas duas meta-des.

IV. O comprimento de onda deve ser igualnas duas metades.

(a) Somente II e III.

(b) Somente II.

(c) Somente I e IV.

(d) Somente I.

(e) Somente IV.

(f) Somente I e II.

(g) Somente III e IV.

(h) Somente I, II e IV.

8. Um �uido incompressível escoa de forma es-tacionária no interior de uma tubulação hori-zontal. Em um ponto da tubulação, a pressãoé p1 e o módulo da velocidade do �uido é v1.Em um outro ponto mais adiante na tubula-ção, a pressão é p2 e o módulo da velocidadeé 2v1. O que pode ser concluído em relação ap1 e p2?

(a) p1 = 4p2

(b) p1 = 3p2

(c) p1 = 2p2

(d) p1 = p2/2

(e) p1 = p2

(f) Apenas que p1 > p2.

(g) Apenas que p1 < p2.

9. Uma onda estacionária estabelecida em umacorda in�nita apresenta espaçamento ∆x en-tre nós consecutivos. Se a força de traçãoé dobrada, mas a frequência mantida �xa,qual será o espaçamento entre nós consecuti-vos?

(a) 2∆x.

(b)√

2∆x.

(c) ∆x/2.

(d) ∆x/√

2.

(e) ∆x, ou seja, não haverá mudança.

Seção 2. Questões discursivas [3,7 pontos]

1. Um bloco de massa m, que pode deslizar sem atrito sobre um plano inclinado de um ângulo θ,está conectado ao topo do plano por uma mola ideal, que obedece à lei de Hooke, com constanteelástica k e comprimento L quando não deformada.

(a) Calcule a distância que o bloco se encontra do topo do plano inclinado na posição de equilíbrio.

(b) Deduza a equação de movimento do sistema, em termos da distância ao topo do plano inclinado.

(c) Resolva a equação de movimento, obtida no item anterior, para o caso do bloco ser soltodo repouso a uma distância b, ao longo do eixo X indicado na �gura, acima da posição deequilíbrio.

FIM

Gabarito para Versão A

Seção 1. Múltipla escolha (9× 0,7= 6,3 pontos)

1. (a)

2. (e)

3. (d)

4.

5. (a)

6. (a)

7. (a)

8. (f)

9. (b)

Seção 2. Questões discursivas [3,7 pontos]

1. Resolução:

(a) [1,1 ponto] Escolhendo a origem do sistema de coordenadas no topo do plano inclinado e oeixo X orientado para baixo, podemos escrever a força restauradora da mola como:

~Fm = −k(x− L)x.

No ponto de equilíbrio xeq, para que a resultante das forças seja nula, o módulo da força damola deve ser igual ao módulo da componente do peso na direção x:

mgsenθ = k(xeq − L) ⇒ xeq =mg

ksenθ + L

(b) [1,2 ponto] Pela 2a lei de Newton, na direção x temos

md2x

dt2= mgsenθ − k(x− L),

d2x

dt2+ ω2

0x = gsenθ + ω20L,

onde ω0 :=√k/m.

(c) [1,4 ponto] A solução da eq. homogênea é:

xH(t) = A cos(ω0t+ φ).

Como a parte não homogênea é independente do tempo propomos uma solução particular dotipo xP (t) = C (constante). Substituindo na equação de movimento temos:

ω20C = gsenθ + ω2

0L ⇒ C =g

ω20

senθ + L = xeq.

Com isso, a solução geral �ca:

x(t) = A cos(ω0t+ φ) + xeq.

Usando as condições iniciais x(0) = b e dx/dt(0) = 0 temos:

x(0) = A cos(φ) + xeq = b,

edx/dt(0) = −ω0Asen(φ) = 0.

Como a posição inicial está acima da posição de equilíbrio, b < xeq. Com isso, obtemos que

φ = π e A = xeq − b.

Logo, a solução �nal �ca:

x(t) = (xeq − b) cos(ω0t+ π) + xeq.

�

Universidade Federal do Rio de Janeiro � Instituto de FísicaFísica II� 2017.2 � Prova Final: 27/11/2017

Versão: B

Seção 1. Múltipla escolha (9× 0,7= 6,3 pontos)

1. Considere um sistema massa-mola sujeito auma força externa senoidal, com amplitude,frequência e constante de fase �xas. Marquea alternativa que descreve um procedimentopara minimizar os efeitos de ressonância.

(a) Aumentar a constante de amorteci-mento do oscilador.

(b) Diminuir a amplitude inicial do oscila-dor.

(c) Garantir que o oscilador esteja inicial-mente defasado em relação à força ex-terna.

(d) Trocar a mola para que a frequência na-tural do sistema seja igual à da forçaexterna.

(e) Diminuir a constante de amortecimentodo oscilador.

2. Um objeto de massa m está preso a uma molaideal de constante elástica k e se move no eixoOy. Ele também está sujeito a uma forçade amortecimento proporcional à velocidadeFr = −ρy, onde ρ é uma constante positiva.Sobre este sistema, são feitas as seguintes a�r-mativas:

I. Se ρ < 2√mk, há oscilações.

II. Se ρ > 2√mk, o regime de amorteci-

mento é supercrítico.

III. Como se trata de um oscilador amorte-cido, |y(t)| é sempre decrescente, inde-pendente das condições iniciais.

São verdadeiras:

(a) Somente I e II.

(b) Somente II.

(c) Somente II e III.

(d) Somente I.

(e) Somente III.

(f) Somente I e III.

(g) Todas.

(h) Nenhuma.

3. Considere as seguintes a�rmativas:

I. Toda a energia cinética de um objeto étransformada em calor;

II. Um refrigerador remove 100 J de calordos alimentos em seu interior, usandoapenas 75 J de energia elétrica;

III. Uma máquina térmica realiza 25 J detrabalho rejeitando apenas 10 J de calorpara o reservatório frio;

quais delas violam a 2a Lei da Termodinâ-mica?

(a) Apenas a a�rmativa I viola a 2a Lei.

(b) Apenas a a�rmativa II viola a 2a Lei.

(c) As a�rmativas I e II violam a 2a Lei.

(d) Todas as alternativas violam a 2a Lei .

(e) Nenhuma das alternativas violam a 2a

Lei.

4. Um balão de hélio que �utua na atmosfera,carregando um pequeno peso, sobe a veloci-dade constante. Levando em conta que a den-sidade do ar decresce com a altitude e des-prezando qualquer força de resistência do ar,podemos a�rmar que:

(a) O volume do balão aumenta e o empuxosobre o balão aumenta.

(b) O volume do balão não se altera e o em-puxo diminui.

(c) O volume do balão diminui, assim comoo empuxo.

(d) O volume do balão aumenta, mas o em-puxo não se altera.

(e) Tanto o volume do balão quanto o em-puxo permanecem constantes.

5. A respeito de processos REVERSÍVEIS so-fridos por um gás ideal, podemos a�rmarque:

(a) Para uma mesma variação positiva devolume a variação de pressão do gás émaior, em módulo, em um processo adi-abático do que em um isotérmico.

(b) A entropia do gás sempre aumenta, paraqualquer processo reversível.

(c) A variação da energia interna do gás ésempre igual à soma do calor PERDIDOpelo gás com o trabalho REALIZADOpor ele.

(d) Para uma mesma variação de tempera-tura o calor fornecido AO gás a volumeconstante é igual ao calor fornecido apressão constante.

(e) É possível realizar um ciclo em queo trabalho realizado pelo gás não sejanulo, mas que o calor total trocado en-tre o gás e o sistema seja nulo.

6. QUESTÃO ANULADA Dois gases ideais,um monoatômico e um diatômico, sofrem amesma variação de energia interna. Marque aalternativa verdadeira.

(a) Nos dois casos há variação de tempera-tura, e ela é a mesma em ambos.

(b) A variação de temperatura é maior nogás monoatômico.

(c) A variação de temperatura é maior nogás diatômico.

(d) Não é possível relacionar as variações detemperatura pois não sabemos se o sis-tema realiza ou não trabalho durante talprocesso.

(e) As temperaturas não variam.

7. Uma onda estacionária estabelecida em umacorda in�nita apresenta espaçamento ∆x en-tre nós consecutivos. Se a força de traçãoé dobrada, mas a frequência mantida �xa,qual será o espaçamento entre nós consecuti-vos?

(a) 2∆x.

(b)√

2∆x.

(c) ∆x/2.

(d) ∆x/√

2.

(e) ∆x, ou seja, não haverá mudança.

8. O que se pode dizer sobre uma onda em umacorda cujas duas metades são de materiais edimensões diferentes?

I. A velocidade de propagação deve ser amesma nas duas metades.

II. A frequência deve ser igual nas duas me-tades.

III. O período deve ser igual nas duas meta-des.

IV. O comprimento de onda deve ser igualnas duas metades.

(a) Somente II e III.

(b) Somente II.

(c) Somente I e IV.

(d) Somente I.

(e) Somente IV.

(f) Somente I e II.

(g) Somente III e IV.

(h) Somente I, II e IV.

9. Um �uido incompressível escoa de forma es-tacionária no interior de uma tubulação hori-zontal. Em um ponto da tubulação, a pressãoé p1 e o módulo da velocidade do �uido é v1.Em um outro ponto mais adiante na tubula-ção, a pressão é p2 e o módulo da velocidadeé 2v1. O que pode ser concluído em relação ap1 e p2?

(a) p1 = 4p2

(b) p1 = 3p2

(c) p1 = 2p2

(d) p1 = p2/2

(e) p1 = p2

(f) Apenas que p1 > p2.

(g) Apenas que p1 < p2.

Seção 2. Questões discursivas [3,7 pontos]

1. Um bloco de massa m, que pode deslizar sem atrito sobre um plano inclinado de um ângulo θ,está conectado ao topo do plano por uma mola ideal, que obedece à lei de Hooke, com constanteelástica k e comprimento L quando não deformada.

(a) Calcule a distância que o bloco se encontra do topo do plano inclinado na posição de equilíbrio.

(b) Deduza a equação de movimento do sistema, em termos da distância ao topo do plano inclinado.

(c) Resolva a equação de movimento, obtida no item anterior, para o caso do bloco ser soltodo repouso a uma distância b, ao longo do eixo X indicado na �gura, acima da posição deequilíbrio.

FIM

Gabarito para Versão B

Seção 1. Múltipla escolha (9× 0,7= 6,3 pontos)

1. (a)

2. (a)

3. (e)

4. (d)

5. (a)

6.

7. (b)

8. (a)

9. (f)

Seção 2. Questões discursivas [3,7 pontos]

1. Resolução:

(a) [1,1 ponto] Escolhendo a origem do sistema de coordenadas no topo do plano inclinado e oeixo X orientado para baixo, podemos escrever a força restauradora da mola como:

~Fm = −k(x− L)x.

No ponto de equilíbrio xeq, para que a resultante das forças seja nula, o módulo da força damola deve ser igual ao módulo da componente do peso na direção x:

mgsenθ = k(xeq − L) ⇒ xeq =mg

ksenθ + L

(b) [1,2 ponto] Pela 2a lei de Newton, na direção x temos

md2x

dt2= mgsenθ − k(x− L),

d2x

dt2+ ω2

0x = gsenθ + ω20L,

onde ω0 :=√k/m.

(c) [1,4 ponto] A solução da eq. homogênea é:

xH(t) = A cos(ω0t+ φ).

Como a parte não homogênea é independente do tempo propomos uma solução particular dotipo xP (t) = C (constante). Substituindo na equação de movimento temos:

ω20C = gsenθ + ω2

0L ⇒ C =g

ω20

senθ + L = xeq.

Com isso, a solução geral �ca:

x(t) = A cos(ω0t+ φ) + xeq.

Usando as condições iniciais x(0) = b e dx/dt(0) = 0 temos:

x(0) = A cos(φ) + xeq = b,

edx/dt(0) = −ω0Asen(φ) = 0.

Como a posição inicial está acima da posição de equilíbrio, b < xeq. Com isso, obtemos que

φ = π e A = xeq − b.

Logo, a solução �nal �ca:

x(t) = (xeq − b) cos(ω0t+ π) + xeq.

�

Universidade Federal do Rio de Janeiro � Instituto de FísicaFísica II� 2017.2 � Prova Final: 27/11/2017

Versão: C

Seção 1. Múltipla escolha (9× 0,7= 6,3 pontos)

1. Um balão de hélio que �utua na atmosfera,carregando um pequeno peso, sobe a veloci-dade constante. Levando em conta que a den-sidade do ar decresce com a altitude e des-prezando qualquer força de resistência do ar,podemos a�rmar que:

(a) O volume do balão aumenta e o empuxosobre o balão aumenta.

(b) O volume do balão não se altera e o em-puxo diminui.

(c) O volume do balão diminui, assim comoo empuxo.

(d) O volume do balão aumenta, mas o em-puxo não se altera.

(e) Tanto o volume do balão quanto o em-puxo permanecem constantes.

2. Um objeto de massa m está preso a uma molaideal de constante elástica k e se move no eixoOy. Ele também está sujeito a uma forçade amortecimento proporcional à velocidadeFr = −ρy, onde ρ é uma constante positiva.Sobre este sistema, são feitas as seguintes a�r-mativas:

I. Se ρ < 2√mk, há oscilações.

II. Se ρ > 2√mk, o regime de amorteci-

mento é supercrítico.

III. Como se trata de um oscilador amorte-cido, |y(t)| é sempre decrescente, inde-pendente das condições iniciais.

São verdadeiras:

(a) Somente I e II.

(b) Somente II.

(c) Somente II e III.

(d) Somente I.

(e) Somente III.

(f) Somente I e III.

(g) Todas.

(h) Nenhuma.

3. Um �uido incompressível escoa de forma es-tacionária no interior de uma tubulação hori-zontal. Em um ponto da tubulação, a pressãoé p1 e o módulo da velocidade do �uido é v1.Em um outro ponto mais adiante na tubula-ção, a pressão é p2 e o módulo da velocidadeé 2v1. O que pode ser concluído em relação ap1 e p2?

(a) p1 = 4p2

(b) p1 = 3p2

(c) p1 = 2p2

(d) p1 = p2/2

(e) p1 = p2

(f) Apenas que p1 > p2.

(g) Apenas que p1 < p2.

4. Uma onda estacionária estabelecida em umacorda in�nita apresenta espaçamento ∆x en-tre nós consecutivos. Se a força de traçãoé dobrada, mas a frequência mantida �xa,qual será o espaçamento entre nós consecuti-vos?

(a) 2∆x.

(b)√

2∆x.

(c) ∆x/2.

(d) ∆x/√

2.

(e) ∆x, ou seja, não haverá mudança.

5. Considere um sistema massa-mola sujeito auma força externa senoidal, com amplitude,frequência e constante de fase �xas. Marquea alternativa que descreve um procedimentopara minimizar os efeitos de ressonância.

(a) Aumentar a constante de amorteci-mento do oscilador.

(b) Diminuir a amplitude inicial do oscila-dor.

(c) Garantir que o oscilador esteja inicial-mente defasado em relação à força ex-terna.

(d) Trocar a mola para que a frequência na-tural do sistema seja igual à da forçaexterna.

(e) Diminuir a constante de amortecimentodo oscilador.

6. Considere as seguintes a�rmativas:

I. Toda a energia cinética de um objeto étransformada em calor;

II. Um refrigerador remove 100 J de calordos alimentos em seu interior, usandoapenas 75 J de energia elétrica;

III. Uma máquina térmica realiza 25 J detrabalho rejeitando apenas 10 J de calorpara o reservatório frio;

quais delas violam a 2a Lei da Termodinâ-mica?

(a) Apenas a a�rmativa I viola a 2a Lei.

(b) Apenas a a�rmativa II viola a 2a Lei.

(c) As a�rmativas I e II violam a 2a Lei.

(d) Todas as alternativas violam a 2a Lei .

(e) Nenhuma das alternativas violam a 2a

Lei.

7. A respeito de processos REVERSÍVEIS so-fridos por um gás ideal, podemos a�rmarque:

(a) Para uma mesma variação positiva devolume a variação de pressão do gás émaior, em módulo, em um processo adi-abático do que em um isotérmico.

(b) A entropia do gás sempre aumenta, paraqualquer processo reversível.

(c) A variação da energia interna do gás ésempre igual à soma do calor PERDIDOpelo gás com o trabalho REALIZADOpor ele.

(d) Para uma mesma variação de tempera-tura o calor fornecido AO gás a volumeconstante é igual ao calor fornecido apressão constante.

(e) É possível realizar um ciclo em queo trabalho realizado pelo gás não sejanulo, mas que o calor total trocado en-tre o gás e o sistema seja nulo.

8. O que se pode dizer sobre uma onda em umacorda cujas duas metades são de materiais edimensões diferentes?

I. A velocidade de propagação deve ser amesma nas duas metades.

II. A frequência deve ser igual nas duas me-tades.

III. O período deve ser igual nas duas meta-des.

IV. O comprimento de onda deve ser igualnas duas metades.

(a) Somente II e III.

(b) Somente II.

(c) Somente I e IV.

(d) Somente I.

(e) Somente IV.

(f) Somente I e II.

(g) Somente III e IV.

(h) Somente I, II e IV.

9. QUESTÃO ANULADA Dois gases ideais,um monoatômico e um diatômico, sofrem amesma variação de energia interna. Marque aalternativa verdadeira.

(a) Nos dois casos há variação de tempera-tura, e ela é a mesma em ambos.

(b) A variação de temperatura é maior nogás monoatômico.

(c) A variação de temperatura é maior nogás diatômico.

(d) Não é possível relacionar as variações detemperatura pois não sabemos se o sis-tema realiza ou não trabalho durante talprocesso.

(e) As temperaturas não variam.

Seção 2. Questões discursivas [3,7 pontos]

1. Um bloco de massa m, que pode deslizar sem atrito sobre um plano inclinado de um ângulo θ,

está conectado ao topo do plano por uma mola ideal, que obedece à lei de Hooke, com constanteelástica k e comprimento L quando não deformada.

(a) Calcule a distância que o bloco se encontra do topo do plano inclinado na posição de equilíbrio.

(b) Deduza a equação de movimento do sistema, em termos da distância ao topo do plano inclinado.

(c) Resolva a equação de movimento, obtida no item anterior, para o caso do bloco ser soltodo repouso a uma distância b, ao longo do eixo X indicado na �gura, acima da posição deequilíbrio.

FIM

Gabarito para Versão C

Seção 1. Múltipla escolha (9× 0,7= 6,3 pontos)

1. (d)

2. (a)

3. (f)

4. (b)

5. (a)

6. (e)

7. (a)

8. (a)

9.

Seção 2. Questões discursivas [3,7 pontos]

1. Resolução:

(a) [1,1 ponto] Escolhendo a origem do sistema de coordenadas no topo do plano inclinado e oeixo X orientado para baixo, podemos escrever a força restauradora da mola como:

~Fm = −k(x− L)x.

No ponto de equilíbrio xeq, para que a resultante das forças seja nula, o módulo da força damola deve ser igual ao módulo da componente do peso na direção x:

mgsenθ = k(xeq − L) ⇒ xeq =mg

ksenθ + L

(b) [1,2 ponto] Pela 2a lei de Newton, na direção x temos

md2x

dt2= mgsenθ − k(x− L),

d2x

dt2+ ω2

0x = gsenθ + ω20L,

onde ω0 :=√k/m.

(c) [1,4 ponto] A solução da eq. homogênea é:

xH(t) = A cos(ω0t+ φ).

Como a parte não homogênea é independente do tempo propomos uma solução particular dotipo xP (t) = C (constante). Substituindo na equação de movimento temos:

ω20C = gsenθ + ω2

0L ⇒ C =g

ω20

senθ + L = xeq.

Com isso, a solução geral �ca:

x(t) = A cos(ω0t+ φ) + xeq.

Usando as condições iniciais x(0) = b e dx/dt(0) = 0 temos:

x(0) = A cos(φ) + xeq = b,

edx/dt(0) = −ω0Asen(φ) = 0.

Como a posição inicial está acima da posição de equilíbrio, b < xeq. Com isso, obtemos que

φ = π e A = xeq − b.

Logo, a solução �nal �ca:

x(t) = (xeq − b) cos(ω0t+ π) + xeq.

�

Universidade Federal do Rio de Janeiro � Instituto de FísicaFísica II� 2017.2 � Prova Final: 27/11/2017

Versão: D

Seção 1. Múltipla escolha (9× 0,7= 6,3 pontos)

1. O que se pode dizer sobre uma onda em umacorda cujas duas metades são de materiais edimensões diferentes?

I. A velocidade de propagação deve ser amesma nas duas metades.

II. A frequência deve ser igual nas duas me-tades.

III. O período deve ser igual nas duas meta-des.

IV. O comprimento de onda deve ser igualnas duas metades.

(a) Somente II e III.

(b) Somente II.

(c) Somente I e IV.

(d) Somente I.

(e) Somente IV.

(f) Somente I e II.

(g) Somente III e IV.

(h) Somente I, II e IV.

2. Considere um sistema massa-mola sujeito auma força externa senoidal, com amplitude,frequência e constante de fase �xas. Marquea alternativa que descreve um procedimentopara minimizar os efeitos de ressonância.

(a) Aumentar a constante de amorteci-mento do oscilador.

(b) Diminuir a amplitude inicial do oscila-dor.

(c) Garantir que o oscilador esteja inicial-mente defasado em relação à força ex-terna.

(d) Trocar a mola para que a frequência na-tural do sistema seja igual à da forçaexterna.

(e) Diminuir a constante de amortecimentodo oscilador.

3. Uma onda estacionária estabelecida em umacorda in�nita apresenta espaçamento ∆x en-tre nós consecutivos. Se a força de traçãoé dobrada, mas a frequência mantida �xa,qual será o espaçamento entre nós consecuti-vos?

(a) 2∆x.

(b)√

2∆x.

(c) ∆x/2.

(d) ∆x/√

2.

(e) ∆x, ou seja, não haverá mudança.

4. Um balão de hélio que �utua na atmosfera,carregando um pequeno peso, sobe a veloci-dade constante. Levando em conta que a den-sidade do ar decresce com a altitude e des-prezando qualquer força de resistência do ar,podemos a�rmar que:

(a) O volume do balão aumenta e o empuxosobre o balão aumenta.

(b) O volume do balão não se altera e o em-puxo diminui.

(c) O volume do balão diminui, assim comoo empuxo.

(d) O volume do balão aumenta, mas o em-puxo não se altera.

(e) Tanto o volume do balão quanto o em-puxo permanecem constantes.

5. Considere as seguintes a�rmativas:

I. Toda a energia cinética de um objeto étransformada em calor;

II. Um refrigerador remove 100 J de calordos alimentos em seu interior, usandoapenas 75 J de energia elétrica;

III. Uma máquina térmica realiza 25 J detrabalho rejeitando apenas 10 J de calorpara o reservatório frio;

quais delas violam a 2a Lei da Termodinâ-mica?

(a) Apenas a a�rmativa I viola a 2a Lei.

(b) Apenas a a�rmativa II viola a 2a Lei.

(c) As a�rmativas I e II violam a 2a Lei.

(d) Todas as alternativas violam a 2a Lei .

(e) Nenhuma das alternativas violam a 2a

Lei.

6. A respeito de processos REVERSÍVEIS so-fridos por um gás ideal, podemos a�rmarque:

(a) Para uma mesma variação positiva devolume a variação de pressão do gás émaior, em módulo, em um processo adi-abático do que em um isotérmico.

(b) A entropia do gás sempre aumenta, paraqualquer processo reversível.

(c) A variação da energia interna do gás ésempre igual à soma do calor PERDIDOpelo gás com o trabalho REALIZADOpor ele.

(d) Para uma mesma variação de tempera-tura o calor fornecido AO gás a volumeconstante é igual ao calor fornecido apressão constante.

(e) É possível realizar um ciclo em queo trabalho realizado pelo gás não sejanulo, mas que o calor total trocado en-tre o gás e o sistema seja nulo.

7. Um objeto de massa m está preso a uma molaideal de constante elástica k e se move no eixoOy. Ele também está sujeito a uma forçade amortecimento proporcional à velocidadeFr = −ρy, onde ρ é uma constante positiva.Sobre este sistema, são feitas as seguintes a�r-mativas:

I. Se ρ < 2√mk, há oscilações.

II. Se ρ > 2√mk, o regime de amorteci-

mento é supercrítico.

III. Como se trata de um oscilador amorte-cido, |y(t)| é sempre decrescente, inde-pendente das condições iniciais.

São verdadeiras:

(a) Somente I e II.

(b) Somente II.

(c) Somente II e III.

(d) Somente I.

(e) Somente III.

(f) Somente I e III.

(g) Todas.

(h) Nenhuma.

8. QUESTÃO ANULADA Dois gases ideais,um monoatômico e um diatômico, sofrem amesma variação de energia interna. Marque aalternativa verdadeira.

(a) Nos dois casos há variação de tempera-tura, e ela é a mesma em ambos.

(b) A variação de temperatura é maior nogás monoatômico.

(c) A variação de temperatura é maior nogás diatômico.

(d) Não é possível relacionar as variações detemperatura pois não sabemos se o sis-tema realiza ou não trabalho durante talprocesso.

(e) As temperaturas não variam.

9. Um �uido incompressível escoa de forma es-tacionária no interior de uma tubulação hori-zontal. Em um ponto da tubulação, a pressãoé p1 e o módulo da velocidade do �uido é v1.Em um outro ponto mais adiante na tubula-ção, a pressão é p2 e o módulo da velocidadeé 2v1. O que pode ser concluído em relação ap1 e p2?

(a) p1 = 4p2

(b) p1 = 3p2

(c) p1 = 2p2

(d) p1 = p2/2

(e) p1 = p2

(f) Apenas que p1 > p2.

(g) Apenas que p1 < p2.

Seção 2. Questões discursivas [3,7 pontos]

1. Um bloco de massa m, que pode deslizar sem atrito sobre um plano inclinado de um ângulo θ,está conectado ao topo do plano por uma mola ideal, que obedece à lei de Hooke, com constanteelástica k e comprimento L quando não deformada.

(a) Calcule a distância que o bloco se encontra do topo do plano inclinado na posição de equilíbrio.

(b) Deduza a equação de movimento do sistema, em termos da distância ao topo do plano inclinado.

(c) Resolva a equação de movimento, obtida no item anterior, para o caso do bloco ser soltodo repouso a uma distância b, ao longo do eixo X indicado na �gura, acima da posição deequilíbrio.

FIM

Gabarito para Versão D

Seção 1. Múltipla escolha (9× 0,7= 6,3 pontos)

1. (a)

2. (a)

3. (b)

4. (d)

5. (e)

6. (a)

7. (a)

8.

9. (f)

Seção 2. Questões discursivas [3,7 pontos]

1. Resolução:

(a) [1,1 ponto] Escolhendo a origem do sistema de coordenadas no topo do plano inclinado e oeixo X orientado para baixo, podemos escrever a força restauradora da mola como:

~Fm = −k(x− L)x.

No ponto de equilíbrio xeq, para que a resultante das forças seja nula, o módulo da força damola deve ser igual ao módulo da componente do peso na direção x:

mgsenθ = k(xeq − L) ⇒ xeq =mg

ksenθ + L

(b) [1,2 ponto] Pela 2a lei de Newton, na direção x temos

md2x

dt2= mgsenθ − k(x− L),

d2x

dt2+ ω2

0x = gsenθ + ω20L,

onde ω0 :=√k/m.

(c) [1,4 ponto] A solução da eq. homogênea é:

xH(t) = A cos(ω0t+ φ).

Como a parte não homogênea é independente do tempo propomos uma solução particular dotipo xP (t) = C (constante). Substituindo na equação de movimento temos:

ω20C = gsenθ + ω2

0L ⇒ C =g

ω20

senθ + L = xeq.

Com isso, a solução geral �ca:

x(t) = A cos(ω0t+ φ) + xeq.

Usando as condições iniciais x(0) = b e dx/dt(0) = 0 temos:

x(0) = A cos(φ) + xeq = b,

edx/dt(0) = −ω0Asen(φ) = 0.

Como a posição inicial está acima da posição de equilíbrio, b < xeq. Com isso, obtemos que

φ = π e A = xeq − b.

Logo, a solução �nal �ca:

x(t) = (xeq − b) cos(ω0t+ π) + xeq.

�