Matemática Básica -...

Apêndice A - Matemática Básica

163

AMatemática Básica

A.1. TrigonometriaA.1.1. Relações no triângulo qualquer

A cα β

ba

B

γ

C

Figura A.1 - Triângulo qualquer

Leis Fundamentais:

sen sen sena b c

b ca= = A-1

Lei dos cossenos:2

2

2

cos

cos

cos

a b c bc

b a c ac

c a b ab

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a

b

c

= + -

= + -

= + -

A-2

Mecanismos Articulados

164

A.1.2. Relações no triângulo retângulo

α

C Ab

B

ca β

Figura A.2 - Triângulo retângulo

Expressões DiretasSeno de α:

senaca = A-3

Cosseno de α:

cosaba = A-4

Tangente de α:

tgbca = A-5

Cotangente de α:

cotgcba = A-6

Secante de α:

seccosb

a 1aa

= = A-7

Cossecante de α:

cosecsenc

a 1aa

= = A-8


165

Ângulos notáveis

α 0°0

30°π/6

45°π/4

60°π/3

90°π/2

sen α 0 21

22

23 1

cos α 123

22

21 0

tg α 033 1 3 ∞

Figura A.3 - Ângulos notáveis.Projeções:

sen

cos

a c

a b

a

a

=

=A-9

A.1.3. Relações TrigonométricasRelação Fundamental

sen cosa a 12 2+ = A-10

Conseqüências:

1

1

1

1 sen cos

cos sen

tg sec

cotg cosec

a a

a a

a a

a a

2 2

2 2

2 2

2 2

- =

- =

+ =

+ =

A-11

Outras Relações:)

( )

) )

)

)

sen( sen

cos cos

sen( sen( cos

cos( sen

cos( sen

a a

a a

a a a

a a

a a

2 2

2

2

-

r r

r

r

=-

- =

- = + =

- =

+ =-

A-12


166

A.1.4. Adição/Subtração de Arcos

( )

( )

( )1

sen sen cos sen cos

cos cos cos sen sen

tgtg tg

tg tg

a b a b b a

a b a b a b

a ba b

a b

! !

! "

!"

!

=

=

=

A-13

Conseqüências:

1

sen sen cos

cos cos sen

tgtg

2tg

a a a

a a a

aa

a

2 2

2

2

2 2

2

=

= -

=-

A-14

Arco Metade

1

sen cos

cos cos

tgcoscos

a a

a a

aaa

2 21

2 21

21

!

!

!

= -

= +

=+-

A-15

Em Função do Arco Metade

sentg

tg

costg

tg

tgtg

tg

1

2

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a

a

a

=+

=+

-

=-

a

a

a

a

a

a

A-16


167

A.2. Geometria PlanaCongruência de Ângulos

Ângulos com lados perpendiculares:

α

β

α=βFigura A.4 - Congruência de ângulos

Relações no Triângulo

βαA c

b

α + γB

a

γ

C

Figura A.5 - Relações no triângulo qualquer.

Soma dos ângulos internos:a b c r+ + = A-17

Se a = c, então α = γ

Projeções

P

αA'

A

B

B'

t

Fiura A.6 - Projeção de segmento de reta.


168

Sobre a reta t:Proj AB A Bt = l l A-18

Ou:cosProj AB ABt a= A-19

Distância de B a t:senBB PB a=l A-20

A.3. DiferenciaçãoDiferenciais Básicas:

0

1

2

dxda se a for constante

dxdx

dxdx x

dxdx nx

nn

2

1

=

=

=

= -

A-21

Funções Transcendentais:

( )

ln

dxd

x x

dxd x

x

dxd e e

1 1

1

x x

2=-

=

=

A-22

Funções Trigonométricas:

sen cos

cos sen

tg seccos

dxd x x

dxd x x

dxd x x

x12

2

=

=-

= =

A-23


169

Regras de Diferenciação:Considerando u e v funções em x:

( )

( )

dxd u v

dxdu

dxdv

dxd u v

dxdu v u

dxdv

dxd

vu

v

v udxdu

dxdv

2

$ $ $

$ $

+ = +

= +

=-

A-24

Considerando v função de u, e u função de x:

dxdv

dudv

dxdu$= A-25

Exemplo:

( )sen sendxd x

dxd x2 2

= A-26

Vamos fazer:senu x v u2

&= = A-27Logo:

cos sen

sen cos

dxdu x e

dudv u x

dxdv

dudv

dxdu x x

2 2

2& $

= = =

= =A-28


170

Apêndice B - Sistemas Trigonométricos

171

BSistemas Trigonométricos

Nas cadeias cinemáticas de forma geral, a solução do sistema composto pelas equações de restrição nos leva aos deslocamentos das barras associadas às coordenadas generalizadas. O problema se dá pelo fato de estas equações não serem lineares visto que, as incógnitas nor-malmente são argumentos de funções trigonométricas. Em verdade co-ordenadas angulares, normalmente associadas a pares rotativos, levam a argumento de função trigonométrica e coordenadas lineares, associa-das a pares prismáticos levam a incógnitas lineares de fácil solução.

Um outro problema abordado neste apêndice diz respeito à in-versão das matrizes jacobianas em cadeias compostas que, como vere-mos, apesar de serem matrizes de ordem superior a dois, estas podem sempre ser rearranjadas em blocos de forma a que possamos encontrar a solução pela inversão de uma seqüência de matrizes quadradas.

B.1. Equações para o Mecanismo Biela-manivelaNo caso do mecanismo biela-manivela, quase sempre vamos

ter uma coordenada secundária associada a um par cinemático prismá-tico e isto vai nos levar a uma incógnita linear no sistema de equações


172

facilitando sobremaneira a solução do problema. Considerando, para incógnitas do sistema, as variáveis φ e x, as duas situações mais comuns levam às equações do tipo B-1 e B-3 a seguir.

B-1

Tendo apenas uma incógnita como argumento de uma função trigonométrica, a solução para o sistema de equações em B-1 é imedia-ta em φ e simples de se obter em x a partir da soma dos quadrados dos termos b sen φ e b cos φ, após isolados no sistema.

B-2

Uma outra inversão, também muito comum em mecanismos biela-manivela, tem o sistema de equações B-3 para equações de res-trição.

B-3

O ponto de partida para a solução de B-3 consiste em se isolar x sen φ e x cos φ nas duas equações do sistema, para em seguida obter-se φ pela divisão da primeira pela segunda, e x pela soma dos quadrados, equação B-4.

B-4

Nos dois casos, equações B-2 e B-4, o sinal do radical será único, mas definido em função de cada geometria e análise de alguma impossibilidade para sinal positivo ou negativo.

B.2. Equações para o Quadrilátero ArticuladoB.2.1. Equação em Seno e Cossseno

Antes de darmos prosseguimento às equações para o quadrilá-tero articulado, vamos procurar uma solução para a equação trigonomé-trica em B-5, que iremos utilizar mais adiante.

B-5


173

Neste caso, a substituição de seno e cosseno pelas identidades trigonométricas em B-6,

B-6

vai nos levar à equação B-7.

B-7

que tem para solução:

B-8

Note que se a equção B-5 tivesse a forma:

B-9com os mesmos procedimentos ou substituido b negativamente em B-8, chegaríamos a:

B-10

B.2.2. Sistema do QuadriláteroNeste caso as duas incógnitas serão angulares e portanto o sis-

tema será transcedental nas variáveis α e β, levando-nos a uma equação do tipo:

B-11

Se isolarmos A sen α e A cos α nas duas equações do sistema, e somarmos os seus quadrados, vamos obter:

B-12onde:

B-13

sendo a equação B-12 similar a B-5 vamos obter a solução para α, a partir de B-8, como sendo:


174

B-14

Da mesma forma, se isolarmos agora B sen β e B cos β nas duas equações do sistema B-11, e efetuarmos os mesmos procedimentos an-teriores com:

B-15

vamos obter, para solução de β:

B-16

Para o caso em que se tenha B negativo em uma das linhas do sistema, como em B-17, por exemplo.

B-17

não teremos mudança para o valor de α, porém a solução para β torna-se:

B-18

Onde, mais uma vez em todos os casos, o sinal do radical deve-rá ser único e definido para cada caso, em função da análise geométrica de alguma impossibilidade para sinal positivo ou negativo.

A.3. Matrizes Jacobianas em Cadeias CompostasAntes de passarmos à situação geral, vejamos o caso de uma

cadeia imposta com oito barras ou de qualquer cadeia não imposta com seis barras secundárias. O problema nos levará a uma equação matricial do tipo B-15:

Note que se a matriz jacobiana do sistema não estiver na forma da equação B-15, esta poderá ter as suas colunas recambiadas, natu-ralmente que com as respectivas linhas das matrizes colunas B e C, de modo a se ter este formato.


175

B-19

Após assumir este formato, podemos subdividir a matriz prin-cipal em blocos, junto com as suas respectivas submatrizes coluna, sen-do a primeira delas:

B-20

que irá fornecer, sem problemas, os valores de b1 e b2 pela inversão de uma matriz quadrada simples. Agora, com b2 conhecido, podemos montar o segundo bloco:

B-21

que fornecerá, novamente pela inversão de uma matriz quadrada, os va-lores de b3 e b4. E então, com b4 conhecido, chegamos ao último bloco:

B-22

onde vamos obter os dois últimos valores b5 e b6, resolvendo o proble-ma.

Passemos agora ao caso geral em que possamos ter n equa-ções de restrição levando em conseqüência a uma matriz jacobiana n×n. Como esta matriz deriva-se de uma cadeia cinemática é possível se pro-var que ela pode ser posta na forma de uma matriz em que:

a. aij = 0 para j > i, com exceção dos termos sucessivos, na linha, a aii, com i ímpar.

b. aij = 0 para j < i+1, com exceção dos termos antecessores, na linha, ao antecessor de aii, com i par.


176

Caso n seja igual a seis, temos um exemplo desta matriz no equação B-15.

Para este caso, após determinado o primeiro bloco como em B-15, os blocos sucessivos, i = 3 até n–1 de dois em dois sempre ímpar, serão determinados por:

B-23Onde o valor bi-1 sempre será conhecido a partir do bloco an-

terior e os valores de bi e bi+1 podem ser obtidos pela inversão de uma simples matriz quadrada.

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