Microondas I - Fermassa2)_Aula_6.pdf · Microondas I Solução de onda plana – onda plana...

Microondas I

Prof. Fernando Massa Fernandeshttps://www.fermassa.com/microondas-i.php

Sala 5017 [email protected]

Aula 6

Microondas I

Equação de onda – Solução de onda plana

∇2 E−μϵ ∂

2 E∂ t2

= 0 ∇2 H−μϵ ∂2 H∂ t2

= 0

→ Solução de onda plana → Modo de propagação transversal eletromagnético (TEM)

z

E

H

Exemplo: E=Ex (z , t)

Ex =E0 sin (ωtt±kz )

Ex =E0 cos (ωtt±kz )

Ex =E0 e i (ωtt±kz )

Conjunto de soluções

ωt= 2 πff →Frequência

k=2 πfλ→Constantedepropagação

ωtt±kz→Fase v f=ωtk=

1

√μϵ

Revisão

→ Propagação na direção +z com polarização em x.

H=1η

n×E

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Exercício 1.2 do livro:

Uma onda plana viaja ao longo do eixo-x em um região preenchida com poliestireno com

e campo elétrico dado por . A frequência é de 2,4 GHz e

. Encontre:

a) A amplitude e direção do campo magnético. b) A velocidade de fase.c) O comprimento de onda.d) A diferença de fase entre as posições x1 = 0,1m e x2 = 0,15m.

ϵr=2,54 E y=cos(ω t−kx )

E0=5,0V /m

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Equação de onda – Solução (geral) de onda plana

H=1η

n×E

E=E0e−i k r

Revisão

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Solução de onda plana – onda plana circularmente polarizada

H=1η

n×E

* Essa onda, discutida anteriormente, é uma onda linearmente polarizada.

** A direção da polarização se refere geralmente ao campo elétrico.

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*** Em geral, a polarização da onda plana não é fixa e muda com o tempo!

**** Duas ondas planas polarizadas perpendicularmente produzem em geral uma onda elipticamente polarizada.

https://www.air-stream.org/technical-references/antenna-polarisation

E1 eE2 são (emgeral ) complexos

E1=|E1|. eiϕ1

Fase⇒ϕ=ϕ1−ϕ2

E2=|E2|.eiϕ2

Microondas I


*** Em geral, a polarização da onda plana não é fixa e muda com o tempo!

**** Duas ondas planas polarizadas perpendicularmente produzem em geral uma onda elipticamente polarizada.


E1=|E1|. eiϕ1

Fase⇒ϕ=ϕ1−ϕ2

E2=|E2|.eiϕ2

http://www.rfcafe.com/references/electrical/ew-radar-handbook/polarization.htm

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E1=|E1|. eiϕ1

Fase⇒ϕ=ϕ1−ϕ2

E2=|E2|.eiϕ2


ϕ=atan (E2/E1)

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E1 e E2→ são em geral complexos

E1=|E1|. eiϕ1 Fase⇒ϕ=ϕ1−ϕ2

E2=|E2|.eiϕ2 ϕ=atan (E2/E1)

SeE1 =E2 =E0 ( Real )→Linearmentepolarizada

NocasoE1=±iE 2 =E0→Circularmentepolarizada E=E0 ( x±i y ) e−ik0 z

Fase de 90° entre E1 e E2⇒±i=e±iπf / 2

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Campo elétrico no tempo (fase de - 90o ):

E=E0 ( x−i y ) e−ik0 z


Microondas I






Campo elétrico no tempo (fase de - 90o ):

E=E0 ( x−i y ) e−ik0 z

RHCP


Microondas I


Campo elétrico (fase de - 90o ):

E=E0 ( x−i y ) e−ik 0 z

RHCP

Campo elétrico (fase de + 90o ):

LHCP

E=E0 ( x+i y ) e−ik0 z

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RHCP


LHCP


Radar – Para um número ímpar de reflexões (antena receptora para polarização oposta)

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RHCP


LHCP


Radar – Para um número par de reflexões (antena receptora para mesma polaridade)

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https://www.air-stream.org/technical-references/antenna-polarisation

Receptor de TV via satélite

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Energia e potência

Dadoumvolume'V''S'→SuperfícieenvolvendoovolumeV

Meioarbitrário→ ϵ=ϵ '−iϵ ''

μ=μ '− iμ ' '

Teorema de Poynting (conservação de energia)

Aplicando o princípio de conservação da energia ao volume (V), contendo

fontes de corrente elétrica

e magnética geradoras, obtemos o Teorema de Poynting.

( J= J s+σ E )

(M s)

Físico J. H. Poynting1852* - 1914†

J s→ fonte de corrente σ E→corrente de condução

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Energia e potência - Teorema de Poynting (conservação de energia)

Dadoumvolume'V'

PS=P0+Pl+P r

PS→Potência total complexa entregue pelas fontes ( J S , M S) dentro de'S'

P0→Fluxo de potência para fora da superfície fechada'S'

Pl→Potência dissipada em calor no interior do volume'V'

Pr→Energia reativa estocada no volume'V'

(1 ) (2 ) (3 ) (4 )

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Dadoumvolume'V'

PS=P0+Pl+P r

(1 ) PS→Potência total complexa entregue pelas fontes ( J S , M S ) dentro de'S'

(1 ) (2 ) (3 ) (4 )

( W )

Potência consumida na fonte

Média temporal <cos2 ωtt > = 1/2

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Dadoumvolume'V'

PS=P0+Pl+P r

(1 ) (2 ) (3 ) (4 )

(2 ) P0→Fluxo de potência para fora da superfície fechada'S'

S→Vetor de Poynting

Fundamental!!

S=E×H *

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Dadoumvolume'V'

PS=P0+Pl+P r

(1 ) (2 ) (3 ) (4 )

(3 ) Pl→Potência dissipada em calor no interior do volume 'V'

Pl=Plc+P ld+Plm

3 .1 −Dissipação devida a condutividade (σ )→Plc

3 . 2 −Efeito de amortecimento dielétrico (ϵ '' )→Pld

3 .3 −Efeito de amortecimento diamagnético (μ'' )→P lm

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Dadoumvolume'V'

PS=P0+Pl+P r

(1 ) (2 ) (3 ) (4 )

(4 ) Pr→Energia reativa estocada no volume 'V'

→ϵ2∫E2 (r ) dv=W e

→μ2∫ H2 (r )dv=W m

Para campos estáticos: Pre= 2 iωt( 14ϵ '∫ E . E * dv )= 2iωtW e

Prm=−2 iωt( 14

μ'∫ H . H * dv )=−2iωtW m

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Potência absorvida por um bom condutor (σ≫ωtϵ ' )

STotal=S+S0

→A superfície 'S' não contribui!

→Toda a potência é dissipada dentro do volume.

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STotal=S+S0

* Potência média entrando no condutor (Pavg

)

d S= z . ds→(Real)

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STotal=S+S0


)

d S= z . ds→

Usando id . vetorial→

z× E=η H

Pavg=12

Re [η ]∫|H|2 dS (W )

H=1η

n×E

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STotal=S+S0


):

* Potência incidente em S0 por área:

* Resistência superficial (RS):

Pavg=12

Re [η ]∫|H|2 dS (W )

Pavg=12

Re [ S . z ] (W /m2 ) S=E×H *

(W)

RS = Re [η]

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STotal=S+S0


)

d S= z . ds→

Usandoid .vetorial→

z× E=η H

(W)

Pavg=12

Re [η ]∫|H|2 dS (W )

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Reflexão e transmissão de onda plana

- Incidência normal à superfície da interface (meio geral)

* Para obterΓe T aplicamos condições de continuidade nainterface (z=0)

→ Γé o coeficiente de reflexão → T é o coeficiente de transmissão

(dedução)

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* Pra obterΓ e T aplicamos condições de continuidade na interface (z=0)

Ei + Er = Et

H i + H r = H t

Em z= 0 => => =>

(incidência normal)

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Ei + Er = Et

H i + H r = H t

Em z= 0 => => =>

- Num meio geral

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- Num dielétrico sem perdas (σ = 0 ; μ e ϵ reais)

Constante de propagação →

Comprimento de onda no dielétrico →

Velocidade de fase →

λ0→comprimento de onda no espaço livre

Impedância intrínseca do dielétrico →

*Oscampos E e H estão em fase .

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Adaptado do exercício 1.5 do livro:

Uma onda plana incide normalmente na superfície de uma camada dielétrica de Kevlar, com

permitividade e espessura , onde .

Se a camada é cercada por espaço livre dos dois lados, encontre o coeficiente de reflexão.

ϵr=4,27 d=λ / 4d

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- Num bom condutor

Constante de propagação →

Comprimento de onda →

Velocidade de fase →

Impedância intrínseca do bom condutor →

*Oscampos E e H possuemuma fase de+45o .

(σ>0, σ≫ωtϵ ' )

Ceficiente de atenuação →

Profundidade de película →

Constante de fase →

→ E = ηH = √2

σδ ei π/4 H

Microondas I


- Num bom condutor (σ>0, σ≫ωtϵ ' )

No lado z < 0 =>

No lado z > 0 =>

Na interface em z = 0 => S - = S+

Vetor de Pynting

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P- = P+ ( z=0)

Fluxo de potência nos dois lados

S- = z|E02|

1η0(1−|Γ|2+2 iΓ sen2k 0 z)

P+ = P- e−2α z (z>0)

P- = P i+Pr

W /m2

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Densidade de corrente no condutor

J t = σ Et = σT E0 e−γ z x (A /m2) ×eiω t

Potência real média dissipada no condutor por m2 (ou transmitida)

Da lei de Joule →

Pt≡PS do teoremade Poynting

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- Condutor perfeito (reflexão perfeita)

α→∞η→0δ p→0

z > 0 => σ → ∞ => =>Γ→−1T→0

z < 0 =>

H i

Ei

z Er

− zH r

Et = x T E0 e−γ z=0

H t = y T E0η e−γ z

=0

Microondas I



α→∞η→0δ p→0

z > 0 => σ → ∞ => =>Γ→−1T→0

z < 0 =>

H i

Ei

z Er

− zH r

Et = x T E0 e−γ z=0

H t = y T E0η e−γ z

=0

Γ=−1 (z<0) ⇒

Microondas I



z = 0 =>

z < 0 =>

E = 0 H = 2E0η0

y

Γ=−1 (z<0) ⇒

→ puramente complexo

=> Não existe potencia real entregue ao condutor!

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z = 0 => E = 0 H = 2E0η0

y

Γ=−1 (z<0) ⇒

Densidade superficial de corrente (na interface 2D, z = 0)

→ Da cond. de contorno n×(H 2−H 1)=J S

⇒ J S=n×H=− z×(2E0η0

y )=2 E0η0

x [A /m]

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