18.5 – A equação da onda
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18.5 – A equação da ondaOscilador harmônico: vimos que é solução da
equação diferencial
Qual a equação diferencial que rege a propagação de uma onda transversal em uma corda esticada?
)cos()( txtx m
xdt
xd 22
2
Vamos analisar a dinâmica de um elemento infinitesimal de corda, de comprimento δx e massa δm=μδxAplicando a 2a. Lei de Newton, chegamos (quadro-negro) na famosa equação da onda em 1D:
2
2
22
2 1
t
y
vx
y
F
v
2
2
22
2 1
t
y
vx
y
Vamos verificar que a função é solução da equação da onda:
tkxytxy msen),(
tkxykx
ytkxky
x
ymm sencos 2
2
2
tkxyt
ytkxy
t
ymm sencos 2
2
2
tkxyv
tkxyk mm sen1
sen 22
2
Substituindo na equação da onda:
É solução, com a condição: k
v
18.7 – O Princípio da SuperposiçãoQuando duas ondas y1(x,t) e y2(x,t) se propagam simultaneamente, o deslocamento resultante é y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t) (Princípio da Superposição)
Exemplo: Dois pulsos
http://www.youtube.com/watch?v=yevr1hWJPZI
Análise de Fourier
Joseph Fourier (1768-1830)
Qualquer forma de onda pode ser construída a partir da superposição de ondas senoidais!
Exemplo: “dente-de-serra”
x
x
λ
λ
Pode-se mostrar que:
...4sen4
13sen
3
1
2sen2
1sen
1)(
kxkx
kxkxxy
(série de Fourier)
Um pulso também pode ser construído pela superposição de ondas senoidais:
(mais útil para transmitir informação do que uma onda senoidal simples)
Às vezes, cada componente senoidal do pulso se propaga com velocidade diferente: pulso se distorce – dispersão.
Exemplo: luz em meios materiais - prisma
Pulso se propaga com velocidade de grupo (diferente da velocidade de fase)
18.8 – Interferência de ondasConsidere duas ondas senoidais de mesma amplitude e comprimento de onda, propagando-se na mesma direção e sentido, com uma diferença de fase Δø:
tkxytxy msen),(1
tkxytxy m sen),(2
Onda resultante:
),(),(),( 21 txytxytxy
tkxytkxy mm sensen
Usamos o resultado:
2
cos2
sen2sensen
Onda resultante:
2
sen2
cos2),(
tkxytxy m
Amplitude da onda resultante
Casos especiais:
tkxytxy m sen2),(
0.1
(interferência construtiva)
0),( txy
.2
(interferência destrutiva)
http://www.youtube.com/watch?v=ovZkFMuxZNc
Interferência em 2D:
interferência construtiva
interferência construtiva
interferência construtiva
interferência destrutiva
interferência destrutiva
18.9 – Ondas estacionáriasVamos considerar agora duas ondas senoidais de mesma amplitude e comprimento de onda, propagando-se em sentidos contrários:
tkxytxy m sen),(1
tkxytxy m sen),(2
Onda resultante:
),(),(),( 21 txytxytxy tkxytkxy mm sensenUsamos novamente o resultado:
2
cos2
sen2sensen
tkxytxy m cossen2),(
não é uma onda progressiva, e sim uma onda estacionária (não tem a forma f(x±vt), mas ainda assim é solução da equação da onda)
Onda estacionária: alguns pontos da corda têm sempre amplitude zero (nós), enquanto outros oscilam com amplitude máxima (antinós)
tkxytxy m cossen2),( Cálculo das posições dos nós: onde o deslocamento é sempre nulo?
0sen nkx inteiro) ( nnkxn
Sabendo que 2
k2
2
nxnx nn
x2
0
2
2
3
Nós estão separados por λ/2
tkxytxy m cossen2),(
Cálculo das posições dos antinós: amplitude máxima
1sen akx inteiro) ( 2
1nnkxa
22
1
nxa
4
4
4
3
x
18.10 – Ondas estacionárias e ressonânciaVamos analisar as ondas estacionárias em uma corda com extremidades fixas
Extremidades fixas = nósModos normais de oscilação:
l
21l l21 1o harmônico (modo
fundamental)
2l l 2 2o harmônico
2
3 3l
3
23
l 3o harmônico
De maneira geral:n
ln
2
lDe maneira geral:
n
ln
2
A corda só irá oscilar substancialmente para estas freqüências: freqüências de ressonância
l
vnfn 2
Freqüências:
vf
Kit LADIF: corda
Na Mecânica Quântica as “ondas de matéria” têm comportamento análogo: diz-se que as freqüências (energias) são quantizadasPartícula quântica em uma caixa: função de onda e probabilidade