Cap. 36: Interferencia

Principio de Huygens: Cada punto de un frente de onda es una fuente de frentes de onda secundarios…

1 1BC v t= λ = ∆

2 2AD v t= λ = ∆

1θ2θA

B

C

D

1θ

2θ

1 1,v n

2 1

2 1

v v

n n

<

>

1v t∆

2v t∆

( ) 1 1

2 2

1vv

λ=

λ

Si el medio 1 es el vacío, entonces λ1= λ , v1=c. Usando λ2= λn y v2=v, tenemos:

( )2

n

n

cn

v

n

λ= =

λλ

λ =

1θ2θA

B

C

D

1θ

2θ

1 1,v n

2 1

2 1

v v

n n

<

>

1v t∆

2v t∆

Podemos re-escribir la ecuación (1) en la forma

1 2

1 2

v v=

λ λ

Como v/λ = f, tenemos

1 2f f=

o sea, la frecuencia es independiente del medio.

1θA

B

C

D

1θ

2θ

1 1,v n

2 1

2 1

v v

n n

<

>

1v t∆

2v t∆

Derivación de la ley de Snell a partir del Principio de Huygen:

11

22

1 1

2 2

1 21 2

1 1 2 2

sin

sin

sinsin1 1sin sin

,

sin sin

v tACv tACvv

v vUsando n c v tenemos

n n

∆θ =

∆θ =

θ=

θ

θ = θ

=

θ = θ

Vimos anteriormente que cuando una onda se mueve de un medio de índice de refracción n1 hacia un medio de índice n2, la frecuencia se mantiene constante y el largo de onda cambia. Si por ejemplo n2>n1, el largo de onda se reduce. Cuando las ondas salen de los dos medios, tienen el mismo largo de onda. Sin embargo, en general , tendrán una diferencia en fase. Esta diferencia determina como interfieren las ondas si se encuentran en un punto común.

2λ

1λ 1n

2n

2 1n n>

2λ

λ

λ

L

Sea δ la diferencia en fase, en términos de λ. Asumiendo que n2>n1, tenemos:

( )2 1N Nδ = − λ

donde N1 y N2 representan el número de largos de onda en los medios 1 y 2, respectivamente. Tenemos que

1,2i

ii

n

i

L L LnN i

n

= = = =λλ λ

( )

2 12 1

2 1

/Ln Ln

N N

Ln n

δ λ = − = −λ λ

⎡ ⎤δ = − λ⎢ ⎥

⎢ ⎥λ⎣ ⎦

Sea φ la diferencia en fase en términos de radianes. Sabemos que una diferencia en fase δ = λ corresponde a una diferencia en ángulo igual a 2π. Podemos conseguir el equivalente angular de cualquier δ haciendo una proporción:

22

δ λ=

ϕ ππ

ϕ = δλ

Ver ejemplo 36-1.

Ejemplo:

En la figura, dos ondas de luz (representadas por los rayos) tienen un largo de onda de 550 nm antes de entrar a los medios 1 y 2. También tienen igual amplitud y están en fase. El medio 1 es aire y el medio 2 es un bloque plástico transparente de índice de refracción 1.6 y espesor 2.6 µm. Calcula la diferencia en fase de las ondas emergentes en términos de largo de onda, radianes y grados.

( )

( )

( )

2 1

6

9

2.6 101.6 1.0

550 10

2.84 0.84

20.84 1.68

5.3 302.4

Ln n

ó

rad

−

−

⎡ ⎤δ = − λ⎢ ⎥

⎢ ⎥λ⎣ ⎦⎡ ⎤×⎢ ⎥δ = − λ⎢ ⎥×⎣ ⎦

δ = λ λ

πφ = λ = π

λφ = =

Experimento de Young

θsind

sin

0, 1, 2,

d m

m

θ = λ

= ± ± …

La banda iluminada número m está a una distancia y del centro de la pantalla. Podemos calcular yusando la aproximación de ángulos pequeños:

Interferencia constructiva ocurre cuando:

y

tan sinyL

y Lm y m

L d d

θ = ≈ θ

λ λ≈ ∴ =

Interferencia destructiva ocurre cuando:

1sin

2d m

⎛ ⎞⎟⎜θ = + λ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

La banda obscura número m está a una distancia ydel centro de la pantalla, dada por:

12L

y md

⎛ ⎞ λ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Cálculo de intensidad

1E

2E

E1 0 sinE E t= ω

( )2 0 sinE E t= ω + φ

( )1 2 0 0sin sinE E E E t E t= + = ω + ω + φ

Usando

tenemos( ) ( )1 1

sin sin 2 cos sin2 2

α + β = α − β α + β

0 02 cos sin sin2 2 2

E E t E t⎛ ⎞ ⎛ ⎞φ φ φ′⎟ ⎟⎜ ⎜= ω + = ω +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0

0 0

sin2

2 cos2

E E t

E E

⎛ ⎞φ′ ⎟⎜= ω + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠φ′ =

Vemos que cuando la constante de fase es 0 o un múltiplo par de π, la amplitud resultante es el doble (figura de arriba).

Cuando es π, la amplitud resultante es cero (figura de abajo).

2

0

220

0

20

4 cos2

4 cos2

mEIc

EI

c

I I

=µ⎛ ⎞ φ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜µ⎝ ⎠

φ=

El ángulo de fase es

2sin2sin

dd

φ π=

θ λπ

φ = θλ

Interferencia en películas delgadas

Una onda viajando de un medio de índice de refracción n1 hacia un medio de índice n2, sufre un cambio en fase al reflejarse si n2>n1.

Si n1>n2 no hay cambio en fase.

2⎛ ⎞λ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

En general, la diferencia en fase total δT entre la onda 1 y la onda 2 es:diferencia en fase diferencia en fase debido a distancia

debido a reflexión extra recorrida por onda 2T

T R D

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜δ = +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠δ = δ + δ

Si la incidencia es casi normal, entonces δD≈2L. En la figura vemos que la onda 1 sufre un cambio en fase de 180° (o λn/2), mientras que la onda 2 no sufre cambio en fase. Esto quiere decir que

02 2n n

R

⎛ ⎞λ λ⎟⎜δ = − = −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠Para que ocurra interferencia constructiva, la diferencia en fase total δT debe ser igual a 0λn, 1λn, 2λn, 3λn, etc. Por lo tanto,

0 ,1 ,2 , 22

2 0 , 1 , 2 ,2 2 2

12 , 3 , 5 , 0, 1, 2,

2 2 2 2

nn n n

n n nn n n

n n nn

L

L

L m m

λλ λ λ = − +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞λ λ λ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜= λ + λ + λ +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞λ λ λ ⎟⎜= = + λ =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Podemos escribir λn en términos del largo de la onda en aire:

airen n

λλ =

Usando esta relación, la condición para interferencia constructivapuede escribirse ahora en la forma

12

21

2 0, 1, 2, 3,2

n

aire

L mn

Ln m m

⎛ ⎞ λ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜= + λ =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Similarmente la condición para interferencia destructiva es:

2 0, 1, 2, 3,aireLn m m= λ =

Ejemplo 36-4:

Se usa luz blanca de intensidad uniforme para iluminar la superficie de una película (lámina delgada) de agua con espesor L=320 nm. ¿Para qué largos de onda la luz reflejada será más brillante? Nota: El largo de onda de la luz visible fluctúa entre 400 nm y 690 nm.

Idea central: Luz reflejada brillante significa que las ondas reflejadas en las superficies 1 y 2 están en fase, o sea, interfieren constructivamente. La ecuación a usar es:

12 0, 1, 2, 3,

2 aireLn m m⎛ ⎞⎟⎜= + λ =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

20, 1, 2, 3,1

2

aire

Lnm

mλ = =

+

( )( )2 320 1.33 851.21 12 2

aire

nm nm

m mλ = =

+ +

El único valor de m que nos da un valor de λ en el espectro visible es m=1. El valor correspondiente de λ es 567.5 nm.

En la figura vemos que tanto la onda 1 como la 2 sufren un cambio en fase de 180° (o λn/2). Por lo tanto, la fase δRdebido a la reflexión es:

02 2n n

R

⎛ ⎞λ λ ⎟⎜δ = − =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠Para que ocurra interferencia constructiva, la diferencia en fase total δT debe ser igual a 0λn, 1λn, 2λn, 3λn, etc. Por lo tanto,

0 ,1 ,2 , 0 2

2 0, 1, 2,

n n n

n

L

L m m

λ λ λ = +

= λ =

2 0, 1, 2,aireLn m m= λ =En términos de λaire tenemos:

Similarmente la condición para interferencia destructiva es:1

2 0, 1, 2, 3,2 aireLn m m

⎛ ⎞⎟⎜= + λ =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Ejemplo 36-5:

El lente de una cámara (n=1.5) está cubierto con una pintura de índice de refracción n=1.38. Asumiendo que el largo de onda promedio de la luz en aire es 550 nm, determina el espesor mínimo L que debe tener la lámina de pintura para eliminar la reflexión de luz en el centro del espectro visible.