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14/08/2013 1 Função de Onda e Equação de Schrödinger Prof. Alex Fabiano C. Campos, Dr Prof. Alex Fabiano C. Campos, Dr® A Função de Onda ( A Função de Onda (ψ) E. Schrödinger (1887-1961) A primeira formulação para esta nova interpretação da Mecânica, a Mecânica Quântica, teoria foi proposta pelo físico austríaco Erwin Schrödinger em 1925. De acordo com Schrödinger, em decorrência do caráter dual da matéria (onda-partícula), mesmo que uma partícula se mova em uma trajetória definida ela estará distribuída em todo o espaço como uma onda. Assim, uma onda na mecânica quântica equivaleria ao conceito de trajetória na mecânica clássica e seria representada por uma função denominada função de onda, ψ.

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Função de Onda e Equação de

Schrödinger

Prof. Alex Fabiano C. Campos, Dr

Prof. Alex Fabiano C. Campos, Dr®

A Função de Onda (A Função de Onda (ψψψψψψψψ))

E. Schrödinger(1887-1961)

• A primeira formulação para esta nova interpretação da Mecânica, aMecânica Quântica, teoria foi proposta pelo físico austríaco ErwinSchrödinger em 1925.

• De acordo com Schrödinger, em decorrência do caráter dual damatéria (onda-partícula), mesmo que uma partícula se mova em umatrajetória definida ela estará distribuída em todo o espaço como umaonda.

• Assim, uma onda na mecânica quântica equivaleria ao conceito detrajetória na mecânica clássica e seria representada por uma funçãodenominada função de onda, ψ.

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A Função de Onda (A Função de Onda (ψψψψψψψψ))

• Para um fenômeno ondulatório qualquer, pode-se escrever a função de onda em suaforma geral como:

( ) (2 ) (2 )u

Asen t Asen t Asen tϕψ ω ϕ πν ϕ π ϕλ

= + = + = +

• Como uϕt = x, isto é, a distância percorrida pela onda durante um intervalo de tempo t,pode-se escrever para uma onda que se propaga apenas em uma direção:

(2 )x

Asenψ π ϕλ

= +

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A Equação de SchrödingerA Equação de Schrödinger

• Na mecânica de oscilações um movimento ondulatório unidimensional é descrito por:

• Em que k é o número de onda:

22

2

( )( ) 0

d xk x

dx

ψψ+ =

λπ2

=k

2 2 p pk

h

π πλ

⇒ = = =ℏλ

hp = 2

h

π = ℏ

• Da equação de De Broglie,

m

pE

2

2

= 2p mE⇒ =2mE

k⇒ =ℏ

• Como,

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A Equação de SchrödingerA Equação de Schrödinger

2

2 2

( ) 2( ) 0

d x mEx

dx

ψψ+ =

Esta é a equação de Schrödinger estacionária (independente do tempo) para

partículas livres não relativísticas de massa m e energia E.

• Substituindo na equação do movimento ondulatório:

2 2

2

( )( )

2

d xE x

m dx

ψψ− =

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)(2

2

xVm

pE +=

2 2

2

( )( ) ( ) ( )

2

d xV x x E x

m dx

ψψ ψ− + =

A Equação de SchrödingerA Equação de Schrödinger

• No caso de a partícula se encontrar em um campo de forças associado a umaenergia potencial V(x), pode-se escrever:

Esta é a equação de Schrödinger para estados estacionários de energia E na

presença de energia potencial V(x).

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A Equação de SchrödingerA Equação de Schrödinger

• Generalizando para o caso tridimensional:

2 2 2 2

2 2 2

( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , ) ( , , )

2

x y z x y z x y zV x y z x y z E x y z

m x y z

ψ ψ ψψ ψ

∂ ∂ ∂− + + + = ∂ ∂ ∂

22

2V E

mψ ψ ψ− ∇ + =

• Ou introduzindo o operador Laplaciano:

• Ou ainda introduzindo o operador Hamiltoniano:

H Eψ ψ=

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Interpretação da Função de OndaInterpretação da Função de Onda

•A que corresponde a amplitude e a intensidade da onda?

•Qual a relação entre a onda e a partícula a ela associada?

•As soluções da equação são fisicamente aceitáveis?

O problema consiste em associar novos conceitos

físicos relacionados à mecânica da escala atômica.

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Interpretação da Função de OndaInterpretação da Função de Onda

• Sendo o potencial constante uma possível solução para a equação de Schrödinger, aqual pode ser obtida por métodos de resolução de equações diferenciais, é da forma:

em que i é um número complexo imaginário.

• A solução da equação de Schrödinger é portanto, uma função de onda complexa.

• Como ψ é uma função complexa (imaginária) ela não deve ter significado físico e,portanto não pode ser medida em laboratório.

• Apenas as grandezas ou observáveis reais têm significado físico e podem ser medidasem laboratório.

( ) cos( ) sen( )ikxx e A kx B i kxψ = = +

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Interpretação da Função de OndaInterpretação da Função de Onda

Max Born(1882-1970)

• Max Born foi o primeiro a dar uma interpretação, não à função deonda em si mas ao seu quadrado.

• O módulo da função de onda ao quadrado ψ2 é uma grandeza nãocomplexa, portanto ele deve ter significado físico.

• De acordo com Max Born, para movimentos em uma únicadimensão x, ψ2 é a probabilidade por unidade x isto é: é aprobabilidade de que se encontre a partícula em uma posição entrex e x + dx.

• Ψ 2 é, portanto, a densidade de probabilidade de presença.

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• A Mecânica Quântica não é determinística, mas sim probabilística. Ela nos força aabandonar a noção de trajetórias precisamente definidas das partículas no tempo e noespaço.

Esta interpretação de ψψψψ fornece uma conexão estatística entre a partícula

e onda a ela associada. Ela nos diz onde a partícula provavelmente estará

e não onde de fato está.

Interpretação da Função de OndaInterpretação da Função de Onda

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Propriedades da Função de OndaPropriedades da Função de Onda

• Como ψ2 representa uma densidade de probabilidade, ela dever ser definida em todo o espaço.

ψψψψ é uma função contínua

•ψ2 não pode ser infinita.

ψψψψ é uma função finita

•ψ2 deve ser nula a uma distância infinita do núcleo.

ψψψψ se anula no infinito

• A probabilidade de se encontrar uma partícula em toda a região do espaço dever ser igual a 1, ou seja ,

ψψψψ deve ser normalizada

2 1.dxψ+∞

−∞

=∫

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Função de Onda e OrbitaisFunção de Onda e Orbitais

• A solução da Equação de Schrödinger fornece uma série de funções de onda comníveis de energia associados. Estas funções de onda são os orbitais atômicos que têmenergia e distribuição (formato) características

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Função de Onda e OrbitaisFunção de Onda e Orbitais

Orbitais s

• Todos os orbitais s são esféricos.

• Para mais elevados níveis de energia, os orbitais s ficam maiores.

• Um nó é uma região no espaço onde a probabilidade de se encontrar um elétron é zero. Em um nó, ψ2 = 0

• À medida que n aumenta, aumenta o número de nós.

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Função de Onda e OrbitaisFunção de Onda e Orbitais

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Orbitais p

• Existem três orbitais p, px, py, e pz.

• Os três orbitais p localizam-se ao longo dos eixos de um sistema cartesiano.

• Os orbitais têm a forma de halteres. Para mais elevados níveis de energia, os orbitais sficam maiores

• Todos os orbitais p têm um nó no núcleo.

Função de Onda e OrbitaisFunção de Onda e Orbitais

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Função de Onda e OrbitaisFunção de Onda e Orbitais

Orbitais d

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Função de Onda e OrbitaisFunção de Onda e Orbitais

Orbitais f

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Resolução da Equação de Resolução da Equação de SchrödingerSchrödinger

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Partícula Livre (1D)Partícula Livre (1D)

2 2

2

( )( ) ( ) ( )

2

d xV x x E x

m dx

ψψ ψ− + =

e-

v�

x

•Mas como V(x)=0, vem que

• Da equação de Schrödinger unidimensional e independente do tempo,

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) 2( ) ( ) 0

2

d x d x mEE x x

m dx dx

ψ ψψ ψ− = ⇒ + =

• Assim,

22

2

( )( ) 0

d xk x

dx

ψψ⇒ + =

2mEk

= ℏ

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Partícula Livre (1D)Partícula Livre (1D)

• Esta equação tem como solução geral:

( ) cos( ) sen( )ikxx e A kx B i kxψ = = +

• Podem-se obter soluções mais gerais por meio de combinações de funções complexas:

( ) ikx ikxx Ae Beψ −= +(Esta equação é uma combinação linear de duas ondas planas que se propagam nasdireções +x e –x. A e B são as amplitudes de cada uma das ondas)

• Assim, operando-se ψ(x), pode-se mostrar que

2 2 22

2

( )( ) ( )

2 2

d xk x E x

m dx m

ψψ ψ− = =

ℏ ℏ

• Finalmente: 2 2

2

kE

m=ℏ

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2

22

m

kEℏ

=

k

E

Partícula Livre (1D)Partícula Livre (1D)

Ou seja, uma partícula livre pode ser encontrada em qualquer ponto sobre o eixo x, com a mesma probabilidade.

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Partícula em uma Caixa (1D)Partícula em uma Caixa (1D)

0, 0 ( )

, ou 0

x LV x

x L x

< <=

∞ ≥ ≤

V

∞ ∞

x0 L

2 2

2

2 2

Em ou 0 (região proibida): ( ) 0

Em 0 , temos ( ) 0 :

Assim, (como a partícula livre)2

Solução geral: ( ) ; 2

ikx ikx

x L x x

x L V x

dE

m dx

kx Ae Be E

m

ψ

ψψ

ψ −

≥ ≤ =

< < =

− =

= + =

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Partícula em uma Caixa (1D)Partícula em uma Caixa (1D)

n

nk

L

π= ⇒

• Condição de contorno 1: (0) 0ψ =

(0) 0 A B A Bψ = + = ⇒ = −então em x=0, vem:

logo: ( )( ) sen ikx ikxx A e e A kxψ −= − =

• Condição de contorno 2: ( ) 0Lψ =

então em x=L, vem: ( ) sen 0 ( 1, 2,3...)L A kL kL n nψ π= = ⇒ = =

logo:2 2 2 2 2

2

2 2

nn

k nE

m mL

π= =ℏ ℏ

(quantização de energia)

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Partícula em uma Caixa (1D)Partícula em uma Caixa (1D)

( ) senn n

n xx A

L

πψ =

• Funções de onda do tipo

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

E1

E2

E3

V ∞ ∞

x0 L

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Partícula em uma Caixa (1D)Partícula em uma Caixa (1D)

• Normalizando a função de onda:

2 1dxψ+∞

−∞

= ⇒∫ 2 2

0

1

Ln x

A sen dxL

π = ∫

• Finalmente:

2( )n

n xx sen

L L

πψ =

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Partícula em uma Caixa (1D)Partícula em uma Caixa (1D)

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( )

=L

xnsenL

xnπ

ψ22

2

222

82n

mL

h

m

kE nn

==

Partícula em uma Caixa (1D)Partícula em uma Caixa (1D)

18

1 6,02 10 37,63E J eV−≈ × ≈

34 2 67

1 31 10 2 50

[6,63 10 ] 4,39 10

8[9,11 10 ][10 ] 7, 29 10

JsE

kg m

− −

− − −

× ×= ≈ × ×

Exemplo: Cálculo da energia de 1 elétron confinado em uma caixa unidimensional decomprimento L = 0,1 nm, no estado fundamental.

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V

x0

V0ψψψψ (x)

xe γ−

Existe uma probabilidade de encontrar o elétron na região

classicamente proibida

V

x0

ψψψψ (x)

a

incidente

refletido

transmitido

Se a barreira for suficientemente pequena

(largura a) o elétron poderá ser transmitido (tunelar) com

uma certa probabilidade: EFEITO TÚNEL

Barreira de Potencial e TunelamentoBarreira de Potencial e Tunelamento

2 2

2 ( ) a

transP a e γψ −≈ ∝