Física Quântica

Aula 06

Dualidade Onda-Partícula

Alex Gomes Dias

8 de outubro de 2015

Física Quântica

• Os efeitos fotoelétrico e Compton, de interação da radiação com a matéria,

mostram a necessidade de se considerar a luz como sendo composta de

partículas (fótons) com energia e momento de�nidos em função da frequência,

ou comprimento de onda.

E = hν =hc

λ

p =E

c=h

λ

• No efeito fotoelétrico �cada fóton� � com frequência acima da mínima necessária

� é responsável pela emissão de um elétron.

• No efeito Compton, na colisão elétron-fóton a luz é interpretada como composta

de partículas.

Física Quântica 1

No entanto, a observação da característica da luz espalhada é feita por meio

da difração de Bragg medindo-se o comprimento de onda da luz espalhada.

E, como já discutimos, a difração é um fenômeno que manifesta a proprie-

dade de onda da luz. O cristal é formado por uma rede cristalina onde os átomos

vizinhos estão a distâncias da ordem de angström.

Fig. de Tipler

A condição para interferência construtiva é

2d sinθ = mλ

com m um número inteiro. Essa é a condição de Bragg. O detector � que é

uma câmara de ionização � pode ser ajustado para veri�car as posições de maior

intensidade, e a partir dai se conclui o valor do comprimento de onda da luz

espalhada.

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Constata-se com essas observações o aspecto dual da luz, que dependendo da

circunstância apresenta característica de onda ou de partícula.

• O fenômeno de difração se torna evidente quando uma onda de luz mono-

cromática de comprimento de onda λ atravessa uma fenda de largura a tal

que

sinθ =λ

a≈ 1

Fig. de Tipler.

• As expressões de energia e do momento do fóton têm a essência do caráter

dual da luz

E = hν

p =E

c=

h

λ,

relacionando as propriedades de partícula (E, p) e de onda (ν, λ).

• L. de Broglie (1924)

A matéria, como a luz, apresenta um caráter dual.

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• Supostamente, todas as entidades físicas apresentam esse caráter dual. A

dualidade onda-partícula de de Broglie é veri�cada experimentalmente para

elétrons, prótons, nêutrons, e até mesmo para moléculas gigantes como se

constatou num experimento de difração de moléculas de fulereno (carbono 60).

• Relações de de Broglie:

ν =E

h

λ =h

p

• A dualidade onda-partícula é consistente com as órbitas quantizadas postuladas

por Bohr e, consequentemente, com a quantização do momento angular.

A quantização adotada para o momento angular no modelo de Bohr decorre na-

turalmente do comportamento ondulatório do elétron. O �perímetro� da órbita do

elétron deve ser um múltiplo inteiro do comprimento de onda do elétron

2πr = nλ ⇒ r =nλ

2π

O que leva a quantização do momento angular

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mv r = p r =h

λ

nλ

2π= n

h

2π= n~

• Porque não é evidente o caráter ondulatório de objetos macroscópicos?

Essa questão é ilustrada com o seguinte exemplo.

- Partícula de massa 10−6g = 10−9kg, velocidade de 1000m/s

λ =h

p=

6.63× 10−34J · s10−9kg × 103m/s

= 6.63× 10−28m = 6.63× 10

−18 oA

Tal partícula tem um comprimento de onda demasiadamente pequeno para que

sejam evidenciados efeitos associados a propriedade de onda. Numa experiência

onde partículas com essas características atravessam uma fenda, esta deveria ter

largura muito menor do que a dimensão atômica para produzir efeito de difração

notável.

• Para um elétron com a mesma velocidade, sendo me ≈ 9.11× 10−31kg

λe =h

p=

6.63× 10−34J · s9.1× 10−31kg × 103 m/s

= 0.73× 10−6

m

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Vejamos o comprimento de onda de Broglie de um elétron com energia cinética

de 1 eV ≈ 1.6× 10−19J . Repare que a velocidade do elétron com essa energia

é bastante alta v ≈ 592 km/s (mas ainda não relativístico, v � c).

E = mev2

2 = 1 eV = 1.6× 10−19J

=⇒ v =√

2Eme

≈ 592 km/s

Considerando a aproximação não relativística, o momento de um elétron com essa

energia é

p2e2me

= 1 eV

pe =√

2me × 1 eV ≈ 5.4× 10−25

kg ·m/s

e o seu comprimento de onda é, portanto,

λe =h

pe=

6.63× 10−34J · s5.4× 10−25kg ·m/s

≈ 0.012 nm

Esse comprimento de onda é próximo do tamanho típico do espaçamento entre os

átomos em uma rede cristalina.

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• Constatação da hipótese de de Broglie: o experimento de C. J. Davisson e L.

H. Germer (1927).

O experimento inicial foi a observação de elétrons espalhados, em função do ângulo,

por um cristal de níquel.

Fig. de Tipler.

O observação foi de que haviam pontos de máximos e mínimos na intensidade

do feixe espalhado conforme o ângulo do detector.

Fig. de Tipler.

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Esse padrão é o mesmo da difração de luz � a difração de raio x é utilizada

para se medir o espaçamento interatômico.

O fenômeno observado no experimento era de fato a difração de elétrons. Isso

con�rmou o caráter ondulatório do elétron como proposto por de Broglie.

Fig. de Tipler.

No cristal existem os chamados planos cristalinos nos quais as ondas re�etem.

O ângulo α de espalhamento depende dessa estruturação do cristal.

A distância entre os planos é d. Consideremos a condição para se observar

um pico de intensidade no detector de elétrons. Na �gura a linha tracejada é

perpendicular aos planos destacados. Duas frentes de onda são destacadas em azul.

As ondas entram em fase, e a condição para que haja interferência construtiva para

a onda re�etida é

2d cosα = nλ

mas

d = D sinα

e

2D sinα cosα = D sin2α = nλ

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D sinφ = nλ

A distância D, determinada por meio de difração de raios x, vale para o níquel

D = 0, 215nm

O experimento de Davisson-Germer foi o primeiro a determinar o comprimento

de onda de Broglie do elétron a partir da medida do ângulo no qual a intensidade

do feixe espalhado é máxima. Note que na con�guração apresentada o feixe incide

perpendicularmente à superfície do cristal.

O feixe com elétrons de energia E = 54 eV tem seu primeiro máximo,

n = 1, em o ângulo observado de φ = 50o. Assim,

λexp = D sinφ

= 0, 215nm × sin 50o

≈ 0, 165nm

Segundo a predição teórica

λteo =h

p=

h√2meE

=6.63× 10−34J · s√

2× 9.1× 10−31kg × 54× 1.6× 10−19J

≈ 0, 167nm

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Se não houvesse uma estrutura de planos cristalinos não se observaria esse

espalhamento especí�co com um feixe incidindo perpendicularmente. Nesse caso

em qualquer corte do cristal seria possível satisfazer

Dsinφ = nλ

Fig. adaptada de Tipler.

Porém, não é isso que se observa.

• Davisson e Germer realizaram o experimento mantendo o ângulo �xo e variando

a energia do feixe. O grá�co da intensidade por 1/λ de�nido pela fórmula de

de Broglie. Ao se aumentar a energia λ diminui e 1/λ cresce.

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Fig. de Tipler.

O resultado é que picos igualmente espaçados são observados em concordância

com

n =D sinφ

λ

Isso corrobora com a característica ondulatória do elétron. Outros experimentos

diferentes também con�rmaram isso.

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• Difração de elétrons que atravessam uma folha metálica �na: produz mesmo

padrão de difração da luz, constatado com o uso de raios x (G. P. Thomson).

Fig. de Tipler.

Fig.

de Tipler.

• Mas as demais partículas obedecem a relação de de Broglie?

Até onde sabemos sim!

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Difração de nêutrons.

Fig. de Tipler.

As maiores partículas a terem testadas o caráter ondulatório são as moléculas

do carbono 60 (alótropo), o fulereno (M Arndt, A. Zeilinger, et al. 1999 Nature

401 680, Viena)

- Feixe colimado de moléculas de carbono 60 apresentaram um padrão de

interferência ao atravessar fendas de nitreto de silício. As fendas tinha nesse

experimento 50 nm de largura com espaçamento de 100 nm, e a velocidade média

das moléculas de carbono 60 era de 220 m/s.

λC60 = 2.5× 10−3nm

O aparato experimental, bem como outros detalhes podem

ser visto na ilustração dos próprios autores do trabalho em:

http://www.univie.ac.at/qfp/research/matterwave/c60/index.html

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Diâmetro do fulereno

dC60 ≈ 1nm

Para uma comparação com o nêutron, dneut. ≈ 10−6nm, e dC60/dneut. ≈ 106

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Adendo 1

Uma situação idealizada, mas útil no entendimento do caráter ondulatório,

é a de uma partícula con�nada em uma região (o que chamaremos de poço de

potencial in�nito). Com o movimento restrito a uma dimensão de comprimento L,

os comprimentos de onda permitidos são

nλn

2= L, n = 1, 2, ...

Consequentemente, o momento e a energia são quantizados

pn =h

λn=nh

2L

En =p2n2m

=n2h2

8mL2

E, portanto, �cam de�nidos os estados da partícula nesse sistema.

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Adendo 2

Para o elétron relativístico

E =√p2c2 +m2c4

=√

~2k2c2 +m2c4 = ~w

onde

p =h

λ=

~λ2π

= ~k

A velocidade de grupo é, portanto,

vg =dw

dk=

~2c2k~E

=c2p

E

e esta coincide com a velocidade obtida invertendo a expressão relativística para o

momento do elétron

p =mv√1− v2

c2

p2(1−

v2

c2) = m

2v2

v2

(m

2+p2

c2

)= p

2

v2

=c4p2

p2c2 +m2c4=c4p2

E2

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Adendo 3

En = −1

8πε0

Ze2

rn≈ −

me

2

(Ze2

4πε0~

)21

n2

Na primeira órbita r1 para o hidrogênio

mev2

r1≈

1

4πε0

Ze2

r21

E1 = −1

8πε0

e2

r1= −

mev2

2Sendo

q2=

e2

4πε0

⇒me

2

(e2

4πε0~

)2

=me

2

(q2

~

)2

=mev

2

2(q2

~

)2

= v2 ⇒

v

c=q2

~c= α =

1

137< 1

Assim, a velocidade do elétron em tal órbita é v = αc < c. Por isso, as correções

relativísticas não se tornaram tão evidentes inicialmente.

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