Cap. 35: Interferencia

Principio de Huygens: Cada punto de un frente de onda es una fuente de frentes de onda secundarios…

1 1BC v t= λ = ∆

2 2AD v t= λ = ∆

1θ2θA

B

C

D

1θ

2θ

1 1,v n

2 1

2 1

v v

n n

<

>

1v t∆

2v t∆

( ) 1 1

2 2

1vv

λ=

λ

Si el medio 1 es el vacío, entonces λ1= λ , v1=c. Usando λ2= λn y v2=v, tenemos:

( )2

n

n

cn

v

n

λ= =

λλ

λ =

1θ2θA

B

C

D

1θ

2θ

1 1,v n

2 1

2 1

v v

n n

<

>

1v t∆

2v t∆

Podemos re-escribir la ecuación (1) en la forma

1 2

1 2

v v=

λ λ

Como v/λ = f, tenemos

1 2f f=

o sea, la frecuencia es independiente del medio.

1θA

B

C

D

1θ

2θ

1 1,v n

2 1

2 1

v v

n n

<

>

1v t∆

2v t∆

Derivación de la ley de Snell a partir del Principio de Huygen:

11

22

1 1

2 2

1 21 2

1 1 2 2

sin

sin

sinsin1 1sin sin

,

sin sin

v tACv tACvv

v vUsando n c v tenemos

n n

∆θ =

∆θ =

θ=

θ

θ = θ

=

θ = θ

1θ2θ

Vimos anteriormente que cuando una onda se mueve de un medio de índice de refracción n1 hacia un medio de índice n2, la frecuencia se mantiene constante y el largo de onda cambia. Si por ejemplo n2>n1, el largo de onda se reduce. Cuando las ondas salen de los dos medios, tienen el mismo largo de onda. Sin embargo, en general , tendrán una diferencia en fase. Esta diferencia determina como interfieren las ondas si se encuentran en un punto común.

2λ

1λ 1n

2n

2 1n n>

2λ

λ

λ

L

Sea δ la diferencia en fase, en términos de λ. Asumiendo que n2>n1, tenemos:

( )2 1N Nδ = − λ

1λ 1n

2n

2 1n n>

2λ

λ

λ

donde N1 y N2 representan el número de largos de onda en los medios 1 y 2, respectivamente. Tenemos que

1,2i

ii

n

i

L L LnN i

n

= = = =λλ λ

( )

2 12 1

2 1

/

/

Ln LnN N

Ln n

δ λ = − = −λ λ

δ λ = −λ

Sea φ la diferencia en fase en términos de radianes. Sabemos que una diferencia en fase δ = λ corresponde a una diferencia en ángulo igual a 2π. Podemos conseguir el equivalente angular de cualquier δ haciendo una proporción:

22

δ λ=

ϕ ππ

ϕ = δλ

Ver ejemplo 35-1.

Ejemplo:

En la figura, dos ondas de luz (representadas por los rayos) tienen un largo de onda de 550 nm antes de entrar a los medios 1 y 2. También tienen igual amplitud y están en fase. El medio 1 es aire y el medio 2 es un bloque plástico transparente de índice de refracción 1.6 y espesor 2.6 µm. Calcula la diferencia en fase de las ondas emergentes en términos de largo de onda, radianes y grados.

( )

( )

( )

2 1

6

9

2.6 101.6 1.0

550 10

2.84 0.84

22 0.84 1.68

5.3 302.4

Ln n

ó

rad

−

−

δ = −λ λ×δ = −λ ×

δ =λπ

φ = δ = π = πλ

φ = =

Experimento de Young

θsind

sin

0, 1, 2,

d m

m

θ = λ

= ± ± …

La banda iluminada número m está a una distancia y del centro de la pantalla. Podemos calcular yusando la aproximación de ángulos pequeños:

Interferencia constructiva ocurre cuando:

y

tan sinyL

y Lm y m

L d d

θ = ≈ θ

λ λ≈ ∴ =

Interferencia destructiva ocurre cuando:

1sin

2d m

⎛ ⎞⎟⎜θ = + λ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

La banda obscura número m está a una distancia ydel centro de la pantalla, dada por:

12L

y md

⎛ ⎞ λ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠Ver ejemplo 35-2.

Ejemplo 35-3:Considera un experimento de Young la luz usada es de 600 nm. Se quiere cubrir una de las rejillas con un bloque plástico (n = 1.5) de forma tal que la primera banda iluminada debajo de la central cambie a la posición de ésta (ver figura). ¿En que lugar debemoscolocar el bloque, en la rejilla superior o la inferior, y que espesor debe tener éste?

Cálculo de intensidad

1E

2E

E1 0 sinE E t= ω

( )2 0 sinE E t= ω + φ

( )1 2 0 0sin sinE E E E t E t= + = ω + ω + φ

Usando

tenemos( ) ( )1 1

sin sin 2 cos sin2 2

α + β = α − β α + β

0 02 cos sin sin2 2 2

E E t E t⎛ ⎞ ⎛ ⎞φ φ φ′⎟ ⎟⎜ ⎜= ω + = ω +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0

0 0

sin2

2 cos2

E E t

E E

⎛ ⎞φ′ ⎟⎜= ω + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠φ′ =

Vemos que cuando la constante de fase es 0 o un múltiplo par de π, la amplitud resultante es el doble (figura de arriba).

Cuando es π, la amplitud resultante es cero (figura de abajo).

2

0

220

0

20

4 cos2

4 cos2

mEIc

EI

c

I I

=µ⎛ ⎞ φ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜µ⎝ ⎠

φ=

El ángulo de fase es

2sin2sin

dd

φ π=

θ λπ

φ = θλ

Interferencia en películas delgadas

Una onda viajando de un medio de índice de refracción n1 hacia un medio de índice n2, sufre un cambio en fase al reflejarse si n2>n1.

Otra analogía mecánica:

Si n1>n2 no hay cambio en fase.

En general, la diferencia en fase total δT entre la onda 1 y la onda 2 es:

2⎛ ⎞λ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

diferencia en fase diferencia en fase debido a distancia

debido a reflexión extra recorrida por onda 2T

T R D

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜δ = +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠δ = δ + δ

Si la incidencia es casi normal, entonces δD≈2L. En la figura vemos que la onda 1 sufre un cambio en fase de 180° (o λn/2), mientras que la onda 2 no sufre cambio en fase. Esto quiere decir que

02 2n n

R

⎛ ⎞λ λ⎟⎜δ = − = −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠Para que ocurra interferencia constructiva, la diferencia en fase total δT debe ser igual a 0λn, 1λn, 2λn, 3λn, etc. Por lo tanto,

0 ,1 ,2 , 22

2 0 , 1 , 2 ,2 2 2

12 , 3 , 5 , 0, 1, 2,

2 2 2 2

nn n n

n n nn n n

n n nn

L

L

L m m

λλ λ λ = − +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞λ λ λ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜= λ + λ + λ +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞λ λ λ ⎟⎜= = + λ =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Podemos escribir λn en términos del largo de la onda en aire:

airen n

λλ =

Usando esta relación, la condición para interferencia constructivapuede escribirse ahora en la forma

12

21

2 0, 1, 2, 3,2

n

aire

L mn

Ln m m

⎛ ⎞ λ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜= + λ =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Similarmente la condición para interferencia destructiva es:

2 0, 1, 2, 3,aireLn m m= λ =

Ejemplo 36-4:

Se usa luz blanca de intensidad uniforme para iluminar la superficie de una película (lámina delgada) de agua con espesor L=320 nm. ¿Para qué largos de onda la luz reflejada será más brillante? Nota: El largo de onda de la luz visible fluctúa entre 400 nm y 690 nm.

Idea central: Luz reflejada brillante significa que las ondas reflejadas en las superficies 1 y 2 están en fase, o sea, interfieren constructivamente. La ecuación a usar es:

12 0, 1, 2, 3,

2 aireLn m m⎛ ⎞⎟⎜= + λ =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

20, 1, 2, 3,1

2

aire

Lnm

mλ = =

+

( )( )2 320 1.33 851.21 12 2

aire

nm nm

m mλ = =

+ +

El único valor de m que nos da un valor de λ en el espectro visible es m=1. El valor correspondiente de λ es 567.5 nm.

Espesor L mucho menor que λ:

Si L es mucho menor que λ, digamos L < 0.1λ, entonces la diferencia en paso 2L se puede despreciar. En ese caso la diferencia en fase entre la onda 1 y la onda 2 se debe a la reflexión. En la figura de la derecha, la lámina de agua es tan delgada en el tope (debido a efectos de la gravedad) que la luz reflejada sufre interferencia destructiva, haciendo que esa porción sea obscura.

2⎛ ⎞λ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

En la figura vemos que tanto la onda 1 como la 2 sufren un cambio en fase de 180° (o λn/2). Por lo tanto, la fase δRdebido a la reflexión es:

02 2n n

R

⎛ ⎞λ λ ⎟⎜δ = − =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠Para que ocurra interferencia constructiva, la diferencia en fase total δT debe ser igual a 0λn, 1λn, 2λn, 3λn, etc. Por lo tanto,

0 ,1 ,2 , 0 2

2 0, 1, 2,

n n n

n

L

L m m

λ λ λ = +

= λ =

2 0, 1, 2,aireLn m m= λ =En términos de λaire tenemos:

Similarmente la condición para interferencia destructiva es:1

2 0, 1, 2, 3,2 aireLn m m

⎛ ⎞⎟⎜= + λ =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Ejemplo 36-5:

El lente de una cámara (n=1.5) está cubierto con una pintura de índice de refracción n=1.38. Asumiendo que el largo de onda promedio de la luz en aire es 550 nm, determina el espesor mínimo L que debe tener la lámina de pintura para eliminar la reflexión de luz en el centro del espectro visible.

Solución: Usar

12 0, 1, 2, 3,

2 aireLn m m⎛ ⎞⎟⎜= + λ =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Tabla para analizar interferencia en películas delgadas:

r1 r2 | r1-r2 |

λ/2 o cero λ/2 o cero λ/2 o cero

2Ln2 = mλ(número entero de λ)

paso óptico 2Ln2

2Ln2 = (m + 1/2)λ(número entero impar de λ/2)

Si es entero λ, interferencia es

constructiva

diferencia en fase total

2Ln + | r1-r2 |

Si es entero impar λ/2, interferencia es

destructiva

Diferencia en fase por reflexión

Considera la siguiente figura la cual muestra una película delgada de ancho L e índice de refracción n2, la cual está entre dos medios de índice n1 (parte de arriba) y n3 (parte de abajo). ¿Para que casos la película se verá negra (interferencia destructiva) si la distancia 2L es igual a 0.5λ?

r1 r2 | r1-r2 |

distancia extra 2L

2Ln2 = 0.5 λ

diferencia en fase total

2Ln + | r1-r2 |

entero impar λ/2es destructiva

reflexión

Película se verá negra.

r1 r2 | r1-r2 |

distancia extra 2L

2Ln2 = 0.5 λ

diferencia en fase total

2Ln + | r1-r2 |

entero impar λ/2es destructiva

reflexión

Película se verá negra.

r1 r2 | r1-r2 |

distancia extra 2L

2Ln2 = 0.5 λ

entero λes constructiva

diferencia en fase total

2Ln + | r1-r2 |

reflexión

Película se verá iluminada.

r1 r2 | r1-r2 |

distancia extra 2L

2Ln2 = 0.5 λ

entero λes constructiva

diferencia en fase total

2Ln + | r1-r2 |

reflexión

Película se verá iluminada.

La figura (a) muestra un bloque de plástico transparente con una cuña delgada de aire en la parte derecha. Un haz ancho de luz roja de largo de onda igual a 632.8 nm incide normalmente por la parte de arriba. Una porción de la luz se refleja en la cara superior e inferior de la cuña, la cual actúa como una lámina delgada de aire con un ancho que varía uniformemente desde LL en al lado izquierdo hasta LR en el lado derecho. Un observador mirando el bloque desde arriba ve un patrón de interferencia que consiste de seis bandas obscuras y cinco bandas claras (figura b). Calcula el ancho ∆L (= LR-LL ) de la cuña de aire.

r1 r2 | r1-r2 |

*** 2Ln2 = mλdistancia extra 2L

2Ln2 = (m + 1/2)λ

diferencia en fase total

2Ln + | r1-r2 |

entero impar λ/2es destructiva

reflexión

Usar la ecuación 2Ln2 = mλ para calcular LL y LR (L = mλ/2n2):

( )

( )

2

2 2

2 29

6

2

2

52 2

52 2

5 5 632.8 10 1.58 102 2 1.00

L L

R R L

R L L L

L mn

L m mn n

L L L m mn nmL m

n

λ

λ λ

λ λ

λ −−

=

= = +

∆ = − = + −

×∆ = = = ×