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Aula 15

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão Revisão

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão

→ Das equações do telegrafista com fonte senoidal e tomando a derivada em z:

d2V ( z)

d z2 −γ2V (z)=0

d2 I (z)

d z2 −γ2 I (z)=0

=> Solução de ondaV (z)=V 0

+e−γ z+V 0- e+γ z

I (z)=I 0+e−γ z+ I0

- e+γ z

* Equações de onda!

Exemplo de modelo de circuito de linha de transmissão

Apostila de eletrônica 5 – Centro Paula souza

* Ondas de tensão e corrente

Solução de onda

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão

V (z)=V 0+e−γ z+V 0

- e+γ z

Potência entregue na carga (z = 0)

I (z)=1Z 0

(V 0+ e−γ z

−V 0- e+γ z)

Z0=R+iω L

γ =√ R+iω LG+iωC→ Impedância característica da linha

V 0+

I 0+=−V 0

-

I 0-=Z 0

* Na posição da carga, z = 0.

=> Pl=12ℜ{V (0) I *(0)}

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γ=√(R+iω L).(G+iωC)=α+iβ ⇒→ constante de prop. complexa

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão

2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão

→ Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária.

→ Tensão entre os condutores (C1 e C2)

→ Corrente sendo transportada

V (z)=V 0 e±iβ z

I (z)=I 0e±iβ z

Como o modelo de elementos de circuito esta relacionado aos campos?

R: Conservação de energia e potência (teorema de Poynting).

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão

2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão

Relação entre o modelo de circuitos e os campos:

Geral

G=ωϵ,,

|V 0|2∫S

E⃗ . E⃗*ds (S /m)

R=RS

|I 0|2 ∫C1+C2

H t .H t*dl (Ω/m)

C= ϵ

|V o|2∫S

E .E*ds (F /m)

L=μ

|I 0|2∫S

H .H *ds (H /m)

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão

2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão

* A constante de propagação, a impedância característica, e a atenuação da maioria das linhas de transmissão são usualmente obtidas diretamente da solução na teoria dos campos.

** Em linhas de geometria simples é possível determinarmos os parâmetros de circuito equivalentes (L, C, R, G) a partir dos cálculos simples apresentados.

*** Em linhas de geometria mais complexa, em geral, é necessária a utilização de softwares CAD que utilizam elementos finitos (FEM).

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão

2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão

2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão

Exercício 2.3 - Livro O cabo coaxial semirrígido RG-402U possui um condutor interno com diâmetro de 0,91 mm e um dielétrico com diâmetro externo de 3,02 mm (mesmo diâmetro do condutor externo). Ambos os condutores são de cobre, e o material dielétrico utilizado é o Teflon. Calcule os parâmetros R, L, G e C dessa linha em 1GHz, e utilize o resultado para encontrar a impedância característica e atenuação da linha em 1GHz.

* Compare seus resultados com a especificação do fabricante.

* comente sobre as discrepâncias.

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Z0=49,87Ω

α=0,0436Np /m=0,38 dB /m

→ Z0=50Ω

→ α=39.37dB /100m=0,3937 dB /m

* Os valores obtidos no produto dependem da qualidade do processo de fabricação (Rugosidade da superfície do metal, homogeneidade do dielétrico, etc...)

** Qto mais a atenuação se aproxima do valor teórico mais caro é o cabo!!

→ C=98.1 pF /m C=96.5 pF /m

2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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→ Potência média entregue (no ponto z)

⟨P ⟩=12ℜ [V (z). I*

(z) ]=12|V 0

+|2

Z0

(1−|Γ|2 ) → Não depende de z!

→ Potência média entregue máxima →

Casamento de impedância →( ZL = Z0 )

(Γ=0)

(Γ=1)⇒ZL→∞→ Potência média entregue nula →

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2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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→ Potência média entregue (no ponto z)

⟨P ⟩=12ℜ [V (z). I*

(z) ]=12|V 0

+|2

Z0

(1−|Γ|2 ) → Não depende de z!

→ Perda de retorno (RL) ⟨0dB →Γ=∓1∞dB →Γ=0 ⟩

→ Quando → “Linha lisa”(Γ=0) |V (z)| = |V 0+| “A amplitude da tensão (da onda

estacionária) na linha é constante”

* Quantidade de potência refletida na carga.

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2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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→ Perda de retorno (RL)

→ Quando → “Linha lisa”(Γ=0)

Exemplo: Casamento de impedância →

(Γ≈0,02)70MHz

RL→∞

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2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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→ Onda estacionária → → (Γ≠0) Onda incidente + Onda refletida(ZL≠Z 0)

“O módulo da tensão (amplitude) oscila ao longo da linha”

Na distância l da carga (z = - l ) →

O coef de reflexão pode ser escrito =>

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2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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→ Onda estacionária → → (Γ≠0) Onda incidente + Onda refletida(ZL≠Z 0)

“O módulo da tensão (amplitude) oscila ao longo da linha”

(z = - l ) →

Quando e j (Θ−2β l)

= 1 ⇒V MAX = |V 0+|.(1 + |Γ|)

e j (Θ−2β l)=−1 ⇒V MIN = |V 0

+|.(1 − |Γ|)

Γ ≡ Γ(l)

→ Razão da onda estacionária

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2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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→ Onda estacionária → → (Γ≠0) (ZL≠Z 0)

→ Generalização do coef de reflexão Γ(z) = V 0

- . e jβ z

V 0+ . e− jβ z

(z=−l) ⇒ Γ(l) = V 0

-

V 0+

e− jβ l

e+ jβ z = Γ(0). e−2 jβl “Casamento de impedância em

função da distância do gerador”

Onda incidente + Onda refletida

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2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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→ Impedância de entrada ZIN, na distância l = -z da carga

≡ Γ(0)

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2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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ii) Linha de transmissão terminada em circuito aberto

i) Linha de transmissão terminada em curto circuito

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2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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iii) Linha de comprimento l = (λ/4) + (nλ/2), n =1,2,3...

β . ŀ = 2πλ

.( λ4

+ n λ2) = π

2 + nπ ⇒ tan (β . ŀ ) = ∓∞

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2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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iii) Linha de comprimento l = (λ/4) + (nλ/2), n =1,2,3...

β . ŀ = 2πλ

.( λ4

+ n λ2) = π

2 + nπ ⇒ tan (β . ŀ ) = ∓∞

Transformador quarto de onda →

Útil para o casamento de impedância quando sabemos λ e sabemos que ZL > Z0, mas não sabemos exatamente o valor de ZL.

“Linha com comprimento que transforma inversamente a impedância da carga ZL”

Para l = n.(λ/2) ⇒ tan (β . ŀ ) = 0

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2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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iv) Junção entre linhas de transmissão → Linha Z0 alimenta a Z1 linha

Na região z < 0

Na região z > 0

Em z = 0

(assumindo que não existem ondas refletidas)

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2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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iv) Junção entre linhas de transmissão → Linha Z0 alimenta a Z1 linha

Perda de inserção

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2.4 – Carta de Smith

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* Utilizada na solução gráfica de problemas de impedância em linhas de transmissão

* 1939 – Laboratórios Bell (Philip Smith) → Durante o desenvolvimento de tecnologia radar.→ Estabelece graficamente a correlação entre a impedância normalizada da carga (zL)

e o coef de reflexão (Γ).

* Correlação gráfica de três circulos:

1. →

2. → Circulo de resistência constante ‘rL’

3. → Circulo de reatância constante ‘xL’

zIN = Z IN

Z0

= 1+Γe−2 jβ ŀ

1−Γe−2 jβ ŀΓL =

Z L−Z 0

ZL+Z0

= zL−1

zL+1

Em l = 0 ⇒ Z IN = ZL ⇒ zIN = 1+|Γ|e jθ

1−|Γ|e jθ =

(1+Γr )+ jΓi(1−Γr )− jΓi

= rL+ jxL

Γ = Γr+ jΓi = |Γ|.e jθ → raio Raio = (1

1+r L)

Raio = (1x L)

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2.4 – Carta de Smith

* Correlação gráfica de três circulos:

1. →

2. → Circulo de res. const. ‘rL’

3. → Circulo de reat. const. ‘xL’

Γ = Γr+ jΓi = |Γ|.e jθ

Raio = (1

1+r L)

Raio = (1x L)

zIN = 1+|Γ|e jθ

1−|Γ|e jθ = r L+ jx L

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2.4 – Carta de Smith

Γ = Γr+ jΓi = |Γ|.e jθRaio = (1

1+r L) Raio = (

1x L)

zIN = 1+|Γ|e jθ

1−|Γ|e jθ =

(1+Γr )+ jΓi(1−Γr )− jΓi

= rL+ jxL

2.4 – Carta de Smith

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* Linha de comprimento l

Γ IN = Γ( ŀ ) = ΓL . e−2 jβ ŀ

ΓL = V 0

-

V 0+

= Z L−Z 0

ZL+Z 0

= |ΓL|ejθ

∓180o≡(Δ ŀ = λ /4 = 0,25λ)

∓360o≡(Δ ŀ = λ/2 = 0,50 λ)

SWR= V MaxV Min

= 1+|Γ|

1−|Γ|

Γ IN = |ΓL|ej(θ−2 j ŀ )

Um incremento Δl no comprimento da linha provoca uma rotação -Δθ (na carta de Smith) na direção do gerador.

Inversamente, um decréscimo de Δl no comprimento da linha provoca uma rotação +Δθ (na carta de Smith) na direção da carga.

2.4 – Carta de Smith

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Exemplo 2.2 – Operações básicas na carta de Smith

Uma linha de transmissão de comprimento l = 0.3λ e impedância 100Ω é terminada em um circuito com impedância ZL = 40 + j70 Ω.i) ΓL = ?ii) ΓIN = ?iii) ZIN = ?iv) SWR = ?v) RL = ?

2.4 – Carta de Smith

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Exemplo 2.2 – Operações básicas na carta de Smith

Uma linha de transmissão de comprimento l = 0.3λ e impedância 100Ω é terminada em um circuito com impedância ZL = 40 + j70 Ω.i) ΓL = ?ii) ΓIN = ?iii) ZIN = ?iv) SWR = ?v) RL = ?

* Giro na direção do gerador.

2.4 – Carta de Smith

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* Giro na direção do gerador.

2.4 – Carta de Smith

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* Linha fendida – Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento.

https://en.wikipedia.org/wiki/Slotted_line#/media/File:Waveguide_slotted_line.jpg

λ (β) ΓL = |ΓL|ej θ ZL =

1+ΓL1−ΓL

.Z0Determinação experimental →

2.4 – Carta de Smith

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* Linha fendida – Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento.

V max ≡ exp [ i(θ−2β ŀ max)] = 1V min ≡ exp [ i (θ−2β ŀ min)] = −1

Posição dos Vmax e Vmin

i)A escala é posicionada arbitrariamente ao longo da linha e um curto circuito é conectado na extremidade;

Da distância entre dois mínimos lmin1 e lmin2 determino λ (β) → (Δlmin = λ/2, período de oscilação)

→ “Essas distâncias servirão como ponto de referência”

2.4 – Carta de Smith

Microondas I

* Linha fendida – Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento.

V max ≡ exp [ i(θ−2β ŀ max)] = 1V min ≡ exp [ i (θ−2β ŀ min)] = −1

Posição dos Vmax e Vmin

ii) Com a carga (L) conectada na extremidade;

Da posição dos mínimos lminL1 e lminL2 (com a linha carregada) determino a fase θ de ΓL → θ = π + 2β(lminL1 - lmin1)

Da razão Vmax / Vmin determino o módulo de ΓL

2.4 – Carta de Smith

Microondas I

* Linha fendida – Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento.

V max ≡ exp [ i(θ−2β ŀ max)] = 1V min ≡ exp [ i (θ−2β ŀ min)] = −1

Posição dos Vmax e Vmin

iii) Dos valores determinados para a fase θ e para o módulo de ΓL, finalmente obtemos ΓL e ZL.

→ θ = π + 2β(lminL1 - lmin1)

ZL = 1+ΓL1−ΓL

.Z0ΓL = |ΓL|ej θ

2.5 – Transformador Quarto-de-onda

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* Para projetar ou especificar um acoplador de impedância (linha/carga) tipo quarto-de-onda.

→ Com o acoplador ideal devemos obter Γin = 0!

→ Assumindo impedância real na carga (RL)

Z in = RL+ j Z1 tan (β ŀ )Z1+ j RL tan (β ŀ )

.Z1

Quando l = λ/4 ⤇ βl = π/2 ⤇ tan(βl ) → ∞

Z in = Z1

2

RL

Γ in = Z in−Z0

Z in+Z 0

= 0 ⇒Z in = Z0 ⇒ Z1 = √Z0 .RL

“Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha”

Γ in = Z in−Z0

Z in+Z 0

Para que

2.5 – Transformador Quarto-de-onda

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* Para projetar ou especificar um acoplador de impedância (linha/carga) tipo quarto-de-onda.

→ Sempre que introduzir a fase βl = π/2 + nπ (n = 1,2,3,...)

→ O acoplador funcionara para múltiplos imparesda frequência fundamental (f0 = vp / λ0):

Z1 = √Z0 .RL

“Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha”

Γ in = 0

f = f0f = 3.f0f = 5.f0f = 7.f0...

2.5 – Transformador Quarto-de-onda

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* O transformador quarto-de-onda assume que ZL é real (ZL = RL).

→ Mas posso tornar qualquer valor ZL em real por meio da inclusão de um certo incrementono comprimento da linha de transmissão.

→ Na carta de Smith, ZL = rL + ixL

“Giro Δθ = Δl na direção do geradoraté que a componente complexa seja nula (Im(z) =0)

ZL→ RL

ZL

Δl

2.5 – Transformador Quarto-de-onda

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* Exemplo em uma rede de microfita:

ZL

Ramzan, Mehrab & Topalli, Kagan. (2015). International Journal of Antennas and Propagation. 1-9. 10.1155/2015/495629.

Z1 > Z0

Z1 = √Z0 .RLZ1 = √Z0 .RL

“Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha”