Microondas I - fermassa.com1)_Aula_4.pdf · Uma onda plana que se propaga num meio dielétrico sem...

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Microondas I

Prof. Fernando Massa Fernandeshttps://www.fermassa.com/microondas-i.php

Sala 5017 [email protected]

Aula 4

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Microondas I

→ Das eq de Maxwell em meio homogêneo, linear, isotrópico e livre de cargas e correntes (sem perdas).

Equação de onda – Solução de onda plana

(1) → (2) →

(3) → (4) →

∇×E = −∂ B∂ t

= −μ∂ H∂ t

∇×H = ∂ D∂ t

= ϵ∂ E∂ t

∇⋅D = ϵ∇⋅E = 0 ∇⋅B = 0

(1 e 2) → ∇×∇× E = −μ∂(∇×H )

∂ t = −μϵ

∂2 E

∂ t 2

Id . vetorial→∇×∇×E = ∇(∇⋅E)−∇2 E = −∇ 2 E → da condição (3)

⇒−∇2 E = −μϵ

∂2 E

∂ t2 → da mesma forma para H

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→ Das eq de Maxwell em meio homogêneo, linear, isotrópico e livre de cargas e correntes (sem perdas).


(1) → (2) →

(3) → (4) →

∇×E = −∂ B∂ t

= −μ∂ H∂ t

∇×H = ∂ D∂ t

= ϵ∂ E∂ t

∇⋅D = ϵ∇⋅E = 0 ∇⋅B = 0

∇2 E − μϵ

∂2 E

∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ

∂2 H

∂ t2 = 0

→ Solução de onda plana → Modo de propagação transversal eletromagnético (TEM)

z

E

H

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∇2 E − μϵ

∂2 E

∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ

∂2 H

∂ t2 = 0

→ Solução de onda plana → Modo de propagação transversal eletromagnético (TEM)

z

E

H

Exemplo: E = E x(z , t) →Propag nadireção z e Polarização nadireção x

Ex = E0 sin(ω t±k z)

Ex = E0 cos(ω t±k z)

Ex = E0 ei(ω t±k z)

Conjunto de soluções

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∇2 E − μϵ

∂2 E

∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ

∂2 H

∂ t2 = 0






ω = 2π f → Frequência

k = 2πλ

→ Constante de propagação

ω t±kz → Fase

(-) Propagação no sentido positivo de ‘z’(+) Progação no sentido negativo de ‘z’

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∇2 E − μϵ

∂2 E

∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ

∂2 H

∂ t2 = 0







k = 2πλ


ω t±kz → Fase

Relação ωk

= 1

√μϵ

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∇2 E − μϵ

∂2 E

∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ

∂2 H

∂ t2 = 0







k = 2πλ


ω t±kz → Fase

ωk

= 1

√μϵ = 1

√μr ϵr

ωk0

* Dentro de um material dielétrico(permitividade relativa do meio é real)

μ = μrμ0

ϵ = ϵr ϵ0

→ λλ0

= 1

√μr ϵr

Comprimento de onda depende do material.

k = ω√μϵ

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∇2 E − μϵ

∂2 E

∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ

∂2 H

∂ t2 = 0







k = 2πλ


ω t±kz → Fase

** Velocidade de fase da onda → Velocidade de deslocamento de um ponto sobre a onda (fase constante).

d (ω t±k z)dt

= 0 ⇒ ω±kdzdt

= 0 ⇒ω±k v f =0 v f = ωk

= 1

√μϵ

k = ω√μϵ

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∇2 E − μϵ

∂2 E

∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ

∂2 H

∂ t2 = 0







k = 2πλ


ω t±kz → Fase

** Velocidade de fase da onda → Velocidade de deslocamento de um ponto sobre a onda (fase constante).

Novácuo , v f = c= 1

√μ0 ϵ0 = 2,9979⋅108 m / s

Nodielétrico , v f = c

√μr ϵr

k = ω√μϵ

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∇2 E − μϵ

∂2 E

∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ

∂2 H

∂ t2 = 0







k = 2πλ


ω t±kz → Fase

** Velocidade de fase da onda – Exemplos:

Nodielétrico , v f = c

√μr ϵr Teflon (10 GHz) 2,08 2,08 .108

Vidro (3 GHz) 4,84 1,37 .108

Água destilada (3 GHz) 76,7 3,42 .107

ϵr v f (m/ s)

* não magnético μr = 1

k = ω√μϵ

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∇2 E − μϵ

∂2 E

∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ

∂2 H

∂ t2 = 0





Conjunto de soluções → Expressar a solução na forma de Euler é conveniente ao trabalhar com eq diferenciais parciais (eq de onda).

→A solução geral para o campo na direção ‘x’ é dada pela combinação linear das ondas se propagando nos dois sentidos:

Ex(z , t ) = Ex (z)eiω t = (E+ e

−ikz+E- e+ikz)eiω t

→eiω t , é uma constante de tempona eq de onda .

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∇2 E − μϵ

∂2 E

∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ

∂2 H

∂ t2 = 0

Ex(z , t ) = Ex (z)eiω t = (E+ e

−ikz+E- e+ikz)eiω t

→eiω t , é uma constante de tempona eq de onda .

* O importante no problema é conhecer a ampitude do campo ao longo de ‘z’

⇒ Ex (z) = E+e−ikz+E- e

+ikz

Equações de Helmholtz → Eq de onda após remover a constante de tempo →eiω t

∇ 2 E(z)+ω2μϵ E (z)=0 ∇ 2 H (z)+ω2μϵ H ( z)=0

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∇ 2 E(z)+ω2μϵ E (z)=0 ∇ 2 H (z)+ω2μϵ H ( z)=0

Daequação de Maxwell (1) →∇×E = −∂ B∂ t

= −μ∂ H∂ t

= −iωμ H (z )

→∇×Ex (z) = ∂ Ex (z)

∂ zy = −iωμ H y (z ) ⇒ H y (z) =

iωμ

∂ Ex( z)

∂ zy

H y (z) = k

ωμ (E+e−ikz

−E -e+ikz

) y k = ω√μϵ

⇒ H y(z) = √ ϵμ (E+ e

−ikz−E- e+ikz) y = √ ϵ

μ Ex(z) y

E (z) H ( z)Relação entre os campos e

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∇ 2 E(z)+ω2μϵ E (z)=0 ∇ 2 H (z)+ω2μϵ H ( z)=0

Relação entre os campos eE (z) H ( z)

→∇×Ex (z) = ∂ Ex (z)

∂ zy = −iωμ H y (z )

⇒ H y(z) = √ ϵμ (E+ e

−ikz−E- e+ikz) y = √ ϵ

μ Ex(z) y

Impedância intrínseca do meio ⇒ η = √μϵ (Ω)

→ Parametro de comparação da amplitude relativa entre E e H a partir da razão (E/H).

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∇ 2 E(z)+ω2μϵ E (z)=0 ∇ 2 H (z)+ω2μϵ H ( z)=0

Impedância intrínseca do meio ⇒ η = √μϵ (Ω)

H y (z) = 1η(E+ e

−ikz−E- e

+ikz) y

Ex(z) = (E+ e−ikz+E- e

+ikz) xNovácuo , η0 =√

μ0ϵ0

= 377Ω

Nummaterial , η =√μrϵr √

μ0ϵ0

= √μrϵr

η0 = ηr η0

ηr → Impedância relativa domeio

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Exemplo 1.1 (do livro):

Uma onda plana que se propaga num meio dielétrico sem perdas tem um campo elétrico dado por

com frequência de 5,0 GHz e comprimento de onda no material de 3,0 cm.

Determine a constante de propagação, a velocidade de fase, a permitividade relativa do meio, e a impedância de onda.

Ex = E0 cos(ω t−β z)

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Ondas planas num meio com perdas

→ Permitividade do meio com perdas é complexa ϵ = ϵ ,−i ϵ , ,

(2)→ ∇×H = iω(ϵ '−iϵ ' ') E + σ E = iωϵ ' E + (ωϵ ' '+σ) E

→ Condutividade real efetiva (dissipativa) σ* = ωϵ ' ' + σ

∇ 2 E(z)+ω2μϵ E (z) = ∇2 E (z)+ω2μ ϵ ' E (z)−iωμσ* E (z)

(1)→ ∇× E = −iωμ H

⇒ ∇2 E (z)+ω2μ ϵ ' (1−iσ*

ωϵ ') E (z) = 0

(eq de onda no meio com perdas)

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⇒ ∇2 E (z)+ω2μ ϵ ' (1−iσ*

ωϵ ') E (z) = 0

→ Solução

→ Constante de propagação complexa

Ex = E+ e−γ z+E- e

+γ z −γ2 = +ω

2μϵ ' (1−

iσ*

ωϵ ')

⇒ γ = iω√μϵ ' √1−i σ*

ωϵ ' ≡ α+iβ β = k

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⇒ ∇2 E (z)+ω2μ ϵ ' (1−iσ*

ωϵ ') E (z) = 0

→ Meio condutor (σ ≠ 0)

→ Solução Ex = E+ e−γ z = E+ e

−α z e−iβ z (amortecimento)

⇒ γ = iω√μϵ ' √1−i σωϵ '

≡ α+iβ

α → Constante de atenuação

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⇒ ∇2 E (z)+ω2μ ϵ ' (1−iσ*

ωϵ ') E (z) = 0

→ Meio condutor (σ ≠ 0)

⇒ γ = iω√μϵ ' √1−i σωϵ '

≡ α+iβ

v f = ωβ λ = 2πβ

→ H y (z) = i

ωμ∂ Ex( z)

∂ zy ⇒ H y(z) =

−iγωμ (E+ e

−γ z−E- e

+γ z) y

Imped domeio complexa→η = iωμγ

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⇒ ∇2 E (z)+ω2μ ϵ ' (1−iσ*

ωϵ ') E (z) = 0

→ Meio dielétrico (J = 0) (σ = 0)

⇒ γ = iω√μϵr ϵ0(1−i tgδ) ≡ α+iβ

v f = ωβ

⇒ η = √μϵ ⇒ γ = iω√μϵ

Permitividade é complexa ⇒ ϵ = ϵ '−iϵ ' ' = ϵr ϵ0(1−i tgδ)

λ = 2πβ η =

iωμγ

ϵ ' = ϵr ϵ0

tan δ = ωϵ ' '+σ

ωϵ '

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⇒ ∇2 E (z)+ω2μ ϵ ' (1−iσ*

ωϵ ') E (z) = 0

→ Meio bom condutor *

γ ≡ α+iβ

v f = ωβ

⇒ η = √μϵ

⇒ γ = iω√μϵ

λ = 2πβ

(σ≫ωϵ ')

γ = iω√μϵ ' √1−i σωϵ '

⇒ γ ≈ iω√μϵ ' √−i σωϵ '

= (1+i)√ωμσ

2

⇒ α ≈ √ωμϵ

2

η = iωμγ ≈ (1+i)√

ωμ

2σ

* Fase de 45o entre E e H:

H y (z) = 1η(E+ e

−ikz−E- e

+ikz) y

Ex(z) = (E+ e−ikz+E- e

+ikz) x

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⇒ ∇2 E (z)+ω2μ ϵ ' (1−iσ*

ωϵ ') E (z) = 0

→ Profundidade de película

→ Distância percorrida para a qual a amplitude é reduzida pelo fator 1/e (~ 1/3)

→ Para bom condutor

→ Metais como ouro, cobre e alumínio!

e−αδp = e−1 = 0,368 (redução para36,8 %)

Ex = E+ e−γ z = E+ e

−α z e−iβ z (amortecimento)

(δ p)

δp = 1α

(σ≫ωϵ ')δ p = √ 2

ωμσ

η = (1+i)√ωμ2σ

= (1+i)δ pσ

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Exemplo 1.2 (do livro):

Calule a profundidade de película na frequência de 10GHz para o alumínio, cobre, ouro e prata.

δ p = √ 2ωμσ

Bons condutores!

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Exemplo:

Calule a impedância intrínseca do alumínio na frequência de 10GHz.

η = (1+i)√ωμ2σ

= (1+i)δ pσ

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