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Microondas I

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Aula 13

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão Revisão

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Cap. 2 – Teoria de linhas de transmissão

Modelo de elementos distribuídos

→ Modelar a linha em pequenos elementos de circuito de tamanho Δz << λ permite aplicar teoria de circuitos.

Revisão

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Modelo de elementos distribuídos

→ Modelar a linha em pequenos elementos de circuito de tamanho Δz << λ permite aplicar teoria de circuitos.

R → Resistência série devida a condutividade finita dos conectores.

L → Auto-indutância total entre os condutores.

G → Condutância de derivação devida à perda dielétrica no material entre os condutores.

C → Capacitância de derivação devida a proximidade dos condutores.

(Ω/m)

(H /m)

(S /m)

(F /m)

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→ Das equações do telegrafista com fonte senoidal e tomando a derivada em z:

d2V ( z)

d z2 −γ2V (z)=0

d2 I (z)

d z2 −γ2 I (z)=0

=> Solução de ondaV (z)=V 0

+e−γ z+V 0- e+γ z

I (z)=I 0+e−γ z+ I0

- e+γ z

* Equações de onda!

Exemplo de modelo de circuito de linha de transmissão

Apostila de eletrônica 5 – Centro Paula souza

* Ondas de tensão e corrente

Solução de onda

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→ Relação entre as amplitudes da tensão e corrente

V (z)=V 0+e−γ z+V 0

- e+γ z

I (z)= I 0+e−γ z+ I0

- e+γ z

* Ondas de tensão e corrente

Impedância característica da linha (z0)

I (z)=1Z 0

(V 0+ e−γ z−V 0

- e+γ z)

Z0=R+iω Lγ =√ R+iω L

G+iωC→ Impedância característica da linha

V 0+

I 0+=−V 0

-

I 0-=Z 0

* Na posição da carga, z = 0.

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V (z)=V 0+e−γ z+V 0

- e+γ z

Potência entregue na carga (z = 0)

I (z)=1Z 0

(V 0+ e−γ z−V 0

- e+γ z)


G+iωC→ Impedância característica da linha

V 0+

I 0+=−V 0

-

I 0-=Z 0


=> Pl=12ℜ{V (0) I *(0)}

Revisão

γ=√(R+iω L).(G+iωC)=α+iβ ⇒→ constante de prop. complexa

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V (z)=V 0+e−γ z+V 0

- e+γ z

No domínio do tempo v(z,t)

γ=α+iβ

v ( z , t)=V (z)eiω t=(V 0+e−γ z+V 0

- e+γ z)eiω t

v ( z , t)=(V 0+e−α z e−iβ z+V 0

- e+α z e+ iβ z)eiω t

Complexos → V 0

+=|V 0+|eiΦ+

V 0-=|V 0

-|eiΦ -

=> v ( z , t )=|V 0+|cos(ω t−β z+Φ+)e−α z+|V 0

-|cos (ω t+β z+Φ-)e+α z

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Linha sem perdas (R = G = 0) →

λ=2πβ ⇒ λ=

2πω√LC

γ=√(R+iω L).(G+iωC)=α+iβ ⇒ α=0 β = ω√LC


G+iωC ⇒ Z 0=√ LC

Comprimento de onda →

η = √μϵβ = ω√μ ϵ

Velocidade de fase → v f=ωβ ⇒ v f=

1

√LC

v f = 1√μ ϵ

* comparação com onda plana eletromagnética:

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2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão

→ Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária.

→ Tensão entre os condutores (C1 e C2)

→ Corrente sendo transportada

V (z)=V 0 e±iβ z

I (z)=I 0e±iβ z

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→ Tensão entre os condutores (C1 e C2)

→ Corrente sendo transportada

V (z)=V 0 e±iβ z

I (z)=I 0e±iβ z

Como o modelo de elementos de circuito esta relacionado aos campos?

R: Conservação de energia e potência (teorema de Poynting).

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Relação entre o modelo de circuitos e os campos:

→ Energia armazenada nos campos <=> Indutância e Capacitância da linha.

→ Energia magnética armazenada

Da teoriade circuitos ⇒W m=L| I0 |

2

4

Do teoremade Poynting ⇒W m(H )=μ

4∫S

H .H *ds ( para1metro)

⇒L=μ

|I 0|2∫

S

H .H *ds (H /m)

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→ Energia armazenada nos campos <=> Indutância e Capacitância da linha.

→ Energia elétrica armazenada

Do teoremade Poynting ⇒W e(E )=ϵ4∫S

E .E* ds (para1metro)

⇒C= ϵ

|V o|2∫

S

E . E*ds (F /m) Da teoriade circuitos ⇒W e=C

| V 0 |2

4

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→ Energia dos campos dissipada <=> Resistência dos condutores e condutância do dielétrico.

→ Energia sendo dissipada por efeito Joule

Da teoriade circuitos ⇒Pc=R| I0 |

2

2

Do teoremade Poynting ⇒Pc=RS

2∫

S0=C1+C 2

H t .H t*dl

⇒R=RS

|I 0|2 ∫C1+C2

H t .H t*dl (Ω/m)

RS=ℜ(η)=√ωμ

2σ=

1σδp

Bomcondutor

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→ Energia dos campos dissipada <=> Resistência dos condutores e condutância do dielétrico.

→ Energia sendo dissipada por efeito Joule pelo termo de amortecimento dielétrico ( )

Do teoremade Poynting ⇒Pd=ωϵ,,

2 ∫S|E⃗|2ds

ϵ,,

⇒G=ωϵ,,

|V 0|2∫

S

E⃗ . E⃗*ds (S /m)

Da teoriade circuitos ⇒Pd=G| V 0 |

2

2

ϵ=ϵ,−i ϵ,,=ϵ,(1−i tgδ) ϵ,,=ϵ, tg δ

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Geral

G=ωϵ,,

|V 0|2∫

S

E⃗ . E⃗*ds (S /m)

R=RS

|I 0|2 ∫C1+C2

H t . H t*dl (Ω/m)

C= ϵ

|V o|2∫

S

E .E*ds (F /m)

L=μ

|I 0|2∫

S

H .H *ds (H /m)

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Exemplo 2.1 – Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo)

Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura:

Os campos de uma onda que se propaga no modo TEM possuem a mesma configuração dos campos estáticos, em um capacitor cilíndrico a menos da constante e−γ z

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L=μ

|I 0|2∫

S

H .H *ds (H /m)

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C= ϵ

|V o|2∫

S

E .E*ds (F /m)

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R=RS

|I 0|2 ∫C1+C2

H t . H t*dl (Ω/m)

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G=ωϵ,,

|V 0|2∫

S

E⃗ . E⃗*ds (S /m)

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* A constante de propagação, a impedância característica, e a atenuação da maioria das linhas de transmissão são usualmente obtidas diretamente da solução na teoria dos campos.

** Em linhas de geometria simples é possível determinarmos os parâmetros de circuito equivalentes (L, C, R, G) a partir dos cálculos simples apresentados.

*** Em linhas de geometria mais complexa, em geral, é necessária a utilização de softwares CAD que utilizam elementos finitos (FEM).

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Exercício 2.3 - Livro O cabo coaxial semirrígido RG-402U possui um condutor interno com diâmetro de 0,91 mm e um dielétrico com diâmetro externo de 3,02 mm (mesmo diâmetro do condutor externo). Ambos os condutores são de cobre, e o material dielétrico utilizado é o Teflon. Calcule os parâmetros R, L, G e C dessa linha em 1GHz, e utilize o resultado para encontrar a impedância característica e atenuação da linha em 1GHz.

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Exercício 2.3 - Livro O cabo coaxial semirrígido RG-402U possui um condutor interno com diâmetro de 0,91 mm e um dielétrico com diâmetro externo de 3,02 mm (mesmo diâmetro do condutor externo). Ambos os condutores são de cobre, e o material dielétrico utilizado é o Teflon. Calcule os parâmetros R, L, G e C dessa linha em 1GHz, e utilize o resultado para encontrar a impedância característica e atenuação da linha em 1GHz.

* Compare seus resultados com a especificação do fabricante.

* comente sobre as discrepâncias.

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2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL

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Onda gerada em z < 0

Onda refletida em z = 0

V (z)I (z)

=Z0Ao longo da linha →

V 0+

I 0+=−V 0

-

I 0-=Z 0


I (z)=I 0+e−γ z+ I0

- e+γ z


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Z = 0 →

V (z)I (z)

=Z0

Onda refletida →

Coef. de reflexão (z=0) →

Ao longo da linha →


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→ Potência média entregue (no ponto z)

→ Não depende de z!

⟨P ⟩=⟨P ⟩+− ⟨P ⟩

-

Incidente Refletida

⟨P ⟩=12ℜ [V (z). I*

(z) ]=12|V 0

+|2

Z0

(1−|Γ|2 )


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⟨P ⟩=12ℜ [V (z). I*

(z) ]=12|V 0

+|2

Z0

(1−|Γ|2 ) → Não depende de z!

→ Potência média entregue máxima →

Casamento de impedância →( ZL = Z0 )

(Γ=0)

(Γ=1)⇒ZL→∞→ Potência média entregue nula →


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⟨P ⟩=12ℜ [V (z). I*

(z) ]=12|V 0

+|2

Z0

(1−|Γ|2 ) → Não depende de z!

→ Perda de retorno (RL) ⟨0dB →Γ=∓1∞dB →Γ=0 ⟩

→ Quando → “Linha lisa”(Γ=0) |V (z)| = |V 0+| “A amplitude da voltagem (da

onda estacionária) na linha é constante”


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→ Perda de retorno (RL)

→ Quando → “Linha lisa”(Γ=0)

Exemplo: Casamento de impedância →

(Γ≈0,02)70 MHz


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→ Onda estacionária → → (Γ≠0) Onda incidente + Onda refletida(ZL≠Z 0)

“O módulo da tensão (amplitude) oscila ao longo da linha”

Na distância l da carga (z = - l ) →

O coef de reflexão pode ser escrito →


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“O módulo da voltagem (amplitude) oscila ao longo da linha”

(z = - l ) →

Quando e j (Θ−2β l)

= 1 ⇒V MAX = |V 0+|.(1 + |Γ|)

e j (Θ−2β l)=−1 ⇒V MIN = |V 0

+|.(1 − |Γ|)

Γ ≡ Γ(l)


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→ Generalização do coef de reflexão

→ Razão da onda estacionária

Γ(z) = V 0

- . e jβ z

V 0+ . e− jβ z

(z=−l) ⇒ Γ(l) = V 0

-

V 0+

e− jβ l

e+ jβ z = Γ(0). e−2 jβl “Casamento de impedância em

função da distância do gerador”


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→ Impedância de entrada ZIN, na distância l = -z da carga

≡ Γ(0)


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→ Casos especiais de linha de transmissão sem perdas

i) ZL = 0, curto circuito (Γ = -1)

ii) ZL = ∞ , circuito aberto (Γ = +1)

iii) Linha de comprimento l = (λ/4) + (nλ/2) → (transformador quarto de onda)

iv) Junção entre linhas de transmissão


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i) Linha de transmissão terminada em curto circuito

ZL = 0, curto circuito (Γ = -1)

Impedância puramente complexa!(sistema conservativo)


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ii) Linha de transmissão terminada em circuito aberto

ZL = ∞ , circuito aberto (Γ = +1)

Impedância puramente complexa!(sistema conservativo)


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ii) Linha de transmissão terminada em circuito aberto

i) Linha de transmissão terminada em curto circuito


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iii) Linha de comprimento l = (λ/4) + (nλ/2), n =1,2,3...

β . ŀ = 2πλ

.( λ4

+ n λ2) = π

2 + nπ ⇒ tan (β . ŀ ) = ∓∞

⇒


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iii) Linha de comprimento l = (λ/4) + (nλ/2), n =1,2,3...

β . ŀ = 2πλ

.( λ4

+ n λ2) = π

2 + nπ ⇒ tan (β . ŀ ) = ∓∞

⇒

Transformador quarto de onda →

Útil para o casamento de impedância quando sabemos λ e sabemos que ZL > Z0, mas não sabemos exatamente o valor de ZL.

“Linha com comprimento que transforma inversamente a impedância da carga ZL”

Para l = n.(λ/2) ⇒ tan (β . ŀ ) = 0


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iv) Junção entre linhas de transmissão → Linha Z0 alimenta a Z1 linha

Na região z > 0

Na região z < 0

Em z = 0

⇒

⇒

⇒

(assumindo que não existem ondas refletidas)


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iv) Junção entre linhas de transmissão → Linha Z0 alimenta a Z1 linha

Perda de inserção

⇒

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