GEOMETRÍA PLANA - ELITE CLASS VIRTUAL

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TRUJILLO-PERU GEOMETRÍA PLANA

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TRUJILLO-PERU

GEOMETRÍA PLANA

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1.GEOMETRÍA: La geometría (del latín geometría, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.). La geometría elemental se divide en dos partes, geometría plana que estudia las figuras planas, que tienen únicamente dos dimensiones: largo y ancho y geometría del espacio que estudia las propiedades de los cuerpos geométricos provistos de largo, ancho y altura o profundidad. 1.1ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA: A) El punto: Es un ente matemático, es la mínima representación geométrica de cualquier figura geométrica, el punto no tiene dimensiones por lo tanto no existe en la naturaleza, pero sí en el pensamiento humano. * Dos puntos cualesquiera no pueden ser congruentes, semejantes ni

equivalentes ya que estas no poseen dimensiones. B) La Recta: Es una sucesión infinita de puntos que siguen una misma dirección y que es ilimitada en ambos sentidos. * Por dos puntos cualesquiera pasa una única recta * La recta posee punto de bisección. C) El Plano: Es una superficie llana, lisa, sin espesor que es ilimitada en todo sentido. * Tres puntos no colineales determinan un plano * Dos rectas paralelas determinan un plano * Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano

“SEGMENTOS-ÁNGULOS”

P

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1.2 FIGURA GEOMÉTRICA: Es cualquiera conjunto de puntos, los cuales determinan líneas, superficies y sólidos. 1.3 CLASIFICACIÓN DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS

A) Congruentes: Si tienen igual forma y tamaño. * Dos figuras congruentes poseen igual longitud, área o volumen según

sea el caso. * Dos regiones poligonales congruentes poseen igual perímetro

B) Semejantes: Cuando tienen igual forma pero tamaños diferentes. * Sus longitudes, áreas o volúmenes son diferentes * En regiones poligonales semejantes sus perímetros son distintos.

C) Equivalentes: Si tienen igual longitud, área o volumen sin importar su forma.

2A u

2A u 3B u3B u

@A

B C

D

EF

G

H I

J

KL

Linea

recta

Linea

curva

Linea

mixtilineaSuperficie Sólido

A

B

C D

E

F

:

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* Dos regiones poligonales son equivalentes si poseen igual área sin importar sus formas.

* Dos sólidos son equivalentes si poseen igual volumen sin importar sus formas.

2. SEGMENTO DE UNA RECTA Porción de recta comprendida entre dos puntos denominados extremos.

A,B : extremos

AB : segmento AB

El segmento al tener puntos extremos posee longitud y por consiguiente tiene punto medio

2.1 Operaciones con Segmentos: a) Suma: AB + BC = AC b) Resta: PR – QR = PQ 2.2 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO AM = MB = a 2.3 SEGMENTOS CONSECUTIVOS Cuando cada uno tiene con el siguiente un extremo común Segmentos consecutivos: AB, BC, CD, DE (4 segmentos). Segmentos en total: AB, BC, CD, DE, AC, BD, CE, AD, BE, AE (20

segmentos)

a a

A M B

A C E B D

g gA B

AB

RP Q

BA C

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2

1nnSegmentosN

)(º

Donde: n = nº de segmentos consecutivos 3. PRINCIPALES TEOREMAS

A) TEOREMA

2

BCMN

B) TEOREMA DE DESCARTES:

Si: CD

AD

BC

AB <>

º

º

º

º

3

4

2

1

AC

2

AD

1

AB

1

C) TEOREMA DE NEWTON

Si: CD

AD

BC

AB ))(()( ODOBOC 2

D) TEOREMA:

Si: CD

AD

BC

AB

2AC)( = (AB)(AD) – (BC)(CD)

A M N B C

?

A B C D

1º 2º 3º

A B C D

A B C D O

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E) EOREMA: Si: (AB)(CD) = n(BC)(AD)

AC

1n

AD

1

AB

n

F) TEOREMA

Si: (AB)(BD) = (AC)(CD)

CDAB

4. ÁNGULOS

Es la figura formada por dos rayos divergentes que tienen un extremo común denominado vértice. Notación:

A O B, AOB, B O A, BOA, (la letra del vértice al centro)

4.1 Bisectriz: Rayo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes.

Ag

gB

LadosOg

Vertice

Ag

gB

Og bisectriz

A B C D

A B C D

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4.2 Clasificación: Los ángulos se clasifican según su magnitud, según sus características y según su posición de sus lados. I. Según su Magnitud:

A) Ángulo Nulo:

B) Ángulo Convexo: 0 180º

C) Ángulo llano: 180º

D) Ángulo Cóncavo: 180º 360º

O 0º

agudo :

recto :

obtuso :

0º 90º

90º

90º 180º

Co

nvexo

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E) Ángulo de una vuelta (perígono)

Se da cuando: 360º

II. Según sus características A) Ángulos Complementarios

90

B) Ángulos Suplementarios

180º

III. Según la posición de sus lados A) Ángulos adyacentes suplementarios

B 180º

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B) Ángulos Consecutivos C) Ángulos opuestos por el vértice

D) Replementarios o explementarios: dos ángulos cuyas medidas suman 360º

E) Bisectrices de un par lineal

90º

IV. Si se representa el complemento con “C” y el suplemento con “S”, se cumple:

* ( )par

CCC.......CC 1 44 2 4 43 * ( )par

SSS.......SS 1 44 2 4 43

* ( )impar

CCC.......CC 90º 1 44 2 4 43 * ( )impar

SSS.......SS 180º 1 44 2 4 43

* ( )CS 90º * ( )SC 90º

AO

BC

A

A'

B'

B

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Nota: Las siguientes igualdades solo se cumplirán si las 2 rectas ( 1 2L // L )

son paralelas. V. Ángulos formados por dos rectas paralelas y una recta secante

A) Ángulos Alternos son (congruentes)

Internos: 3=6 y 4=5 Externos: 2=8 y 1=7

B) Ángulos Conjugados son (suplementarios)

Internos: 3+5=180º y 4+6=180º Externos: 1+8=180º y 2+7=180º

C) Ángulos Correspondientes son (congruentes)

1=6 , 2=5 , 4=8 y 3=7 VI. Propiedades:

1. Si: sur surM// N

x

2. Si: sur surM// N

x y

1L

2L

12

34

56

78

1 2//L Lsur suur

x

surM

srN

x

y

surM

srN

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3. Si: sur surM// N

1 2 3 n a a a ......... a 180º

4. Si surM y

surN no son paralelos

1 2 3 n a a a .... a x

5. Si M y N no son paralelos

x Inter . Exter. R R

x a b c d m n p q r

1a

2a

3a

4a

n 1a

na

surM

srN

x

1a

2a

3a

na

surM

srN

a

b

c

d

m

n

p

q

r

x

srN

surM

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Cuadrilátero Cóncavo

x = α + θ + β

Propiedad de la Mariposa

α + β = θ + Ø

VII. ÁNGULOS QUE TIENEN SUS LADOS PARALELOS

180º

180º

x

Cóncavo

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VIII. ÁNGULOS QUE TIENEN SUS LADOS PERPENDICUALRES

180º

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. El valor de “x” en la gráfica, es: A) 15º B) 25º C) 60º D) 30º E) 20º Resolución: Se cumple:

𝜃 + 60 + 𝑥 + 𝑥 = 2𝜃 + 3𝑥 − 𝜃 Se obtiene:

CLAVE: C 2. Si se sabe que la suma entre el doble del complemento de un ángulo

y el triple de su suplemento es igual a 420°, entonces la medida del ángulo es: A) 70° B) 45° C) 40° D) 50° E) 60°

Resolución:

60º x

2

x

3x

L

1L

1L//L

𝑥 = 60ᵒ

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2(90 - x) + 3(180 - x) = 420 180 - 2x + 540 - 3x = 420 720 - 5x = 420 300 = 5x

CLAVE: C

03. Los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD están en razón 1, 2 y 3. Si la medida del ángulo formado por las bisectrices del

AOBS y el CODS es 60°, entonces la AODmS es:

A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 90° Resolución:

A

B

C

D

O

2

2

3

2

3

2

3

2

60°

Delgrafico:

32 60

2 2

15

Nos piden: 6 6 15 6 90

CLAVE : E

X= 60ᵒ

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04. En la figura, Si: 1/ / 2L Lsur sur

y 3 / / 4L Lsur sur

,

100°

10°L1

L2

L4

L3

, entonces el ángulo “x” mide: A) 100° B) 110° C) 120° D) 130° E) 170°

Resolución:

70°100°

10°

L2

L3 L4

180 2

Como: 1 2

70L L P

En el cuadrilátero no convexo sombreado se cumple: 10 180 2x

190 190 70x

120x CLAVE : C

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05. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tales que:

2

m BODm AOB

SS ;

2 3

m COD m AOC

S Sy 165m AOD S ,

entonces el complemento de la medida del ángulo BOC, es: A) 30° B) 36° C) 44° D) 46° E) 60°

Resolución:

A

B

C

D

3

2

2

22

O

:

: 2

2

2 2

3 3

Sea m AOB

entonces m BOD m AOB

m BOD

m COD

m AOC

S

S S

S

S

S

:

2 2 3

3 5 ........( )

Del gráfico

I

: 165 5 165 33Dato m AOD S

44

Re ( ) :

3 5(33) 55 2 55 33 44

46

emplazando en I

C

CLAVE: D

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06. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos: A, P, M, S, N, B, Q y C; con la condición que los puntos P, M, S, N

y Q son los puntos medios de AB , AC , PQ ,SB y BC .

Además AB – BC = 40 u. Entonces la longitud de MN es:

A) 8 u B) 10 u C) 12 u D) 15 u E) 18 u. Resolución:

L2

A P M S N B Q C

m m

n n

k k

X

bb

a a

2x a k b x m n k a

2 2

2 22

4 3

: 20

4 3 20

60

4

15

x m n b

m bx m b

x m b

Si m b

x

x

x

:

2

2

Se sabe

m b n

m bn

CLAVE: D