GEOMETRÍA PLANA - ELITE CLASS VIRTUAL
Transcript of GEOMETRÍA PLANA - ELITE CLASS VIRTUAL
TRUJILLO-PERU
GEOMETRÍA PLANA
CEPUNT MATEMÁTICA
Equipo de Matemática 248
1.GEOMETRÍA: La geometría (del latín geometría, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.). La geometría elemental se divide en dos partes, geometría plana que estudia las figuras planas, que tienen únicamente dos dimensiones: largo y ancho y geometría del espacio que estudia las propiedades de los cuerpos geométricos provistos de largo, ancho y altura o profundidad. 1.1ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA: A) El punto: Es un ente matemático, es la mínima representación geométrica de cualquier figura geométrica, el punto no tiene dimensiones por lo tanto no existe en la naturaleza, pero sí en el pensamiento humano. * Dos puntos cualesquiera no pueden ser congruentes, semejantes ni
equivalentes ya que estas no poseen dimensiones. B) La Recta: Es una sucesión infinita de puntos que siguen una misma dirección y que es ilimitada en ambos sentidos. * Por dos puntos cualesquiera pasa una única recta * La recta posee punto de bisección. C) El Plano: Es una superficie llana, lisa, sin espesor que es ilimitada en todo sentido. * Tres puntos no colineales determinan un plano * Dos rectas paralelas determinan un plano * Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano
“SEGMENTOS-ÁNGULOS”
P
CEPUNT MATEMÁTICA
Equipo de Matemática 249
1.2 FIGURA GEOMÉTRICA: Es cualquiera conjunto de puntos, los cuales determinan líneas, superficies y sólidos. 1.3 CLASIFICACIÓN DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS
A) Congruentes: Si tienen igual forma y tamaño. * Dos figuras congruentes poseen igual longitud, área o volumen según
sea el caso. * Dos regiones poligonales congruentes poseen igual perímetro
B) Semejantes: Cuando tienen igual forma pero tamaños diferentes. * Sus longitudes, áreas o volúmenes son diferentes * En regiones poligonales semejantes sus perímetros son distintos.
C) Equivalentes: Si tienen igual longitud, área o volumen sin importar su forma.
2A u
2A u 3B u3B u
@A
B C
D
EF
G
H I
J
KL
Linea
recta
Linea
curva
Linea
mixtilineaSuperficie Sólido
A
B
C D
E
F
:
CEPUNT MATEMÁTICA
Equipo de Matemática 250
* Dos regiones poligonales son equivalentes si poseen igual área sin importar sus formas.
* Dos sólidos son equivalentes si poseen igual volumen sin importar sus formas.
2. SEGMENTO DE UNA RECTA Porción de recta comprendida entre dos puntos denominados extremos.
A,B : extremos
AB : segmento AB
El segmento al tener puntos extremos posee longitud y por consiguiente tiene punto medio
2.1 Operaciones con Segmentos: a) Suma: AB + BC = AC b) Resta: PR – QR = PQ 2.2 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO AM = MB = a 2.3 SEGMENTOS CONSECUTIVOS Cuando cada uno tiene con el siguiente un extremo común Segmentos consecutivos: AB, BC, CD, DE (4 segmentos). Segmentos en total: AB, BC, CD, DE, AC, BD, CE, AD, BE, AE (20
segmentos)
a a
A M B
A C E B D
g gA B
AB
RP Q
BA C
CEPUNT MATEMÁTICA
Equipo de Matemática 251
2
1nnSegmentosN
)(º
Donde: n = nº de segmentos consecutivos 3. PRINCIPALES TEOREMAS
A) TEOREMA
2
BCMN
B) TEOREMA DE DESCARTES:
Si: CD
AD
BC
AB <>
º
º
º
º
3
4
2
1
AC
2
AD
1
AB
1
C) TEOREMA DE NEWTON
Si: CD
AD
BC
AB ))(()( ODOBOC 2
D) TEOREMA:
Si: CD
AD
BC
AB
2AC)( = (AB)(AD) – (BC)(CD)
A M N B C
?
A B C D
1º 2º 3º
4º
A B C D
A B C D O
CEPUNT MATEMÁTICA
Equipo de Matemática 252
E) EOREMA: Si: (AB)(CD) = n(BC)(AD)
AC
1n
AD
1
AB
n
F) TEOREMA
Si: (AB)(BD) = (AC)(CD)
CDAB
4. ÁNGULOS
Es la figura formada por dos rayos divergentes que tienen un extremo común denominado vértice. Notación:
A O B, AOB, B O A, BOA, (la letra del vértice al centro)
4.1 Bisectriz: Rayo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes.
Ag
gB
LadosOg
Vertice
Ag
gB
Og bisectriz
A B C D
A B C D
CEPUNT MATEMÁTICA
Equipo de Matemática 253
4.2 Clasificación: Los ángulos se clasifican según su magnitud, según sus características y según su posición de sus lados. I. Según su Magnitud:
A) Ángulo Nulo:
B) Ángulo Convexo: 0 180º
C) Ángulo llano: 180º
D) Ángulo Cóncavo: 180º 360º
O 0º
agudo :
recto :
obtuso :
0º 90º
90º
90º 180º
Co
nvexo
CEPUNT MATEMÁTICA
Equipo de Matemática 254
E) Ángulo de una vuelta (perígono)
Se da cuando: 360º
II. Según sus características A) Ángulos Complementarios
90
B) Ángulos Suplementarios
180º
III. Según la posición de sus lados A) Ángulos adyacentes suplementarios
B 180º
CEPUNT MATEMÁTICA
Equipo de Matemática 255
B) Ángulos Consecutivos C) Ángulos opuestos por el vértice
D) Replementarios o explementarios: dos ángulos cuyas medidas suman 360º
E) Bisectrices de un par lineal
90º
IV. Si se representa el complemento con “C” y el suplemento con “S”, se cumple:
* ( )par
CCC.......CC 1 44 2 4 43 * ( )par
SSS.......SS 1 44 2 4 43
* ( )impar
CCC.......CC 90º 1 44 2 4 43 * ( )impar
SSS.......SS 180º 1 44 2 4 43
* ( )CS 90º * ( )SC 90º
AO
BC
A
A'
B'
B
CEPUNT MATEMÁTICA
Equipo de Matemática 256
Nota: Las siguientes igualdades solo se cumplirán si las 2 rectas ( 1 2L // L )
son paralelas. V. Ángulos formados por dos rectas paralelas y una recta secante
A) Ángulos Alternos son (congruentes)
Internos: 3=6 y 4=5 Externos: 2=8 y 1=7
B) Ángulos Conjugados son (suplementarios)
Internos: 3+5=180º y 4+6=180º Externos: 1+8=180º y 2+7=180º
C) Ángulos Correspondientes son (congruentes)
1=6 , 2=5 , 4=8 y 3=7 VI. Propiedades:
1. Si: sur surM// N
x
2. Si: sur surM// N
x y
1L
2L
12
34
56
78
1 2//L Lsur suur
x
surM
srN
x
y
surM
srN
CEPUNT MATEMÁTICA
Equipo de Matemática 257
3. Si: sur surM// N
1 2 3 n a a a ......... a 180º
4. Si surM y
surN no son paralelos
1 2 3 n a a a .... a x
5. Si M y N no son paralelos
x Inter . Exter. R R
x a b c d m n p q r
1a
2a
3a
4a
n 1a
na
surM
srN
x
1a
2a
3a
na
surM
srN
a
b
c
d
m
n
p
q
r
x
srN
surM
CEPUNT MATEMÁTICA
Equipo de Matemática 258
Cuadrilátero Cóncavo
x = α + θ + β
Propiedad de la Mariposa
α + β = θ + Ø
VII. ÁNGULOS QUE TIENEN SUS LADOS PARALELOS
180º
180º
x
Cóncavo
CEPUNT MATEMÁTICA
Equipo de Matemática 259
VIII. ÁNGULOS QUE TIENEN SUS LADOS PERPENDICUALRES
180º
PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. El valor de “x” en la gráfica, es: A) 15º B) 25º C) 60º D) 30º E) 20º Resolución: Se cumple:
𝜃 + 60 + 𝑥 + 𝑥 = 2𝜃 + 3𝑥 − 𝜃 Se obtiene:
CLAVE: C 2. Si se sabe que la suma entre el doble del complemento de un ángulo
y el triple de su suplemento es igual a 420°, entonces la medida del ángulo es: A) 70° B) 45° C) 40° D) 50° E) 60°
Resolución:
60º x
2
x
3x
L
1L
1L//L
𝑥 = 60ᵒ
CEPUNT MATEMÁTICA
Equipo de Matemática 260
2(90 - x) + 3(180 - x) = 420 180 - 2x + 540 - 3x = 420 720 - 5x = 420 300 = 5x
CLAVE: C
03. Los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD están en razón 1, 2 y 3. Si la medida del ángulo formado por las bisectrices del
AOBS y el CODS es 60°, entonces la AODmS es:
A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 90° Resolución:
A
B
C
D
O
2
2
3
2
3
2
3
2
60°
Delgrafico:
32 60
2 2
15
Nos piden: 6 6 15 6 90
CLAVE : E
X= 60ᵒ
CEPUNT MATEMÁTICA
Equipo de Matemática 261
04. En la figura, Si: 1/ / 2L Lsur sur
y 3 / / 4L Lsur sur
,
100°
X°
10°L1
L2
L4
L3
, entonces el ángulo “x” mide: A) 100° B) 110° C) 120° D) 130° E) 170°
Resolución:
70°100°
10°
L2
L3 L4
X°
180 2
Como: 1 2
70L L P
En el cuadrilátero no convexo sombreado se cumple: 10 180 2x
190 190 70x
120x CLAVE : C
CEPUNT MATEMÁTICA
Equipo de Matemática 262
05. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tales que:
2
m BODm AOB
SS ;
2 3
m COD m AOC
S Sy 165m AOD S ,
entonces el complemento de la medida del ángulo BOC, es: A) 30° B) 36° C) 44° D) 46° E) 60°
Resolución:
A
B
C
D
3
2
2
22
O
:
: 2
2
2 2
3 3
Sea m AOB
entonces m BOD m AOB
m BOD
m COD
m AOC
S
S S
S
S
S
:
2 2 3
3 5 ........( )
Del gráfico
I
: 165 5 165 33Dato m AOD S
44
Re ( ) :
3 5(33) 55 2 55 33 44
46
emplazando en I
C
CLAVE: D
CEPUNT MATEMÁTICA
Equipo de Matemática 263
06. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos: A, P, M, S, N, B, Q y C; con la condición que los puntos P, M, S, N
y Q son los puntos medios de AB , AC , PQ ,SB y BC .
Además AB – BC = 40 u. Entonces la longitud de MN es:
A) 8 u B) 10 u C) 12 u D) 15 u E) 18 u. Resolución:
L2
A P M S N B Q C
m m
n n
k k
X
bb
a a
2x a k b x m n k a
2 2
2 22
4 3
: 20
4 3 20
60
4
15
x m n b
m bx m b
x m b
Si m b
x
x
x
:
2
2
Se sabe
m b n
m bn
CLAVE: D