FEN05-03207 – Microondas I...Microondas I Exercício 1.2 do livro: Uma onda plana viaja ao longo...

Prof. Fernando Massa Fernandes

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FEN05-03207 – Microondas I

Aula 7

Onda plana circularmente polarizadaEnergia e potência (teorema de Poynting)

2

Microondas I

Equação de onda – Solução de onda plana

∇2 E − μϵ

∂2 E

∂ t 2 = 0 ∇2 H − μϵ

∂2 H

∂ t2 = 0

→ Solução de onda plana → Modo de propagação transversal eletromagnético (TEM)

z

E

H

Exemplo: E = E x(z , t) →Propagna direção z e Polarização na direção x

Ex = E0 sin(ω t±k z)

Ex = E0 cos(ω t±k z)

Ex = E0 ei(ω t±k z)

Conjunto de soluções

ω = 2π f → Frequência

k = 2πλ

→ Constante de propagação

ω t±kz → Fase v f = ωk

= 1

√μϵ

Revisão

H = 1η n× E

Microondas I

Equação de onda – Solução (geral) de onda plana

H=1η

n×E

E=E0e−i k r

Revisão

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Exercício 1.2 do livro:

Uma onda plana viaja ao longo do eixo-x em um região preenchida com poliestireno com

e campo elétrico dado por . A frequência é de 2,4 GHz e

. Encontre:

a) A amplitude e direção do campo magnético. b) A velocidade de fase.c) O comprimento de onda no poliestireno.d) A diferença de fase entre as posições x1 = 0,1m e x2 = 0,15m.

ϵr=2,54 E y=cos(ω t−kx )

E0=5,0V /m

Revisão

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Solução de onda plana – onda plana circularmente polarizada

H=1η

n×E

* Essa onda, discutida anteriormente, é uma onda linearmente polarizada.

** A direção da polarização se refere geralmente ao campo elétrico.

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*** Em geral, a polarização da onda plana não é fixa e muda com o tempo!

**** Duas ondas planas polarizadas perpendicularmente produzem em geral uma onda elipticamente polarizada.

https://www.air-stream.org/technical-references/antenna-polarisation

E1 e E2 são (em geral ) complexos

E1=|E1|. eiϕ 1

Fase⇒ϕ =ϕ 1−ϕ 2

E2=|E2|.eiϕ2

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E1 e E2 são (em geral ) complexos

E1=|E1|. eiϕ 1

Fase⇒ϕ =ϕ 1−ϕ 2

E2=|E2|.eiϕ 2

http://www.rfcafe.com/references/electrical/ew-radar-handbook/polarization.htm

ϕ =atan (E2/E1)

Microondas I


E1 e E2→ são em geral complexos

E1=|E1|. eiϕ 1 Fase⇒ϕ =ϕ 1−ϕ 2

E2=|E2|.eiϕ 2 ϕ =atan (E2/E1)

Se E1 = E2= E0 ( Real )→Linearmente polarizada

No caso E1=±iE2 = E0→Circularmente polarizada E=E0 ( x±i y ) e−ik0 z

Fase de ±90° entre E1 e E2⇒±i=e±iπ / 2

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Campo elétrico (fase de - 90o ):

RHCP

Campo elétrico (fase de + 90o ):

LHCP


Radar – Para um número ímpar de reflexões (antena receptora para polarização oposta)

E=E0 ( x−i y ) e−ik 0 z

E=E0 ( x+i y ) e−ik0 z

Microondas I


Campo elétrico (fase de - 90o ): Campo elétrico (fase de + 90o ):


Radar – Para um número par de reflexões (antena receptora para mesma polaridade)

RHCP LHCP

E=E0 ( x−i y ) e−ik 0 z

E=E0 ( x+i y ) e−ik0 z

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https://www.air-stream.org/technical-references/antenna-polarisation

Receptor de TV via satélite


Microondas I

Energia e potência

Dado um volume'V''S'→Superfície envolvendo o volume V

Meio arbitrário→ ϵ =ϵ '−iϵ ''

μ=μ '− iμ ' '

Teorema de Poynting (conservação de energia)

Aplicando o princípio de conservação da energia ao volume (V), contendo

fontes de corrente elétrica

e magnética geradoras, obtemos o Teorema de Poynting.

( J= J s+σ E )

(M s)

Físico J. H. Poynting1852* - 1914†

J s→ fonte de corrente σ E→corrente de condução

Microondas I

Energia e potência - Teorema de Poynting (conservação de energia)

Dado um volume 'V'

PS=P0+Pl+P r

PS→Potência total complexa entregue pelas fontes ( J S , M S) dentro de'S'

P0→Fluxo de potência para fora da superfície fechada'S'

Pl→Potência dissipada em calor no interior do volume'V'

Pr→Energia reativa estocada no volume'V'

(1 ) (2 ) (3 ) (4 )

Microondas I


Dado um volume 'V'

PS=P0+Pl+P r

(1 ) PS→Potência total complexa entregue pelas fontes ( J S , M S ) dentro de 'S'

(1 ) (2 ) (3 ) (4 )

( W )

Potência consumida na fonte

Média temporal <cos2 ωt > = 1/2

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Dadoumvolume'V'

PS=P0+Pl+P r

(1 ) (2 ) (3 ) (4 )

(2 ) P0→Fluxo de energia para fora da superfície fechada 'S'

S→Vetor de Poynting

Fundamental!!

S=E×H *

Microondas I


Dadoumvolume'V'

PS=P0+Pl+P r

(1 ) (2 ) (3 ) (4 )

(3 ) Pl→Potência dissipada em calor no interior do volume 'V'

Pl=Plc+P ld+Plm

3 .1 −Dissipação devida a condutividade (σ )→Plc

3 . 2 −Efeito de amortecimento dielétrico (ϵ '' )→Pld

3 .3 −Efeito de amortecimento diamagnético (μ'' )→P lm

Microondas I


Dadoumvolume'V'

PS=P0+Pl+P r

(1 ) (2 ) (3 ) (4 )

(4 ) Pr→Energia reativa estocada no volume 'V'

→ϵ2∫E2 (r ) dv=W e

→μ2∫ H2 (r )dv=W m

Para campos estáticos: Pre= 2 iω( ϵ '4∫ E . E * dv )= 2 iωW e

Prm=−2iω( μ'4∫ H . H * dv )=−2 iωW m

Microondas I

Potência absorvida por um bom condutor (σ ≫ωϵ ' )

STotal=S+S0 →A superfície 'S' não contribui!

→Toda a potência é dissipada dentro do volume.

Microondas I


STotal=S+S0

* Potência média entrando no condutor (Pavg

)

d S= z . ds→(Real)

Microondas I


STotal=S+S0

* Potência média entrando no condutor (Pavg

)

d S= z . ds→

Usando id . vetorial→

z× E=η H

Pavg=12

Re [η ]∫|H|2 dS (W )

H=1η

n×E

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STotal=S+S0

* Potência média entrando no condutor (P

avg):

* Potência incidente em S0 por área:

* Resistência superficial (RS):

Pavg=12

Re [η ]∫|H|2 dS (W )

Pavg=12

Re [ S . z ] (W /m2 ) S=E×H *

(W)RS = Re [η]

Microondas I

Reflexão e transmissão de onda plana

- Incidência normal à superfície da interface (meio geral)

* Para obterΓe T aplicamos condições de continuidade nainterface (z=0)

→ Γé o coeficiente de reflexão → T é o coeficiente de transmissão

(dedução)

Microondas I



* Pra obterΓ e T aplicamos a condição de continuidade dos campos em z=0

Ei + Er = Et

H i + H r = H t

Em z= 0 => => =>

(incidência normal)

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Ei + Er = Et

H i + H r = H t

Em z= 0 => => =>

- Num meio geral

tanδ = ωϵ ' '+σωϵ '

Microondas I


- Num dielétrico sem perdas (σ = 0 ; μ e ϵ reais)

Constante de propagação →

Comprimento de onda no dielétrico →

Velocidade de fase →

λ0→comprimento de onda no espaço livre

Impedância intrínseca do dielétrico →

*Oscampos E e H estão em fase .

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- Num bom condutor

Constante de propagação →

Comprimento de onda →

Velocidade de fase →

(σ>0, σ≫ωϵ ' )

Ceficiente de atenuação →

Profundidade de película →

Constante de fase →

Microondas I


- Num bom condutor

*Oscampos E e H possuemuma fase de+45o dentro do condutor .

(σ>0, σ≫ωϵ ' )

H=1η

n× E → E = ηH = √2

σδ ei π/4 H

Impedância intrínseca do bom condutor →

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- Exemplo 1.4: Reflexão de onda plana em um condutor

Considere uma onda plana incidindo normalmente sobre uma superfície de alumínio, com frequência 1 GHz.

i) Determine a constante de propagação, a impedância intrínseca, e a profundidade de película no cobre.

ii) Calcule os coeficientes de reflexão e transmissão.

σ Al = 3,816×107 S /m (20 ° C )

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- Conservação de potência na interface

(Z < 0) (Z > 0)

→energiareativaestocada

* Capacitância e indutância em guias de onda.

S-≠ Si+Sr → faltará o termo complexo

S- = S+

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Em z=0, sen(2 k0 z)=0

S - = S+

- Potência média transmitida (Z > 0)

(conservação do fluxo real de potência – potência média transmitida para o meio z > 0)

(W /m2) Geral

P+=Pi + Pr = P_

*Potência real!

Microondas I


- Num bom condutor (σ>0, σ≫ωϵ ' )

No lado z < 0 =>

No lado z > 0 =>

Na interface em z = 0 => S - = S+

Vetor de Poynting S=E×H *

Microondas I



P- = P+ ( z=0)

Fluxo de potência nos dois lados

S- = z|E02|

1η0(1−|Γ|2+2 iΓ sen 2k0 z)

P+ = P- e−2α z (z>0)

P- = P i+Pr

W /m2

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Densidade de corrente no condutor

J t = σ Et = σT E0 e−γ z x (A /m2) ×eiω t

Potência real média dissipada no condutor por m2 (ou transmitida)

Da lei de Joule →

Pt≡PS do teoremade Poynting

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- Condutor perfeito (reflexão perfeita)

α→∞η→0δ p→0

z > 0 => σ → ∞ => =>Γ→−1T→0

z < 0 =>

H i

Ei

z Er

− zH r

Et = x T E0 e−γ z=0

H t = y T E0η e−γ z

=0

Microondas I



α→∞η→0δ p→0

z > 0 => σ → ∞ => =>Γ→−1T→0

z < 0 =>

H i

Ei

z Er

− zH r

Et = x T E0 e−γ z=0

H t = y T E0η e−γ z

=0

Γ=−1 (z<0) ⇒

* O campo elétrico tem um nó na interface com o condutor perfeito.

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z = 0 =>

z < 0 =>

E = 0 H = 2E0η0

y

Γ=−1 (z<0) ⇒

→ puramente complexo

=> Não existe fluxo real de potencia na região z < 0. => Não existe potencia real entregue ao condutor!

S- = z|E02|

1η0(1−|Γ|2+2 iΓ sen2k 0 z)

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z = 0 => E = 0 H = 2E0η0

y

Γ=−1 (z<0) ⇒

Densidade superficial de corrente (na interface 2D, z = 0)

→ Da cond. de contorno n×(H 2−H 1)=J S

⇒ J S=n×H=− z×(2E0η0

y )=2 E0η0

x [A /m]

38

Microondas I

Conceitos fundamentais – Campos EMs em interfaces

Exercício proposto:

Parte da radiação eletromagnética de micro-ondas, que é emitida por uma fonte distante, incide normalmente sobre a superfície plana de uma placa de metal de alumínio com densidade de potência média de 1μW/m2. Estime a densidade de corrente superficial (Js) gerada na placa, considerando o metal como um condutor

perfeito.

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Adaptado do exercício 1.5 do livro:

Uma onda plana incide normalmente na superfície de uma camada dielétrica de Kevlar, com

permitividade e espessura , onde .

Se a camada é cercada por espaço livre dos dois lados, encontre o coeficiente de reflexão.

ϵr=4,27 d=λ / 4d


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Potência transmitida ao condutorTransmissão por camada delgada

Projeto de radomeReflexão e transmissão com incidência oblíqua


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