Capítulo 12:

Deflexão em vigas e eixos

Adaptado pela prof. Dra. Danielle Bond

Deflexão em Vigas e Eixos

Muitas vezes é preciso limitar o grau de deflexão que uma viga

ou eixo pode sofrer quando submetido a uma carga. Portanto

neste capítulo discutiremos vários métodos para determinar a

deflexão e a inclinação em pontos específicos de vigas e eixos.

A Linha Elástica

• Antes de determinar a inclinação ou deslocamento em um

ponto de uma viga (ou eixo), convém traçar um rascunho da

forma defletida da viga quando carregada para visualizar os

resultados calculados.

A Linha Elástica

• Antes de determinar a inclinação ou deslocamento em um

ponto de uma viga (ou eixo), convém traçar um rascunho da

forma defletida da viga quando carregada para visualizar os

resultados calculados.

• O diagrama da deflexão do eixo longitudinal que passa pelo

centróide de cada área da seção transversal da viga é

denominado linha elástica.

A Linha Elástica

• Antes de determinar a inclinação ou deslocamento em um

ponto de uma viga (ou eixo), convém traçar um rascunho da

forma defletida da viga quando carregada para visualizar os

resultados calculados.

• O diagrama da deflexão do eixo longitudinal que passa pelo

centróide de cada área da seção transversal da viga é

denominado linha elástica.

• Para traçar a LE é preciso saber como a inclinação ou o

deslocamento da viga são restringidos pelos vários tipos de

apoio.

A Linha Elástica

• Os apoios que resistem a uma força, como os pinos,

restringem o deslocamento;

• Os apoios que resistem a um momento, como parede fixa,

restringem a inclinação bem como o deslocamento.

• Se a linha elástica de uma viga parecer difícil de se determinar,

sugere-se traçar o diagrama de momento fletor da viga;

A Linha Elástica

• Para curva elástica,o

momento positivo interno

tende a curvar a viga com a

concavidade para cima, e

vice versa.

• Deve haver um ponto de

inflexão em C, onde a

curva passa de côncava

para cima a côncava para

baixo, visto que o momento

neste ponto é nulo.

A Linha Elástica

Rolete (D) e pino (B): o deslocamento é nulo.

M (-) entre AC: A L.E. é côncava p/ baixo.

M (+) entre CD: A L.E. é côncava p/ cima.

M = 0 em C: pto de inflexão.

Portanto, se o diagrama de momento for conhecido, será fácil representar a linha elástica.

A Linha Elástica

Os deslocamentos de Ae E são especialmente críticos.

No pto E a inclinação é nula: a deflexão da viga pode ser máxima.

Porém, o que determina se o desloc. em E é realmente maior que o de A são os valores relativos de P1 e P2 e a localização do rolete em B.

A Linha Elástica

No ponto A está engastada: L.E. tem deslocamento e inclinação nulos nesse pto. M=zero, pto inflexão

No ponto D a inclinação é nula: L.E. tem maior deslocamento ou em C.

A Curva ElásticaRelação Momento-Curvatura

• Relação entre o momento fletor interno na viga e o raio

de curvatura da curva da linha elástica em um ponto;

• A equação resultante será usada como base para

determinar a inclinação e o deslocamento da LE.

A Curva ElásticaRelação Momento-Curvatura

Localizar o elemento diferencial, cuja largura não deformada é dx:X +

+ Mede o deslocamento do centróide na área da S.T. do elemento:

v

Utilizando 3 coordenadas para o estudo: x, v, y.

Para especificar a posição de uma fibra da viga: +

y

dx: porção da L.E. que intercepta o

eixo neutro p/ cada S.T.

Y: posição de uma fibra no elemento

da viga y + L.N.

dS: deformação no arco

d: ângulo entre as seções

transversais

: raio de curvatura: É a distância de

O’ até dx.

Para deduzir a Relação Momento Interno e Raio de Curvatura

• Para mostrar como esta distorção deformará o material, isolaremos umsegmento da viga em x.(deformação por flexão de um elemento reto/cap.6)

• Qualquer segmento de reta x localizado na superfície neutra não muda decomprimento; já s localizado em y acima da linha neutra se contrairá e setornará s` após a deformação; .

• Representando essa deformação em termos de localização y do segmento

e do raio de curvatura do eixo longitudinal do elemento. Visto que

define o ângulo entre os lados da seção transversal:

• Ocorrerá uma contração (-) nas fibras localizadas acima do eixo neutro (+y); e um alongamento (+) nas abaixo (-y).

• Esta variação da deformação na S.T. é mostrada na figura:

A Curva Elástica

Relação Momento-Curvatura

• Se o material for homogêneo e comportar-se de uma

maneira linear elástica, a lei de Hooke é aplicável; além

disso a fórmula da flexão também se aplica:

A Curva Elástica

ρ = raio de curvatura em um ponto específico

sobre a curva da linha elástica

M = momento fletor interno na viga no ponto

onde ρ deve ser determinado

E = módulo de elasticidade do material

I = momento de inércia calculado em torno do

eixo neutro

EI = rigidez à flexão

Inclinação e deslocamentopor integração

• Na maioria dos problemas a rigidez à flexão será

constante ao longo do comprimento da viga.

• A deflexão da L.E. é:

• A escolha da eq. depende do problema. É mais fácil

determinar o momento interno M em função de x,

integrar 2x e avaliar somente 2 ctes de integração.

xMdx

vdEIxVdx

vdEIxwdx

vdEI 2

2

3

3

4

4

Convenção de sinais

Ângulo da inclinação da L.E. é:

Inclinação e deslocamentopor integração

Condições de contorno e continuidade

• As constantes de integração são determinadas pela avaliação

das funções para cisalhamento, momento, inclinação ou

deslocamento.

• Esses valores são chamados de condições de contorno.

deslocamento

inclinação

A viga em balanço mostrada na Fig. está sujeita a uma carga

vertical P em sua extremidade. Determine a eq. da linha elástica.

EI é constante.

Exemplo 12.1

Exemplo 12.1

A viga simplesmente apoiada mostrada na figura (a) suporta a carga

triangular distribuída. Determine sua deflexão máxima. EI é constante.

Exemplo 12.2

Exemplo 12.2

A viga simplesmente apoiada mostrada na figura (a) é submetida á força

concentrada P. Determine a deflexão máxima. EI é constante.

Exemplo 12.3

Exemplo 12.3