Modulacao Em Angulo

Capítulo 3 – Modulação Angular - Página 1

Universidade Federal do Paraná – Dep. de Engenharia Elétrica – Prof. Marcus V. Lamar

Capítulo 3

Modulação Angular

3.1. Introdução Seja a portadora genérica:

( )( ) .cosA Amplitude

p t AÂngulo

θθ

→=

→

Se ( )A A t= → Sistemas de Modulação em Amplitude Se ( )tθ θ= → Sistemas de Modulação Angular No nosso caso:

AM: ( )0 0( ) ( ).cosp t A t tω φ= + Modulação em Amplitude

FM: ( )0( ) .cos ( ) .p t A t tω φ= + Modulação em Frequência

PM: ( )0( ) .cos ( )p t A t tω φ= + Modulação de Fase Ex.:

-101

f(t)

-101

p(t)

-1

0

1

φ DS

B-S

C(t

)

-101

φ FM

(t)

0 1 2 3 4 5-101

t

φ PM

(t)



O que acontece se f(t), informação, tiver variação contínua? Ex.:

0 1 2 3 40

0.5

1

t

f(t)

0 1 2 3 4-1

-0.5

0

0.5

1

t

φ FM(t

)

Cada instante de tempo do sinal ( )FM tφ possui uma frequência diferente! Logo: Precisamos definir

• Frequência Instantânea: iω Sabemos que ( )( ) .cos ( )t A tϕ θ=

e que 0 0( ) .t tθ ω θ= + onde 0ω é a frequência constante da portadora. Como obtemos 0ω a partir do ângulo ( )tθ ? Podemos definir: Logo:

( )( )id tt

dtθω @

00

( ) ( ).t

it dθ ω τ τ θ= +∫



Ex.: 1) ( )0( ) .cos .ct A tϕ ω θ= + , onde cω e 0θ são constantes.

[ ]0.( ) c

i c

d tt

dt

ω θω ω

+= = frequência instantânea é uma constante

0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

t

φ(t)

=cos

(10*

2 π

t)

0 0.5 10.0

20.0

40.0

60.0

80.0

tω

i=10*

2 π

2) ( )2( ) .cos 10t A t tϕ π π= +

210( ) 10 2i

d t tt t

dt

π πω π π

+ = = +

0 1 2 3

-1

-0.5

0

0.5

1

t

φ (t)=

cos(

10 π

t+π

t2 )

0 1 2 30 . 0

1 0 . 0

2 0 . 0

3 0 . 0

4 0 . 0

5 0 . 0

6 0 . 0

t

ωi=

10 π

+2 π

t



3.2. Modulação de Fase (PM)

onde:

cω : Frequência da Portadora

pK : Constante ( )f t : Sinal Modulante (informação)

Logo a fase da portadora varia linearmente com a informação f(t). Frequência instantânea:

( )( )( ) c p

i

d t K f td tt

dt dt

ωθω

+ = =

Logo: ( )

( )i c p

d f tt K

dtω ω= +

Logo: A frequência instantânea varia linearmente com a derivada do sinal modulante f(t). Sinal PM : ( ) .cos ( )PM c pt A t K f tϕ ω = +

pK : Constante que converte variações de volts da f(t) em variações de fase (em radianos). É definida pelo circuito de modulação. Unidade: /pK rad V =

Logo: Para 0pK > Se ( ) 0f t > → Avanço de fase

Se ( ) 0f t < → Atraso de fase

( )( ) .cos . ( )PM c pt A t K f tϕ ω= +



3.3. Modulação em Frequência (FM) Se variarmos linearmente a frequência instantânea da portadora de acordo com o sinal modulante:

( ) ( )i c Ft K f tω ω= + O que ocorre com o ângulo ( )tθ ?

[ ]0

0

( ) ( )

( ) ( )

t

c F

t

c F

t K f d

t t K f d

θ ω τ τ

θ ω τ τ

= +

= +

∫

∫

Logo a expressão do sinal modulado em FM será:

Logo a fase da portadora varia linearmente com a integral do sinal de informação f(t).

FK : Constante que converte variações de volts do sinal f(t) em variações de velocidade angular (rad/s) da frequência instantânea.

Unidade: [ ].F

radK

V s=

Para 0FK > Se ( ) 0f t > → Aumenta a frequência Se ( ) 0f t < → Diminui a frequência

0

( ) .cos ( )t

FM c Ft A t K f dϕ ω τ τ

= +

∫



Notação Fasorial:

( ) ( )ˆ( ) .cos ( ) ( ) . j tt A t t Ae θϕ θ ϕ= ←→ =

Então: { }( )( ) Re . j tt A e θϕ =

Logo:

( )ˆ ( ) . c pj t K f tPM t A e

ωϕ + = Sinal PM: { }ˆ( ) Re ( )PM PMt tϕ ϕ=

0

( )

ˆ ( ) .

t

c Fj t K f d

FM t A eω τ τ

ϕ

+

∫= Sinal PM: { }ˆ( ) Re ( )FM FMt tϕ ϕ=

Definindo: 0

( ) ( )t

g t f dτ τ= ∫

Podemos escrever: [ ]( )ˆ ( ) . c Fj t K g t

FM t A e ωϕ += Obs.: Embora PM e FM sejam formas diferentes de modulação angular, não são essencialmente diferentes, uma vez que qualquer variação na fase de uma portadora resulta em uma variação na sua frequência instantânea e vice-versa. Portanto o estudo a ser feito para FM também se aplica a PM.

Modulador PM

Modulador FM

Modulador FM

Modulador PM ∫

ddt

( )f t

( )f t

( )f t

( )f t

( )PM tϕ ( )PM tϕ

( )FM tϕ ( )FM tϕ



Desvio de Fase e Desvio de Frequência Seja: ( ) .cos( )mf t a tω= Sinal Modulador, Informação FM: *Frequência Instantânea: ( ) ( )i c Ft K f tω ω= +

( )( ) . .cosi c F mt K a tω ω ω= +

0 1 2 3 40

5

10

15

20

t

ωi(t

) [10

3 r

ad/s

]

ωc

∆ω

( )( ) .cosi c mt tω ω ω ω= + ∆

onde: Fa Kω∆ = ⋅

ω∆ é o desvio máximo da frequência da portadora: c i cω ω ω ω ω− ∆ ≤ ≤ + ∆ *Ângulo:

[ ]

0

0

( ) ( )

( ) .cos( )

( ) sin( )

t

i

t

c m

c mm

t d

t d

t t t

θ ω τ τ

θ ω ω ω τ τ

ωθ ω ω

ω

=

= + ∆

∆= +

∫

∫

Definindo: Máximo desvio de frequência

:Frequência máxima da informaçãom

ωβ

ω∆@



Definindo: Máximodesviodefrequência

:Frequênciamáximadainformaçãom

ωβ

ω∆@

β : Índice de Modulação Representa o máximo deslocamento de fase do sinal em relação à portadora.

[ ]( ) .cos sin( )FM c mt A t tϕ ω β ω= + Unidade: [ ] radβ = O Índice de Modulação β classifica o sinal modulado em FM ( )FM tϕ em: - FM de Faixa Estreira - FM de Faixa Larga



3.3.1. FM de Faixa Estreita (NBFM – Narrow Band Frequency Modulation)

[ ]( )

( )

ˆ ( ) .

ˆ ( ) . .

c F

c F

j t K g tFM

j t jK g tFM

t A e

t A e e

ω

ω

ϕ

ϕ

+=

=

Lembrando Expansão em Série de Taylor: 2 3

1 ...2! 3!

x x xe x= + + + +

Se ( ) 1FK g t = Teremos FM de Banda Estreita Logo:

( ) 1 ( )FjK g tFe jK g t≅ +

Assim:

[ ]ˆ ( ) . 1 ( )cj tNBFM Ft A e jK g tωϕ = +

Logo:

[ ][ ][ ][ ] [ ]

ˆ ( ) . cos( ) sin( ) 1 ( )

ˆ ( ) cos( ) sin( ) ( ) cos( ) ( )sin( )

ˆ ( ) cos( ) ( )sin( ) sin( ) ( ) cos( )

NBFM c c F

NBFM c c F c F c

NBFM c F c c F c

t A t j t jK g t

t A t j t jK g t t K g t t

t A t K g t t jA t K g t t

ϕ ω ω

ϕ ω ω ω ω

ϕ ω ω ω ω

= + +

= + + −

= − + +

Como:

{ }ˆ( ) Re ( )NBFM NBFMt tϕ ϕ= Temos:

( ) cos( ) ( )sin( )NBFM c F ct A t AK g t tϕ ω ω= −



Ex.: ( ) .cos( )mf t a tω=

Cálculo de g(t):

0

( ) ( )

( ) sin( )

t

mm

g t f d

ag t t

τ τ

ωω

=

=

∫

( ) .cos( ) sin( )sin( )NBFM c F m cm

at A t AK t tϕ ω ω ω

ω= −

Lembrando: [ ]1sin( )sin( ) cos( ) cos( )

2A B A B A B= − − +

[ ] [ ]{ }

[ ] [ ]{ }

( ) .cos( ) cos ( ) cos ( )2

( ) .cos( ) cos ( ) cos ( )2

FNBFM c c m c m

m

NBFM c c m c m

K aAt A t t t

At A t t t

ϕ ω ω ω ω ωω

ϕ ω β ω ω ω ω

= − − − +

= + + − −

Espectro do sinal ( )NBFM tϕ para ( ) .cos( )mf t a tω= :

-100 -50 0 50 100-10

-5

0

5

10

ω

ΦNBFM

(ω)

ωc -ω

c ω

c+ωm

ωc-ω

m

-ωc-ω

m

-ωc+ω

m

πA π A

π Aβ/2 π Aβ/2

-π Aβ/2 -π Aβ/2

De modo análogo, podemos obter a expressão do sinal PM de banda estreita:

( ) .cos( ) ( ).sin( )NBPM c p ct A t AK f t tϕ ω ω= −



Comparando-se estes sinais: Com o sinal AM DSB com portadora:

Notamos que tanto o sinal AM quanto os sinais FM e PM de banda estreita, apresentam termos correspondentes à portadora e às faixas laterais centradas em cω± . Conclusão: Sinais FM e PM de banda estreita ocupam a mesma largura de banda (2 mω ) que o sinal AM DSB. Condição para ser FM de banda estreita: ( ) 1FK g t =

ou para ( ) .cos( )mf t a tω= 1FK a =

Como . F

m

a Kβ

ω= Temos que 1β =

Um critério usual para definir sinais FM de banda estreita é: 0.2β <


( ) cos( ) ( )sin( )NBFM c F ct A t AK g t tϕ ω ω= −

( ) cos( ) ( )cos( )DSB c ct A t mAf t tϕ ω ω= +



Se f(t) for um sinal qualquer. Como é o espectro do ( )NBFM tϕ ?

Cálculo do: 0

( ) ( )t

g t f dτ τ= ∫

Lembrando da Propriedade de Integração no tempo da Transformada de Fourier:

( ) ( )1

( ) ( ) ( )

f t F

g t F Gj

ω

ω ωω

←→

←→ =

F

F

Logo se f(t) é limitado em frequência g(t) também será.

{ }{ } { }

[ ]

( ) .cos( ) ()sin( )

( ) cos( ) ()sin( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

NBFM c F c

NBFM c F c

NBFM c c F c c

A t AK g t t

A t AK g t t

j jA AK G G

ω ω ω

ω ω ω

ω π δ ω ω δ ω ω ω ω ω ω

Φ = −

Φ = −

Φ = − + + − + − −

FF F

Logo:

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

FNBFM c c c c

jAKA G Gω π δ ω ω δ ω ω ω ω ω ωΦ = − + + + − − +

Gráfico: Seja o Sinal ( )G ω : Então:

-20 -10 0 10 20

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

ω

Re{ΦNBFM

(ω)}

ωc -ω

c

πA πA

-20 -10 0 10 20

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

w

Im{ΦNBFM(ω)}

ωc

-ωc

AK F/2

-AKF/2

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

ω

G ( ω )



• Geração de Sinais PM e FM de Banda Estreita

Sistema Armstrong p/ geração NBFM:


( ) cos( ) ( )sin( )NBFM c F ct A t AK g t tϕ ω ω= −0

( ) ( )t

g t f dτ τ= ∫

Defasador 90o

∫( )f t ( )NBFM tϕX +

+

-

( ) .cos( )cp t A tω=

.sin( )cA tω

Defasador 90o

( )f t ( )NBPM tϕX +

+

-


.sin( )cA tω



3.3.2. FM de Faixa Larga (FM) Seja: ( ) .cos( )mf t a tω= Temos:

[ ]( ) .cos sin( )FM c mt A t tϕ ω β ω= + Onde: . F

m

a Kβ

ω=

ou

sin( )ˆ ( ) . .c mj t j t

FM t A e eω β ωϕ =

A exponencial sin( )mj te β ω

é uma função periódica com período 2

mT π

ω= e pode ser expandida

em Série de Fourier:

sin( ) .m mj t jn tn

n

e F eβ ω ω+∞

=−∞

= ∑

onde Fn são os coeficientes da Série Exponencial de Fourier, calculados por: / 2

sin( )

/ 2

1. .m m

Tj t jn t

nT

F e e dtT

β ω ω−

−

= ∫

Fazendo: mm m

x dxt x t e dtω

ω ω= ⇒ = =

Limites da Integral:

22 2 2.

22 2 2.

m m

m

m m

m

TTt x

TTt x

ω ω ππ

ω

ω ω ππ

ω

= = = =

− −= − = = = −

Logo:

sin( )1. .j x jnx

nm

dxF e e

T

πβ

π ω−

−

= ∫

( )sin( )1.

2j x nx

nF e dxπ

β

ππ−

−

= ∫

Esta integral pode ser calculada em termos dos parâmetros n e β e já existe tabulada. É denotada por ( )nJ β , Função de Bessel de Primeira Espécie e ordem n. Logo:

( )sin( ) .m mj t jn tn

n

e J eβ ω ωβ+∞

=−∞

= ∑



• Propriedades das Funções ( )nJ β :

1) ( )nJ β são números reais

2) ( ) ( )n nJ Jβ β−= para n par

3) ( ) ( )n nJ Jβ β−= − para n ímpar

4) ( ) 21n

n

J β+∞

=−∞

= ∑

-15 -10 -5 0 5 10 15-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

β

Funções de Bessel de Primeira Espécie

J0(β)

J1(β)J

2(β)

J3(β)J

4(β)

J5(β)

β [rad] J0 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 J10 J11 J12 J13 J14 J15 0.0 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.2 0.9900 0.0100 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.5 0.9384 0.2422 0.0306 0.0020 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0 0.7651 0.4400 0.1149 0.0195 0.0020 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.5 0.5118 0.5579 0.2320 0.0690 0.0117 0.0010 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2.0 0.2238 0.5767 0.3528 0.1289 0.0339 0.0070 0.0010 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2.5 -0.048 0.4970 0.4460 0.2166 0.0737 0.0195 0.0040 0.0007 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 3.0 -0.260 0.3390 0.4860 0.3090 0.1320 0.0430 0.0113 0.0020 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 3.5 -0.380 0.1373 0.4586 0.3867 0.2044 0.0804 0.0254 0.0060 0.0010 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 4.0 -0.397 -0.066 0.3641 0.4301 0.2811 0.1320 0.0490 0.0151 0.0040 0.0009 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 4.5 -0.320 -0.231 0.2178 0.4247 0.3484 0.1947 0.0842 0.0300 0.0090 0.0020 0.0005 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 5.0 -0.177 -0.327 0.0465 0.3648 0.3912 0.2611 0.1310 0.0533 0.0184 0.0050 0.0010 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 5.5 -0.007 -0.341 -0.117 0.2561 0.3967 0.3209 0.1867 0.0866 0.0336 0.0113 0.0030 0.0008 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 6.0 0.1506 -0.276 -0.242 0.1147 0.3576 0.3620 0.2458 0.1295 0.0565 0.0211 0.0060 0.0020 0.0005 0.0001 0.0000 0.0000 6.5 0.2600 -0.153 -0.307 -0.035 0.2743 0.3735 0.2999 0.1801 0.0880 0.0365 0.0132 0.0040 0.0010 0.0003 0.0000 0.0000 7.0 0.3000 -0.005 -0.301 -0.167 0.1577 0.3478 0.3391 0.2335 0.1279 0.0589 0.0235 0.0080 0.0020 0.0007 0.0002 0.0000 7.5 0.2663 0.1352 -0.230 -0.258 0.0238 0.2834 0.3541 0.2831 0.1744 0.0889 0.0389 0.0150 0.0050 0.0010 0.0004 0.0000 8.0 0.1716 0.2346 -0.112 -0.291 -0.105 0.1857 0.3375 0.3205 0.2234 0.1263 0.0607 0.0255 0.0090 0.0030 0.0010 0.0002 8.5 0.0419 0.2731 0.0223 -0.262 -0.207 0.0671 0.2866 0.3375 0.2693 0.1694 0.0894 0.0410 0.0166 0.0060 0.0020 0.0006 9.0 -0.090 0.2453 0.1448 -0.180 -0.265 -0.055 0.2043 0.3274 0.3050 0.2148 0.1246 0.0622 0.0273 0.0108 0.0030 0.0010 9.5 -0.193 0.1612 0.2278 -0.065 -0.269 -0.161 0.0993 0.2867 0.3232 0.2577 0.1650 0.0896 0.0426 0.0181 0.0060 0.0020 10.0 -0.245 0.0434 0.2546 0.0583 -0.219 -0.234 -0.014 0.2167 0.3178 0.2918 0.2074 0.1231 0.0633 0.0289 0.0119 0.0040 10.5 -0.286 -0.078 0.2216 0.1632 -0.128 -0.261 -0.120 0.1235 0.2850 0.3108 0.2477 0.1610 0.0897 0.0441 0.0194 0.0070 11.0 -0.171 -0.176 0.1390 0.2273 -0.015 -0.238 -0.201 0.0183 0.2249 0.3088 0.2804 0.2010 0.1215 0.0642 0.0303 0.0130 11.5 -0.067 -0.228 0.0279 0.2381 0.0962 -0.171 -0.245 -0.084 0.1420 0.2822 0.2997 0.2390 0.1575 0.0897 0.0453 0.0206 12.0 0.0477 -0.223 -0.084 0.1952 0.1825 -0.073 -0.243 -0.170 0.0451 0.2303 0.3004 0.2704 0.1952 0.1201 0.0650 0.0316 12.5 0.1469 -0.165 -0.173 0.1103 0.2262 0.0345 -0.198 -0.225 -0.053 0.1561 0.2788 0.2899 0.2312 0.1542 0.0896 0.0464 13.0 0.2074 -0.071 -0.218 0.0040 0.2196 0.1306 -0.118 -0.239 -0.140 0.0665 0.2336 0.2929 0.2609 0.1900 0.1190 0.0657 13.5 0.2169 0.0325 -0.211 -0.095 0.1664 0.1937 -0.019 -0.211 -0.202 -0.029 0.1667 0.2762 0.2789 0.2239 0.1523 0.0896 14.0 0.1789 0.1123 -0.159 -0.157 0.0826 0.2050 0.0762 -0.139 -0.228 -0.121 0.0828 0.2399 0.2777 0.2514 0.1892 0.1184



Então:

( )

( )

sin( )

( )

ˆ ( ) . .

ˆ ( ) . . .

ˆ ( ) . .

c m

c m

c m

j t j tFM

j t jn tFM n

n

j n tFM n

n

t A e e

t A e J e

t A J e

ω β ω

ω ω

ω ω

ϕ

ϕ β

ϕ β

+∞

=−∞

+∞+

=−∞

=

=

=

∑

∑

Logo : ( ) [ ]( ) . .cos ( )FM n c mn

t A J n tϕ β ω ω+∞

=−∞

= +∑

( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]

0 1 2 3

1 2 3

.cos .cos ( ) .cos ( 2 ) .cos ( 3 ) ...( ) .

.cos ( ) .cos ( 2 ) .cos ( 3 ) ...c c m c m c m

FMc m c m c m

J t J t J t J tt A

J t J t J t

β ω β ω ω β ω ω β ω ωϕ

β ω ω β ω ω β ω ω− − −

+ + + + + + + = + − + − + − +

Usando as propriedades:

( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]

0 1 2 3

1 2 3

.cos .cos ( ) .cos ( 2 ) .cos ( 3 ) ...( ) .

.cos ( ) .cos ( 2 ) .cos ( 3 ) ...c c m c m c m

FMc m c m c m

J t J t J t J tt A

J t J t J t

β ω β ω ω β ω ω β ω ωϕ

β ω ω β ω ω β ω ω

+ + + + + + + = − − + − − − +

As constantes ( )nJ β podem ser obtidas de tabela ou calculadas pela HP48 (necessita programa).



Ex.: Dada a portadora ( ) .cos( )cp t A tω= e o sinal de informação ( ) .cos( )mf t a tω= , o sinal modulado em FM com índice de modulação 1β = será:

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8ΦFM

(ω)

ω

J0(1)

J1(1)

J2(1)

-J1(1)

J2(1)

J3(1)

ωc

ωc+ωm

ωc-ωm

ωc+2ωm

ωc-2ωm

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

0.7651cos 0.4400cos ( ) 0.1149cos ( 2 ) 0.0195cos ( 3 ) 0.0020cos ( 4 ) ...( ) .

0.4400cos ( ) 0.1149cos ( 2 ) 0.0195.cos ( 3 ) 0.0020cos ( 4 ) ...c c m c m c m c m

FMc m c m c m c m

t t t t tt A

t t t t

ω ω ω ω ω ω ω ω ωϕ

ω ω ω ω ω ω ω ω

+ + + + + + + + + = − − + − − − + + +



Observações:

- As amplitudes das raias espectrais decaem com o incremento de n - O espaçamento entre cada raia é igual à mω (frequência do sinal modulante, informação).

- O termo correspondente à portadora é ponderado por ( )0J β .

Conclusões:

• A largura de faixa ocupada por um sinal FM é função do índice de modulação . F

m m

a K ωβ

ω ω∆

= = (para ( ) .cos( )mf t a tω= ), o qual depende da amplitude e da frequência

do sinal modulante. • Para 0.2β < , somente ( )0J β e ( )1J β possuem valores significativos, de modo que apenas

a portadora e as faixas laterais de 1a ordem são significativas → FM de Faixa Estreita.

Então: 2 mW ω=

-100 -50 0 50 100-10

-5

0

5

10

ω

ΦNBFM

(ω)

ωc -ω

c ω

c+ωm

ωc-ω

m

-ωc-ω

m

-ωc+ω

m

πA π A

π Aβ/2 π Aβ/2

-π Aβ/2 -π Aβ/2



• Modulação FM de Sinais contendo várias freqüências

Seja : 1 1 2 2( ) cos( ) cos( )f t a t a tω ω= + Temos então que:

[ ]1 1 2 2

( ) ( )

( ) cos( ) cos( )i c F

i c F

t t K f t

t t K a t a t

ω ω

ω ω ω ω

= +

= + +

O máximo desvio de frequência deste sinal é: 1 2( ) Fa a Kω∆ = + E o ângulo pode ser calculado como:

[ ]{ }1 1 2 20 0

( ) ( ) cos( ) cos( )t t

i c Ft d K a t a t dθ ω τ τ ω ω ω τ= = + +∫ ∫

1 21 2

1 2

( ) sin( ) sin( )F Fc

a K a Kt t t tθ ω ω ω

ω ω= + +

Chamando: 1 2

1 21 2

F Fa K a Kβ β

ω ω= =

Podemos escrever:

1 1 2 2( ) sin( ) sin( )ct t t tθ ω β ω β ω= + +

Expressão Geral do Sinal FM: ( )ˆ ( ) . j t

FM t A e θϕ = [ ]1 1 2 2

1 1 2 2

sin( ) sin( )

sin( ) sin( )

ˆ ( ) .

ˆ ( ) . . .

c

c

j t t tFM

j t j t j tFM

t A e

t A e e e

ω β ω β ω

ω β ω β ω

ϕ

ϕ

+ +=

=

Expandindo as exponenciais em Série de Fourier: ( )sin( ) .m mj t jn tn

n

e J eβ ω ωβ+∞

=−∞

= ∑

Temos:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

ˆ ( ) . . . .

ˆ ( ) . .

ˆ ( ) .

c

c

c

j t jn t jk tFM n k

n k

j n k tj tFM n k

n k

j n k tFM n k

n k

t A e J e J e

t A e J J e

t A J J e

ω ω ω

ω ωω

ω ω ω

ϕ β β

ϕ β β

ϕ β β

+∞ +∞

=−∞ =−∞

+∞ +∞+

=−∞ =−∞

+∞ +∞+ +

=−∞ =−∞

= ⋅

=

=

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑



Sabendo que : { }ˆ( ) Re ( )FM FMt tϕ ϕ=

( ) ( ) ( )1 2 1 2( ) . cosFM n k cn k

t A J J n k tϕ β β ω ω ω+∞ +∞

=−∞ =−∞

= + + ∑ ∑

Conclusões: - Quando o Sinal f(t) possui duas frequências, o espectro do sinal FM possuirá, além das faixas

1( )c nω ω± e 2( )c kω ω± , correspondentes às frequências 1ω e 2ω , as faixas correspondentes à

modulação cruzada (intermodulação) 1 2( )c n kω ω ω± ± . Diferente do que acontece na modulação AM.

Logo: AM → Sistema Linear FM → Sistema Não-Linear

• Largura de Banda do Sinal FM

De acordo com a definição da largura de banda de um sinal: W é a largura de banda tal que contenha 98% da Energia/Potência do sinal.

Logo podemos definir maxn tal que: ( ) 20,98

max

max

n

nn n

J β=−

≥∑

Uma possível aproximação é adotarmos a maior ordem tal que: ( ) 0,01maxnJ β >

Dados: B: Largura de Banda em Hz W: Largura de Banda em rad/s fm: Maior frequência do sinal f(t) em Hz ωm: Maior frequência do sinal f(t) em rad/s

2 .f π ω∆ = ∆ : Desvio de frequência em Hz ∆ω: Desvio de frequêcia em rad/s Podemos calcular as larguras de banda como:

Suponhamos amplitude máxima do sinal f(t): ( )

maxa f t=

Lembrando: . Fa Kω∆ = m m

ff

ωβ

ω∆ ∆

= =

Logo:

2. . 2. .max maxf

B n W nω

β β∆ ∆

= =

ou então: 2 maxnW B

fω β= =

∆ ∆

2. .max mB n f= 2. .max mW n ω=



Do Exemplo Anterior: Qual a largura de banda quando se modula uma portadora ( ) .cos( )cp t A tω= com o sinal

( ) .cos( )mf t a tω= , em FM com índice de modulação 1β = .

Largura de banda de um sinal: frequência para que se tenha 98% da Potência.

Da propriedade 4) ( ) 21n

n

J β+∞

=−∞

= ∑

Isto significa que a modulação FM, não altera a energia total do sinal da portadora, apenas sua distribuição espectral! Logo a largura de banda pode ser calculada: 2. .max mW n ω=

onde nmax é tal que: ( ) 20.98

max

max

n

nn n

J β+

=−

= ∑

No nosso exemplo: 2 2 20.7651 2 0.44 2 0.1149 0.9989+ × + × = logo 2maxn = e 4 mW ω=

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8ΦFM

(ω)

ω

J0(1)

J1(1)

J2(1)

-J1(1)

J2(1)

J3(1)

ωc

ωc+ωm

ωc-ωm

ωc+2ωm

ωc-2ωm

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

0.7651cos 0.4400cos ( ) 0.1149cos ( 2 ) 0.0195cos ( 3 ) 0.0020cos ( 4 ) ...( ) .

0.4400cos ( ) 0.1149cos ( 2 ) 0.0195.cos ( 3 ) 0.0020cos ( 4 ) ...c c m c m c m c m

FMc m c m c m c m

t t t t tt A

t t t t

ω ω ω ω ω ω ω ω ωϕ

ω ω ω ω ω ω ω ω

+ + + + + + + + + = − − + − − − + + +



Ex. 2: para o caso de termos: 1 1 2 2( ) cos( ) cos( )f t a t a tω ω= + Com 1 0,2β = e 2 0,2β = .

Vimos que: ( ) ( ) ( )1 2 1 2( ) . cosFM n k cn k

t A J J n k tϕ β β ω ω ω+∞ +∞

=−∞ =−∞

= + + ∑ ∑

Como: 0 1 2 3(0.2) 0.9900 (0.2) 0.0995 (0.2) 0.00498 (0.2) 0.000166J J J J= = = = Consideraremos apenas os termos 0 e 1 devido à 2 (0.2) 0.00498 0.01J = <

( ) ( ) [ ]{( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]

( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]

1 1 1 2 1 2

1 1 0 2 1

1 1 1 2 1 2

0 1 1 2 2

0 1 0 2

0 1 1 2 2

1 1 1 2 1 2

1 1 0 2 1

( ) . .cos ( )

.cos ( 0)

.cos ( )

.cos ( 0 )

.cos ( 0 0)

.cos ( 0 )

.cos ( )

.cos ( 0)

FM c

c

c

c

c

c

c

c

t A J J t

J J t

J J t

J J t

J J t

J J t

J J t

J J t

ϕ β β ω ω ω

β β ω ω

β β ω ω ω

β β ω ω

β β ω

β β ω ω

β β ω ω ω

β β ω ω

− −

−

−

−

−

= − − +

− + +

− + +

+ − +

+ + +

+ + +

+ − +

+ +

( ) ( ) [ ]}1 1 1 2 1 2.cos ( )cJ J tβ β ω ω ω

+

+ +

Usando a Propriedade: ( ) ( )1 1J Jβ β−= − e neste exemplo: 1 2β β β= = Podemos simplificar a expressão:

( ) [ ]{ ( ) [ ]( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]( ) [ ] ( ) [ ]

( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]( ) [ ]}

2 21 1 2 1 1 2

1 0 1 1 0 1

2 21 1 2 1 1 2

1 0 2 1 0 2

20

( ) . .cos ( ) .cos ( )

.cos ( ) .cos ( )

.cos ( ) .cos ( )

.cos ( ) .cos ( )

.cos

FM c c

c c

c c

c c

c

t A J t J t

J J t J J t

J t J t

J J t J J t

J t

ϕ β ω ω ω β ω ω ω

β β ω ω β β ω ω

β ω ω ω β ω ω ω


β ω

= − − + + + −

− − + + −

− − + − + − −

− + + +



( ) [ ]{ ( ) [ ]( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]( ) [ ] ( ) [ ]

( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]( ) [ ]}

2 21 1 2 1 1 2

1 0 1 1 0 1

2 21 1 2 1 1 2

1 0 2 1 0 2

20

( ) . .cos ( ) .cos ( )

.cos ( ) .cos ( )

.cos ( ) .cos ( )

.cos ( ) .cos ( )

.cos

FM c c

c c

c c

c c

c

t A J t J t

J J t J J t

J t J t

J J t J J t

J t

ϕ β ω ω ω β ω ω ω


β ω ω ω β ω ω ω


β ω

= − − + + + −

− − + + −

− − + − + − −

− + + +

Onde: 2 2

0 1 0 1(0.2) 0.9801 (0.2) (0.2) 0.0985 (0.2) 0.0099J J J J= = = Obs.: A Largura de banda do sinal composto por 2 frequências (ω1 , ω2) modulada em NBFM (β=0.2) é determinada pela maior frequência do sinal: 1 2max{ , }mω ω ω= Se β for maior, FM faixa larga, há o aparecimento das intermodulações que aumentam a largura de banda necessária à transmissão. Sendo necessário calcular o nmax, para aplicar nas equações da largura de banda pelas vistas anteriormente.

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2ΦNBFM(ω)

ω

ωc+ω1+ω2

ωc-(ω1+ω2) ωc+ω2

ωc+ω1

ωc+(ω

1-ω

2)

ωc

ωc+(ω

2-ω

1)

ωc-ω

1ω

c-ω

2

-ωc

2. .max mB n f= 2. .max mW n ω=



• Aproximações para nmax

Carson em 18antigamente estudou a influência do índice de modulação na largura de banda do

sinal FM e propôs uma formulação empírica para nmax.

Regra de Carson: 1maxn β= + Utilizando esta aproximação tem-se:

( )

2

2 1

2 2

max m

mm

m mm

W n

W

W

ωω

β ω βω

ωω ω

ω

=∆

= + =

∆= +

Logo: 2 2 mW ω ω= ∆ + Uma aproximação mais precisa, que despreza menos raias espectrais é dada por:

2maxn β= + O que implica: 2 4 mW ω ω= ∆ + Conclusão: Como: O desvio máximo de frequência é dado por ( )F max

K f tω∆ = A Largura de Banda de um sinal FM depende da Máxima Amplitude do sinal, da Constante de Conversão FK e da máxima frequência do sinal mω .



Exemplos:

1) FM Comercial: Foi definido por norma internacional (FCC – Federal Communication Comission www.fcc.gov )que 75f kHz∆ =

Faixa de frequências alocadas no Brasil: 88MHz a 108MHz Banda de frequências do sinal de áudio: 50Hz a 15kHz Logo:

75

515m

f kf k

β∆

= = =

Estimativa da largura de banda usando as aproximações:

• Carson: 2 2 2 75 2 15 180mB f f k k kHz= ∆ + = × + × = • 2maxn β= + : 2 4 2 75 4 15 210mB f f k k kHz= ∆ + = × + × =

A Faixa de 88 a 108MHz é dividida em porções de 200kHz.

Idealmente, esta faixa permitiria: 108 88

100200M M

k−

= estações de rádio

Porém evita-se que duas emissoras ocupem faixas vizinhas. Para prevenir interferências de uma estação na outra e para permitir a transmissão de sinais de áudio estéreo.

2) Sinal de Áudio de TV

FM 25

15m

f kHz

f kHz

∆ =

=

Largura de Banda:

• Carson: 2 2 2 25 2 15 80mB f f k k kHz= ∆ + = × + × = • 2maxn β= + : 2 4 2 25 4 15 110mB f f k k kHz= ∆ + = × + × =

108MHz 88MHz 94.1MHz 94.5MHz

Transamérica 200kHz



• Potência do Sinal FM Dado o sinal de informação: ( ) .cos( )mf t a tω= Vimos que o sinal modulado FM correspondente é dado por:

[ ]( ) .cos sin( )FM c mt A t tϕ ω β ω= + Lembrando:

( )/ 2 / 2

220 0

/ 2 / 2

2

1 1 2( ) .cos( )

2

T T

f TT T

f

P f t dt A t dtT T T

AP

πω ω

− −

= = =

=

∫ ∫

A Potência não depende da frequência do sinal, apenas de sua amplitude.

Logo podemos concluir que a potência do sinal ( )FM tϕ será: 2

2FM

AP =

Independente do sinal de informação.

Sabendo que a portadora é: ( ) .cos( )cp t A tω= cuja potência é: 2

. 2portA

P =

Conclusões:

- a Potência de um sinal de FM é constante e igual à potência da portadora. Independente do índice de modulação β . Isto ocorre devido ao fato do sinal FM possuir amplitude constante. Lembrando que para sinais AM, a potência total depende do índice de modulação m.

- O índice de modulação β , define a distribuição da potência entre a portadora e as faixas

laterais. - Pode-se tornar a potência da raia espectral correspondente à portadora tão pequena quanto se

queira, através de uma escolha conveniente do índice de modulação. Nesta situação a maior parte da potência estará nas faixas laterais (informação) e a eficiência da transmissão pode ser tão próxima de 100% quanto se queira. Ex.: Fazendo ( )02.405 5.52 0ou Jβ β β= = ⇒ =



Geração de Sinais de FM

1) FM Indireto Procedimento: Integra-se o sinal de informação e modula-se em fase a portadora. Obtem-se um sinal FM de faixa estreita, o qual é convertido em FM de faixa larga através de um multiplicador de frequência, que aumenta o índice de modulação. Multiplicador de Frequência: Dispositivo não–linear que multiplica a frequência do sinal de entrada. Ex.: Dado o sinal ( ) .cos( )mf t a tω= e seu correspondente sinal NBFM

[ ]( ) .cos sin( )NBFM c mt A t tϕ ω β ω= + com β pequeno Ex. de Implementação 1 : Dispositivo de Lei Quadrática

Se: [ ]( ) ( ) .cos sin( )NBFM c mx t t A t tϕ ω β ω= = +

Então: [ ]{ } [ ]2 2

2( ) .cos sin( ) cos 2 2 sin( )

2 2c m c mA A

y t A t t t tω β ω ω β ω= + = + +

Filtrando-se o nível DC, obtem-se um sinal de FM com a frequência da portadora e o índice de modulação multiplicados por 2. Se o dispositivo for de Lei enésima → Multiplica-se por N Ex. de Implementação 2: Usando PLL (Phase Locked Loop) visto mais adiante.

Multiplicador de freq. ×N 0 0cos( )tω φ+ 0 0cos( )N t Nω φ+

×N ( )NBFM tϕ [ ]( ) .cos sin( )FM c mt A N t N tϕ ω β ω= +

y=x2 ( )x t 2( ) ( )y t x t=

Modulador PM ∫( )f t ( )FM tϕ

( )p t

×N Filtro PF

( )NBFM tϕ



Exemplo: Transmissor de FM indireto tipo Armstrong Dado o diagrama em blocos abaixo e as características do sinal 1( )tϕ , calcule a frequência da portadora, desvio de frequência e o índice de modulação dos sinais 2 ( )tϕ , 3( )tϕ e 4 ( )tϕ . Obs.: Conversor de frequência: Circuito que multiplica o sinal de entrada por uma sub-portadora (sinal cossenoidal local) seguido de um filtro passa-baixas de frequência de corte igual a frequência desta sub-portadora. Serve para alterarmos a frequência central sem alterar os demais parâmetros de modulação.

1

200

( ) 250,5

cf kHz

t f Hzϕβ

=

= ∆ = =

2

12,8

( ) 1,632

cf MHz

t f kHzϕβ

=

= ∆ = =

3

1,9

( ) 1,632

cf MHz

t f kHzϕβ

=

= ∆ = =

1

91,2

( ) 76,81536

cf MHz

t f kHzϕβ

=

= ∆ = =

Exercício: Você dispõe de um cristal que oscila a 3,75MHz. Projete um diagrama de blocos de um transmissor FM para áudio (50 a 15kHz), sabendo que deseja-se ocupar a faixa de 97,5MHz da banda comercial, 75f kHz∆ = . O sinal de entrada possui amplitude máxima de 15Volts e o circuito modulador PM possui 31,25 V

F radK = . Calcule a combinação de multiplicadores de frequência e conversores de frequência que efetue essa tarefa.

Defasador90o

∫( )f t X + +

-


.sin( )cA tω

×64 Conversor ×48

1( )tϕ 2 ( )tϕ 3( )tϕ 4 ( )tϕ

1 1( ) cos( )cp t tω=Amplificador

Antena

10,9MHz

200kHz



2) FM Direto O sinal de informação ( )f t varia diretamente a frequência da portadora. Exemplo: Oscilador eletrônico com circuito tanque LC.

Frequência de Oscilação: 1

iLC

ω =

Variando-se o valor de L ou C de acordo com f(t), a frequência instantânea do oscilador

também varia com f(t). Supondo que o valor do capacitor varie da seguinte forma:

0 00

. ( ) 1 ( )a

C C a f t C f tC

= + = +

Logo:

00

00

1 1 1

1 ( )1 ( )i LC aa f tLC f t CC

ω = = ⋅ ++

Expandindo a função em Série de Taylor: ( )

2 31/2

1 1 1 3 1 3 51 ...

2 2 4 2 4 61x x x

x

⋅ ⋅ ⋅= − + − +

⋅ ⋅ ⋅+

Se 0

( ) 1a

f tC

=

Logo: 1/20

0

11 ( )

21 ( )

af t

Caf t

C

= −

+

e 00

11 ( )

2ia

f tCLC

ω

= ⋅ −

Definindo: 0

1c

LCω = e

02c

Fa

KCω

= −

Temos: ( ) ( )i c Ft K f tω ω= + Frequência instantânea do sinal FM

C Circuito

0

Vo(t)

L



• Modulador com Diodo de Reatância Variável (Varicap ou Varactor)

Diodo Varicap: ex.: 1N5139 a 1N5148 A capacitância do Varicap é função da tensão de Polarização Reversa (Vr) aplicada nos seus terminais. O varicap é um diodo dopado de tal forma que, ao ser polarizado reversamente, faz com que a região de depleção da junção PN varie. Vr Maior Vr Menor Ex.: BB809 - Philips Usado em sintonia de VHF - Televisão

N

P

+

-

N

P

+

-

D1

D1N5148

+ - Vr



Exemplo de circuito: P1 → Polarização do Diodo Varicap C1 → Bloqueio DC de f(t) P2 → Sensibilidade (nível f(t) aplicado) L1 → Choque RF, para a portadora não atrapalhar a polarização L2,C2,Cd → Oscilador Hartley

12

iL C

ω =⋅

onde 22

C CdC

C Cd⋅

=+

Série de C2 e Cd

Como Cd<<C2 C Cd≅

Logo: 12

iL Cd

ω =⋅

e 0

12

cL C

ω =⋅

0

P12

1

C2

0

Vcc

C1

0

0

0

P22

1

Cd

L2

0

L1

0

( )f t

( )FM tϕ



• Modulação FM pelo Método Digital

Princípio: Filtragem da componente fundamental de uma onda quadrada. Osciladores baseados na carga e descarga de capacitores → Frequência é função da alimentação.

Ex.: Oscilador Astável com Transistor

Q2 e Q3 : Oscilador Astável Q1 : inverter f(t) Q4 e Q5 : fontes de correntes dependentes de f(t) Q6 : Desacoplar a saída L0 e C0 : Filtro passa-faixas sintonizado na frequência da portadora (1a harmônica) P1: Ajusta o valor de polarização das fontes de corrente → Frequência da Portadora Obs.: Qualquer oscilador cuja frequência depende de uma tensão de controle é chamado de VCO (Voltage Controlled Oscillator)

Q2C0

0

P1

2

1

Vcc

Q5

Q6

Rc

Cb

Q3

Cb

L0

Rc

Q1

Q4

( )f t

( )FM tϕ



Demodulação de Sinais FM

Objetivo: Recuperar ( )f t a partir de ( )FM tϕ . 1) Discriminador de Frequências

Circuito que converte, linearmente, variações de frequência em variações de amplitude. Deste modo, um sinal Fm é convertido para um pseudo sinal AM, que pode ser demodulado por

um detector de envoltória. Ex.: Discriminador: Quanto maior a frequência → maior a amplitude do sinal de saída Logo: é um FILTRO !!!

-5

0

5

10

15

20

Mag

nitu

de (

dB)

100

101

89

89.5

90

90.5

91

Pha

se (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

( )H ω

H(ω) Detector de envoltória ( )FM tϕ ( )f t

, ( )AMFM tϕ

0 5 10 15 20

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

f(t)

0 5 10 15 20

-1

-0.5

0

0.5

1

t

φFM

(t)

0 5 10 15 20

-3

-2

-1

0

1

2

3

t

φAM,FM

(t)



Tipos de Discriminadores

a) Diferenciador

( )( ) ( ). ( ) . ( )

dx tY H X j X

dtω ω ω ω ω = = =

F

Logo: Resposta em Frequência do diferenciador:

( )

( ) /2, 0( )

/ 2 0

H

H j

ω ω

ω ω π ωθ ω

π ω

=

= = > = − <

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

1

2

3

4

5

6

ω

|H(ω)|=|ω|

Logo: demodulador FM Análise:

[ ]( ) .cos ( )FM t A tϕ θ= onde: 0

( ) ( ).t

c Ft t K f dθ ω τ τ= + ∫

Assim: [ ] [ ]

,

( ) cos ( )( ) FM

A M F M

d t d A tt

dt dt

ϕ θϕ = =

[ ] [ ],0

( )( ) .sin ( ) . sin ( ) . ( ).

t

A M F M c F

d t dt A t A t t K f d

dt dtθ

ϕ θ θ ω τ τ

= − = − +

∫

[ ] [ ], ( ) .sin ( ) . ( )A M F M c Ft A t K f tϕ θ ω= − +

[ ] [ ], ( ) . ( ) .sin ( )AM FM c Ft A K f t tϕ ω θ= − + Sinal modulado em amplitude E frequência

ddt

( )H ω( )

( )Xx t

ω( )

( )( )

Y

dx ty t

dt

ω

=

ddt

( )FM tϕ, ( )A M F M tϕ

Detector de envoltória

( )y t

Envoltória AM

Ângulo FM



Saída do detector de envoltória:

[ ]( ) . ( )c Fy t A K f tω= − +

( ) . ( )c Fy t A AK f tω= − −

b) Discriminador RC

Resposta em frequência: 1

.( )

1j C

R RC jH

R j RCω

ωω

ω= =

+ +

Para baixas frequências, . 1RCω = , o circuito se comporta como um diferenciador.

Se: 1RCω = , 1RCω = ⇒ ( )H j RCω ω≅

Resolução: 20dB/década Circuito Completo:

Nível DC filtrar

Sinal proporcional a f(t)

( )( )

Xx t

ω ( )( )

Yy t

ω

0

R100

C

10p5p

Diferenciador Detector de envoltória

R

0

C D

Ce

C2

Re

Bloqueio DC

( )FM tϕ

, ( )AMFM tϕ

. ( )K f t



c) Discriminador Sintonizado (detector de inclinação)

Resposta em frequência: ( )Z

HZ R

ω =+

onde 12

//( ) 1j C

j LZ j L

j LCω

ωω

ω= =

+

Logo: 2

1

( )1 1

( )

jRCH

j jRC LC

ωω

ω ω=

+ +

- O circuito comporta-se como um diferenciador na região linear.

- O circuito sintonizado LC, 1

rLC

ω = , deve ser projetado de modo que cω caia na região

linear. Implementação com transformador de RF:

( )( )

Xx t

ω ( )( )

Yy t

ωL

.633u

R1k

C1p

Co

Ce

D

L ReC( )FM tϕ

, ( )AMFM tϕ

. ( )K f t



d) Discriminador Balanceado

11 1

1L C

ω = 22 2

1L C

ω = 1

cLC

ω =

0 1 2( ) ( ) ( )e t e t e t= −

Vantagens: Desvantagens: - Maior região linear - Necessita ajustar 3 circuitos ressonantes - Alto Ganho - Não necessita bloqueio DC Outros Discriminadores: - Detector de Relação - Detector Foster-Seeley Outros Demoduladores de FM: - Demodulação pelo Método Digital (incluir p/ próximo semestre) - PLL (visto adiante)

( )FM tϕe1(t)

e2(t)

e0(t)

+

-

+

+

-

- -

+

C

Rd2

Cd1

D1

Cd2

D2

Rd1C1L1L

L2C2

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.5

0

0.5

1

ω

H1(ω)

ω1

ω2

H2(ω)

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.5

0

0.5

1

ω

H1(ω)-H

2(ω)

ω1 ω

2 ω

c



Ruído em Sistemas FM

Supondo que o ruído introduzido pelo canal de comunicação seja branco, vamos analisar o que acontece com sua densidade espectral de potência quando aplicado ao Diferenciador:

2

1( ) 1nS ω = 2

2 1( ) ( )n nS S Hω ω=

Como: 2 2( ) ( )H j Hω ω ω ω= =

Assim: 2 2 2

2 ( ) 1nS ω ω ω= ⋅ =

Logo o diferenciador dá ganho maior para frequências maiores, aumentado a potência do ruído no receptor para estas altas frequências. Se o sinal de informação for áudio ou voz, sua densidade espectral possui baixos valores para altas frequências. Conclusão: A relação Sinal-Ruído é muito baixa nas altas frequências do sinal de áudio, pois o sinal é mais baixo onde o ruído é mais alto, causando distorção do sinal demodulado.

n(t)

Modulador FM +

Diferenciador ( )H jω ω=

Detector de Envoltória

Filtro Passa-Baixas: ωm

f(t) ( )FM tϕ

Transmissor Receptor

� �

-10 -5 0 5 100

20

40

60

80

100

ω

Sn2(ω)

mω− mω

-10 -5 0 5 10-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

ω

Sn1

(ω)



Pré-Enfase e De-ênfase

- Pré-Enfase: Reforça as componentes de alta frequência do sinal de informação f(t). - De-ênfase: Restaura as componentes de alta frequência do sinal ao seu nível original, além

de reduzir a densidade espectral de ruído nas altas frequências Objetivo: Melhorar a relação Sinal-Ruído do sinal demodulado.

Exemplo de redes: Pré-enfase:

1

12 2

1 111

22 11 211

( )1

( // )1

R C

j C

j C

jR RH

RRjRR

R R Cj CRRω

ω

ωω

ωω

+= = =⋅ +++ ++

11

1R C

ω = frequência do Zero

21 2

1( // )R R C

ω = frequência do pólo

Norma FCC americana: 1 2,122f kHz= 2 30f kHz> De-ênfase:

1

1

11

2 1 11

( ) R Cj C

j C R C

HR j

ω

ω

ωω

= =+ +

11

1R C

ω = frequência do Pólo

Norma FCC americana: 1 2,122f kHz=

2( )H f 1( )H f

11

12

fR Cπ

= 2

1 2

12 ( // )

fR R Cπ

=

R1 75k

C1 1n

R24.7k

0

0

C1

1n

R1 75k



Receptor FM Super-Heródino Monofônico

Amplificador e Filtro de RF: Sintoniza através de um capacitor variável a estação de rádio.

Oscilador Local: Gera uma frequência 10,7MHz acima da frequência sintonizada pela etapa de RF

Misturador: Efetua a heterodinização (multiplicação), de modo que na saída o sinal esteja sempre a 10,7MHz.

Limitador: Limita a amplitude do sinal modulado FM

Detector FM: Realiza a demodulação do sinal FM.

De-ênfase: restaura as altas frequências aos seus níveis normais e reduz o nível de ruído

Amplificador de Áudio: Etapa de amplificação do sinal de áudio para o alto-falante

CAF: Controle Automático de Frequência, ajusta automaticamente a frequência do oscilador local (através da polarização do diodo varicap) para melhor recepção.

CAG: Controle Automático de Ganho, ajusta automaticamente o ganho da etapa de amplificação RF.

O circuito eletrônico pode ser visto no livro: Telecomunicações, Juarez Nascimento.

Amplificador e Filtro de RF

Misturador

Oscilador Local fc+10,7MHz

Amplificador de FI 10,7MHz

Limitador Detector FM

De-ênfase

CAF

CAG



FM Estéreo

Possibilita a transmissão e recepção de 2 canais de áudio independentes. Histórico: No início as transmissões FM eram feitas em monofônico, com a venda de milhares de radinhos. Com o advento da transmissão em estéreo surgiu o problema de como fazer com que os receptores antigos continuassem a receber a estação transmitindo em estéreo. Sinais: l(t) → canal esquerdo r(t) → canal direito

• Transmissor: Análise:

- Inicialmente os canais esquerdo l(t) e direito r(t) são pré-enfatizados e codificados matricialmente, gerando os sinais de soma ( ) ( )l t r t+ e diferença ( ) ( )l t r t−

Espectros: onde 2 15m kω π= × aúdio limitado em 15kHz

Sinais de Entrada: Saída do codificador matricial:

+

+

X

Oscilador

÷2 + Modulador

FM

Pré-ênfase

Pré-ênfase +

+

+

- 38kHz 19kHz

�

�

�

�

�

�

Codificador Matricial

l(t)

r(t)

ω ωm -ωm

L(ω) �

ω ωm -ωm

R(ω) �

ω ωm -ωm

L(ω)-R(ω) �

ω ωm -ωm

L(ω)+R(ω) �



- Os sinais soma ( ) ( )l t r t+ � e diferença ( ) ( )l t r t− � ocupam o mesmo lugar no espectro.

Desloca-se o espectro da diferença � usando modulação DSB-SC para a frequência de 38kHz.

- O sinal composto (“Stereo Multiplex”) é a soma do sinal soma ( ) ( )l t r t+ , do sinal diferença transaladado para 38kHz e mais um tom piloto de 19kHz. O tom piloto serve para gerar uma sub-portadora local no receptor, sincronizada com a transmissão, de modo a permitir a demodulação síncrona o sinal DSB-SC. Este sinal composto modula a portadora em frequência e é transmitido.

- A largura de Banda do sinal FM Estéreo:

dados: 53mf kHz= e 75f kHz∆ = Por Carson: 2 2 2 75 2 53 256mB f f k k kHz= × ∆ + × = × + × = Mais precisa 2n β= + : 2 4 2 75 4 53 362mB f f k k kHz= × ∆ + × = × + × = Logo a atitude de deixar uma posição vazia a cada 200kHz no espectro de 88 a 108MHz é também visando a transmissão estéreo.

f 53k 23k

[ ]{ }( ) ( ) cos(2 38 )L R k tω ω π− ⋅ ⋅F �

-23k -53k 38k -38k

f 53k 23k

Stereo Multiplex �

-23k -53k 38k -38k 19k -19k 15k -15k

Largura de Banda do sinal de informação FM estéreo: B=53kHz



• Receptor:

Análise: - Após a demodulação FM, o sinal obtido (stereo multiplex) é separado por filtragem.

f 53k 23k

Stereo Multiplex �

-23k -53k 38k -38k 19k -19k 15k -15k

f 15k -15k

L(ω)+R(ω) �

f 53k 23k

�

-23k -53k 38k -38k

f 19k -19k

tom piloto �

Demodulador FM

23k 53k 38k

f

Passa-Faixas

19k f

Passa-Faixas banda estreita

15k f

Passa-Baixas

X 15k f

Passa-Baixas

×2 De-ênfase

�

+

+

+

+

-

+

�

�

Decodificador Matricial

De-ênfase

�

�

�

� �

�

�

l(t)

r(t)



- O sinal diferença ( ) ( )l t r t− é transladado para sua posição original através da demodulação DSB-SC usando detecção síncrona, pelo uso da sub-portadora de38kHz gerada a partir do tom piloto de 19kHz.

- decodificação matricial:

[ ] [ ][ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )

l t r t l t r t l t

l t r t l t r t r t

+ + − =

+ − − =

- Após a decodificação matricial, os sinais l(t) e r(t) são de-enfatizados e amplificados separadamente, gerando os canais de áudio esquerdo e direito. Observações: - Se a recepção for monofônica, será reproduzido no alto falante o sinal soma l(t)+r(t), que é o sinal presente na banda de frequência de 0 a 15kHz. Logo os rádios monos podem receber transmissão estéreo. - Se a transmissão for monofônica, ambos os altos falantes reproduzirão o mesmo som, uma vez que o sinal l(t)-r(t) é igual a zero. Isto pode ser monitorado por um LED que acenda na presença do tom piloto de 19kHz. Logo os rádios estéreos podem receber transmissão monofônicas.

f 53k 23k

�

-23k -53k 38k -38k

f 38k -38k

sub-portadora � f

�

15k -15k 76k -76k

f

( ) ( )L Rω ω− �

15k -15k

Filtragem Passa-Baixas



PLL (Phase-Locked Loop) - Laço de Fase Amarrada

Histórico:

Os conceitos básicos empregados no circuito PLL foram desenvolvidos nos meados de 1930. Os circuitos eram caros e utilizados apenas em receptores de rádio de precisão. Com o avanço da microeletrônica, em 1960, surgiram os primeiros PLLs totalmente integrados, reduzindo seus custos e popularizando a técnica.

Diagrama de Blocos:

Componentes:

1) Comparador de Fase

Circuito cuja saída é proporcional à diferença de fase entre os sinais de entrada. Tipos: a) Analógico: Circuito Multiplicador

Análise: Seja 1 1cos( )V tω φ= + e 2 2cos( )V tω φ= +

Saída será: 1 2 1 1cos( ) cos( )dV V V t tω φ ω φ= × = + × +

[ ]1 2 1 21

cos( ) cos( ( ))2dV t t t tω φ ω φ ω φ ω φ= + + + + + − +

[ ]1 2 1 21

cos(2 ) cos( )2dV tω φ φ φ φ= + + + − Filtrando PB

[ ]1 21

cos( )2oV φ φ= − Logo saída do PB proporcional à diferença de fase

Comparador de fase

Filtro Passa-Baixas

VCO

Vi fi

Vd Vo

Vosc fosc

Comparador de fase

V1 V2

Vd

X V1

V2

Vd



b) Digital: Porta Lógica Ou-Exclusivo (XOR)

Outros: Comparador de Fase-Frequência – Ver Xerox

2) Filtro Passa-Baixas

Função: remover a alta frequência existente na saída do comparador de fase. Ex.: PB 1ª Ordem PB 2ª Ordem

Observação: Juntamente com o filtro pode ter um amplificador para adequar o sinal de saída deste ao nível de sinal necessário ao correto funcionamento do VCO.

V1 V2 Vd 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0

0

C1

1n

R1 75k

0

C1

1n

R1 75k

0

C1

1n

R1 75kVd Vd Vo Vo

V1

V2

Vd Vo

1

23 FPBVd

V1

V2



3) VCO – (Voltage Controlled Oscillator) – Oscilador Controlado por Tensão Função: Gerar, a partir de um sinal de tensão na sua entrada, uma sinal oscilatório de uma determinada frequência.

Nada mais é do que um modulador FM, podendo ser usados os circuitos vistos anteriormente.

Ex.: Modulador Digital com o Oscilador Astável.

Finalidades Básicas do PLL:

• Para um sinal de entrada Vi de frequência variável ⇒ Fazer com que o VCO produza um sinal Vosc cuja frequência siga a frequência de Vi, isto é, que mantenha i oscf f=

• Para um sinal de entrada Vi de frequência fixa ⇒ Manter a diferença de fase de Vi e Vosc

constante.

Funcionamento Básico:

• Supondo que o circuito esteja em regime permanente, isto é, i oscf f= e diferença de fase

constante. Com i oscf f= , o sinal Vo é tal que mantém a saída do VCO “amarrada” com o sinal de entrada.

• Se a frequência do sinal de entrada fi mudar, o comparador de fase “sente” a mudança e

altera Vo de modo a manter i oscf f= . Logo, no funcionamento básico do PLL, o sinal Vo varia de acordo com a variação de frequência do sinal Vi. Assim , se ( )i FMV tϕ= teremos: ( )oV f t= Realizando naturalmente a Demodulação FM. Observação: A análise dinâmica do PLL envolve conceitos de Sistemas de Controle, e não será efetuada neste curso. A figura ao lado ilustra a resposta do PLL (frequência do VCO) à um salto na frequência de entrada (linha vermelha), para diversos fatores de amortecimento do filtro PB.

VCO Vo Vosc

fosc



Devido à limitação de faixa de oscilação imposta pelo VCO, há 2 faixas de frequências importantes para o PLL. f0 : Frequência de oscilação livre do VCO. Frequência que o VCO oscila quando não há sinal aplicado. ∆fR : Faixa de Retenção. ∆fR=f4-f1 Faixa entorno da frequência f0, na qual o VCO pode manter-se em sincronismo com o sinal externo. ∆fR : Faixa de Captura. ∆fR=f3-f2 Faixa entorno da frequência f0, na qual o VCO é capaz de adquirir o sincronismo, quando da aplicação de um sinal externo na entrada do PLL.

Exemplos e Aplicações:

Os PLLs mais populares são os integrados CD4046(CMOS) e LM565(BIPOLAR). Ao lado é apresentado o diagrama interno do CD4046. Este chip possui internamente o VCO e 2 tipos diferentes de comparadores de fase. Sendo portanto necessária apenas a inclusão do Filtro Passa-Baixas e de componentes R e C para sintonizar o VCO na faixa de frequências desejada de trabalho. Ver Datasheets na página da disciplina.

f1 f2 f0 f3 f4 fosc

Faixa de Retenção: ∆fR

Faixa de captura: ∆fC Vo



O PLL como Sintetizador de Frequências:

Implementar um divisor de frequência, isto é, a partir de um sinal com uma determinada frequência (clock), gera-se um sinal cuja frequência é uma fração da frequência deste é uma tarefa relativamente fácil utilizando técnicas digitais (Flip-Flops e Contadores).

Como implementar um multiplicador de frequências? Inserindo-se um divisor de frequências de M no sinal de entrada e um divisor de frequências por N no sinal de saída do VCO. Já vimos do funcionamento do PLL, que o mesmo mantém os sinais de entrada do comparador de fase com a mesma frequência. Isto é: M Nf f=

Como: iM

ff

M= e osc

Nf

fN

=

Temos que: i oscf fM N

= Logo: osc iNf fM

=

Podemos, a partir de um sinal de referência (clock) Vi , gerar qualquer múltiplo racional da frequência fi. O uso de sintetizadores de frequência com PLL, permite que sistemas digitais controlem a sintonia e memorização automática de estações de rádio, regeneração da portadora de 38kHz a partir do tom piloto de 19kHz. O PLL possui inúmeras aplicações em Telecomunicações e Instrumentação, tais como: - sintetizadores de frequência: Geração de diversas portadoras a partir de um único cristal, sintonia automática de rádio e TV. - Modulação FM pelo método indireto. - Demodulação de sinais FM e FSK (FM de sinais digitais) - Amplificador Lock-in, usado para realizar medidas em ambiente ruidoso - Regeneração da portadora local em sistemas de recepção DSB-SC e SSB (receptor síncrono) - Circuitos de sincronismo vertical de TV - Ajuste de frequência da portadora. Ex.: Satélites - .... Boa leitura: http://www.qsl.net/py4zbz/teoria/pll.htm#comofunc

Comparador de fase

Filtro Passa-Baixas

VCO

Vi fi

Vd

Vosc fosc

÷N

VN fN

÷M

VM fM



Conclusões

Vantagens do FM sobre o AM

a) Os sistemas FM são mais imunes ao ruído - Pela faixa de frequência que operam (88-108MHz) - Por possibilitar o uso de limitadores que eliminam variações de amplitude introduzidas pelo ruído.

b) Como trabalham na faixa de VHF e UHF, o alcance do FM fica limitado pela linha de visada direta, possibilitando a utilização de um mesmo canal por várias emissoras, que se distanciam pouco uma das outras. - Comunicações Móveis

Desvantagens do FM sobre o AM a) Necessitam uma largura de banda maior para a transmissão do sinal modulado. b) Transmissores e receptores mais complexos. c) Menor alcance, devido à faixa de frequência que operam.

Modulacao Em Angulo

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