Modulacao Em Angulo

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Captulo 3 Modulao Angular - Pgina 1 Universidade Federal do Paran Dep. de Engenharia Eltrica Prof. Marcus V. Lamar Captulo 3 Modulao Angular 3.1. Introduo Seja a portadora genrica: ( ) ( ) .cos A Amplitudep t Angulo ' Se ( ) A A t Sistemas de Modulao em Amplitude Se ( ) t Sistemas de Modulao Angular No nosso caso: AM: ( )0 0( ) ( ).cos p t A t t + Modulao em Amplitude FM: ( )0( ) .cos ( ) . p t A t t + Modulao em Frequncia PM: ( )0( ) .cos ( ) p t A t t + Modulao de Fase Ex.: -101f(t)-101p(t)-101DSB-SC(t)-101FM(t)0 1 2 3 4 5-101tPM(t) Captulo 3 Modulao Angular - Pgina 2 Universidade Federal do Paran Dep. de Engenharia Eltrica Prof. Marcus V. Lamar O que acontece se f(t), informao, tiver variao contnua? Ex.: 0 1 2 3 400.51tf(t)0 1 2 3 4-1-0.500.51tFM(t) Cada instante de tempo do sinal ( )FM t possui uma frequncia diferente! Logo: Precisamos definir Frequncia Instantnea: i Sabemos que ( ) ( ) .cos ( ) t A t e que 0 0( ) . t t + onde 0 a frequncia constante da portadora. Como obtemos 0 a partir do ngulo ( ) t ? Podemos definir: Logo: ( )( )id ttdt @00( ) ( ).tit d +Captulo 3 Modulao Angular - Pgina 3 Universidade Federal do Paran Dep. de Engenharia Eltrica Prof. Marcus V. Lamar Ex.: 1) ( )0( ) .cos .ct A t + , onde c e 0 so constantes. [ ]0.( ) ci cd ttdt + frequncia instantnea uma constante 0 0.5 1-1-0.500.51t(t)=cos(10* 2 t)0 0. 5 10. 020.040. 0 60. 0 80. 0 ti=10* 2 2) ( )2( ) .cos 10 t A t t + 210( ) 10 2id t tt tdt 1 + ] + 0 1 2 3-1- 0. 500. 51t(t)=cos(10 t+ t2)0 1 2 30 . 0 1 0 . 0 2 0 . 0 3 0 . 0 4 0 . 0 5 0 . 0 6 0 . 0 ti =10 +2 t Captulo 3 Modulao Angular - Pgina 4 Universidade Federal do Paran Dep. de Engenharia Eltrica Prof. Marcus V. Lamar 3.2. Modulao de Fase (PM) onde: c : Frequncia da Portadora pK : Constante ( ) f t : Sinal Modulante (informao) Logo a fase da portadora varia linearmente com a informao f(t). Frequncia instantnea: ( )( )( ) c pid t K f td ttdt dt 1 + ] Logo: ( )( )i c pd f tt Kdt + Logo: A frequncia instantnea varia linearmente com a derivada do sinal modulante f(t). Sinal PM: ( ) .cos ( )PM c pt A t K f t 1 + ] pK : Constante que converte variaes de volts da f(t) em variaes de fase (em radianos). definida pelo circuito de modulao. Unidade: /pK rad V 1 ] Logo: Para 0pK > Se ( ) 0 f t > Avano de fase Se ( ) 0 f t < Atraso de fase ( )( ) .cos . ( )PM c pt A t K f t +Captulo 3 Modulao Angular - Pgina 5 Universidade Federal do Paran Dep. de Engenharia Eltrica Prof. Marcus V. Lamar 3.3. Modulao em Frequncia (FM) Se variarmos linearmente a frequncia instantnea da portadora de acordo com o sinal modulante: ( ) ( )i c Ft K f t + O que ocorre com o ngulo ( ) t ? [ ]00( ) ( )( ) ( )tc Ftc Ft K f dt t K f d + + Logo a expresso do sinal modulado em FM ser: Logo a fase da portadora varia linearmente com a integral do sinal de informao f(t). FK : Constante que converte variaes de volts do sinal f(t) em variaes de velocidade angular (rad/s) da frequncia instantnea. Unidade: [ ].FradKV s Para 0FK > Se ( ) 0 f t > Aumenta a frequncia Se ( ) 0 f t < Diminui a frequncia 0( ) .cos ( )tFM c Ft A t K f d _ + ,Captulo 3 Modulao Angular - Pgina 6 Universidade Federal do Paran Dep. de Engenharia Eltrica Prof. Marcus V. Lamar Notao Fasorial: ( )( ) ( ) .cos ( ) ( ) . j tt A t t Ae Ento: { }( )( ) Re . j tt Ae Logo: ( )( ) . c pj t K f tPM t Ae 1 + ] Sinal PM: { } ( ) Re ( )PM PMt t 0( ) ( ) .tc Fj t K f dFM t Ae 1 1 + 1 ] Sinal PM: { } ( ) Re ( )FM FMt t Definindo: 0( ) ( )tg t f d Podemos escrever: [ ] ( ) ( ) . c Fj t K g tFM t Ae + Obs.: Embora PM e FM sejam formas diferentes de modulao angular, no so essencialmente diferentes, uma vez que qualquer variao na fase de uma portadora resulta em uma variao na sua frequncia instantnea e vice-versa. Portanto o estudo a ser feito para FM tambm se aplica a PM. Modulador PM Modulador FM Modulador FM Modulador PM ddt( ) f t( ) f t( ) f t( ) f t( )PM t ( )PM t ( )FM t ( )FM t Captulo 3 Modulao Angular - Pgina 7 Universidade Federal do Paran Dep. de Engenharia Eltrica Prof. Marcus V. Lamar Desvio de Fase e Desvio de Frequncia Seja: ( ) .cos( )mf t a t Sinal Modulador, Informao FM: *Frequncia Instantnea: ( ) ( )i c Ft K f t + ( ) ( ) . .cosi c F mt K a t + 0 1 2 3 405101520ti(t) [103 rad/s]c ( ) ( ) .cosi c mt t + onde: Fa K o desvio mximo da frequncia da portadora: c i c + *ngulo: [ ]00( ) ( )( ) .cos( )( ) sin( )titc mc mmt dt dt t t + + Definindo: Mximo desvio de frequncia:Frequncia mxima da [email protected] Captulo 3 Modulao Angular - Pgina 8 Universidade Federal do Paran Dep. de Engenharia Eltrica Prof. Marcus V. Lamar Definindo: Mximodesviodefrequncia:[email protected] : ndice de Modulao Representa o mximo deslocamento de fase do sinal em relao portadora. [ ]( ) .cos sin( )FM c mt A t t + Unidade: [ ] rad O ndice de Modulao classifica o sinal modulado em FM ( )FM t em: - FM de Faixa Estreira - FM de Faixa Larga Captulo 3 Modulao Angular - Pgina 9 Universidade Federal do Paran Dep. de Engenharia Eltrica Prof. Marcus V. Lamar 3.3.1. FM de Faixa Estreita (NBFM Narrow Band Frequency Modulation) [ ] ( )( ) ( ) . ( ) . .c Fc Fj t K g tFMj t jK g tFMt Aet Ae e+ Lembrando Expanso em Srie de Taylor: 2 31 ...2! 3!x x xe x + + + + Se ( ) 1FK g t = Teremos FM de Banda Estreita Logo: ( )1 ( )FjK g tFe jK g t + Assim: [ ] ( ) . 1 ( )cj tNBFM Ft Ae jK g t + Logo: [ ][ ][ ][ ] [ ] ( ) . cos( ) sin( ) 1 ( )( ) cos( ) sin( ) ( ) cos( ) ( )sin( ) ( ) cos( ) ( )sin( ) sin( ) ( ) cos( )NBFM c c FNBFM c c F c F cNBFM c F c c F ct A t j t jK g tt A t j t jK g t t K g t tt A t K g t t jA t K g t t + + + + + + Como: { } ( ) Re ( )NBFM NBFMt t Temos: ( ) cos( ) ( )sin( )NBFM c F ct A t AK g t t Captulo 3 Modulao Angular - Pgina 10 Universidade Federal do Paran Dep. de Engenharia Eltrica Prof. Marcus V. Lamar Ex.: ( ) .cos( )mf t a t Clculo de g(t): 0( ) ( )( ) sin( )tmmg t f dag t t ( ) .cos( ) sin( )sin( )NBFM c F m cmat A t AK t t Lembrando: [ ]1sin( )sin( ) cos( ) cos( )2A B A B A B + [ ] [ ] { }[ ] [ ] { }( ) .cos( ) cos ( ) cos ( )2( ) .cos( ) cos ( ) cos ( )2FNBFM c c m c mmNBFM c c m c mK a At A t t tAt A t t t + + + Espectro do sinal ( )NBFM t para ( ) .cos( )mf t a t : -100 -50 0 50 100-10-50510NBFM()c -c c+mc-m-c-m-c+mA A A/2 A/2 - A/2 - A/2 De modo anlogo, podemos obter a expresso do sinal PM de banda estreita: ( ) .cos( ) ( ).sin( )NBPM c p ct A t AK f t t Captulo 3 Modulao Angular - Pgina 11 Universidade Federal do Paran Dep. de Engenharia Eltrica Prof. Marcus V. Lamar Comparando-se estes sinais: Com o sinal AM DSB com portadora: Notamos que tanto o sinal AM quanto os sinais FM e PM de banda estreita, apresentam termos correspondentes portadora e s faixas laterais centradas em c t . Concluso: Sinais FM e PM de banda estreita ocupam a mesma largura de banda (2 m ) que o sinal AM DSB. Condio para ser FM de banda estreita: ( ) 1FK g t = ou para ( ) .cos( )mf t a t 1FK a = Como . Fma K Temos que 1 = Um critrio usual para definir sinais FM de banda estreita : 0.2 < ( ) .cos( ) ( ).sin( )NBPM c p ct A t AK f t t ( ) cos( ) ( )sin( )NBFM c F ct A t AK g t t ( ) cos( ) ( )cos( )DSB c ct A t mAf t t +Captulo 3 Modulao Angular - Pgina 12 Universidade Federal do Paran Dep. de Engenharia Eltrica Prof. Marcus V. Lamar Se f(t) for um sinal qualquer. Como o espectro do ( )NBFM t ? Clculo do: 0( ) ( )tg t f d Lembrando da Propriedade de Integrao no tempo da Transformada de Fourier: ( ) ( )1( ) ( ) ( )f t Fg t F Gj FF Logo se f(t) limitado em frequncia g(t) tambm ser. { }{ } { }[ ]( ) .cos( ) ()si n( )( ) cos( ) ()si n( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2NBFM c F cNBFM c F cNBFM c c F c cA t AK g t tA t AK g t tj jA AK G G 1 + + + 1 ]FF F Logo: [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )2FNBFM c c c cjAKA G G + + + + Grfico: Seja o Sinal ( ) G : Ento: -20 -10 0 10 20-0.2-0.100.10.20.3Re{NBFM()}c -c A A -20 -10 0 10 20-0.2-0.100.10.20.3wIm{NBFM()}c -c AKF/2 -AKF/2 - 3