Indutores Em CA

CIRCUITOS DE CA

PROF. MARIO LUIZ F. LAMAS

CURSO DE ELETRNICA

v=VM . sen t i=IM . sen (t + /2)

NDICE

1. Indutncia - pg. 1

1.1. Campo Indutor e Permeabilidade Magntica, 1

1.2. Histereses Magntica, 2 1.3. Cicuito Magntico, 4 1.4. Definio de Indutncia, 5 1.5. Associaes de Indutores, 10

2. Fundamentos de CA - pg. 15

2.1. Fonte de Tenso Alternada Senoidal, 14

2.2. Ciclo, Perodo e Frequncia, 15

2.3. Valor Mdio das Grandezas Alternadas, 16

2.5. Valor Eficaz das grandezas Alternadas, 17

2.6. Representao Fasorial das Ondas Senoidais, 20

3. Circuitos Puros R, L e C - pg. 26

3.1. Circuitos Puramente Resistivos, 26

3.2. Circuitos Puramente Capacitivos, 28

3.3. Circuitos Puramente Indutivos, 30

4. Circuitos RLC Srie e Paralelo - pg. 34

4.1. Circuitos RC Srie, 34

4.2. Circuitos RL Srie, 35

4.3. Circuitos RLC Srie, 39

4.4. Circuitos RLC Srie, 44

5. Mtodo dos Nmeros Complexos Circuitos RLC - pg. 50 5.1. Reviso de Nmeros Complexos, 50

5.2. Representao complexa de Grandezas Eltricas, 54

6. Potncia em CA - pg. 62

6.1. Potncia Ativa, Reativa e Aparente, 62

6.2. Fator de Potncia, 64

6.3. Correo do fator de Potncia, 66

6.4. Potncia Aparente Complexa, 69

7. Gerador Trifsico - pg. 74

7.1. Alternador Monofsico de Induzido Rotativo, 74

7.2. Alternador Trifsico Bipolar de Induzido Rotativo, 74

7.3. Agrupamento das Fases em Estrela e em Tringulo, 76

7.4. Potncia dos Circuitos Trifsicos, 80

Indutncia 1

1. INDUTNCIA

1.1. CAMPO INDUTOR )H(

e PERMEABILIDADE MAGNTICA ()

Nas duas bobinas ao lado, nota-se que o nmero de espiras e a corrente que as atravessa a

mesma. No entanto, o comprimento das linhas de induo em cada caso diferente, ou seja, o

comprimento do circuito magntico diferente. No solenide mais curto obtm-se maior

intensidade de campo indutor porque h maior concentrao de corrente e espiras por unidade de

comprimento do circuito magntico. Sabe-se que o campo magntico oriundo da corrente, no

entanto, a geometria do condutor vai determinar se o poder de magnetizao que esta corrente

produz ser intenso ou no.

A fim de levar em conta o grau de concentrao da corrente, para efeitos de magnetizao,

foi criada a grandeza INTENSIDADE DE CAMPO MAGNTICO )H(

. Esta grandeza tambm

chamada de intensidade de campo indutor, campo indutor ou campo magnetizante. O campo indutor

uma grandeza vetorial, cujo sentido o mesmo das linhas de induo. O mdulo do campo

indutor a razo entre as ampre-espiras magnetizantes e o comprimento do circuito magntico em

questo. A unidade da intensidade de campo indutor no Sistema Internacional Ampre-

espira/metro ou Ampre/metro, j que espira uma grandeza adimensional (nmero puro).

Sejam trs solenides (espiras acomodadas numa forma tubular) de mesmas dimenses,

mesmo nmero de espiras e mesma corrente, porm com ncleos de materiais diferentes. Como se

pode observar no desenho, a ao de um mesmo campo indutor H produz diferentes indues e

fluxos em funo do material onde se estabelece o campo magntico.

A grandeza que caracteriza a qualidade magntica do material a permeabilidade

magntica (), sendo portanto, anloga condutividade (inverso da resistividade) para os materiais eltricos. Permeabilidade magntica absoluta ou simplesmente permeabilidade a constante de

proporcionalidade que relaciona campo indutor H com a induo produzida B. Pode ser considerada

como sendo a facilidade com que o material do meio atravessado pelas linhas de induo ou a

facilidade com que um material magnetiza-se.

H H H B B B

N,IFerro

N,IAr

N,ILiga especial

H . B

Indutncia 2

A

m.T

Ae

m.T

m/Ae

T

u(H)

u (B))u(

A unidade de permeabilidade

magntica est indicada ao lado.

Pode-se provar que T.m/A eqivale a

Henry/metro (H/m).

No caso da eletricidade tem-se condutividade nula nos materiais isolantes. No entanto, no

magnetismo, no existe o isolante magntico. Um dos piores meios de propagao do campo

magntico o vcuo e tem permeabilidade magntica absoluta (o) com um valor bem definido.

T.m/A.104o

7

Este meio tomado como referncia na comparao entre os materiais magnticos. Em

funo disto, define-se como permeabilidade relativa ( r ), a razo entre a permeabilidade absoluta de um dado material e a permeabilidade do vcuo.

u (r ) = adimensional

Dai, tem-se que: 0r .

Sabe-se que: e que: Logo, deduz-se que:

A permeabilidade relativa, simplesmente, diz quantas vezes o material mais permevel do

que o vcuo. Os materiais podem ser classificados de acordo com a sua permeabilidade, sendo que

eles podem ser denominados de materiais diamagnticos, paramagnticos e ferromagnticos.

Os materiais diamagnticos possuem permeabilidade constante e pouco menor que a do

vcuo, ou seja, estes materiais imantam-se muito pouco e em sentido contrrio ao do campo indutor.

Em funo disto so fracamente repelidos pelos ms. Como exemplos, podemos citar o bismuto,

cobre, gua, prata, e ouro.

Os materiais paramagnticos possuem permeabilidade constante e pouco maior que a do

vcuo, ou seja, estes materiais imantam-se muito pouco e no mesmo sentido do campo indutor. Em

funo disto so fracamente atrados pelos ms. Como exemplos, podemos citar o mangans,

estanho, cromo, oxignio lquido, ar ( temperatura de 0C e presso de 1 atm).

Os materiais que possuem mais importncia e tm mais utilizao so os materiais

denominados ferromagnticos. Eles possuem permeabilidade relativa muito maior do que 1, ou

seja, sua permeabilidade absoluta , notadamente, muito maior que a do vcuo. O valor da

permeabilidade destes materiais muito alta, porm varivel com a variao do campo indutor H.

Como exemplos, podemos citar: ferro, nquel, cobalto e aos especiais. O p magntico da fita K-7

, geralmente, constituda de xido de ferro (ou dixido de cromo).

1.2. HISTERESES MAGNTICA

A fim de se observar todos os estgios de magnetizao e

desmagnetizao de um material magntico, podemos introduzir este

material num solenide percorrido por uma corrente eltrica

contnua varivel. Anotando-se valores do campo indutor H e da

induo magntica B, poderamos montar um grfico (veja o grfico

a seguir).

or

I . N H

I . N . B 0

. H . B

Indutncia 3

B

H

Eletrom

mpermanente

Observando-se o grfico, vamos,

inicialmente, aumentar o campo indutor, de

modo que a induo magntica vai

crescendo (de 0 at 1), chegando-se ao

ponto de saturao magntica. Reduzindo-

se o campo indutor, a induo decresce, mas

com um certo atraso (linha 1 - 2), ou seja, o

material mantm, para cada valor de campo

indutor, uma induo magntica superior ao

que ele tinha na fase inicial de

magnetizao. Quando o campo indutor

anula-se (H=0), ainda resta um pequeno

magnetismo, ou seja, mesmo sem o campo

indutor externo os ims elementares

mantm-se parcialmente orientados.

Este magnetismo retido no material denominado de magnetismo (induo) residual. De

modo a anular este magnetismo (desmagnetizar o material) deveramos inverter o sentido da

corrente no solenide (campo indutor contrrio ao anterior) e ir aumentando, gradativamente, at

que a induo seja anulada (B=0). Aplicando-se um campo indutor -HC, a induo magntica B se

anularia. O campo indutor necessrio para causar este efeito denominado de campo coercitivo.

Nota-se na seqncia da anlise grfica que teremos um outro ponto de saturao magntica (ponto

4), porm com polaridade contrria ao ponto de saturao anterior.

Reduzindo-se a excitao na bobina magnetizadora, a induo magntica diminui at chegar

ao ponto 5 (H = 0), sobrando uma induo residual negativa. Para anular esta induo residual deve-

se inverter o campo e aument-lo at alcanar HC. Continuando-se a aumentar o campo indutor

chega-se novamente saturao no sentido positivo. Como percebeu-se, o valor da induo

magntica segue o valor do campo indutor H com um certo atraso, ou seja, quando H chega a zero,

B ainda no foi anulado. Histeresis, em grego, significa atraso.

Na construo de ms permanentes mais

aconselhvel materiais que se caracterizassem por

possurem induo residual elevada e campo coercitivo

tambm elevado. Assim sendo, teramos uma boa

induo de trabalho e os ms seriam difceis de serem

desmagnetizados. Como exemplos de materiais

utilizados podemos citar o ao com alto teor de carbono

e o ferrite. Aps o corte do campo indutor, alguns

tomos voltam a sua posio original, mas muitos deles

no conseguem este retorno, devido aos tomos de

carbono, os quais no sentem a ao do campo,

dificultando, ento, os movimentos dos tomos. No caso de ncleos de eletroms o importante

que a induo magntica seja alta para pequenos valores de H (alta permeabilidade) e que a induo

residual e o campo coercitivo sejam baixos, de modo que, ao se extinguir a corrente, a induo

residual seja anulada rapidamente.

Como exemplos de materiais utilizados para ncleos de eletroms podemos citar o ao-doce

e o ao-silcio. Estes materiais tm alta permeabilidade e pequeno campo coercitivo, porm tm alta

induo residual, o que no chega a ser problema, pois facilmente anulada, j que o campo

coercitivo muito baixo.

B(T) B M

-B M

-H M

H M H(Ae/m)

-H C

H C

B r

-B r

0

2

1

4

3

5

6

Indutncia 4

No grfico ao lado, existem duas curvas que

representam o comportamento magntico de dois

materiais diferentes. Percebe-se que aplicando um

mesmo campo indutor H(Ae/m), as indues

magnticas B(T) sero diferentes. Isto ocorre

porque os materiais no possuem a mesma

permeabilidade magntica, ou seja, a

permeabilidade do material X superior a do

material Y.

No obtm-se uma linha reta, pois o

crescimento de B no linear em relao a H. No

caso de uma curva relativa ao ar, teramos uma

linha reta quase paralela ao eixo do H, com uma

pequena inclinao.

Os fenmenos de histerese so em funo do atrito e da inrcia a que os pequenos ms

elementares ficam submetidos e isto representa perda de energia. A rea contida no ciclo de

histerese resulta proporcional a energia perdida durante as operaes. Os ncleos ferro-magnticos,

de um modo geral, apresentam perdas quando submetidos a campos magnticos variveis no tempo.

Quando um material magntico submetido a um campo magnetizante, seus ms

elementares orientam-se com certa dificuldade, devido ao atrito interno que existe entre os mesmos.

Tal atrito tambm existe quando o material submetido a um campo desmagnetizante. Quanto

maior for a dificuldade de magnetizar e desmagnetizar um material, maior ser esse atrito e maior a

energia dissipada em forma de calor, ou seja, maior ser a perda por histerese magntica.

Uma medida dessas dificuldades de magnetizao e desmagnetizao o campo coercitivo.

Os materiais duros, que tm campo coercitivo elevado, apresentam muitas perdas por histerese. Para

reduo dessas perdas deve-se usar material de baixo campo coercitivo, induo magntica baixa

(material no saturado) e reduzir a freqncia de variao do fluxo, quando for possvel. Assim,

para trabalhos envolvendo correntes alternadas conveniente que esta rea seja a menor possvel,

pois o material est permanentemente magnetizando-se e desmagnetizando-se e isto implica em

muita perda de energia.

1.3. CIRCUITO MAGNTICO

Num circuito eltrico existe uma grandeza denominada de resistncia eltrica, a qual

depende do comprimento do fio condutor, do material de que ele feito e da rea de sua seo

transversal. Esta grandeza constitui a oposio oferecida corrente. No caso de um circuito

magntico tambm existe uma oposio oferecida ao estabelecimento de um fluxo magntico, a

qual denominada de relutncia magntica (). Quanto maior o comprimento deste circuito magntico maior ser a oposio oferecida ao fluxo e quanto maior a rea da seo transversal do

ncleo magntico menor ser a relutncia.

Obviamente, a relutncia depende tambm da permeabilidade magntica do

ncleo. Portanto, para o clculo de relutncia temos a relao ao lado.

Sendo o comprimento em m , a rea em m2 e a permeabilidade em T.m/A e sabendo-se que

T=Weber/m2, a unidade de serA.e/Wb, conforme quadro abaixo. A unidade de relutncia pode

ser, tanto Ampre por Weber como Ampre.espira por Weber, sendo que mais comum esta

ltima.

A .

A.e/Wbou Wb/Am.T

A

m.A

m.T

m)(u

22

H

B

X

Y

0

Indutncia 5

i .N L

i

Com estas definies, podemos expressar a LEI DE HOPKINSON, que tambm

conhecida como a Lei de Ohm do eletromagnetismo. Esta lei diz que, num circuito magntico o

fluxo diretamente proporcional fora magnetomotriz aplicada (N . I causa dos fenmenos magnticos) e inversamente proporcional relutncia magntica do circuito.

Logo, temos:

I.N

ou

A Lei de Hopkinson poderia ser

comparada a Lei de Ohm, sendo a primeira

aplicada a um circuito magntico e a segunda

aplicada a um circuito eltrico.

No circuito magntico, temos uma

fora magnetomotriz (f.m.m. N.I) aplicada

a bobina, um fluxo magntico () que constante ao longo do circuito e uma

relutncia total (t), a qual poder ser dividida em duas parcelas, relutncia do

ncleo magntico(n) e relutncia do entreferro (espao de ar ; ef). No caso do circuito eltrico

acima, temos uma fora eletromotriz () aplicada ao circuito, uma corrente (I) que a mesma ao longo do circuito e uma resistncia total (Rt).

Na prtica, geralmente impossvel fazer a distribuio das espiras ao longo de todo o

ncleo magntico, ou seja, normalmente a bobina colocada num ou dois locais de forma a ser

possvel a sua construo de maneira simples. Este procedimento traz como resultado um fenmeno

indesejvel, que a disperso magntica, a qual ser desprezada no nosso estudo. Na realidade,

sempre existe uma certa quantidade de linhas de induo saindo do caminho limitado pelo ncleo.

1.4. DEFINIO DE INDUTNCIA

Considere um circuito formado por um

solenide alimentado por um gerador que fornece

corrente contnua, a qual origina um campo magntico,

cujas linhas de induo so linhas fechadas que se

concatenam (atravessam) com o solenide. Seja o fluxo magntico concatenado com o circuito, podemos

dizer que ele diretamente proporcional a intensidade

da corrente. Duplicando i, teremos uma duplicao de

B, duplicando, pois, . A constante de proporcionalidade L denominada de INDUTNCIA ou coeficiente de auto-induo. No caso de uma bobina com N

espiras teramos a relao ao lado.

Assim como existe o componente denominado de resistor que tem a

propriedade caracterizada como resistncia, tambm existe o componente

denominado de indutor (smbolos ao lado), o qual possui a propriedade

conhecida como indutncia. Esta grandeza pode ser medida atravs de um

indutmetro.

Tem uma indutncia de 1 henry (1H), a espira onde, por exemplo, a corrente sofre uma

variao de 1A, de modo que a variao de fluxo seja de 1Wb.

I . N .

Indutncia 6

R L

No caso de circuitos que contm bobinas, teremos uma elevada indutncia, a qual ser ainda

maior quando introduzirmos um ncleo magntico no seu interior. Em funo disto, denomina-se

uma bobina de indutor. No caso da introduo de um ncleo magntico no interior de uma bobina,

tem-se um campo magntico indutor H que no muda para uma determinada corrente i, mas

aumenta consideravelmente a induo magntica B, pois B = . H, refletindo num aumento substancial na variao de fluxo.

No caso, ento, de solenides com muitas espiras enroladas em ncleos magnticos teremos

indutncia de valor elevado. Comparando a indutncia de um circuito onde temos um condutor

retilneo com a indutncia de um circuito constitudo por um condutor enrolado no formato de

espiral (bobina), conclui-se que a indutncia no primeiro caso muito menor do que no segundo.

Considerando o circuito ao lado, onde temos um

solenide, uma chave e uma fonte de tenso contnua, quando

fecharmos a chave, a corrente comea a crescer rapidamente.

Enquanto a corrente est crescendo, as linhas de induo

comeam a se expandir atravs do circuito e esta induo

magntica corta a bobina. Consequentemente teremos o surgimento de uma f.e.m. auto-induzida, conforme foi visto

quando estudamos a Lei de Faraday. Esta f.e.m. de auto-induo

atua de modo a se opor ao crescimento da corrente, de acordo

com o que vimos no estudo da Lei de Lenz.

Sabe-se que L= N. / i e que = -N./t. Logo podemos afirmar que o valor da f.e.m. induzida obtida atravs da

expresso ao lado.

No circuito ao lado, temos uma fonte CC, um resistor, um indutor

e uma chave aberta. Vamos analisar a diferena na produo de uma

f.e.m. considerando o circuito sem o resistor e com o resistor.

Sabe-se que o valor da f.e.m. auto-induzida

depende da rapidez da variao da corrente, ou seja,

quando mais rpida a variao da corrente, maior

ser o valor desta f.e.m. e o seu valor funo

tambm do valor da corrente, pois correntes maiores

produzem campos magnticos mais intensos. O

aumento deste campo equivale a um nmero maior

de linhas de induo cortando a bobina, ou seja, a f.e.m. auto-induzida ser elevada. O tempo de

energizao de um indutor, quando ele passa a ser

alimentado diretamente por uma fonte CC no

instantneo, embora seja muito pequeno (grfico de

I1). Ligando-se um resistor em srie com o indutor

pode-se retardar este tempo, fazendo com a corrente

cresa mais lentamente (grfico de I2).

A INDUTNCIA DE UM CIRCUITO REPRESENTA A CAPACIDADE QUE O CIRCUITO POSSUI EM GERAR UMA F.E.M. DE AUTO-INDUO QUE SE

OPONHA AS VARIAES DE CORRENTE.

Um circuito tem uma indutncia de 1H quando, por exemplo, ele se deixa induzir por 1V,

sempre que a corrente variar na razo de 1A por segundo.

t

I1

t

I2

SEM

RESISTOR

COM

RESISTOR

retardo

tiL / .

Indutncia 7

Assim como no circuito RC temos uma constante de tempo, no circuito RL

tambm existe uma constante de tempo dada pela relao ao lado.

A f.e.m. induzida sempre de sentido tal que se ope variao imposta (Lei de Lenz). Este

efeito particularmente notvel quando da abertura de chaves que interrompem repentinamente a

corrente do circuito. A corrente no pode cair instantaneamente a zero, pois isto implicaria numa

f.e.m. induzida infinita tendendo a manter a corrente. Esta f.e.m. aparece como uma tenso entre os

terminais da chave interruptora e causa o aparecimento de uma fasca.

Em resumo, a corrente no se reduz a zero

instantaneamente, mas mantm-se pela fasca.

Tambm, quando se liga a chave, a corrente no

assume seu valor contnuo repentinamente, mas leva

um determinado tempo, funo da indutncia do

circuito. Nos grficos ao lado, nota-se que a variao

da corrente mais lenta no fechamento (t0) do que

na abertura (t2) do circuito. Portanto, o pico de

tenso (f.e.m. ) neste ltimo caso mais intenso. Isto comprovado atravs da observao da constante de

tempo =L/R, pois na abertura da chave temos o surgimento de ar entre seus contatos, ou seja, uma

resistncia de valor elevadssimo.

Observe no grfico que a polaridade da tenso no fechamento do circuito, ao se estabelecer

uma corrente, contrria a polaridade da tenso na abertura do circuito. A fasca que salta na

abertura da chave pode asssumir dimenses grandes, quando o circuito for de alta indutncia e a

corrente normal for muito intensa (motores de grande potncia). Freqentemente se quer evitar as

fascas, porque ela vai oxidando os contatos da chave.

No circuito analisado anteriormente, quando a corrente atinge o seu valor mximo,

determinado pela tenso e resistncia do circuito, ela no varia mais. Assim sendo, no teremos

mais variao de fluxo, desaparecendo a f.e.m. de auto-induo. No caso de corrente contnua, a

indutncia s afeta a corrente no circuito quando o mesmo ligado ou desligado, ou quando

alguma condio do circuito for alterada, pois s nestas ocasies teremos fluxo magntico varivel.

Se, no entanto, uma bobina for alimentada por uma tenso alternada, o efeito da indutncia estar

sempre presente no circuito, pois a corrente sofre uma variao permanente e uma f.e.m. estar

sendo induzida durante todo o perodo da corrente alternada.

1.5. APLICAES PRTICAS DE INDUTNCIA

- Resistor de fio

Ao lado, temos um resistor de fio enrolado em dupla espiral.

Assim, os efeitos magnticos se anulam, pois a corrente passa em

sentido contrrio nas espiras que esto lado a lado. Desta forma,

temos uma indutncia nula, fazendo com que o resistor tenha

apenas o efeito resistivo (apenas resistncia).

- Circuitos com capacitor ou resistor

No caso de circuitos com elevada indutncia, poderamos utilizar a montagem ao lado. O circuito RC em paralelo com a chave tenderia a

evitar o aparecimento de fascas no instante de abertura da chave. O

capacitor iria atuar no sentido de armazenar as cargas que circulariam no

referido instante.

t

i

t t0 t1 t2 t3

fasca

L

R

L

Indutncia 8

5H neon

6V

ch

Rede 110V 60hz

110V/60hz

+Vcc

M Circuito Digital

+Vcc

Uma outra forma de eliminar as fascas seria atravs da

utilizao de um resistor, conforme esquema ao lado. Convm

salientar que devemos fechar a chave K antes de abrir ch, pois assim

a f.e.m. auto-induzida na bobina, provocaria a circulao de uma

corrente na malha superior do circuito, onde est o resistor.

- Circuito com lmpada neon

Ao lado, temos uma fonte de C.C., uma chave, um

indutor e uma lmpada neon. A diferena entre a lmpada neon

e a lmpada comum que a primeira exige uma determinada

tenso (tenso de ignio) para acender (70V). Quando

fecharmos a chave, observaremos que a lmpada no acende.

Conclui-se que a f.e.m. auto-induzida no indutor no muito

elevada. Quando abrirmos a chave, a lmpada acender

momentaneamente, indicando que a f.e.m. induzida entre os terminais do indutor e da lmpada que

est em paralelo, maior do que a tenso de ignio. Isto se justifica, pois as variaes de corrente e

fluxo no instante de abertura ocorrem de uma forma extremamente rpida, rapidez esta que no

ocorreu no fechamento do circuito.

- Rel com diodo

Ao lado, temos um circuito digital que controla o funcionamento de um motor eltrico, sendo que o

transistor atuar como chave para operar o rel. A

colocao de um diodo em paralelo com a bobina do rel

tem a funo de evitar a queima do transistor no

momento em que o rel desligado, pois quando este

chaveamento ocorre teremos uma variao brusca do

fluxo magntico na bobina, gerando nesta, a induo de

uma tenso, de acordo com as Leis de Faraday e de Lenz.

O diodo, ento, devidamente conectado, atua como curto-

circuito no processo de desernegizao da bobina. O

diodo inclusive denominado de elemento supressor neste caso.

1.6. FATORES INFLUENTES NA INDUTNCIA

Sabe-se que a variao de B no interior de um solenide igual a:

I . N . B

Sabendo-se tambm que = B . A e que I

NL

. , teremos: =

I . N . . A

Como:

N

I.L , teremos:

N

IL

.. =

I . N . . A . Logo, obtm-se:

2N .A . L

A indutncia de uma bobina sem ncleo magntico constante, pois a permeabilidade

magntica possui um valor fixo (relutncia constante) e a indutncia de uma bobina com ncleo

magntico varivel, em funo da variao da permeabilidade. Como comum os indutores serem

usados numa faixa onde a permeabilidade no sofre variao significativa, podemos admitir que a

indutncia dos circuitos magnticos com ncleos tambm uma constante do circuito (exceto

quando estes ncleos magnticos estiverem prximos do ponto de saturao).

L ch

K

Indutncia 9

N NA B

A B

Comparando a indutncia de uma bobina sem ncleo magntico com a indutncia de uma

bobina com ncleo magntico, deduziramos que no primeiro caso (sem ncleo) a indutncia seria

muito menor, pois a relutncia muito maior.

Exemplo: Numa bobina houve uma reduo de corrente de 100A para 90A num intervalo de tempo

de 1ms e, com isto, gerou-se uma f.e.m. auto-induzida de 20V. Qual a indutncia da bobina?

i=I2 I1 = 90 - 100 i=-10A

t

iL.

001,0

10.L20

10A

0,001s . 20VL 2mH 0,002H L

a) Noes de Indutncia-mtua

Considerando o desenho ao lado, onde existem duas bobinas

prximas, uma da outra, teremos o fluxo magntico de uma bobina

enlaando as espiras da outra. Se na bobina A circular uma corrente

varivel, surgir um fluxo varivel, o qual dar origem a uma f.e.m. (f.e.m.

auto-induzida) na prpria bobina e tambm uma f.e.m. na bobina B (f.e.m.

de mtua-induo), a qual tem um sentido tal que tenta impedir a variao

do fluxo na primeira bobina (segundo Lenz).

Existe um coeficiente, denominado de indutncia-mtua que

mede o acoplamento magntico existente entre as duas bobinas. Este

coeficiente depende do nmero de espiras das duas bobinas e da posio

relativa das bobinas.

Ao lado, temos trs casos de acoplamentos magnticos. No

primeiro, temos duas espiras colocadas perpendicularmente entre si, de

modo que o acoplamento magntico nulo. No segundo, temos um

acoplamento magntico mdio, ou seja, uma determinada quantidade de

fluxo produzido numa espira consegue atingir a outra espira. E no terceiro

caso, temos um acoplamento magntico mximo, pois uma espira est

colocada dentro da outra.

No circuito ao lado, temos duas bobinas, sendo

uma delas alimentada por uma fonte de C.C. e a outra

tem, entre seus terminais, um miliampermetro.

Considerando-se que as bobinas esto prximas, de modo

que o fluxo produzido por uma atinge a outra, podemos

afirmar que existir corrente induzida na bobina da

direita, desde que o fluxo atravs dela varie. Isto ser

obtido nos instantes de abertura ou de fechamento da

chave, sendo que no instante de abertura a variao de fluxo mais rpida, obtendo-se, ento, uma

tenso induzida muito elevada. Tambm apareceria corrente induzida na segunda bobina se uma das

bobinas fosse movimentada, pois assim tambm ocorreria uma variao de fluxo magntico.

Quando se deseja a induo permanente de f.e.m. se utiliza corrente alternada.

=20V I1 = 100A

I2 = 90A

t = 0,001s L=?

Indutncia 10

b) Aplicao prtica da mtua-induo

Normalmente, a energia eltrica transmitida

em corrente alternada (CA) pelo fato de podermos

utilizar transformadores, pois em corrente contnua

(CC) isto no seria possvel. Quando esta transmisso

ocorre em distncias muito elevadas (acima de

500km), recorre-se a CC, a qual torna-se mais

vantajosa (menor nmero de fios e fios mais finos).

-Transposio de condutores

As linhas telefnicas podem ser influenciadas

por f.e.m. das linhas de distribuio em baixa tenso.

Por este motivo, deve existir uma distncia segura

entre as duas.

Normalmente para tenses de baixa tenso em

380/220V, a distncia mnima de 0,6m. Como influncia da f.e.m. de mtua-induo podemos

citar tambm o caso da transposio das linhas de distribuio. Nas linhas de distribuio ou de

transmisso trifsicas, pode ocorrer a mtua-induo entre os trs condutores, pois as distncias

entre eles so pequenas. Em transmisso mais comum a transposio, devido s linhas serem de

grandes distncias (geralmente centenas de quilmetros).

Pode-se equilibrar o fenmeno da mtua-induo por meio da transposio das fases.

Se os condutores estiverem eqidistantes, a f.e.m. de mtua-induo equilibrar-se- e a tenso entre

eles no final do trecho ser igual. Caso o sistema no seja equilibrado, ocorrer uma desigualdade

de tenso entre os trs condutores, o que no desejvel que acontea.

1.7. ASSOCIAES DE INDUTORES

A associao de indutores deve ser considerada sob dois aspectos: sem indutncia mtua e

com indutncia mtua. Em qualquer dos dois casos, podemos associar os indutores em srie e em

paralelo, sendo que ser analisado, no nosso caso, somente situaes sem indutncia mtua.

10: Associao em srie

Na associao em srie sem indutncia mtua, as bobinas

devero estar dispostas de tal modo que o campo magntico de uma

no possa induzir uma f.e.m. nas outras. Como estaro em srie, a

mesma corrente fluir em todas, e elas estaro sujeitas a mesma variao de corrente. As f.e.ms. so

calculadas por:

Mas, no circuito srie, tem-se: 21t

Sabe-se que: 21 iii

Portanto:

a c b a

usinageradora

cargab a c b

c b a c

Alta tenso (CA)

13,8kV ou 22kV

Baixa tenso (CA)

380/220V

Linha telefnica

48V - (CC)

d=0,6m

t

iL

t

iL

t

iLtt

222

111

.

.

.

t

iL

t

iL

t

iLt

.

.

. 21

... 21 LLLt

Indutncia 11

20: Associao em paralelo

Na associao em paralelo sem indutncia mtua no haver

acoplamento magntico entre as bobinas e a f.e.m. induzida ser a mesma

em todos os indutores. Cada ramo do circuito apresentar, geralmente,

uma razo de variao de corrente diferente. No circuito paralelo tem-se:

21tiii

21tiii

E ainda: 21t

Temos tambm: 2

2

1

1

t L

t .i

L

t .i

L

t.i

21t L

t .

L

t .

L

t.

...

L

1

L

1

L

1

21t

Observa-se assim, que as equaes da associao de indutores so respectivamente

semelhantes as da associao de resistores.

Um exemplo de aplicao de indutores em srie e em paralelo seria no caso do

transformador dos equipamentos eltricos que funcionam tanto em 110V como em 220V. Quando a

chave seletora do equipamento colocada em 110V as duas bobinas do primrio do transformador

so conectadas em paralelo, sendo que a tenso em cada bobina a mesma (110V). Quando a

tenso da rede 220V, atravs da chave seletora as bobinas ficam associadas em srie, podendo

assim o primrio receber a tenso de 220V. Neste caso ento, a tenso dobrou em relao ao

primeiro caso, mas o nmero de espiras tambm dobrou, de modo que a tenso induzida no

secundrio no muda de valor, fazendo com que o equipamento continue funcionando dentro das

suas caractersticas nominais. Atualmente todo este processo feito atravs de um circuito

eletrnico, o qual efetua esta seleo de uma forma automtica.

t

iL

t

iL

t

iLtt

222

111

.

.

.

VS 110V VS 220V

Indutncia 12

PROBLEMAS PROPOSTOS

01. O circuito magntico ao lado, cujo ncleo de ao-silcio, possui um comprimento de 38cm e seo transversal de

9cm2. Utilizando-se o grfico a seguir e sabendo-se

tambm que a corrente na bobina vale 57mA, de modo

que a induo magntica corresponde a 0,6T , determine:

a)o nmero de espiras do circuito e o fluxo magntico.

b)a corrente que deveria circular, para produzir o mesmo

fluxo anterior, admitindo-se que o ncleo fosse de ao

fundido.

02. Um solenide de 1m de comprimento e de 2000 espiras circulares com 5cm de raio est colocado num plano perpendicular a um campo magntico de 0,1T, o qual anulado num

intervalo de tempo igual a 2s. Determine o valor da f.e.m. induzida no solenide e tambm o

valor de sua indutncia.

03. Calcule o valor da indutncia total entre as extremidades do circuito abaixo.

1,40

1,20

1,00

0.80

0,60

0.40

0.20

B(T)

100 200 300 400 H(Ae/m)

CURVAS B-H ( H 400 AE/M)

A: ferro fundido

B: ao fundido

C: ao-silcio D: ferro-nquel

D

C

C

B

A

10mH 10mH 1mH 1mH

1mH 2mH

8mH 30mH 3mH 6mH

1,8mH 1mH 1mH

20mH 3mH 3mH 1mH

Indutncia 13

04. Um solenide com ncleo de ar possui uma indutncia de 8mH, seo transversal de 10cm2 e 500 espiras. Considerando-se que circula por ele uma corrente de 10A, determine o valor da

induo magntica existente no interior do solenide.

05. Um toride (figura ao lado) com ncleo de ferrite de permeabilidade relativa igual a 100 enrolado com 470 espiras,

sendo que sua seo transversal vale 4cm2 e seu comprimento

mdio vale 10cm. Quanto vale sua indutncia?

06. Calcule a indutncia de um toride com seo transversal de 12,56cm2, comprimento mdio de 75,36cm e de 1000 espiras, considerando que a permeabilidade magntica do ncleo vale

32x10-4

H/m.

07. Um indutor de 0,15H percorrido por uma corrente constante de 0,4A. De modo que aparea nos terminais da bobina uma f.e.m. auto-induzida de 3V, a corrente citada deveria ser anulada

(zerada), em qual intervalo de tempo?

08. A auto-indutncia (ou simplesmente indutncia) de uma bobina formada por 400 espiras muito unidas igual a 8mH. Qual o valor do fluxo magntico atravs da bobina quando esta

percorrida por uma corrente de 5mA?

09. Num enrolamento circula uma corrente de 15A, a qual produz um fluxo magntico de 400Wb. Sabendo-se que a corrente decresce a zero em 5ms, de modo a induzir uma f.e.m. de 70V,

determine o nmero de espiras e a indutncia da bobina.

10. Uma bobina cilndrica de 100mm de comprimento, 100 espiras e seo

transversal de 4mm de dimetro possui

ar no seu interior. Determine o valor da

indutncia da bobina.

11. Calcule novamente a indutncia no exerccio acima, considerando que o ncleo de ferrite, sendo a suja permeabilidade magntica relativa r=2000.

12. O grfico ao lado mostra a variao da corrente num

indutor de 4mH em funo

do tempo. Determine o

valor da tenso mdia no

indutor entre:

a) 0 e 2miliseg; b) 2 e 4miliseg; c) 4 e 9miliseg.

Fundamentos de CA 14

2. FUNDAMENTOS DE CORRENTE ALTERNADA

At o momento nos

preocupamos somente com

tenses e correntes contnuas, ou

seja, aquelas que possuem

mdulo e sentido constantes no

tempo, conforme exemplos ao

lado.

Uma tenso ou corrente dita alternada quando muda periodicamente de mdulo e sentido.

Dependendo da forma como varia a grandeza em funo do tempo, existem diversos tipos de

tenses e correntes alternadas, ou seja, diversas formas de onda: quadrada, triangular, senoidal, etc.

Entre elas a mais importante a senoidal porque assim gerada, transmitida e distribuda a energia

eltrica.

2.1. FONTE DE TENSO ALTERNADA SENOIDAL

O smbolo e a conveno de sinais da fonte de tenso senoidal esto

representados na figura ao lado. Os sinais representados na figura so os

convencionados como positivos. Isto significa que quando a tenso tiver

valor instantneo positivo, a polaridade do terminal superior ser positiva e

a polaridade do terminal inferior ser negativa. Quando a tenso tiver valor

instantneo negativo, o terminal superior ser negativo e o inferior

positivo. A tenso positiva produz corrente positiva.

Para exemplificar, observe a seqncia da figura abaixo.

No instante t1, a tenso positiva com

mdulo 100 V. Como positiva, pela

conveno adotada, o terminal superior

positivo e o terminal inferior negativo.

No instante t2 a tenso -50 V, isto

significa que a diferena de potencial entre os

terminais da fonte 50 V e a polaridade

inverteu em relao ao instante t1, o terminal

superior se tornou negativo e o terminal

inferior positivo.

t(s) t(s)

i(A) v(V)

_-

+ i

v

100V

-50V

t1

t2

i

t

i

t

i

t


v(V)

t(ms) 2,5 5,0

+200V

-200V

7,5 10,0

onde:

v = valor instantneo da tenso ( V );

VM = valor mximo ou de pico da tenso ( V );

= freqncia angular ou velocidade angular ( rad/s );

t = instante de tempo considerado ( s );

As correntes que circulariam em cada instante de tempo seriam as representadas nos

circuitos a seguir.

Para determinar-se a tenso em cada instante de tempo, utiliza-se a seguinte expresso:

Exemplo: A expresso matemtica de

uma tenso alternada aplicada a um

resistor a seguinte:

v = 200.sen 628 t (Volts). Determine:

a) a tenso mxima e a freqncia

angular;

VM=200 V ; =628 rad/s b) a tenso no instante t = 3 ms;

v=200.sen628(rad/s).0,003(s)=190 V

c) representar grficamente a forma de

onda da tenso.

2.2. CICLO, PERODO E FREQNCIA

As tenses e correntes alternadas so formas de onda peridicas, isto , se repetem em dados

intervalos de tempo. Define-se como ciclo, um conjunto de valores que se repetem periodicamente.

A parte do ciclo acima do eixo dos tempos recebe a denominao de semiciclo positivo e a

parte do ciclo abaixo do eixo dos tempos denominada semiciclo negativo. O tempo transcorrido

para completar um ciclo o perodo ( T ) e a sua unidade o segundo ( s ). A

freqncia ( f ) de uma grandeza alternada o nmero de ciclos que ocorrem por

segundo. Portanto, a freqncia se refere a rapidez com que a tenso ou corrente

alternada troca de sentido. A unidade antiga de freqncia era ciclos/segundo, que

hoje em dia recebe a denominao de Hertz ( Hz ). Em praticamente todo o Brasil a freqncia 60

Hz. Em muitos pases da Europa a freqncia 50 Hz. Na figura abaixo temos uma onda senoidal

com perodo T = 0,2 s ( tempo de um ciclo ) e ocorrem cinco ciclos a cada segundo, portanto a

freqncia f = 5 Hz.

_+

-

i

100V

_+

- i

50V

v = VM . sen t

v ou i

f

1T


2.3. VALOR MDIO DAS GRANDEZAS ALTERNADAS

O valor mdio denominado componente CC de uma forma de onda e representa o valor

que um voltmetro ou ampermetro de corrente contnua mediriam para a onda.

O valor mdio a mdia aritmtica dos valores instantneos, calculada no intervalo de

tempo de um perodo. Para isso, determina-se a rea formada entre a curva e o eixo dos tempos e

divide-se esta rea pelo perodo.

Imd a corrente mdia ou componente CC forma de onda. A tenso mdia

Vmd ) pode ser determinada pelo mesmo processo.

EXEMPLO : Calcular o valor mdio da corrente i.

Obs.:

# cada diviso horizontal = 2,5 ms # cada diviso vertical = 20 mA

rea (marcada)= 100mA x 2,5ms - 20mA x 7,5ms = 100As

Imd = 100 As/10ms = 10 mA

Em se tratando de correntes senoidais, o valor mdio em um perodo zero, porque a

rea positiva igual a rea negativa. Porm, em alguns casos pode ser til conhecer o valor mdio

para meio perodo, que dado pelas equaes abaixo.

I .m d MI2

ou Imd = 0,637.IM

V VmdM

2

. ou Vmd = 0,637.VM

A demonstrao exata destas equaes s

pode ser feita atravs de clculo integral

tendo em vista o aspecto da rea formada entre a

curva senoidal e o eixo dos tempos.

perodo

read mI

IM

Im

i ( mA )

t ( ms )


2.4. VALOR EFICAZ DAS GRANDEZAS ALTERNADAS

O valor eficaz de uma forma de onda est relacionado com a potncia dissipada num resistor

pela passagem da corrente alternada por ele.

Supondo-se que por um resistor circule corrente alternada com valor mdio igual a zero,

haver dissipao de potncia porque circula corrente por ele (gerao de calor por efeito Joule),

no importando o sentido desta corrente. Portanto, o valor mdio no adequado para clculo de

potncia em corrente alternada. Para isto criou-se o conceito de valor eficaz.

Uma corrente alternada possui um valor eficaz I quando produz a mesma quantidade de

calor por efeito Joule em um resistor como a que produzida por uma corrente contnua de

intensidade I no mesmo resistor, em um intervalo de tempo de um perodo.

Considerem-se dois circuitos de iguais resistncias eltricas R=100, porm, um percorrido por corrente contnua, de intensidade 1A, e o outro percorrido por uma corrente alternada senoidal

de valor mximo desconhecido.

i i

p p

t t

t t

00 90

0 180

0 270

0 360

0

00 90

0 180

0 270

0 360

0

00 90

0 180

0 270

0 360

0

00 90

0 180

0 270

0 360

0

V V

R R

I Imx


A potncia dissipada pelo resistor em corrente contnua ser constante, porque a corrente

constante, com valor P = R.I2

= 100.12 = 100 W.

A potncia dissipada pelo resistor em corrente alternada ser varivel, porque a corrente

varivel. O valor de potncia em cada instante de tempo determinado pelo quadrado da corrente

no instante e pela resistncia, ou seja:

p = R . i2

onde:

p = potncia instantnea ( W );

R = resistncia ( ); i = corrente instantnea ( A ).

A equao anterior mostra-nos que a potncia instantnea ser sempre positiva, mesmo

quando a corrente for negativa porque neste caso, a corrente elevada ao quadrado, produzir uma

potncia positiva. No instante em que a corrente for zero a potncia tambm ser. Sendo assim, a

curva representativa da potncia em C.A. ser uma senide totalmente deslocada para acima do eixo

dos tempos.

Considerando que a potncia dissipada em C.C. 100W com uma corrente constante de 1A;

se a potncia mdia dissipada no circuito de C.A. for tambm 100W, ento a corrente alternada

senoidal tem um valor eficaz de 1A.

Para produzir uma corrente eficaz de 1A em uma resistncia de 100, a tenso eficaz da

fonte C.A. : 100 . 1A = 100V. Portanto, se a potncia em C.C. for igual a potncia mdia em C.A., tem-se:

Pcc = Pmca

R.I2 = valor mdio de ( R.i

2 )

A intensidade da corrente contnua I igual ao valor eficaz da corrente alternada e i o

valor instantneo da corrente alternada.

R.I2 = R . valor mdio de ( i

2 )

I2 = valor mdio de ( i

2 )

)( 2idemediovalorI

A equao acima mostra que o valor eficaz a raiz quadrada da mdia dos quadrados dos

valores instantneos, ou resumidamente, raiz mdia quadrtica que em ingls Root Mean Square

( abreviado RMS ). Assim, o valor eficaz tambm comumente chamado valor RMS.

Clculo do valor eficaz ou RMS de tenses e correntes senoidais

)( .

)( .

).(

).(

)(

22

22

22

2

2

tsendemediovalorII

tsendemediovalorII

tsenIdemediovalorI

tsenIdemediovalorI

idemediovalorI

M

M

M

M

Como o valor mximo de sen2 t 1, o valor mdio de sen2 t ser . Logo:

I I M .1

2


Onde: I = valor eficaz ou rms da corrente (A);

IM = valor mximo da corrente (A).

Por analogia, a tenso eficaz dada pela seguinte equao:

Onde: V = tenso eficaz ou rms (V);

VM = tenso mxima ou de pico (V).

Para caracterizar a importncia do valor eficaz, vale destacar que:

1o) Atravs dos valores eficazes, o equacionamento para circuitos de C.A. fica semelhante ao

equacionamento para circuitos de C.C. . Por exemplo, para calcular a potncia mdia num resistor:

Pm = valor mdio de R . i2

Pm = R . valor mdio de i2

Mas, valor mdio de i2 = I

2 , portanto Pm = R . I

2

Onde Pm = potncia mdia dissipada no resistor ( W );

R = resistncia ( ); I = corrente eficaz ( A ).

Para calcular a potncia mdia em corrente alternada, utiliza-se o valor eficaz da corrente,

e no o valor mdio, resultando em uma equao idntica a da potncia dissipada por uma

resistncia em corrente contnua.

2o) Os valores de tenso e corrente indicados nos equipamentos de corrente alternada

(transformadores, geradores, motores, lmpadas, chuveiros, etc) so os valores eficazes. J a

potncia indicada nos equipamentos de aquecimento resistivo (fornos e chuveiros) corresponde a

potncia mdia.

3o) Os instrumentos de medida de tenses e correntes alternadas, voltmetros e ampermetros de

c.a., fornecem os valores eficazes.

Exemplo: Uma tenso senoidal de 60Hz e 311V de pico aplicada a um chuveiro de 11. Pede-se: a) A tenso contnua que deve ser aplicada ao chuveiro para que o aquecimento da gua permanea

o mesmo que em C.A..

b) Calcular a potncia mdia dissipada na resistncia do chuveiro.

Clculo do valor eficaz de outras formas de onda

O valor eficaz (ou raiz mdia quadrtica, rms) calculado elevando-se ao quadrado a forma

de onda ponto-a-ponto. A partir disso, obtm-se a mdia dos quadrados dos valores instantneos

atravs da rea formada entre curva ao quadrado e o eixo dos tempos dividida pelo perodo. A

seguir extrai-se a raiz quadrada dessa mdia quadrtica.

2

MII

2

MV

V

VV

V

V V

M

CC

2

311

2220

220 P

V

RW

2 2220

114400


Exemplo: Calcular a potncia mdia dissipada por um resistor de 10 percorrido pela corrente i, cuja forma de onda est apresentada a seguir.

rea(marcada)=80 A2.s

mdia de i2

= 80/2 = 40 A2

I A 40 6 325,

2.5. REPRESENTAO FASORIAL DAS ONDAS SENOIDAIS

As tenses e correntes senoidais podem ser representadas por um vetor, cujo mdulo igual

ao valor mximo da grandeza, que gira em sentido anti-horrio com velocidade angular constante.

Este vetor girante denominado FASOR.

Na figura dada, vemos que medida que o fasor gira a sua projeo no eixo vertical d a

sucesso de valores instantneos da grandeza. Neste exemplo o fasor est representando uma

corrente senoidal, portanto, o comprimento do fasor representa o valor mximo da corrente.

t

i2

1 2 3 4

64

48

32

16

t(s)

i(A)

1 2 3 4

8

W400 = P

325,6 . 10I . RP 22


O ngulo de deslocamento do fasor chamado de ngulo eltrico ( ) , expresso em

radianos eltricos ( rad E ) ou graus eltricos ( E ). Observe que uma rotao completa do fasor

(360E) produz um ciclo de senide. Por isso, pode-se relacionar ngulo eltrico com tempo e dizer

que 360E tempo de um ciclo. Em outras palavras:

360 E ( 2 rad E) 1 T

180 E ( rad E) T

A freqncia angular ( ) representa a velocidade com que gira o fasor, sempre em sentido anti-horrio. Matematicamente, a freqncia angular a relao

entre o ngulo eltrico percorrido e tempo gasto.

A unidade de freqncia angular radianos por segundo ( rd / s ).

Em uma rotao completa do fasor o ngulo eltrico percorrido de 2 rad e tempo consumido igual a um perodo ( T ).

Considerando-se que T = 1 / f , tem-se:

A velocidade de rotao do fasor diretamente proporcional a freqncia f da grandeza.

Tendo em vista as equaes anteriores e o conhecimento da representao fasorial, a

expresso matemtica para as correntes alternadas (i=IM.sen t ) pode ser apresentada, de forma mais genrica, de outras maneiras.

i=IM.sen (t + )

i = IM.sen ( + )

i = IM.sen ( 2f.t + )

Onde representa o ngulo de fase inicial, ou seja, o ngulo formado entre o fasor e a horizontal no instante de tempo t = 0. Na figura dada, no instante t = 0 s o fasor parte da posio

+90 em relao ao eixo horizontal de modo que a expresso matemtica para esta corrente

i = IM. sen (t + 90 ) .

t

2

T

= 2.f

IM

=t

i


Relaes de fase para formas de onda senoidais

# Grandezas defasadas: duas ou mais formas de onda senoidais de mesma freqncia esto

defasadas quando no atingem valores mximos positivos no mesmo instante de tempo.

Na figura a seguir, o ngulo da fase inicial para a corrente i1 0 e o ngulo de fase inicial

para a corrente i2 -60. Assim, as expresses matemticas para as correntes so:

i1 = 10 sen (t + 0 ) ou i1 = 10 sen t

i2 = 10 sen (t - 60 ) A corrente i1 atinge o valor mximo positivo primeiro que a corrente i2 que somente atingir

o valor mximo 60 aps. Nesta situao se diz que a corrente i1 est adiantada de 60 em

relao a corrente i2 , ou da mesma forma, que a corrente i2 est atrasada de 60 em relao a corrente i1..

# Grandezas em fase: duas ou mais formas de onda senoidais de mesma freqncia esto em fase

quando atingem valores mximos positivos no mesmo instante de tempo (figura a seguir).

v1 = V1 .sen t

v2 = V2 .sen t

I1

I2

=t

i1

i2

V2 V1

v2

v1

=t


-VM

VM

v

EXERCICIOS

1. Quais so o perodo e a freqncia de uma tenso que tem 12 ciclos em 46 ms?

2. Para uma onda de 60Hz, qual o tempo decorrido em um deslocamento de 30E do fasor?

3. Uma tenso senoidal de 5V de pico e freqncia 1kHz aplicada a um resistor de 10. Pede-se: a) a expresso matemtica da tenso;

b) perodo e freqncia;

c) tenso mdia e tenso RMS;

d) a potncia mdia dissipada no resistor.

4. Determinar o valor instantneo da corrente i = 80 sen ( 400t - 30 ) A em t=10ms.

5. A amplitude (valor mximo) e a freqncia de uma corrente alternada senoidal valem,

respectivamente, 20mA e 1khz. Determine o valor instantneo da corrente, decorridos 100s aps ela ter atingido o valor zero.

6. Determine o instante de tempo em que uma CA de amplitude 100mA e f=2Mhz atinge 25mA.

7. Determinar as relaes de fase e representar fasorialmente as ondas:

a) v = 60 sen ( 377t +50 ) V ; i = 3 sen ( 377t - 10 ) A.

b) v1 = 311 sen ( 100t + 50 ) V ; v2 = 125 sen ( 100t +10 ) V.

c) i1 = 10 sen ( 377t - 40) A ; i2 = 8 sen ( 377t - 10 )A. Responda na forma:_____ est adiantado(a) de ______ graus em relao a ______.

8. Duas fontes de tenso senoidal de mesma freqncia e com valores mximos de 200V e 100V

esto ligadas em srie. Considerando que as ondas esto defasadas de 90, determinar o valor que um voltmetro CA mede para a associao.

9. Calcular a tenso mdia para a forma de

onda ao lado.

10. No grfico ao lado, a tenso varia de acordo com a

seguinte equao: v = 5 sen . Determine o valor da tenso para:

a) = 400 b) = 0,8 rad

v(V)

t(ms)


11. No grfico ao lado est representado o

comportamento de uma tenso alternada senoidal.

Determine a equao caracterstica desta tenso e os

valores do perodo e da freqncia.

12. Ao lado, temos o desenho da tela de um

osciloscpio, onde no eixo horizontal est

representado o tempo (0,2 miliseg/diviso). A

diviso citada refere-se aos espaos maiores

(quadrados). Determine o valor do ngulo de defasagem entre as duas senides. No esquea que

deve ser considerado os picos mais prximos a fim

de se identificar qual senide est avanada em

relao a outra.

13. Na tela do osciloscpio desenhado ao lado, no eixo vertical est

representada a tenso (0,1V/diviso) e no eixo horizontal est

representado o tempo (50s/diviso). A diviso citada refere-se aos espaos maiores (quadrados). Determine o valor:

a)do perodo

b)da freqncia;

c)de pico a pico da tenso;

d)eficaz da tenso.

14. Considerando que, no grfico ao lado, a tenso

varia de acordo com a equao v = 10 sen 377 t ,

determine os instantes de tempo (em graus, rad e

miliseg) em que a tenso atinge o valor de 4V.

15. Nos dois

grficos dados,

determine em

cada caso:

a) o valor do

perodo;

b) o valor eficaz

da tenso (ou

corrente);

c) a equao

caracterstica da tenso (ou corrente).

v i


-16 mV

16. Sabendo-se que o valor mdio de uma grandeza

alternada senoidal equivale ao nvel CC desta

grandeza, determine o valor mdio da tenso, cujo

comportamento est representado no grfico ao lado.

17. No desenho a abaixo, temos uma fonte CC de 120V que alimenta uma carga consumidora de

3,6W. Determine os valores mximo (valores de pico) de tenso e de corrente relativos ao caso b,

de modo que a potncia nesta situao seja a mesma do caso anterior (3,6W)

18. Nos dois grficos dados, determine em cada caso:

a) o valor do perodo;

b) o valor eficaz da tenso (ou corrente);

c) a equao caracterstica da tenso (ou corrente).

c)

Circuitos Puros R, L e C 26

0 /2 3/2 2 t

VM

IM

3. CIRCUITOS PUROS

A partir de agora passaremos a aplicar as tcnicas da anlise fasorial a circuitos

(monofsicos) alimentados com corrente alternada senoidal.

O termo circuitos monofsicos no exclui que o circuito possa ser alimentado por duas fases ao invs de fase e neutro.

3.1. CIRCUITOS PURAMENTE RESISTIVOS

O resistor um modelo de circuitos que possuem resistncia eltrica. muito usado para

representar fornos eltricos, chuveiros, lmpadas incandescentes, resistncia de fios, cabos e

tambm a parte resistiva de mquinas, como ser visto adiante.

3.1.1. RELAO ENTRE TENSO E CORRENTE

No circuito representado ao lado temosum resistor

ligado a uma fonte ideal de tenso alternada. A Lei de Ohm

aplicada em qualquer instante a esse circuito resulta v=R.i; a queda de tenso em um resistor diretamente proporcional

corrente que por ele circula, e o diagrama que representa as

variaes da tenso e da corrente ao longo de um perodo

completo em um CPR est indicado na figura abaixo.

Em qualquer instante, a tenso possui o valor

da corrente multiplicado pela resistncia, que

constante. Se a corrente zero, a tenso zero; se a

corrente aumenta, a tenso aumenta; se a corrente

mxima positiva, a tenso mxima positiva, e assim

por diante. Essa relao proporcional, com a tenso e

a corrente tendo o mesmo tipo de variao ao mesmo

tempo caracterstica de CPR e dizemos que, nesses

circuitos, a tenso e a corrente esto em fase.

As equaes relativas a tenso da fonte e a

corrente esto indicadas ao lado, onde se comprova

que estas duas grandezas esto em fase.

Sabe-se que: t sen . R

V

R

vi M

Em t = 900 teremos: i=IM e v=VM . Assim, podemos dizer que: R

V I MM .

Dividindo ambos os membros da igualdade por 2 teremos: 2

RV

2

IM

M .

Logo: R

V I . Utilizando-se ento os valores eficazes de tenso e corrente, a equao

utilizada em CA a mesma utilizada em CC para circuitos puramente resistivos.

R

i

v = 10 sen t

i = 10 sen t

v


VM

IM

V1

V2

900

1800 270

0 360

0

3.1.2 REPRESENTAO FASORIAL

Os fasores representativos da tenso e da

corrente em um CPR giram com mesma velocidade

angular (pois v e i tm mesma freqncia) e superpostos (pois tm mesma fase).

Exemplo: para o circuito da figura

dada, calcule as quedas de tenso nos

resistores e faa os diagramas v,

i=f(t) e fasorial.

Soluo: a tenso da fonte foi dada

em valor instantneo, portanto

devemos redesenhar o circuito com o

valor eficaz e freqncia.

v = VM.sen t VM = 311 V

VV

2

311

2220VM

= 377 rad/s

f2.

37760Hz

2.

Como os resistores esto em

srie, pode-se somar suas resistncias

para obter a resistncia total ligada

fonte. Rt = 500 + 300 = 800 A corrente :

IV

R

220

8000,275A 275mA

A corrente I, ao passar

pelos resistores, causa quedas de

tenso V1 e V2 nos mesmos.

V1= R1.I = 500.0,275 =137,5V

V2 = R2.I = 300.0,275 =82,5 V

O diagrama v,v1,v2,i=f(t) est indicado ao lado.

O diagrama fasorial fica:

I V

V

I

R1 = 500 R2 = 300

311.sen377t (V)

R1 = 500 R2 = 300

220 V / 60 Hz

t

V2 V1 I V


2222

1

I

I

I

I

M2

M2

1

md

2

....2...4

2222

MMmd

VCfVCfII

3.2. CIRCUITOS PURAMENTE CAPACITIVOS

O capacitor um elemento capaz de acumular cargas eltricas e ficar carregado,

apresentando tenso em seus terminais, mesmo aps ter sido retirada a fonte. A corrente no o

atravessa; apenas o carrega ou descarrega. Dessa forma, uma corrente contnua s circula durante

um tempo de carga (ou descarga) e quando a tenso no capacitor igualar-se a da fonte, a corrente

deixa de circular. Sua grandeza caracterstica a capacitncia, medida em Farad (F).


A figura ao lado representa um capacitor puro ligado a

uma fonte de C.A.. Essa idealizao muito til, pois apesar de

sempre estar presente o efeito resistivo dos condutores, esse

efeito inexpressivo em muitos casos prticos, sendo ento

desprezado quando se usam bons capacitores industrializados.

A relao V x A para um capacitor i Cv

t .

. Essa

equao sugere que s circula corrente em um capacitor se

houver variao na sua tenso. Lembre-se de que um capacitor

ideal no permite a passagem da corrente de uma placa para

outra, e s circula corrente de carga (quando a tenso aumenta)

ou descarga (quando a tenso diminui).

Agora analisemos a relao VxA para excitao

senoidal. Sabemos que o valor mdio da corrente no capacitor

pode ser calculado por I Cv

tmd .

. Utilizemos um

intervalo no grfico v = f(t) que represente a variao que

ocorre na tenso. Esse intervalo pode ser de 0 a T/4, conforme a

figura dada.

Nesse intervalo, a tenso variou de 0 a VM. Ento:

como T=1/f ; Imd = 4.f.C.VM

Considerando:

Ento:

Como: VM / 2 = V e 2f = ;

REATNCIA CAPACITIVA

Note que h proporcionalidade entre os valores eficazes da tenso e da corrente, e a

constante de proporcionalidade 1/C. Se a tenso for mantida, quanto

maior for essa constante menor ser a corrente e vice-versa. Portanto 1/C representa a oposio circulao de corrente em um CPC, e chamada de

reatncia capacitiva (XC).

v C

i

t

T/4

VM

v

I= .C.V

X1

.C

1

2. .f.CC

I CV C V

Tmd

M

T

M

0 4

4

. .


V

I

900

I

V

900

0 /2 3/2 2 t

VM

0 /2 3/2 2 t

VM

IM

A Lei de Ohm aplicada a um capacitor toma a forma V = XC . I .

Note que deve-se usar os valores eficazes ou os valores mximos, no sendo aplicvel aos

valores instantneos, pois as variaes so defasadas, como veremos a seguir. A unidade de

reatncia capacitiva o ohm ().

Os capacitores se apresentam como circuito aberto para C.C.

X

CC

1

. e como curto-

circuito para C.A. de alta freqncia

X

CC

1

..

3.2.2. DEFASAGENS

Os valores instantneos de tenso e corrente em

um capacitor no so proporcionais. A corrente

proporcional taxa de variao da tenso i C.v

t

;

portanto tenso e corrente em um capacitor no sofrem

as mesmas variaes ao mesmo tempo.

Supomos que uma tenso senoidal seja

aplicada a um capacitor puro. O diagrama v=f(t) est indicado ao lado.

Nos instantes 0 e 360 ocorrem as mximas

variaes positivas, ento i C.v

t

nesses pontos

mxima positiva. No instante 180 ocorre a mxima

variao negativa, e em 90 e 270, v=0. Os valores intermedirios so proporcionais s variaes da

senide; portanto, ligando os pontos, temos a

representao senoidal a seguir.

Conclumos ento que a tenso e a corrente em

um CPC no esto em fase, pois no tm os mesmos

tipos de variaes ao mesmo tempo. Dizemos que

esto defasadas, e como as variaes sofridas pela

corrente so sofridas pela tenso 90E aps, a

defasagem de 90E com a tenso em atraso, ou com a corrente em avano, que d a mesma informao.

As equaes relativas a tenso e a corrente esto indicadas ao

lado, onde se comprova que a corrente est adiantada de 900

em

relao a tenso.

3.2.3. REPRESENTAO FASORIAL

Os fasores representativos da tenso

e da corrente em um CPC giram com

mesma velocidade angular (pois v e i tm a

mesma freqncia) e esto defasados de

90E com a corrente em avano.

v = 10 sen t

i = 10 sen (t + 90)


3.3. CIRCUITOS PURAMENTE INDUTIVOS O indutor um modelo de circuitos que trabalham com campo magntico criado por sua

corrente. Como qualquer condutor cria campo magntico quando percorrido por corrente, todos os

circuitos tm sua parcela indutiva. Na prtica, porm, s tem importncia o efeito indutivo de

circuitos que precisam do campo magntico para funcionar ou aqueles que so influenciados de

forma significativa por ele. Por exemplo, o campo magntico de um chuveiro to pequeno que no

se fala em efeito indutivo em chuveiros. Eles so, na prtica, puramente resistivos. J um

transformador essencialmente uma mquina indutiva porque necessita do campo magntico para

efetuar sua funo de transformar tenso e/ou corrente.

Assim, o indutor o tpico representante de

mquinas e dispositivos que contm enrolamentos

destinados a criar campo magntico, tais como geradores,

motores, transformadores, eletroms, etc.. Sua grandeza

caracterstica a indutncia L, medida em Henry (H).

O circuito representado na figura a idealizao de

um circuito indutivo puro. Tal circuito no ocorre na

prtica comum, pois sempre est presente o efeito resistivo

dos condutores. No entanto, o estudo do efeito indutivo em

separado de outros efeitos se faz necessrio para que o

aluno possa compreender os agrupamentos que viro a

seguir. No se esquea que muito comum representar-se um indutor da

forma ao lado.


A relao VxA para um indutor v Li

t .

, o que mostra que a coexistncia de tenso

e corrente em um indutor no to simples como em um resistor. No resistor, a queda de tenso

diretamente proporcional corrente (v=R.i), tendo como oposio corrente a resistncia. No

indutor, a queda de tenso diretamente proporcional variao da corrente, tendo como oposio

variao da corrente a indutncia.

Agora aplicaremos a relao V x A para indutores com

excitao senoidal. O valor mdio da tenso no indutor pode ser

calculado com V Li

tmd .

.

Utilizemos um intervalo do grfico i = f(t) que

represente a variao que ocorre na corrente. Esse intervalo

pode ser de 0 a T/4.

Nesse intervalo, a corrente variou de 0 a Im. Ento:

V LI L I

Tmd

M

T

M

0 4

4

. . como T=1/f Vmd = 4.f.L.IM

E considerando que: 2222

1

V 2

2

V

V

V

M

M

md

Ento: 22

.

mdVV

e, para o CPI 2

....2

224.F.L.I M

MILfV

Como IM / 2 = I e 2f =

obtm-se:

L

v

i

t

T/4

IM

V = . L . I


XL = . L = 2. . f . L

0 /2 3/2 2 t

IM

VM

I

V

900

V

I

900

AMPLIFICADOR

tweeter

woofer L

C

REATNCIA INDUTIVA

Assim como no resistor e no capacitor, h proporcionalidade entre os valores eficazes da

tenso e da corrente. Relembremos: resistor: V=R.I ; capacitor: V=(1/C).I ; indutor: V=.L.I

O fator L representa a oposio que o indutor apresenta circulao de corrente e denominada de reatncia indutiva (XL).

A unidade de reatncia indutiva o ohm. Assim, teremos: V = XL . I .

Os indutores tm a propriedade de se opor a variaes da corrente, sendo essa capacidade

medida pela indutncia. Quanto maior for a indutncia maior ser a dificuldade de circular uma

corrente varivel ( XL = .L ) e quanto mais rpida for essa variao, tambm maior ser a

oposio ( XL = .L ). Se um CPI for percorrido por corrente contnua, ele se apresenta como um curto-circuito (sem oposio passagem de corrente). Se um CPI for percorrido por C.A. de alta

freqncia, ele se apresenta como um circuito aberto (oposio infinita passagem de corrente).

Uma aplicao bem prtica dos circuitos RLC a

esquematizada ao lado, onde temos um sistema de alto-falantes.

No tweeter (dimetro pequeno) so produzidos os sons agudos

(alta freqncia) e no woofer (dimetro grande) so produzidos os

sons graves (baixa freqncia). De modo que os sinais

transmitidos em freqncias diferentes sejam recebidos pelo alto-

falante adequado, eles so associados em paralelo e ligados na

sada do amplificador. Assim, o capacitor bloquear os sinais

transmitidos em baixa freqncia e permitir a passagem de sinais

transmitidos em alta freqncia. Com a colocao de um indutor

no ramo do woofer, teremos a situao inversa.

3.3.2. DEFASAGENS

De forma anloga ao capacitor, o indutor no

possui proporcionalidade entre valores instantneos

de tenso e corrente. A tenso proporcional taxa

de variao da corrente v Li

t .

. Fazendo uma

anlise grfica semelhante ao que foi feito com o

capacitor, obtm-se o grfico ao lado. Dessa forma,

conclumos que a corrente e a tenso em um indutor

esto defasadas de 90E, com a tenso em avano, ou com a corrente em atraso, que a mesma coisa.

As equaes relativas a tenso e a corrente

esto ao lado, onde se comprova que a tenso est

adiantada de 900

em relao a corrente.

3.3.2. REPRESENTAO FASORIAL

Os fasores representativos de tenso

e corrente em um CPI giram com a mesma

velocidade angular (pois v e i tm a mesma freqncia) e com defasagem de 90E, com a tenso adiantada em relao corrente.

i = 10 sen t

v = 10 sen (t + 90)


0 /2 3/2 2

IM

18,18 t(ms)

EXERCCIOS

1. Sobre um resistor de 2K2 aplica-se uma tenso VRMS=110V ; f=60Hz.

a)Calcule a intensidade da corrente IRMS.

b)Alterando-se a freqncia para 50Hz, o que ocorre com IRMS?

2. Um resistor de 50 ligado a uma fonte CA de VM=300V e f=100Hz. Calcule a intensidade da corrente medida por um ampermetro que est ligado em srie com a carga consumidora.

3. No exerccio anterior, pretende-se substituir a fonte CA por uma CC que produza a mesma

dissipao de energia no resistor. Que valor dever ter a tenso dessa fonte?

4. Uma fonte gera f.e.m. e = 60 . sen 500t (V) e possui resistncia interna r =2. Calcule o valor eficaz da corrente e da tenso no resistor de 1kW / 220V ligado a ela.

5. Calcule a reatncia de um capacitor de 1nF freqncia de 50Hz, 60Hz, 1kHz e 1MHz.

6. Esboce um grfico I=f(f) para um capacitor de 1F

alimentado com 10V, com freqncia varivel de 0 a . Utilize os eixos ao lado.

7. Um capacitor de 77F est conectado numa rede de CA, onde temos Vmx=170V e f=50hz. Determine o valor da corrente medida por um ampermetro ligado em srie com o circuito.

8. Um capacitor de 10F est ligado a uma fonte de tenso v=300sen t, sendo f=60Hz. Calcule o valor instantneo da corrente em t=2ms.

9. Um capacitor de placas planas e paralelas de 5cm x 80cm cada, com um dieltrico de 0,2mm de

espessura e K=500 ligado a uma fonte de 127V / 50Hz. Considerando-o como capacitor puro,

calcule o valor eficaz da corrente que circular.

10. Um capacitor de C=42F ligado a uma fonte de 220V / 60Hz. Calcule o valor da corrente.

11. Calcule a reatncia de um indutor de 1mH freqncia de 50Hz, 60Hz, 1kHz e 1MHz.

12. Por uma bobina de 7mH circula uma corrente (CA) de Imx=14,1A numa freqncia de 50Hz.

Determine o valor da tenso medida por um voltmetro ligado em paralelo com a bobina.

13. Um indutor puro de L=300mH ligado a uma fonte de 127V / 50Hz. Calcule o valor da

corrente medida por um ampermetro ligado em srie com o indutor.

14. Se a freqncia da fonte da questo anterior subir para 1kHz, qual o novo valor da corrente?

15. Um indutor puro de 3H alimentado com uma tenso mxima

(tenso de pico) VM=400V. Sabendo-se que a corrente varia de

acordo com a senide ao lado, determine o valor instantneo da

corrente quando a tenso est com o valor referente a 225eltricos.

f (Hz)

I(A)


/2 3/2 2

-/2 0 /2 3/2 2

VM

IM

IM

VM

16. Dados os pares de expresses para tenses e correntes a seguir, determine se o dispositivo

envolvido um capacitor, um indutor ou um resistor e calcule os valores de C, L e R.

a) v=100 sen (t+400) e i=20 sen (t+400) b) v=1000 sen (377t+10

0) e i=5 sen (377t-80

0)

c) v=500 sen (157t+300) e i=1 sen (157t+120

0)

17. Num circuito puro alimentado por CA, a tenso e a

corrente variam de acordo com as equaes a seguir:

i=3 sen (t+300) e v = 2 sen (t - 600). Identifique o ngulo de defasagem entre a tenso e a corrente, represente

estas grandezas no grfico ao lado e diga que tipo de

circuito se trata (carga resistiva, capacitiva ou indutiva).

18. Em que freqncia um indutor de 5mH ter a mesma reatncia de um capacitor de 0,1F?

19. Num circuito puramente indutivo (grfico

representado ao lado) circula uma corrente

i = 10 sen 377t. Sabendo-se que a indutncia do

indutor vale 0,1H, determine o valor mximo (valor

de pico) da tenso.

20. Refaa o problema anterior, considerando uma corrente

i = 10 sen (377t+300) e esboe as curvas de v e i no grfico

ao lado.

21. Faa novamente o problema 19, considerando que a corrente i = 7 sen (377t-700) e esboe as

curvas de v e i num novo grfico.

22. Num circuito puramente capacitivo (grfico

representado ao lado) aplicada uma tenso

v=30 sen 400t . Sabendo-se que a capacitncia

do capacitor vale 1F determine o o valor mximo (valor de pico) da corrente.

23. A expresso para a corrente num capacitor de 100F i = 40 sen (500t + 600). Determine a expresso senoidal (equao caracterstica) para a tenso no capacitor.

24. So dadas a seguir expresses para a corrente em uma reatncia indutiva de 20. Qual a expresso senoidal para a tenso em cada caso?

a) i = 5 sen t b) i = 0,4 sen (t + 600)

25. A seguir so apresentadas as expresses para a tenso aplicada a um capacitor de 0,5F. Qual a expresso para a corrente em cada caso?

a) v = 127,2 sen 754t b)v = 100 sen (1600t-1700)

Circuitos RLC Srie e Paralelo 34

4. CIRCUITOS RLC SRIE E PARALELO

4.1. CIRCUITOS RC SRIE

4.1.1. LEI DAS TENSES DE KIRCHHOFF PARA CA

Aplicamos a Lei de Kirchhoff das tenses ao circuito a seguir, lembrando que as tenses no

podem ser somadas algebricamente, devido s defasagens. Note que temos uma soma fasorial

(vetorial) e no algbrica. Projetando num diagrama os fasores correspondentes s quedas de

tenso, com a corrente no referencial, temos:

O resultado um fasor que representa a tenso aplicada ao conjunto. Esse fasor tem mdulo

igual ao valor eficaz dessa tenso e est atrasado de um ngulo em relao corrente. A corrente

que circula em um circuito RC avana um ngulo (entre 00 e 90) em relao tenso nos extremos do circuito.

Verificamos que o tringulo tem VR e VC como catetos e V como hipotenusa. Aplicando

teorema de Pitgoras, temos V V V2 R2

C

2 ou

Da trigonometria, temos:

4.1.2. DIAGRAMA DE OPOSIES: IMPEDNCIA

Considerando o diagrama fasorial das tenses acima, vamos refazer o diagrama, dividindo

cada tenso considerada pela corrente, que comum aos elementos (pois esto em srie).

V V VR C

VR VC

v

i

VR I

V VC

V V VR2

C

2

senV

V cos

V

V tan

V

V

C R C

R

R

XCZ

VR /I I / I

V / I

VC /I


V = Z . I

V

VR VL

i

VR I

V VL

Este novo tringulo tem dimenses de oposio (tensao

corrente

~), onde:

VR /I = R ; VC / I = XC e V / I = Z

Z chamada impedncia do circuito, e corresponde oposio que ele oferece

circulao da corrente. Sua unidade o ohm ().

Aplicando-se o Teorema de Pitgoras no tringulo das oposies obtido, temos Z2=R

2 + XC

2

ou:

Pela trigonometria, temos:

Ento, a Lei de Ohm aplicada a circuitos alimentados com C.A. fica:

Se o circuito for CPR, ela se reduz a V=R.I; se for CPC, se reduz a V=XC.I; genericamente,

V=(oposio).I.

4.2. CIRCUITOS RL SRIE

4.2.1. LEI DAS TENSES DE KIRCHHOFF PARA CA

Aplicamos a Lei de Kirchhoff das tenses ao circuito a seguir, lembrando que as tenses no

podem ser somadas algebricamente, devido s defasagens. Note que temos uma soma fasorial

(vetorial) e no algbrica. Projetando num diagrama os fasores correspondentes s quedas de

tenso, com a corrente no referencial, temos:

O resultado um fasor que representa a tenso aplicada ao conjunto. Esse fasor tem mdulo

igual ao valor eficaz dessa tenso e est adiantado de um ngulo em relao corrente. A corrente

que circula em um circuito RL se atrasa de um ngulo (entre 00 e 90) em relao tenso nos extremos do circuito.

Z R X2 C2

senX

Z cos

R

Z tan

X

R

C C

LR VVV


VR/I I/I

V/I VL/I

Verificamos que o tringulo tem VR e VL como catetos e V como hipotenusa. Aplicando

teorema de Pitgoras, temos 2L2

R

2 VVV ou

Da trigonometria, temos:

4.2.2. DIAGRAMA DE OPOSIES: IMPEDNCIA

Considerando o diagrama fasorial das tenses do item anterior, vamos refazer o diagrama,

dividindo cada tenso considerada pela corrente, que comum aos elementos (pois esto em srie).

O segundo tringulo tem dimenses de oposio (tensao

corrente

~), onde:

VR / I = R ; VL / I = XL e V/I=Z

Z chamada impedncia do circuito, e corresponde oposio que ele oferece

circulao da corrente. Sua unidade o ohm (). Aplicando-se o Teorema de Pitgoras no tringulo das oposies, temos: Z

2=R

2 + XL

2 ou

Pela trigonometria, temos:

Vimos, ento, que a Lei de Ohm aplicada a circuitos alimentados com C.A. fica:

2

L

2

R VVV

R

LRL

V

V tan

V

V cos

V

Vsen

R

XL Z

2

L

2 XRZ

R

X tan

Z

R cos

Z

Xsen LL

V = Z . I


1 K 10 mF A B

EXERCCIOS

1. Calcule a impedncia ZAB do circuito da figura

dada para = (a)0, (b)500rad/s (c)106 rad/s e (d).

2. Um resistor de 10 e um capacitor de 220F esto ligados em srie a uma fonte de 254V/60Hz. Calcule (a) I, (b) VR, e (c)VC.

3. Calcule (a) I, (b) VR1, (c)VC1, (d) VR2, (e) VC2, (f) VAB, (g) VAC e (h) VBD, no circuito da figura

dada, e faa o diagrama de tenses completo.

4. Se a fonte CA do exerccio anterior fosse substituda por um dnamo (gerador de C.C.) de 220V,

qual seria o valor da corrente I?

5. Deseja-se alimentar uma lmpada incandescente de 100W / 127V a partir de uma fonte de 220V /

60Hz. Calcule qual dever ser a capacitncia do capacitor a ser ligado em srie, de modo que a

lmpada funcione corretamente.

6. Determine o valor do capacitor que deve ser ligado em srie com um resistor de 750 para limitar a corrente em 200mA quando o circuito for submetido a 240V em 400Hz.

7. Considerando o circuito abaixo, faa os diagramas

fasoriais e calcule as quedas V1 e V2. Dados: R=8;

C1=530,5F; C2=265,3F; V=340V; f=60 Hz.

8. Um resistor de 20 est em srie com um capacitor de 0,1F. Em que freqncia a tenso e a corrente estaro defasadas de 40

0?

9. Responda as perguntas abaixo:

a) Um capacitor com ar entre as placas ligado em srie com uma lmpada incandescente a uma

fonte de CA. Se for introduzido um dieltrico de constante K alta, o que ocorre com o brilho da

lmpada? Justifique.

b)Uma bobina com ncleo de ar est ligada em srie com uma lmpada incandescente e uma fonte

CA. O que acontecer com o brilho da lmpada se for introduzido um ncleo de ferro na bobina?

Justifique.

C1 R C2

V ; f

V1 V2

A B C D

R1=20 C1 =100F R2 =15 C2 =300F

220 V / 60 Hz


R1 L1 R2 L2

V ; f

V1 V2

10. Uma bobina de R=5 e L=0,5H foi conectada a uma fonte. Calcule o valor da corrente, considerando que a fonte de:

a)CC e fornece V=10V.

b)CA e fornece VRMS=10V em 50Hz.

Compare as correntes e justifique.

11. Atravs de uma bobina de resistncia 2,3 e indutncia 30mH, passa uma corrente de 5A quando nos seus terminais aplicada uma tenso senoidal de 55V. Calcular a freqncia da corrente

que atravessa a bobina.

12. Uma bobina solicita uma corrente de 0,25A quando ligada a uma bateria de 12V, e uma

corrente de 1A quando ligada a uma fonte de 120V, 60Hz. Determinar a resistncia e a indutncia

da mesma.

13. Uma bobina (RL srie) alime

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