Variáveis aleatórias

Profa. Dra. Juliana Garcia Cespedes

Aula 7

Variável aleatória

• Agora vamos formalizar, com a ajuda da Teoria das

probabilidades, o comportamento de variáveis na

população.

• Uma variável aleatória é uma quantidade X, associada a

cada possível resultado do espaço amostral.

a b c d e f

x1 x2 x3 x4

X

Ω

Variável aleatória

• Variável aleatória discreta se assume valores

num conjunto enumerável, com certa

probabilidade.

Ex: Número de filhos em famílias.

• Variável aleatória contínua se seu conjunto de

valores é qualquer intervalo dos números reais,

o que seria um conjunto não enumerável.

Ex: Peso e altura dos filhos.

Variável aleatória discreta

Função de probabilidade discreta

• Chama-se função de probabilidade da variável

aleatória discreta X, que assume os valores x1, x2, ..., xx,

..., a função p(xi) que a cada valor de xi associa a sua

probabilidade de ocorrência, isto é,

• Ou ainda,

,...2,1,)()( ipxXPxp iii

...

...

321

321

pppp

xxxX

i

Satisfaz as

propriedades:

i

i

i

p

p

1

10

Exemplo

• Para as famílias de uma região, 20% não tem filhos, 30% tem um filho, 35% tem dois e as restantes se dividem igualmente entre três, quatro ou cinco filhos. (Informações retiradas do último censo).

• Definimos por N a variável aleatória número de filhos.

• Os valores que a variável N pode assumir são:

0,1,2,3,4 e 5 filhos

• Qual é a função de probabilidade dessa

variável?

• Segue das informações disponíveis:

20% das famílias não tem filhos, então a

probabilidade de uma família sorteada ao

acaso não ter filhos é P(N=0) = 0,20.

• De forma semelhante, temos que:

P(N=1) = 0,30

P(N=2) = 0,35

• Falta descrever as probabilidades P(N=3),

P(N=4) e P(N=5).

• Sabemos que são iguais e digamos que tenham

valor p. Utilizando a definição de função de

probabilidade discreta, temos:

05,03

15,0

1385,0

135,030,020,0

1)5(...)2()1()0(

p

p

ppp

NPNPNPNP

• Logo a função de probabilidade para N é dada

pela tabela a seguir:

05,005,005,035,030,020,0

543210

ip

N

ni

P(N=ni)

0 1 2 3 4 5

0,35

0,30

0,20

0,05

Gráfico da função de probabilidade discreta ou

função massa de probabilidade

Função de distribuição de

probabilidade

• A função de distribuição ou função

acumulada de probabilidade de uma variável

aleatória discreta X é definida, para qualquer

número real x, por:

)()( xXPxF

• Considere o exemplo anterior, cuja função massa de

probabilidade é dada por:

• A função de distribuição ou função acumulada é dada

por:

05,005,005,035,030,020,0

543210

ip

N

51

5495,0

4390,0

3285,0

2150,0

1020,0

00

)(

nse

nse

nse

nse

nse

nse

nse

nF

)()( nNPnF

Gráfico da função acumulada

51

5495,0

4390,0

3285,0

2150,0

1020,0

00

)(

nse

nse

nse

nse

nse

nse

nse

nF

ni

F(n)

0 1 2 3 4 5

1

0,95

0,90

0,85

0,50

0,20

Exercício• Um jogador paga 5 fichas para participar de um jogo de

dados, disputando com a banca quem tem o ponto maior. O jogador e a banca lançam cada um o seu dado e a seguinte regra de premiação é estabelecida:

• Se o ponto do jogador é maior, ele ganha 2 vezes a diferença entre o seu ponto (j) e o obtido pela banca (b);

• Se o ponto do jogador é menor ou igual ao da banca, ele não ganha nada.

• O jogo é mais favorável para quem?

bjse

bjsebjG

,0

),(2Variável aleatória G: ganho

bruto do jogador em uma

jogada, isto é, valor

arrecadado sem descontar

as fichas inicias pagas para

participar do jogo.

Resposta• Para cada par sorteado (b,j), a premiação é baseada

nos seus valores. Dessa forma, se o jogador tira 3 e a

banca 1, o valor do ganho bruto do jogador será

G=2*(1-3)=4.

• Se o jogador tira 5 e a banca 6, temos G=0 pois j<b.

• O espaço amostral, correspondente a uma jogada, é

apresentado a seguir:

5,1

5,2

5,3

5,4

5,5

5,6

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

4,1

4,2

4,3

4,4

4,5

4,6

6,1

6,2

6,3

6,4

6,5

6,6

Resposta• O valor G=0 acontecerá quando o ponto do jogador for

menor ou igual ao da banca. Isso corresponde ao

subconjunto do espaço amostral:

• Esses 21 pares tem todos a mesma probabilidade de

ocorrência e, portanto, teremos P(G=0) = 21/36

5,5

5,6

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

3,3

3,4

3,5

3,6

4,4

4,5

4,6 6,6

Resposta• De modo análogo, calculamos os demais valores e

obtemos a função de probabilidade:

Conclusão:

Tendo em vista as 5 fichas pagas no início, o jogador só

não terá prejuízo nos casos em que obtiver 6, 8 ou 10

fichas de retorno, o que acontece com probabilidade

3/36+2/36+1/36 = 6/36. Portanto, o jogo é altamente

favorável à banca e, somente com muita sorte (1/36), o

jogador ganhará o dobro do que apostou.

36/136/236/336/436/536/21

1086420

ip

G

Valor esperado

• Dada a variável aleatória X discreta, assumindo

os valores x1, x2, ..., xn, chamamos de valor

médio ou esperança matemática de X ao valor:

n

i

ii

n

i

ii pxxXPxXE11

)()(

n

i

ii frxx1

Valor teórico de probabilidade

Valor frequentista de probabilidade

Medida para a população

Medida para a amostra

Variância

• A variância da variável aleatória discreta X

é definida por:

• O desvio padrão ( ) de X é definido como

a raiz quadrada da variância.

i

n

i

i pXExX 2

1

2 ])([)var(

Mediana e Moda

• A mediana de uma variável aleatória discreta X

é o valor que satisfaz às seguintes condições:

• A moda é o valor da variável que tem maior

probabilidade de ocorrência

2

1)(

2

1)( MdXPeMdXP

),...,,max()( 21 npppMoXP

Desvio padrão

Variância

Mo= valor com maior

probabilidade

mo= valor com maior

frequência

Moda

md=valor centralMediana

Média

Valores

Variável aleatória discretaConjunto de dados

n

n

frfrfrfreq

xxxX

....

...

21

21

ni

n

pppp

xxxX

...

...

21

21

n

i

ii frxx1

n

i

ii pxXE1

)(

2

1)(

2

1)(: MdXPeMdXPMd

i

n

i

i px 2

1

2 )(

i

n

i

i frxxx 2

1

)()var(

)var()( xxdp 2

Principais modelos discretos

• Algumas variáveis aleatórias aparecem com frequência em situações práticas. Em geral nesses casos, a distribuição de probabilidade pode ser escrita de uma maneira mais compacta, isto é, existe uma lei para atribuir as probabilidades.

• Ex: Uma rifa de 100 números, qual a probabilidade de sair um número ao acaso? Como escrever a função de probabilidade discreta?

• A probabilidade de sair um número

qualquer ao acaso é 1/100.

• A função de probabilidade é dada por:

100,...,1,100

1)( ixXP i

1001...

1001

1001

100...21

ip

X

Modelo uniforme discreto

• Seja X uma v. a. cujos possíveis valores são

representados por x1, x2, ...,xk. Dizemos que X segue o

modelo Uniforme Discreto se atribui a mesma

probabilidade 1/k a cada um desses k valores, isto é,

sua função de probabilidade é dada por:

.,...,2,1,1

)()( kik

xpxXP ii

k

i

i

iik

xx

kXx

kXE

1

2

22 1)var(,

1)(

Modelo Uniforme Discreto

• Função de probabilidade e função de

distribuição

xi

P(X=xi)

x1 x2 x3 xk

1/k

xi

1/k

x1 x2 x3 xk

2/k

1 F(x)

Bernoulli

• Experimentos que apresentam ou não uma determinada característica. Situações que podem ser representadas por respostas do tipo sucesso-fracasso.

• Exemplos

• Uma moeda é lançada: o resultado ou é cara, ou não (ocorrendo, coroa).

• Uma peça é escolhida ao acaso de um lote de 500 peças: essa peça é defeituosa ou não.

• Uma pessoa é escolhida ao acaso entre os moradores de uma cidade e verifica-se se ela é favorável ou não a um projeto municipal.

• Dizemos que uma v.a. X segue o modelo

Bernoulli se atribui 0 ou 1 a ocorrência de

fracasso ou sucesso, respectivamente. Com p

representando a probabilidade de sucesso, sua

função de probabilidade é dada por:

pXP

pXP

sejaou

xppxXP xx

)1(

1)0(

,

1,0,)1()( 1

)1()(;)( ppXVarpXE

Distribuição Bernoulli

xi

P(X=xi)

0 1

p

1-p

xi

1

F(x)

0 1

1-p

•Função de probabilidade e função de

distribuição

Binomial• Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli

independentes e todos com a mesma probabilidade de sucesso p.

• Exemplos:

• Uma moeda é lançada é três vezes, qual é a probabilidade de se obter duas caras?

• Dez peças são extraídas, ao acaso, com reposição, de um lote contendo 500 peças, qual é a probabilidade de que todas sejam defeituosas, sabendo-se que 10% das peças do lote são defeituosas?

• Sabe-se que 90% das pessoas de uma cidade são favoráveis a um projeto municipal. Escolhendo-se 100 pessoas ao acaso entre os moradores, qual é a probabilidade de que pelo menos 80 sejam favoráveis ao projeto?

• A v.a. que conta o número total de sucessos é

denominada Binomial com parâmetros n e p e

sua função de probabilidade é dada por:

• Com representando o coeficiente binomial

calculado por:

nxppx

nxXP xnx ...,,2,1,0,)1()(

)!(!

!

xnx

n

x

n

x

n

)1()()( pnpXVarnpxE

Exemplo

• Dez peças são extraídas, ao acaso, com reposição, de

um lote contendo 500 peças, qual é a probabilidade de

que todas sejam defeituosas, sabendo-se que 10% das

peças do lote são defeituosas?

• Temos n=10 ensaios de Bernoulli, cada um com

P(S)=P(peça defeituosa)=p=0,1.

• Se X indicar o número de peças defeituosas na amostra,

queremos calcular P(X=10). X ~ Bin(10; 0,1)

10101010 1,0)1,01(1,010

10)10(

XP

• Qual o valor esperado e a variância?

• Qual é a interpretação deste resultado?

95,09,0)(

9,0)1,01(*1,0*10)(

11,0*10)(

Xdp

XVar

XE

Poisson

• O modelo Poisson é bastante utilizado quando se deseja contar o número de eventos de certo tipo que ocorrem num intervalo de tempo. Exemplos:

• Número de chamadas telefônicas recebidas por um Call Center em 5 min;

• Número de falhas de um computador em um dia de operação;

• Número de vendas diárias de um funcionário de uma loja de automóveis.

• Uma v.a. X tem distribuição de Poisson com

parâmetro >0 se sua função de probabilidade é

dada por:

,....2,1,0,!

)(

xx

exXP

x

)()( XVarXE

Exemplo

• Sabe-se que um Call center recebe, em média, 5

chamadas por minuto. Supondo que a distribuição de

Poisson seja adequada nessa situação, obter a

probabilidade de que o Call center não receba

chamadas durante um intervalo de 1 minuto.

0067,0!0

5)0( 5

05

ee

XP

5)(5)( XVarXE

Geométrica

• Número de ensaios de Bernoulli que precedem o primeiro sucesso.

• Ex: Uma linha de produção está sendo analisada para efeito de controle de qualidade das peças produzidas. A produção é interrompida para regulagem toda vez que uma peça defeituosa é encontrada.

• Uma v.a. X tem distribuição Geométrica

de parâmetro p (probabilidade de

sucesso) se sua função de probabilidade

é dada por:

,....2,1,0,10,)1()( xpppxXP x

2

1)(,

1)(

p

pXVar

p

pXE

Hipergeométrica

• É adequada quando consideramos extrações casuais feitas sem reposição de uma população dividida segundo dois atributos.

• Ex: Em problemas de controle de qualidade, lotes com N itens são examinados e divididos em dois grupos: defeituosos e não defeituosos.

• Considere um conj. de n objetos dos quais m são do

tipo I e n-m são do tipo II. Para um sorteio de r objetos

(r<n) ao acaso e sem reposição, defina X com o número

de objetos do tipo I.

• Uma v.a. X tem distribuição hipergeométrica se sua

função de probabilidade é dada por:

),min(,...,1,0,)( mrx

r

n

xr

mn

x

m

xXP

)1(

))(()(,)(

2

nn

rnmnrmXVar

n

rmXE