VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

1

Na prática é, muitas vezes, mais interessante associarmos um

número a um evento aleatório e calcularmos a probabilidade

da ocorrência desse número do que a probabilidade do

evento.

Definição: Sejam E um experimento e Ω o espaço amostral

associado ao experimento. Uma função X, que associe a cada

elemento ω Ω um número real X(ω) é denominada variável

aleatória.

2

3

X

Variável Aleatória

ω

X(ω)

Ω

Exemplo 1: Considere o experimento E: lançamento de duas

moedas e X: número de caras obtidas nas duas moedas. X

assume os valores 0, 1 e 2. Então:

Ω ={(c,c), (c,r), (r,c),(r,r)} espaço amostral do experimento.

Podemos também associar às probabilidades de X assumir um

dos valores, as probabilidades dos eventos correspondentes.

Assim:

P(X=0)=P(A1)=1/4; P(X=1)=P(A2)=2/4; P(X=2)=P(A3)=1/4

4

X Evento correspondente

0 A1={(r,r)}

1 A2={(c,r);(r,c)}

2 A3={(c,c)}

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Exemplo 2: Se um experimento consiste no lançamento de um

dado, a função: X: “o dobro do valor obtido menos um”, define

uma variável aleatória discreta, que pode assumir seis valores

possíveis: 1, 3, 5, 7, 9 e 11 com probabilidade igual a 1/6.

Exemplo 3: Se um experimento consiste em observar o número

de carros vendidos durante um dia em uma garagem, conforme

tabela abaixo:

Se X for definido como sendo “o número de carros vendidos em

um dia”, X poderá assumir os valores 0; 1; 2; 3; 4 e 5 com

probabilidade 0;18; 0;39; 0;24; 0;14; 0;01 e 0;04,

respectivamente.

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Notamos que, a variável aleatória X pode assumir valores em um

conjunto finito ou em um conjunto infinito enumerável. Nesses casos

denominamos variável aleatória discreta. Indicaremos por

Caso a variável aleatória X assuma valores num intervalo de números

reais, ela é denominada uma variável aleatória contínua.

Estas variáveis podem ser classificadas em unidimensionais

discretas (contínuas), quando a variável de estudo é única;

bidimensionais discretas (contínuas), quando se tem a análise

conjunta de duas variáveis e multidimensionais quando se trabalha

com k variáveis.

7

1 2: , ,..., ,...nX x x x

Definição: Chama-se função de probabilidade da variável

aleatória discreta

a função que a cada valor de associa a sua probabilidade de

ocorrência, isto é,

Ao conjunto

denominamos de Distribuição de Probabilidades da variável

aleatória discreta X. Podemos representar este conjunto em

tabelas ou gráficos.

8

1 2: , ,..., ,....nX x x x

ix

( ) ( ) , 1,2,3,...i i ip x P X x p i

{( , ( ); 1,2,3,....)}i ix p x i

As característica de uma função de probabilidade são:

Exemplo 4: Jogar um dado e considerar : X o dobro do valor

obtido menos 1. Neste caso, X poderá assumir os valores 1,

3, 5, 7, 9 e 11 com probabilidade de 1/6 para cada evento.

Distribuição de probabilidades do dobro do valor obtido

menos um em um lançamento de um dado.

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1

( ) ( ) 0

( ) 1

i i

n

i

i

P X x p x

p x

1 3 5 7 9 11

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

iX x

( )iP X x

Muitas vezes tem-se o interesse em estimar parâmetros

característicos de uma distribuição de probabilidade de uma

variável aleatória qualquer. Um desses parâmetros é a

Esperança Matemática, que representa uma média aritmética

ponderada ou um valor esperado de uma variável aleatória. Na

prática, a esperança pode ser entendida como um “centro de

distribuição de probabilidade”, isto é, a média de uma

distribuição de probabilidade.

A Esperança Matemática é definida da seguinte forma:

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Esperança Matemática ou Valor Médio de uma Variável Aleatória Discreta

Definição: Dada a variável aleatória discreta X, assumindo os

valores x1, x2, …, xk , chamamos esperança matemática ou valor

médio de X ao valor:

Notações:

Do Exemplo 4 temos

11

1

( ) ( ) ( )n

i i

i

E X x p x x p x

1 1 1 1 1 1( ) ( ) 1 3 5 7 9 11 6

6 6 6 6 6 6E X x p x

( ), ( ), ,XE X X

Chamamos de variância de X ao valor

Ou

Notações:

e de desvio padrão de X é a raiz quadrada positiva da

variância:

Notações:

12

22 2 2( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )Var X E X E X x p x x p x

2

2

1 1

( ) ( ) ( )n n

i i i i

i i

Var X x p x x p x

2 2 2( ), ( ), ,XVar X X

)()( XVarXDP

( ), ( ), ,XDP X X

Do exemplo 4 temos

13

2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1( ) ( ) 1 3 5 7 9 11 47,67

6 6 6 6 6 6E X x p x

2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ( )) 47,67 6 11,67

( ) ( ) ( ) 3,42

Var X X E X E X

DP X X Var X

OBSERVAÇÕES:

Procedimentos semelhantes podem ser utilizados para variáveis

aleatórias continuas, substituindo o pela integral.

Vale ressaltar que no caso da variável continua a probabilidade

de ocorrer exatamente um valor é igual a ZERO. Portanto,

calcula-se probabilidade apenas para intervalos.

a b

P(a<X<b)

b

a

dxxfbXaP )()(

b

a

dxxfxXE )()(

b

a

dxxfxXE

onde

XEXEXVar

)()(

)]([)()(

22

22

)()( XVarXDP

15

É a mais importante das distribuições teóricas de probabilidade

para variáveis discretas.

Considere n tentativas independentes de um mesmo experimento

aleatório. Cada tentativa admitindo apenas dois resultados:

fracasso com probabilidade q e sucesso com probabilidade p ,

p+q=1 ou q=1-p.

A probabilidade de sucesso (p) em cada ensaio é constante.

Como as probabilidades p de sucesso se mantêm constantes em

cada ensaio, a distribuição binomial é indicada para os casos em

que a amostragem é feita com reposição.

16

Seja X: número de sucessos em n tentativas.

A função de probabilidade da variável X é :

onde k é o número de sucessos em n tentativas e

é o coeficiente binomial de n sobre k .

A variável X tem Distribuição Binomial, com parâmetros n e p.

Notação:

17

, ( ) . .k n k

n kP X k C p q

n,k

n n!C = =

k!(n - k)!k

~ ( ; )X B n p

Exemplo: Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual a

probabilidade de saírem 8 caras?

Solução:

• Número de tentativas n=20

• Número de sucessos desejado k=8

• Probabilidade de sucesso em 1 tentativa p=1/2

• Probabilidade de insucesso em 1 tentativa q=1/2

• Seja X: número de sucessos (caras) então X:0,1,2,3,...,20

• Usando estes parâmetros na fórmula da Distribuição Binomial

temos

18

8 20 8

20,8 ( 8) . .P X C p q

19

8 20 8 8 12

20,8

1 1 1( ) e ~ 20,

2 2 2

1 1 20! 1 1( 8)

2 2 8!(20 8)! 2 2

( 8) 0,12013

p P c q X B

P X C

P X

Portanto a probabilidade de sair 8 caras é 0,12013.

Os parâmetros da Distribuição Binomial são:

Esperança ou média:

Variância:

20

( ) .E X n p

( ) . .Var X n p q

Exercício 1: Achar a média e a variância da variável aleatória

Exercício 2: Sabe-se que certo procedimento de inseminação

artificial tem probabilidade de 60% de dar certo. Três mulheres são

submetidas a este tipo de inseminação.

a) Verifique se este experimento se enquadra como binomial

b) Calcule a probabilidade de: i) em exatamente 3 mulheres a

inseminação funcionar; ii) no máximo em 1 mulher ocorrer o

sucesso.

c) Determinar o número esperado e o desvio padrão de mulheres em

que a inseminação funcionou.

21

~ (20;0,3)X B

Consideremos a probabilidade de ocorrência de sucesso em

um determinado “intervalo” (domínio contínuo).

Seja X o número de sucessos no intervalo (v.a discreta),

então:

onde é a média.

A variável assim definida tem Distribuição de Poisson.

Notação:

22

.( )

!

keP X k

k

~ ( )X Po

A Distribuição de Poisson é muito usada na distribuição de

números de:

◦ carros que passam por um cruzamento por minuto,

durante uma certa hora do dia;

◦ número de nascimentos de crianças por dia

◦ mortes por ataque de coração por ano, numa cidade

◦ problemas de fila de espera em geral

◦ número de focos de dengue por km2

◦ erros tipográficos por página, em um material.

23

Exercício 3: Num pronto socorro são atendidas 300 pessoas

por hora. Qual a probabilidade de que:

a) em um minuto não haja nenhum atendimento;

b) em 2 minutos haja 2 atendimentos

(quadro)

Exercício 4: A experiência mostra que de cada 400 lâmpadas, 2

se queimam ao serem ligadas. Qual a probabilidade de que

numa instalação de 900 lâmpadas, exatamente 8 se queimam?

(quadro)

24

Os parâmetros da Distribuição de Poisson são:

Esperança ou média:

Variância:

25

( )E X

( )Var X