Algumas distribuições de probabilidade úteis · Distribuição F de Fisher-Snedecor Sejam U1 e...

SME0812 Modelos Lineares

Algumas distribuições de probabilidade úteis

Prof. Cibele Russo

23 de abril de 2015 1 / 21

Distribuições de probabilidade centrais

23 de abril de 2015 2 / 21

Distribuição qui-quadrado

A variável aleatória U tem distribuição qui-quadrado com n graus deliberdade (n � 1 inteiro) se sua função densidade de probabilidades édada por

f (u) =1

Γ(n2 )2n=2

u(n�2)=2e�u=2; 0 < u <1;

com Γ(a) =

∫1

0xa�1e�xdx , a > 0 e Γ(a + 1) = aΓ(a).

Para n inteiro, Γ(n + 1) = n!

Notação: U � �2n.

23 de abril de 2015 3 / 21


Função geradora de momentos: mu(t) = E(etu) = (1� 2t)�n=2.

Momentos:E(U) = n Var(U) = 2n

E(U2) = n(n + 2) E(

1U

)=

1n � 2

; n > 2

E(U1=2) = 212 Γ(n+1

2 )Γ(n2 ) E

(1

U2

)=

1(n � 2)(n � 4)

; n > 4

E(U�1=2) =Γ(n�1

2 )p

2Γ(n2 )

23 de abril de 2015 4 / 21


Exemplo: Função densidade de probabilidade de U � �23:

>curve(dchisq(x, df = 3),0,20)

0 5 10 15 20

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

x

dchi

sq(x

, df =

3)

23 de abril de 2015 5 / 21

Distribuição t-Student

Se Z � N(0; 1) e U � �2n são variáveis aleatórias independentes,

entãoT =

Z√Un

tem distribuição t-Student com n graus de liberdade. A funçãodensidade de probabilidades de T é dada por

f (t) =Γ(n+1

2 )

Γ(n2 )p

n�

(1 +

t2

n

)�( n+12 )

; �1 < t <1:

Notação: T � tn.

23 de abril de 2015 6 / 21


Função geradora de momentos: não existe.

Momentos:E(T ) = 0 para n > 1

Var(T ) =n

n � 2para n > 2

23 de abril de 2015 7 / 21


Exemplo: Função densidade de probabilidade de T � t4:>curve(dt(x, df=4),-4,4)

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

x

dt(x

, df =

4)

23 de abril de 2015 8 / 21

Distribuição F de Fisher-Snedecor

Sejam U1 e U2 variáveis aleatórias independentes tais que U1 � �2n1

eU2 � �2

n2. Então

W =

U1

n1U2

n2

tem distribuição F de Snedecor,

com n1 graus de liberdade no numerador e n2 graus de liberdade nodenominador. A função densidade de probabilidades de W é dada por

f (w) =Γ(n1+n2

2 )

Γ(n12 )Γ(n2

2 )

nn1=21 nn2=2

2 w (n1�2)=2

(n2 + wn1)(n1+n2)=2; w > 0:

Notação: W � Fn1;n2 .

23 de abril de 2015 9 / 21


Função geradora de momentos: não existe.

Momentos:E(W ) =

n2

n2 � 2para n2 > 2.

Var(W ) =2n2

2(n1 + n2 � 2)

n1(n2 � 2)2(n2 � 4)para n2 > 4.

E(W 2) =n2

2(n1 + 2)

n1(n2 � 2)(n2 � 4)para n2 > 4.

23 de abril de 2015 10 / 21


Exemplo: Função densidade de probabilidade de W � F3;4:>curve(df(x, 3, 4),0,10)

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

x

df(x

, 3, 4

)

23 de abril de 2015 11 / 21

Distribuições de probabilidade não centrais

23 de abril de 2015 12 / 21

Distribuição qui-quadrado não central

A variável aleatória U tem distribuição qui-quadrado não central com ngraus de liberdade (n � 1 inteiro) e parâmetro de não centralidade �se sua função densidade de probabilidades é dada por

f (u) = e��1∑

k=0

�k

k !

u(n+2k�2)=2e�u=2

Γ(n+2k2 )2(n+2k)=2

; 0 < u <1

Notação: U � �2n;�.

Obs: Define-se �k = 1 para � = 0; k = 0. Para � = 0, esta densidadese reduz à da variável aleatória com distribuição �2

n.

23 de abril de 2015 13 / 21


Função geradora de momentos:mu(t) = E(etu) = (1� 2t)�n=2e��[1�(1�2t)�1].

Momentos:E(U) = n + 2�.Var(U) = 2(n + 4�).

Resultado: Se U1 e U2 são variáveis aleatórias independentes, comU1 � �2

n1;�1e U2 � �2

n2;�2então U1 + U2 � �2

n1+n2;�1+�2.

23 de abril de 2015 14 / 21


Exemplo: Função densidade de probabilidade de U � �23;2:

>curve(dchisq(x, df=3, ncp = 2),0,20)

0 5 10 15 20

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

x

dchi

sq(x

, df =

3, n

cp =

2)

23 de abril de 2015 15 / 21

Distribuição F não central

Sejam U1 e U2 variáveis aleatórias independentes tais que U1 � �2n1;�

e U2 � �2n2

. Então

W =

U1

n1U2

n2

tem distribuição F não central,

com n1 graus de liberdade no numerador, n2 graus de liberdade nodenominador e parâmetro de não centralidade �. A função densidadede probabilidades de W é dada por

f (w) =

1∑k=0

e��k

k !

Γ(n1+n2+2k2 )

Γ(n1+2k2 )Γ(n2

2 )

n(n1+2k)=21 nn2=2

2 w (n1+2k�2)=2

(n2 + wn1)(n1+n2+2k)=2; w > 0:

Notação: W � Fn1;n2;�.23 de abril de 2015 16 / 21

Distribuição F não central

Obs: Para � = 0, esta densidade se reduz à da variável aleatória comdistribuição Fn1;n2 .

Momentos:E(W ) =

n2

n2 � 2

(1 +

2�n1

)para n2 > 2.

Var(W ) =2n2

2

n21(n2 � 2)

[(n1 + 2�)2

(n2 � 2)(n2 � 4)+

(n1 + 4�)

(n2 � 4)

]para n2 > 4.

23 de abril de 2015 17 / 21

Distribuição F não-central

Exemplo: Função densidade de probabilidade de W � F3;4;2:>curve(df(x, 3, 4, ncp=2),0,10)

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

x

df(x

, 3, 4

, ncp

= 2

)

23 de abril de 2015 18 / 21

Distribuição t-Student não central

Se X � N(�; 1) e U � �2n são variáveis aleatórias independentes,

entãoT � =

X√Un

tem distribuição t de Student não central, com n graus de liberdade eparâmetro de não centralidade �. A função densidade deprobabilidades de T � é dada por

f (t) =nn=2e��2=2

Γ(n2 )(n + t2)(n+1)=2

1∑k=0

Γ(n+k+12 )�k2k=2tk

k !(n + t2)k=2:

Notação: T � � tn;�.

23 de abril de 2015 19 / 21

Distribuição t-Student não-central

Exemplo: Função densidade de probabilidade de T � t4;2:>curve(dt(x, df=1, ncp=2),-4,4)

−4 −2 0 2 4

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

x

dt(x

, df =

1, n

cp =

2)

23 de abril de 2015 20 / 21

Distribuição F não central dupla

Sejam U1 e U2 variáveis aleatórias independentes tais queU1 � �2

n1;�1e U2 � �2

n2;�2. Então

W =

U1

n1U2

n2

tem distribuição F não central dupla,

com n1 graus de liberdade no numerador, n2 graus de liberdade nodenominador e parâmetros de não centralidade �1 e �2. A funçãodensidade de probabilidades de W pode ser consultada em [?].Notação: W � Fn1;n2;�1;�2 .

23 de abril de 2015 21 / 21

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