2ª Aula

Modelação da dinâmica de populações. Crescimento e decaimento de 1ª ordem.

Equação da logística.

BEST – IST, 2006

O que é um modelo?

)(

.

io

surfaceCV

SS

dAnAnvdVt

Os modelos matemáticos melhoram com a idade.....

Princípio de conservação

Taxa de acumulação num volume de

controlo=

Ao que entra menos o que sai +

O que se produz menos o que se

destrói

)(. io

surfaceCV

SSdAnAnvdVt

Volume isolado

• Se β for uma concentração uniforme no volume:

)( io

CV

SSdVt

)( io SSt

Vol

• Escrevendo fontes/poços por unidade de volume:

io sst

c

Dinâmica de populações

nkct

c

(n=0) => decaimento/crescimento

de ordem zero (evolução linear)(n=1) => 1ª ordem (exponencial)……..

ktecc 0c0

c

t

K>0

K<0No caso de (n=1) => 1ª ordem:K >0 implica crescimento exponencialK<0 decaimento assimptótico para zero.

No caso de (n=1) => 1ª ordem:A solução analítica é:

Decaimento de 1ª ordem

• Normalmente admite-se que:– A mortalidade bacteriana fecal tem decaimento

de 1ª ordem, quantificado pelo T90,– Os pesticidas têm decaimento de 1ª ordem,

quantificado pelo tempo de “semi-vida”.• Como calcular o k?

ktecc 0 90001.0kTecc => =>

90

1.0ln

Tk

T90=1 hora => k=-6.4E-4/s.No caso do tempo de semi-vida seria idêntico com ln(0.5)

Solução “Logística”

maxmax0 / ccckk

kct

c n

Cmax

C0

c

t

•A solução designada por “Logística admite que o crescimento exponencial não é sustentável. Admitindo que há uma população máxima.

• K deverá ser variável.

Solução Numérica (explícito)

maxmax0 / ccckk

kct

c n

*kct

cc ttt

ttt ctkc 1

Se usarmos um método explicito vem:

Discretizando a derivada temporal obtém-se:

Comparação numérico e analítico

0900

18002700

36004500

54006300

72008100

90009900

1080011700

1260013500

1440015300

1620017100

180000.00E+00

2.00E+06

4.00E+06

6.00E+06

8.00E+06

1.00E+07

1.20E+07

AnalíticoNumérico ExplicitoNumérico implícito

Ver folha Excel “dinâmica de populações”

Solução Numérica (explícito)

kttk

k

/101

0

ttt ctkc 1

Se usarmos um método explicito vem:

Se k<o então o parênteses pode ser negativo se o intervalo de tempo for elevado. Nesse caso a nova concentração ficaria negativa e o método ficaria instável. A condição de estabilidade é:

Nesta passagem o sinal da desigualdade troca quando de divide por k<0

Solução Numérica (implícito)

maxmax0 / ccckk

kct

c n

tkcc

kct

cc

ttt

ttt

1/

*

kttk

k

/101

0

Se usarmos um método implícito a equação fica:

Neste caso o método pode instabilizar no caso de k>0:

Critérios de estabilidade

• Quando temos mortalidade, se o método for explícito o número de indivíduos que morre é função do valor que tínhamos no início do passo de tempo. Isso implica que o valor seja calculado por excesso. Se o passo no tempo for demasiado grande poderemos eliminar mais indivíduos do que os existentes e ficamos com um valor negativo (o mesmo se pode dizer para a concentração).

• Quando temos natalidade o problema coloca-se com o método implícito porque fisicamente o número de filhos é proporcionalmente ao número de pais e por isso o cálculo deve de ser explícito. O cálculo implícito seria equivalente a dizer que “os filhos já nasceriam trazendo filhos ao colo”.

Generalizando poderemos dizer que:• As fontes devem de ser calculadas explicitamente e

os poços implicitamente. Se isso for possível evitam-se instabilidades no modelo.

• Se o modelo for estável qual deve de ser o passo temporal? O menor possível para que a solução numérica não se afaste da solução analítica. x

c0

c

t

K>0

K<0

implícito

explícito

Considerações Finais

• Os modelos baseados em decaimentos de primeira ordem podem ser realistas para propriedades que não se produzem no meio ambiente.

• Os modelos baseados em crescimentos de primeira ordem são pouco realistas.

• A equação da logística pode dar-lhes algum realismo.• O ideal é os modelos reproduzirem os processos de

produção e de decaimento. O modelo de Lotka-Volterra é o mais simples que tenta atingir este objectivo.

Modelo Presa-Predador (Lotka-Volterra)•Na equação:

Só a logística é que limita o crescimento. Na realidade aparece sempre um predador que cresce com a presa.

maxmax0 / ccckk

kct

c n

zmzzpggz

zpgppp

ckccket

c

cckckt

c

Equações de Lotka-Volterra

Problemas do modelo de Lotka Volterra

• Não conserva a massa. A Natureza precisa de pelo menos 3 variáveis de estado:

• Nota: As derivadas passaram a totais para descrever o caso de o fluido estar em movimento.

• Poderá kp ser constante? Será razoável que a presa consuma detritos? Precisamos de mais variáveis...

zmzzpggppD

zmzzpggz

zpgppp

ckcckeckdt

dc

ckcckedt

dc

cckckdt

dc

1

Forma geral das Equações

zmzzpggppj

D

jj

Dj

DD

zmzzpggj

z

jj

zj

zz

zpgppj

p

jj

pj

pp

ckcckeckx

c

xx

cv

t

c

dt

dc

ckcckex

c

xx

cv

t

c

dt

dc

cckckx

c

xx

cv

t

c

dt

dc

1

Nestas equações adicionamos o transporte difusivo.