ESCUELA POLITÉCNICA

NACIONAL

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

Y ELECTRÓNICA

TRANSFORMADA DE LAPLACE

En este capítulo veremos una integral impropia

que transforma una función f(t) en otra función en

términos de s, conocida como la Transformada de

Laplace.

INTRODUCCIÓN

Para la función,

F:[0, α[ a R, una función definida para t>=0,

la función esta definida por:

Se llamará transformada de laplace siempre y

cuando el limite exista.

DEFINICION

¨Denotaremos a la transformada de laplace de la

siguiente manera:

¨

¨

¨

NOTACIÓN

¨La integral no necesariamente debe

ser convergente, por ejemplo:

no existen.

¨F(t) debe de ser continua por tramos para todo

t>=0

Condiciones para la existencia de

L{F(t)}

La función F:[a,b] a R, es continua por tramos si:

¨Deben existir puntos en [a,b] tal que :

a=to<=t1<=t2<=……….tn=b, donde F es continua en cada

subintervalo ti<=t<=ti+1 para i=0, 1, 2, 3,……..,n, pero no

es continua en esos puntos.

¨En cada punto ti que pertenecen al dominio de [a,b] deben

existir los límites:

FUNCIONES CONTINUAS POR

TRAMOS

¨En una funcion F:[a,b] a R, la diferencia entre

, donde a delta se la conoce

como salto de funcion en ti.

Toda funcion continua en [a,b] es continua

por tramos en [a,b].

OBSERVACIONES

DEFINICIÓN:

La función sera de orden

exponencial si :

¨Existen constantes k>0 y x tal que

, para todo t>=0.

FUNCIONES DE ORDEN

EXPONENCIAL

1.-Si es una funcion

seccionalmente continua en , entonces :

i)La función es de orden exponencial

siempre que exista X y sea un número real

ii)La función no será de orden exponencial

si:

PROPIEDADES

2.-Si , son 2 funciones de orden

exponencial, su producto también será de orden

exponencial.

3.-Si son 2 funciones de

orden exponencial, la suma de ambas sera

exponencial

¨1.-Si la función , es seccionalmente

continua y de orden exponencial X entonces:

existe f(s)=L{f(t)}, si s>a.

Observaciones:

a) si es una funcion continua por

tramos y de orden exponencial, se llama funcion

de clase A.

TEOREMAS

b) si es una funcion de clase A

entonces. Existe L{F(t)}

c) si existe L{F(t)} no quiere decir que F sea

una función de clase A.

¨2.-Sea F(t) una función continua a trozos para

t>=0 y de orden exponencial, entonces:

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE

FUNCIONES ELEMENTALES

¨Propiedad de linealidad

Sean a R, funciones

continuas por tramos y de orden exponencial,

entonces:

L{aF(t)+bG(t)}=aL{F(t)]+bL{G(t)}

PROPIEDADES DE LA

TRANSFORMADA DE LAPLACE

¨Primera propiedad de traslación

Si es una función continua por

tramos y de orden exponencial y si : L{F(t)}=f(s),

entonces para a distinto de cero se tiene:

¨Segunda propiedad de traslación

Si es continua por tramos y

de orden exponencial y;

Si L{F(t)}=f(s) y entonces:

¨Propiedad del cambio de escala

¨Sea , continua por tramos y de orden

exponencial.

Si L{F(t)}=f(s) entonces

Si consideramos: , continua por tramos

y de orden exponencial, si L{F(t)}=f(s) entonces:

, para s>0. para todo n

que pertenece a los reales positivos.

TEOREMA

¨Teorema:

¨Sea continua por tramos y de orden

exponencial si:

¨L{F(t)}=f(s) entonces

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE

LA DIVISIÓN PARA t

¨Teoremas:

A) sea y q F´(t) sea continua por

tramos y de orden exponencial en entonces:

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE

LA DERIVADA

¨B) considerando: y que F´´(t)sea

funcion continua a tramos y de orden exponencial,

entonces:

¨Generalizando.

Si , es una funcion

continua y que es una funcion continua por

tramos y de orden exponencial, entonces:

Por lo tanto:

¨Teorema:

Sea: , continua a tramos y de

orden exponencial, entonces:

Si L{F(t)}=f(s), entonces:

¨

¨

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE

INTEGRALES

Observación: si a=0, se tiene

L{F(t)}=f(s), entonces:

¨Generalizando:

¨

¨

¨

Cuando a=0

¨La transformada inversa de una función en s, es

una función de t cuya transformada es

precisamente F(s), es decir:

¨

¨

¨Si es que L{f(t)}=F(s), por lo que debe cumplirse:

¨

Transformada inversa de Laplace

Teorema: Algunas transformadas

inversas

¨Las fracciones parciales desempeñan un papel

muy importante para determinar las transformadas

inversas de Laplace ya que desarrollando esta

herramienta se nos facilita notoriamente el

desarrollo de la determinación de una

transformada inversa.

Fracciones parciales

EJEMPLO

MUCHAS GRACIAS POR SU

ATENCION