1_Transformada de Laplace

42
TRANSFORMADA DE LAPLACE Pierre Simon Laplace

Transcript of 1_Transformada de Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Pierre Simon Laplace

CONCEITO DE VARIÁVEL COMPLEXA

A Teoria de sistema de controle clássico é baseado na aplicação devariáveis complexas e suas funções, desde que, as variáveis daTransformada de Laplace s e Transformada-Z, z, sejam complexas.

111 js

1

2

1

0

s-plane

Componente real

Componente Imaginário

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

Funções de Uma Variável Complexa

• A função G(s) é dita ser uma função de uma variável complexa, s, se paratodo valor de s, existir um ou mais valores correspondentes de G(s)

• Se s for definida com suas partes real e imaginária, a função G(s) tambémpoderá ser representada pelas suas partes real e imaginária, isto é,

G(s) jImG(s) Re)( sG

3

111 js

1

1

0

)( 1sG

jIm G

0 G Re

Plano s Plano G(s)

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

Pólos e Zeros de uma Função

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

Um primeiro questionamento de ordem teórica que pode ser feito é setodas as raízes do polinômio D(s) são pólos de G(s). Considere a seguintefunção de transferência:

4

Pólos e Zeros de uma Função

Prof. M.Sc. Raimundo Junior5

Pólos e Zeros de uma Função

Prof. M.Sc. Raimundo Junior6

Pólos e Zeros de uma Função

)2)(1()3(

sssG(s)

0)(sq

)()(

sqspG(s) Polinômios Característicos

Pólos do Sistema

0)(sp Zeros do Sistema

Prof. M.Sc. Raimundo Junior7

Pólos e Zeros de uma Função

2)15)(5)(1()10)(2(

ssssssG(s)

1. Encontre os pólos e zeros da F.T abaixo:

8Prof. M.Sc. Raimundo Junior

-15s :-5s e -1s 0,s :

Pólos

-10s-2s

Zeros

DuploSimples

TRANSFORMADA DE LAPLACE

• A TL é um método operacional que pode ser usado para solucionarequações diferenciais lineares;

• Pode-se converter muitas funções comuns, em funções algébricas deuma variável complexa s;

• Em comparação com o método clássico de solução de equaçõesdiferenciais lineares, o método da transformada de Laplace tem asseguintes duas características atrativas:

1. A equação homogênea e a integral particular são resolvidas em uma operação;2. A T.L converte a equação diferencial em uma equação algébrica simples para

obter a solução no domínio s. A solução final é obtida tomando atransformada de Laplace inversa.

9

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

TRANSFORMADA DE LAPLACE

DEFINIÇÃO

A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida pela equação

f(t) = uma função de tempo em que f(t) = 0 para t< 0; s = uma variável complexa; L = símbolo operacional que a grandeza que ele antecede vai ser transformada por

meio da integral de Laplace; F(s) = transformada de Laplace de f(t).

0

)()( dtetfsF st )()( tfLsF

10

Operador de LaplaceTransformada de Laplace Unilateral

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

TRANSFORMADA DE LAPLACE

No nosso curso, vamos nos concentrar no intervalo de tempo t≥0 e assume-seque a função f(t) possui a seguinte propriedade

Importante!!!Em estudos no domínio do tempo, a referência de tempo éfrequentemente escolhida no instante t = 0. A resposta não precede aexcitação.

11

f(t) = 0 p/ t< 0

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

TRANSFORMADA DE LAPLACE

12Prof. M.Sc. Raimundo Junior

TRANSFORMADA DE LAPLACE

TL DE ALGUMAS FUNÇÕES SINGULARES

FUNÇÃOFUNÇÃO DEGRAUDEGRAU UNITÁRIOUNITÁRIO

Prof. M.Sc. Raimundo Junior13

TRANSFORMADA DE LAPLACE

FUNÇÃOFUNÇÃO RAMPARAMPA UNITÁRIAUNITÁRIA

14Prof. M.Sc. Raimundo Junior

TRANSFORMADA DE LAPLACE

FUNÇÃOFUNÇÃO EXPONENCIALEXPONENCIAL

15Prof. M.Sc. Raimundo Junior

TRANSFORMADA DE LAPLACE

FUNÇÃOFUNÇÃO SENOSENO

FUNÇÃOFUNÇÃO COSSENOCOSSENO

16Prof. M.Sc. Raimundo Junior

LAPLACE DE FUNÇÕES USUAIS

17Prof. M.Sc. Raimundo Junior

PROPRIEDADES DA T.L

Apresentamos a seguir um número de propriedades importantes da T.L e ilustraremos suautilidade através de exemplos.

Multiplicação por uma constante:

18Prof. M.Sc. Raimundo Junior

Teorema da Linearidade:

19

PROPRIEDADES DA T.L

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

20

PROPRIEDADES DA T.L

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

Teorema:

21

PROPRIEDADES DA T.L

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

Deslocamento no Tempo:

22

PROPRIEDADES DA T.L

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

23

Deslocamento na Freqüência:

PROPRIEDADES DA T.L

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

Teorema: Derivada e-nésima:

24

PROPRIEDADES DA T.L

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

T.L DE FUNÇÕES GRÁFICAS

Uma técnica utilizada para expressar uma forma de onda complexa envolveo uso de uma combinação de degraus e rampas da forma:

As T.L dessas funções são simplesmente

)()()(

000

00

ttttBttA

stesAttAL 0)]([ 00

25

Degrau

Rampa

stesBttttBL 0

2000 )]()([

Para cada descontinuidadeda curva, teremos umdegrau na expressão, epara cada mudança deinclinação, teremos umarampa na expressão.

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

Ex: Determinar a T.L para a função abaixo:

26Prof. M.Sc. Raimundo Junior

T.L DE FUNÇÕES GRÁFICAS

Ex: Determinar a T.L para as funções abaixo:

27Prof. M.Sc. Raimundo Junior

T.L DE FUNÇÕES GRÁFICAS

Função PeriódicaSeja f(t) uma função periódica com período T para t≥0 e é zero para t<0,então f(t) pode ser expressa como

Tt0 intervalo no )(1 tf2TtT intervalo no )(2 tf

28

0≤t<T e zero nos demais lugares T≤t<2T e zero nos demais lugares

3Tt2T intervalo no )(3 tf Tt0 intervalo no )(1 tf

)2()2()()( 01011 TtTtfTtTtf(t)ff(t)

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

T.L DE FUNÇÕES GRÁFICAS

Usando o teorema do deslocamento no tempo:

TsTs esFesFsFtfL 2111 )()()()]([

)1)(()]([ 21 TsTs eesFtfL

29

)2()2()()( 01011 TtTtfTtTtf(t)ff(t)

)(1

1)]([ 1 sFe

tfL Ts

TL do primeiro período de f(t)

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

T.L DE FUNÇÕES GRÁFICAS

Ex: Determinar a T.L para as funções periódicas a seguir:

)3(2)2()1()1()( 00001 tttttt(t)f

sss es

es

ess

sF 32221

2111)(

30

sss

s es

es

esse

sF 32224

21111

1)(

)3()2()1()( 00001 tttt(t)f

sss eees

sF 321 11)(

ssss eee

sesF 32

4 1)1(

1)(

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

T.L DE FUNÇÕES GRÁFICAS

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Seja a função racional em s da forma

As raízes do polinômio P(s) são chamados de zeros da função F(s)porque nesses valores de s, F(s) = 0;

As raízes do polinômio Q(s) são chamados de pólos da função F(s)porque nesses valores de s, F(s) se torna infinita.;

31Prof. M.Sc. Raimundo Junior

PólosPólos SimplesSimples

Assumiremos que todos os pólos de F(s) são simples, tal que a expansãoem frações parciais de F(s) é da forma

Então a constante Ki pode ser determinada multiplicando-se ambos oslados dessa equação por e determinando-se o valor da equação em, isto é,

Uma vez que todos os termos Ki sejam conhecidos, a função no tempo def(t) pode ser obtida por meio do seguinte par de TL

)( ips

ips

32

0000)(

)()(1

ksQ

sPps

ips

i i=1,2,...n

ateas

L

11

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

Ex: Determinar a T.L Inversa da seguinte função:)2)(1(

3)(

ssssF

33

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

PólosPólos MúltiplosMúltiplosSe r dos n pólos de X(s) são idênticos, isto é, o pólo em é demultiplicidade r, X(s) é escrita como

Então X(s) pode ser expandido

34

iss

Calculado pelo método anterior Calculado por um algoritmo

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

Algoritmo para determinação dos coeficientes que correspondem aospólos de ordem múltipla.

i

i

i

i

ssr

ir

r

ssr

ir

ssr

ir

ssr

ir

sXssdsd

rA

sXssdsdA

sXssdsdA

sXssA

)()()!1(

1

)()(!2

1

)()(

)()(

1

1

1

2

2

2

1

35

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

Ex: Determinar a T.L Inversa da seguinte função:

3

2

)1(32)(

s

sssF

36

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

Desse modo obtemos:n

tn

set

n )(1

)!1(1 1

37

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

PólosPólos ConjugadosConjugados ComplexosComplexos A expansão em frações parciais para pólos simples é válida também para

pólos complexos. Vamos assumir que F(s) possui um par de pólos conjugados complexos. A

expansão da fração parcial de F(s) pode ser então escrita como

A constante pode ser obtida usando-se o procedimento empregado parapólos simples. 1K

38

Número Complexo

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

A função correspondente no tempo fica na forma

Ex: Determinar a T.I.L de X(s), onde

)22)(1()12(9524.0)( 2

2

sssssssX

39

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

Solução de Equações Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo

Na solução de equações diferenciais lineares e invariantes no tempo pelométodo da T.L, estão envolvidas duas etapas:

1. Aplicar a T.L a em cada termo de uma dada equação diferencial, converter aequação diferencial em uma equação algébrica em s e obter a T.L da variáveldependente, reorganizando a equação obtida;

2. A solução da equação diferencial em função do tempo é obtida pela T.I.L davariável independente.

Ex: Encontre a solução x(t) da equação diferencial:

40

onde a e b são constantes.

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

Escrevendo a T.L de x(t) como X(s) ou:

obtemos,

Logo a equação diferencial fica,

substituindo as condições iniciais, obtemos:

ou

41

Solução de Equações Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo

Prof. M.Sc. Raimundo Junior

Resolvendo em relação a X(s):

A T.L.I de X(s) resulta em:

42

Solução de Equações Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo

Prof. M.Sc. Raimundo Junior