1_Transformada de Laplace
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CONCEITO DE VARIÁVEL COMPLEXA
A Teoria de sistema de controle clássico é baseado na aplicação devariáveis complexas e suas funções, desde que, as variáveis daTransformada de Laplace s e Transformada-Z, z, sejam complexas.
111 js
1
2
jω
1
0
s-plane
Componente real
Componente Imaginário
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Funções de Uma Variável Complexa
• A função G(s) é dita ser uma função de uma variável complexa, s, se paratodo valor de s, existir um ou mais valores correspondentes de G(s)
• Se s for definida com suas partes real e imaginária, a função G(s) tambémpoderá ser representada pelas suas partes real e imaginária, isto é,
G(s) jImG(s) Re)( sG
3
111 js
jω
1
1
0
)( 1sG
jIm G
0 G Re
Plano s Plano G(s)
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Pólos e Zeros de uma Função
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Um primeiro questionamento de ordem teórica que pode ser feito é setodas as raízes do polinômio D(s) são pólos de G(s). Considere a seguintefunção de transferência:
4
Pólos e Zeros de uma Função
)2)(1()3(
sssG(s)
0)(sq
)()(
sqspG(s) Polinômios Característicos
Pólos do Sistema
0)(sp Zeros do Sistema
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Pólos e Zeros de uma Função
2)15)(5)(1()10)(2(
ssssssG(s)
1. Encontre os pólos e zeros da F.T abaixo:
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-15s :-5s e -1s 0,s :
Pólos
-10s-2s
Zeros
DuploSimples
TRANSFORMADA DE LAPLACE
• A TL é um método operacional que pode ser usado para solucionarequações diferenciais lineares;
• Pode-se converter muitas funções comuns, em funções algébricas deuma variável complexa s;
• Em comparação com o método clássico de solução de equaçõesdiferenciais lineares, o método da transformada de Laplace tem asseguintes duas características atrativas:
1. A equação homogênea e a integral particular são resolvidas em uma operação;2. A T.L converte a equação diferencial em uma equação algébrica simples para
obter a solução no domínio s. A solução final é obtida tomando atransformada de Laplace inversa.
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TRANSFORMADA DE LAPLACE
DEFINIÇÃO
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida pela equação
f(t) = uma função de tempo em que f(t) = 0 para t< 0; s = uma variável complexa; L = símbolo operacional que a grandeza que ele antecede vai ser transformada por
meio da integral de Laplace; F(s) = transformada de Laplace de f(t).
0
)()( dtetfsF st )()( tfLsF
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Operador de LaplaceTransformada de Laplace Unilateral
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TRANSFORMADA DE LAPLACE
No nosso curso, vamos nos concentrar no intervalo de tempo t≥0 e assume-seque a função f(t) possui a seguinte propriedade
Importante!!!Em estudos no domínio do tempo, a referência de tempo éfrequentemente escolhida no instante t = 0. A resposta não precede aexcitação.
11
f(t) = 0 p/ t< 0
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TRANSFORMADA DE LAPLACE
TL DE ALGUMAS FUNÇÕES SINGULARES
FUNÇÃOFUNÇÃO DEGRAUDEGRAU UNITÁRIOUNITÁRIO
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TRANSFORMADA DE LAPLACE
FUNÇÃOFUNÇÃO SENOSENO
FUNÇÃOFUNÇÃO COSSENOCOSSENO
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PROPRIEDADES DA T.L
Apresentamos a seguir um número de propriedades importantes da T.L e ilustraremos suautilidade através de exemplos.
Multiplicação por uma constante:
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T.L DE FUNÇÕES GRÁFICAS
Uma técnica utilizada para expressar uma forma de onda complexa envolveo uso de uma combinação de degraus e rampas da forma:
As T.L dessas funções são simplesmente
)()()(
000
00
ttttBttA
stesAttAL 0)]([ 00
25
Degrau
Rampa
stesBttttBL 0
2000 )]()([
Para cada descontinuidadeda curva, teremos umdegrau na expressão, epara cada mudança deinclinação, teremos umarampa na expressão.
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Função PeriódicaSeja f(t) uma função periódica com período T para t≥0 e é zero para t<0,então f(t) pode ser expressa como
Tt0 intervalo no )(1 tf2TtT intervalo no )(2 tf
28
0≤t<T e zero nos demais lugares T≤t<2T e zero nos demais lugares
3Tt2T intervalo no )(3 tf Tt0 intervalo no )(1 tf
)2()2()()( 01011 TtTtfTtTtf(t)ff(t)
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T.L DE FUNÇÕES GRÁFICAS
Usando o teorema do deslocamento no tempo:
TsTs esFesFsFtfL 2111 )()()()]([
)1)(()]([ 21 TsTs eesFtfL
29
)2()2()()( 01011 TtTtfTtTtf(t)ff(t)
)(1
1)]([ 1 sFe
tfL Ts
TL do primeiro período de f(t)
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T.L DE FUNÇÕES GRÁFICAS
Ex: Determinar a T.L para as funções periódicas a seguir:
)3(2)2()1()1()( 00001 tttttt(t)f
sss es
es
ess
sF 32221
2111)(
30
sss
s es
es
esse
sF 32224
21111
1)(
)3()2()1()( 00001 tttt(t)f
sss eees
sF 321 11)(
ssss eee
sesF 32
4 1)1(
1)(
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T.L DE FUNÇÕES GRÁFICAS
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Seja a função racional em s da forma
As raízes do polinômio P(s) são chamados de zeros da função F(s)porque nesses valores de s, F(s) = 0;
As raízes do polinômio Q(s) são chamados de pólos da função F(s)porque nesses valores de s, F(s) se torna infinita.;
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PólosPólos SimplesSimples
Assumiremos que todos os pólos de F(s) são simples, tal que a expansãoem frações parciais de F(s) é da forma
Então a constante Ki pode ser determinada multiplicando-se ambos oslados dessa equação por e determinando-se o valor da equação em, isto é,
Uma vez que todos os termos Ki sejam conhecidos, a função no tempo def(t) pode ser obtida por meio do seguinte par de TL
)( ips
ips
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0000)(
)()(1
ksQ
sPps
ips
i i=1,2,...n
ateas
L
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TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
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Ex: Determinar a T.L Inversa da seguinte função:)2)(1(
3)(
ssssF
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TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
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PólosPólos MúltiplosMúltiplosSe r dos n pólos de X(s) são idênticos, isto é, o pólo em é demultiplicidade r, X(s) é escrita como
Então X(s) pode ser expandido
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iss
Calculado pelo método anterior Calculado por um algoritmo
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Algoritmo para determinação dos coeficientes que correspondem aospólos de ordem múltipla.
i
i
i
i
ssr
ir
r
ssr
ir
ssr
ir
ssr
ir
sXssdsd
rA
sXssdsdA
sXssdsdA
sXssA
)()()!1(
1
)()(!2
1
)()(
)()(
1
1
1
2
2
2
1
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TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
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Ex: Determinar a T.L Inversa da seguinte função:
3
2
)1(32)(
s
sssF
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TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
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Desse modo obtemos:n
tn
set
n )(1
)!1(1 1
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TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
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PólosPólos ConjugadosConjugados ComplexosComplexos A expansão em frações parciais para pólos simples é válida também para
pólos complexos. Vamos assumir que F(s) possui um par de pólos conjugados complexos. A
expansão da fração parcial de F(s) pode ser então escrita como
A constante pode ser obtida usando-se o procedimento empregado parapólos simples. 1K
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Número Complexo
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
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A função correspondente no tempo fica na forma
Ex: Determinar a T.I.L de X(s), onde
)22)(1()12(9524.0)( 2
2
sssssssX
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TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
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Solução de Equações Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo
Na solução de equações diferenciais lineares e invariantes no tempo pelométodo da T.L, estão envolvidas duas etapas:
1. Aplicar a T.L a em cada termo de uma dada equação diferencial, converter aequação diferencial em uma equação algébrica em s e obter a T.L da variáveldependente, reorganizando a equação obtida;
2. A solução da equação diferencial em função do tempo é obtida pela T.I.L davariável independente.
Ex: Encontre a solução x(t) da equação diferencial:
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onde a e b são constantes.
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Escrevendo a T.L de x(t) como X(s) ou:
obtemos,
Logo a equação diferencial fica,
substituindo as condições iniciais, obtemos:
ou
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Solução de Equações Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo
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