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Teoria da RelatividadeO espaco de Minkowski

Rogeriorogerio.cavalcanti@ufabc.edu.br

July 12, 2016

vetoresformas bilineares

espaco dualTensores

definicaomudanca de referencialproduto interno

O que de fato e um tensor?

Em livros mais antigos: Um tensor de segunda ordem e um objetode dois ındices que se transforma como

Tµν =3∑

3∑β=0

ΛµαΛν

βTαβ

Mas o que isso quer dizer?

Rogeriorogerio.cavalcanti@ufabc.edu.br Teoria da Relatividade O espaco de Minkowski

espaco dualTensores

Tµν =3∑

3∑β=0

ΛµαΛν

βTαβ

espaco dualTensores

Tµν =3∑

3∑β=0

ΛµαΛν

βTαβ

espaco dualTensores

Objetivos

vetores → quadrivetores;

formas bilineares → metrica de Minkowski;

rotacoes → transformacoes de Lorentz;

espaco dual → subir e descer ındice;

tensores → se transforma como...

Para isso precisaremos revisitar alguns conceitos de algebra linear.

espaco dualTensores

Objetivos

espaco dualTensores

Objetivos

espaco dualTensores

Objetivos

espaco dualTensores

Objetivos

espaco dualTensores

Objetivos

espaco dualTensores

O que e um vetor?Classica: vetores sao objetos com um ındice que se transformamcomo

xµ =3∑

Λµαxα

Algebra linear: vetor e um elemento de um espaco vetorial.

espaco dualTensores

xµ =3∑

Λµαxα

espaco dualTensores

xµ =3∑

Λµαxα

espaco dualTensores

Fato 1

Fixar um referencial e equivalente a fixar uma base para o espaco,de modo que uma mudanca de base e apenas uma mudanca dereferencial.Voltando a definicao classica de vetor,

xµ =3∑

Λµαxα

e exatamente como se calcula as componentes de um vetor sobuma transformacao linear, em particular sob uma mudanca de base.A matriz Λµ

ν representa uma mudanca de base particular,voltaremos a ela em breve.

espaco dualTensores

Fato 1

xµ =3∑

Λµαxα

espaco dualTensores

Fato 1

xµ =3∑

Λµαxα

espaco dualTensores

Um produto interno e uma aplicacao que age em dois vetores eleva a um numero real,

· : V × V → R(u, v) 7→ u · v

Um produto interno pode tambem ser representado e calculadocomo o produto de um vetor linha por um vetor coluna

(u1, u2, u3)

= u1v 1 + u2v 2 + u3v 3

espaco dualTensores

Um produto interno e uma aplicacao que age em dois vetores eleva a um numero real,

· : V × V → R(u, v) 7→ u · v

Um produto interno pode tambem ser representado e calculadocomo o produto de um vetor linha por um vetor coluna

(u1, u2, u3)

= u1v 1 + u2v 2 + u3v 3

espaco dualTensores

Produtos internos nos permite estudar conceitos geometricos doespaco, como angulos e comprimentos.

|u| =√u · u e cos θ =

u · v|u||v|

O espaco Rn munido desse produto interno e chamado de espacoEuclidiano.

espaco dualTensores

Produtos internos nos permite estudar conceitos geometricos doespaco, como angulos e comprimentos.

|u| =√u · u e cos θ =

u · v|u||v|

O espaco Rn munido desse produto interno e chamado de espacoEuclidiano.

espaco dualTensores

O produto interno permite determinar mudancas de referencial quepreservam comprimentos e angulos (rotacoes)

espaco dualTensores

Rotacoes sao mudancas de base (referencial) que preservam oproduto interno. Isto significa que se a matriz A representa umarotacao no Rn e u, v ∈ Rn, entao Au · Av = u · v. Narepresentacao de vetores linha e coluna

(u1, u2, u3) = ATA

= (u1, u2, u3)

= u1v 1 + u2v 2 + u3v 3,

∴ Au · Av = u · v⇒ AT = A−1

espaco dualTensores

(u1, u2, u3) = ATA

= (u1, u2, u3)

= u1v 1 + u2v 2 + u3v 3,

∴ Au · Av = u · v⇒ AT = A−1

espaco dualTensores

(u1, u2, u3) = ATA

= (u1, u2, u3)

= u1v 1 + u2v 2 + u3v 3,

∴ Au · Av = u · v⇒ AT = A−1

espaco dualTensores

(u1, u2, u3) = ATA

= (u1, u2, u3)

= u1v 1 + u2v 2 + u3v 3,

∴ Au · Av = u · v⇒ AT = A−1

espaco dualTensores

O termo rotacoes e generalizado e usado em varias areas da fısica.Em mecanica quantica, para que a normalizacao da funcao deprobabilidade seja preservada, a evolucao temporal dos operadoresou da funcao de onda e construıda de modo que representemrotacoes no espaco de Hilbert.

espaco dualTensores

O termo rotacoes e generalizado e usado em varias areas da fısica.Em mecanica quantica, para que a normalizacao da funcao deprobabilidade seja preservada, a evolucao temporal dos operadoresou da funcao de onda e construıda de modo que representemrotacoes no espaco de Hilbert.

espaco dualTensores

generalizacao de produtos internosformas bilineares × intervalometrica de Minkowskirotacoes no espaco de Minkowski

O produto interno pode ser generalizado para as chamadas formasbilineares.Sejam U e V espacos vetoriais reais. Dizemos a aplicacaog : U × V → R e uma forma bilinear se e linear em cada um deseus argumentos, ou seja, se ∀u,u′ ∈ U, v, v′ ∈ V e λ ∈ R valem:

1 g(u + u′, v) = g(u, v) + g(u′, v);

2 g(u, v + v′) = g(u, v) + g(u, v′);

3 g(u, λv) = g(λu, v) = λg(u, v);

Uma forma bilinear e dita ser simetrica seg(u,u′) = g(u′,u), ∀u,u′ ∈ U.

espaco dualTensores

1 g(u + u′, v) = g(u, v) + g(u′, v);

2 g(u, v + v′) = g(u, v) + g(u, v′);

3 g(u, λv) = g(λu, v) = λg(u, v);

espaco dualTensores

1 g(u + u′, v) = g(u, v) + g(u′, v);

2 g(u, v + v′) = g(u, v) + g(u, v′);

3 g(u, λv) = g(λu, v) = λg(u, v);

espaco dualTensores

Dados u, v ∈ R3,

u · v = (u1, u2, u3)

= u1v 1 + u2v 2 + u3v 3 =3∑

︸︷︷︸produto interno

g(u, v) = (u1, u2, u3)

g11 g12 g13

g21 g22 g23

g31 g32 g33

3∑l=1

gklukv l

︸︷︷︸forma bilinear g

Com isso podemos concluir que o produto interno e um casoparticular de forma bilinear, quando g = I .

espaco dualTensores

Dados u, v ∈ R3,

u · v = (u1, u2, u3)

= u1v 1 + u2v 2 + u3v 3 =3∑

g(u, v) = (u1, u2, u3)

g11 g12 g13

g21 g22 g23

g31 g32 g33

3∑l=1

gklukv l

espaco dualTensores

Dados u, v ∈ R3,

u · v = (u1, u2, u3)

= u1v 1 + u2v 2 + u3v 3 =3∑

g(u, v) = (u1, u2, u3)

g11 g12 g13

g21 g22 g23

g31 g32 g33

3∑l=1

gklukv l

espaco dualTensores

Voltando a relatividade restrita

Imagine agora uma fonte de luz na posicao (x0, y0, z0) emite umafrente de onda no instante t0.

Apos t segundos a distancia percorrida pela frente de onda serac∆t = c(t − t0) metros, que em termos de coordenadas espaciaissera√

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 =√

(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2.

Imagine agora a mesma frente de onda observada por um outroreferencial inercial O′. Neste outro referencial, apos t ′ segundos afrente de onda tera percorrido c∆t ′ =

√∆x ′2 + ∆y ′2 + ∆z ′2.

espaco dualTensores

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 =√

(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2.

√∆x ′2 + ∆y ′2 + ∆z ′2.

espaco dualTensores

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 =√

(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2.

√∆x ′2 + ∆y ′2 + ∆z ′2.

espaco dualTensores

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 =√

(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2.

√∆x ′2 + ∆y ′2 + ∆z ′2.

espaco dualTensores

Comparando o resultado nos dois referenciais podemos observarque

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 = 0 = ∆x ′2 + ∆y ′2 + ∆z ′2 − (c∆t ′)2.

Ou seja∆x ′2 + ∆y ′2 + ∆z ′2 − (c∆t ′)2 = 0

independentemente do referencial.

espaco dualTensores

Comparando o resultado nos dois referenciais podemos observarque

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 = 0 = ∆x ′2 + ∆y ′2 + ∆z ′2 − (c∆t ′)2.

Ou seja∆x ′2 + ∆y ′2 + ∆z ′2 − (c∆t ′)2 = 0

independentemente do referencial.

espaco dualTensores

Imagine a mesma situacao anterior, mas agora trocando a frentede onda por uma partıcula que viaja com velocidade v < c .De maneira inteiramente analoga terıamos∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (v∆t)2 = 0, e desta expressao, substituindoapenas v por c , teremos

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 < 0.

Suponha agora que em a distancia espacial√

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2

seja maior do que a percorrido pela luz em t segundos. Dessaforma terıamos, analogamente

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 > 0.

espaco dualTensores

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 < 0.

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 > 0.

espaco dualTensores

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 < 0.

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 > 0.

espaco dualTensores

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 < 0.

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 > 0.

espaco dualTensores

Ou seja, para distancias maiores, iguais ou menores do que apercorrida pela luz em um intervalo de tempo ∆t valem,respectivamente

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 = a2 > 0

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 = 0

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 = −b2 < 0

E possıvel mostra que numeros reais a e b acima tambem saoindependentes do referencial (ver Schutz).

espaco dualTensores

Ou seja, para distancias maiores, iguais ou menores do que apercorrida pela luz em um intervalo de tempo ∆t valem,respectivamente

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 = a2 > 0

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 = 0

∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 = −b2 < 0

E possıvel mostra que numeros reais a e b acima tambem saoindependentes do referencial (ver Schutz).

espaco dualTensores

Com isso concluımos que ∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 e invariantesob mudancas de referencial.

Esta e uma quantidade fundamental em relatividade geral ourestrita e e chamada de intervalo. Intervalos sao classificados como

tipo luz (= 0), tipo tempo (< 0) ou tipo espaco (> 0).

espaco dualTensores

A partir de agora fixemos c = 1 e a notacao x0 = t, x1 = x , x2 = ye x3 = z . Se tomarmos o intervalo da discussao anterior partindoda origem do sistema de coordenadas no instante x0 = 0, teremos

−(x0)2

+(x1)2

+(x2)2

+(x3)2

onde σ = a2, σ = 0 ou σ = −b2.Note que exceto pelo sinal negativo do primeiro termo, estaexpressao se parece muito com um produto interno.De fato, seja x = (x0, x1, x2, x3) um vetor de R4 e η essa formabilinear, entao

η(x , x) = (x0, x1, x2, x3)

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

︸︷︷︸

matriz de η

espaco dualTensores

−(x0)2

+(x1)2

+(x2)2

+(x3)2

η(x , x) = (x0, x1, x2, x3)

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

︸︷︷︸

matriz de η

espaco dualTensores

−(x0)2

+(x1)2

+(x2)2

+(x3)2

η(x , x) = (x0, x1, x2, x3)

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

︸︷︷︸

matriz de η

espaco dualTensores

−(x0)2

+(x1)2

+(x2)2

+(x3)2

η(x , x) = (x0, x1, x2, x3)

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

︸︷︷︸

matriz de η

espaco dualTensores

Assim como o espaco vetorial Rn munido do produto interno usuale chamado de espaco Euclidiano n−dimensional, o espaco vetorialR4 munido da forma bilinear η acima e chamado de espaco deMinkowski. A forma bilinear acima e conhecida como metrica deMinkowski.

espaco dualTensores

Se transformacoes lineares que satisfazem ATA = I preservam a oproduto interno Euclidiano, a pergunta natural agora e:quais sao as transformacao lineares que preservam a metrica deMinkowski?Assim como no espaco Euclidiano, basta impor queη(Λx ,Λx) = η(x , x).Portanto a metrica de Minkowski e preservada por matrizes Λ quesatisfazem a ΛTηΛ = η.E possıvel mostrar (Lista!) que as matrizes Λ que preservam ametrica de Minkowski sao justamente as transformacoes de Lorentzescritas em forma matricial.

espaco dualTensores

Voltando a “definicao” classica de vetores, dizer que vetores saoobjetos que se transformam como

xµ =3∑

Λµαxα (1)

significa dizer que em mudancas de base (referencial), ascomponentes do vetor no novo referencial sao obtidas pelastransformacoes lineares representadas pelas matrizes Λ, que sao asproprias transformacoes de Lorentz.

espaco dualTensores

O que significa levantar e abaixar ındices? Para entender o que issosignifica precisamos retomar mais um conceito de algebra linear, ochamado espaco dual.Dado um espaco vetorial V , associamos um espaco vetorial V ∗

chamado de espaco dual de V , tal que, ∀α ∈ V ∗

α : V → Ru 7→ α(u)

Elementos do espaco dual sao chamados de funcionais lineares,covetores, vetores covariantes ou 1-forma, dependendo docontexto. Eles representam aplicacoes lineres que agem emvetores, resultando em numeros reais.

espaco dualTensores

Exemplo: Sejam u ∈ R4 e α ∈ (R4)∗ tal que α = (1, 2, 0, 1), entao

α(u) = α

αkuk = u1 + 2u2 + u4,

Note a semelhanca entre essa expressao e o produto interno.

espaco dualTensores

Espacos munidos de formas bilineares e seus respectivos duais serelacionam atraves da propria forma bilinear. De fato, nestesespacos definimos uma aplicacao linear denominada correlacaoτ : V → V ∗, que define naturalmente um funcional bilinearg : V × V → R atraves de

τ : V → V ∗

v 7→ τv : V → Ru 7→ τv(u) ≡ g(v,u).

espaco dualTensores

A relacao estabelecida entre a correlacao e a forma bilinear nospermite usar a segunda para relacionar as componentes deelementos do espaco vetorial as de elementos do espaco dual e viceversa. Isso e o que e conhecido como levantar e abaixar ındices.Usualmente as componentes de vetores sao chamadas decontravariantes (ındice em cima) e de funcionais lineares chamadasde covariantes (ındices embaixo).

espaco dualTensores

Voltando ao R3,

g(u, v) = (u1, u2, u3)

g11 g12 g13

g21 g22 g23

g31 g32 g33

≡ (u1, u1, u3

u1 = u1g11 + u2g21 + u3g31

u2 = u1g12 + u2g22 + u3g32

u3 = u1g13 + u2g23 + u3g33.

espaco dualTensores

De modo geral vale

uµ =∑k

gµkuk ,

analogamente,

uµ =∑k

gµkuk .

Onde gµk sao as componentes da matriz inversa de g .

espaco dualTensores

Tensores

O produto tensorial entre espacos vetoriais U e V e um espaco Wcom uma aplicacao bilinear

⊗ : U × V → W(u, v) 7→ u⊗ v

tal que, se {ei : i = 1, . . . , n} e {fj : j = 1, . . . ,m} sao bases de Ue V respectivamente, entao os mn elementos da forma ei ⊗ fj ,com 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ m, formam uma base de W . Tensores deW ≡ U ⊗V serao entao escritos como cominacao linear de ei ⊗ fj ,

T =∑µ

Tµνeµ ⊗ fν .

espaco dualTensores

Tensores podem ser covariantes, contravariantes ou mistos,dependendo dos espacos vetoriais que compoem o produtotensorial.A mudanca de referencial de tensores e dada pelo produto tensorialdas matrizes de mudanca de base dos espacos que compoem oproduto tensorial.

espaco dualTensores

No exemplo anterior, se A e B sao matrizes de mudanca de basede U e V respectivamente, entao o tensor T na nova base sera

T′ = A⊗ B

(∑µ

Tµνeµ ⊗ fν

)=∑µ

Tµν(Aeµ)⊗ (Bfν)

=∑µ

(∑α

Aαµeα

Bβνfβ

=∑µ

TµνAαµBβ

νeα ⊗ fβ

=∑α

(∑µ

AαµBβ

νTµν

)eα ⊗ fβ

=∑α

T ′αβeα ⊗ fβ

espaco dualTensores

Portanto a componente T ′αβ do tensor T′ se relaciona com ascomponentes do tensor T atraves de

T ′αβ =∑µ

TµνAαµBβ

ν . (2)

Essa expressao para as componentes de um tensor sob umamudanca de base e usada nos textos mais antigos como a propriadefinicao de tensor.

espaco dualTensores

Assim como no caso dos vetores, as componentes covariantes deum tensor podem ser relacionadas com as contravariantesutilizando a metrica,

Tαβ =∑µ

gαµgβνTµν

ouTαβ =

gαµgβνTµν

espaco dualTensores

O produto tensorial pode ser continuado U1 ⊗ U2 ⊗ · · · ⊗ Un,produzindo tensores de ordem superior

H =∑α1

∑α2

· · ·∑αn

Hα1α2···αn(e1)α1⊗ (e2)α2

⊗ · · · ⊗ (en)αn,

Que apesar de terem mais componentes, possuem exatamente amesma estrutura de tensores de segunda ordem.

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