1 Equações de Maxwell. Corrente de desloca-

mento.

1.1 Introdução

As equações de Maxwell que formam a base da Teoria Electromagnética clássicaescrevem-se sob a forma (em unidades gaussianas):No vácuo [] = 1 no S.I. Notemos desde já que o sistema gaussiano é racional-

izado, portanto o factor 4π não apararece nas equações de Maxwell.Lei de Coulomb: −→∇ ·−→E = [4π] ρ (1)

Ausência de monopolos magnéticos:

−→∇ ·−→B = 0 (2)

Lei de Ampère-Maxwell:

−→∇ ×−→B =

∙4π

c

¸−→J +

∙1

c

¸∂−→E

∂t(3)

Lei de Faraday:−→∇ ×−→E = −

∙1

c

¸∂−→B

∂t(4)

Estas equações permitem, em princípio, conhecer os campos−→E e−→B (campo

eléctrico e de indução magnética) em todos os pontos do espaço, desde que seconheçam as fontes

−→J e ρ (densidade volúmica de corrente e densidade volúmica

de carga).Se considerarmos agora, não o vácuo mas sim agregados de matéria, o número

de fontes torna-se muito grande (basta pensar no no de partículas carregadas decada átomo). Se, além disso, estivermos a realizar observações macroscópicas,o comportamento dos campos à escala das dimensões atómicas não é relevante.apenas interessa o valor médio dos campos ou os valores médios assumidos pelasfontes em volumes grandes comparados com o volume ocupado por um átomoou molécula. A estes valores médios chamam-se campos macroscópicos e fontesmacroscópicas.Adoptando agora o sistema S.I.as equações de Maxwell macroscópicas escrevem-

se sob a forma: −→∇ ·−→D = ρ (5)−→∇ ·−→B = 0 (6)

−→∇ ×−→H =−→J +

∂−→D

∂t(7)

1

−→∇ ×−→E +∂−→B

∂t= 0 (8)

em que−→E e−→B são os valores médios assumidos por

−→E e por

−→B nas equações

no vácuo (a que chamam também equações microscópicas).As equações de Maxwell, juntamente com a equação da força de Lorentz 1 e

a 2a lei do movimento de Newton fornecem a descrição completa da dinâmicaclássica de um sistema de partículas carregadas em interacção cum um campoelectromagético.Relembremos que a Lei de Maxwell-Ampère foi escrita nesta forma definitiva,

válida para campos dependentes do tempo, por Maxwell (em 1865). Ele adicio-nou à Lei de Ampère que se expressa por

−→∇ ×−→H =−→J o termo correspondente

à corrente de delocamento∂−→D

∂t.

Com efeito a Lei de Ampère tinha sido deduzida para o caso da correnteestacionária em que

−→∇ ·−→J = 0. Esta equação era consistente com:

−→∇ ·−→J =−→∇ ×

³−→∇ ×−→H´ = 0 (9)

No entanto, no caso dos fenómenos variáveis no tempo, a equação de con-servação da carga eléctrica escreve-se sob a forma:

−→∇ ·−→J + ∂ρ

∂t= 0 (10)

sendo assim incompatível com a Lei de Ampère.A ideia de Maxwell constiu em introduzir a Lei de Coulomb (1) na equação

de conservação da carga eléctrica :

−→∇ ·−→J + ∂ρ

∂t=−→∇ ·−→J + ∂

∂t

³−→∇ ·−→D´ = −→∇ ·Ã−→J + ∂−→D

∂t

!= 0 (11)

Assim o vector cuja divergência é nula é o vector−→C =

−→J +

∂−→D

∂t.Maxwell sub-

stituíu então−→J por

−→C na equação de Ampère, obtendo a equação de Maxwell-

Ampère.Existe assim uma compatibilidade absoluta entrea as equações de Maxwell

e a equação de conservação da carga eléctrica.O conjunto das 8 equações de Maxwell contém 2 equações homogéneas (2),(4)

e duas equações não homogéneas (1),(3).As duas equações homogéneas podem resolver-se formalmente exprimindo

os campos−→E e−→B em termos dos potenciais vector e escalar

−→Ae φ.

1Força que actua numa carga pontual submetida a um campo−→E ,−→B.

−→F = q

−→E +

1

c(−→v ×−→B )

2

Para se resolverem as equações não homogéneas tem que se conhecer asexpressões de

−→D e

−→H em função de

−→E e de

−→B.

Estas expressões apresentam-se sob a forma (relações de constituição):

−→D =

−→Dn−→E ,−→Bo;−→H =

−→Hn−→E ,−→Bo

(12)

que são acompanhadas, para os meios condutores, de:

−→J =

−→Jn−→E ,−→Bo

(13)

{}significa uma dependência temporal que pode ser complicada.As relações(12) podem escrever-se mais explicitamente sob a forma:

−→D = ε0

−→E +

−→P (14)

−→H =

1

µ0

−→B −−→M (15)

em que−→E e

−→B são os campos eléctrico e magnético macroscópicos,

−→D e

−→H

são os campos derivados correspondentes−→P representa o vector polarização eléctrica média (momento dipolar eléctrico

por unidade de volume) e−→M representa o vector magnetização média ( momento

dipolar magnético por unidade de volume).Repare-se que

−→P e

−→M são médias macroscópicas correspondentes ao com-

portamento das cargas ligadas e das correntes ligadas. Pelo contrário, ρ e−→J

são densidades macroscópicas médias correspondentes ao comportamento dascargas e correntes livres no meio.As substâncias ferroeléctricas e ferromagnéticas apresentam valores de

−→P e

de−→M diferentes de zero mesmo na ausência de campos aplicados.

1.2 Comportamento linear e comportamento isotrópico

No caso de campos suficientemente fracos e para substâncias não ferromag-néticas nem ferroeléctricas, um campo eléctrico ou magnético aplicados induzuma polarização ou uma magnetização proporcional à intensidade do campoaplicado. Pode então escrever-se para as componentes de

−→D e de

−→H :

Dα =Xβ

εαβEβ (16)

Hα =Xβ

µαβBβ (17)

Os tensores αβ e µαβsão respectivamente designados por permitividade eléc-trica ou tensor dieléctrico e inverso da permeabilidade magnética. Correspon-dem a resposta linear do meio e dependem da estrutura molecular (por exemplo

3

cristalina) do material assim como de propriedades globais como a densidadetemperatura No caso de materiais simples a respota linear é também isotrópicano espaço Nesse caso εαβ e µαβ são tensores diagonais com os três elementosiguais. e podemos escrever: −→

D = ε−→E (18)

−→H = µ

−→B =

−→B

µ(19)

1.3 Comportamento isotrópico

No caso de substâncias simples o comportamento é isotrópico,no esoaço ou sejaαβ e µαβ são tensores diagonais, com os três elementos iguais entre si :

εαβ = εδαβ (20)

µαβ = µδαβ (21)

com δαβ = 1 se α 6= β e δαβ = 0 se α = β.

Neste caso a polarização eléctrica−→P é paralela a

−→E podendo escrever-se:

−→P = ε0χe

−→E (22)

−→D = ε0

−→E +

−→P = ε0 (1 + χ0)

−→E = ε

−→E (23)

com ε = ε0 (1 + χe) sendoχea susceptibilidade,eléctrica.Analogamente, para as propriedades magnéticas:

−→M = µ0χm

−→H (24)

−→B = µ0

−→H +

−→M = µ0 (1 + χm)

−→H = µ

−→H (25)

sendo χma susceptibilidade magnética.

1.4 Substâncias dieléctricas. Substâncias diamagnéticas eparamagnéticas. Substâncias ferromagnéticas.

Para frequências pouco elevadas¡νh106Hz

¢os sólidos têm em geral constantes

dieléctricas da ordem de ε ' 2 − 20. podendo atingir valores superiores Sub-stâncias com momentos dipolares magnéticos permanentes podem apresentarvalores muito mais elevados da constante dieléctrica, sendo esses valores sen-síveis à temperatura. Por exemplo, no caso da água destilada, ε = 88 a 0oC, eε = 56 a 100oC.No domínio das frequências ópticas as constantes dieléctricas são em geral

muito menores. Apresentam valores da ordem de ε ' 1.7− 10 e, para a maioriados sólidos, ε ' 2−3. Para o caso da água destilada, ε ' 1.77−1.80 na zona do

4

visível e é praticamente independente da temperatura entre 0o e 100o. a 0oC, eε ' 56 a 100oC.A resposta de uma dada substância a um campo magnético depende essen-

cialmente das propriedades do átomos ou moléculas constituintes e das suasinteracções.As substâncias diamagnéticas são constituídas por átomos ou moléculas que

não apresentam um momento angular diferente de zero claramente definido.Sabemos que o momento dipolar magnético é proporcional ao momento angular.Assim a resposta deste tipo de substância à aplicação de um campo magnéticoé apenas a criação de uma pequena magnetização global que se opõe ao campomagnético aplicado.Atendendo a que:

−→H =

−→B

µ0−−→M =

µ1

µ

¶−→B = µ

−→B (26)

e a que−→M tem sentido contrário a

−→B , vê-se assim que µ > 1. O fenómeno do

diamagnetismo é muito pouco intenso. A substância mais diamagnética que seconhece é o bismuto, para o qual (µ− 1) ≈ 1.8 ∗ 10−4.As substâncias paramagnéticas são constituídas por átomos ou moléculas

com electrões desemparelhados, conduzindo à existência de um momento angu-lar com um valor determinado e diferente de zero. Quando se aplica um dadocampo magnético, cria-se assim um momento magnético que se alinha paralela-mente ao campo magnético aplicado. 2 Tem-se asim (1− µ) ≈ 10−2 − 10−5 àtemperatura ambiente. Esses valores decrescem com a temperatura devido aosefeitos caóticos da excitação térmica.

1.4.1 Substâncias ferromagnéticas

Trata-se de substâncias paramagnéticas as quais,abaixo de uma certa temper-atura ( temperatura de Curie:1040K para o Fe e 630K para o Ni) apresentammagnetização espontânea, encontrando-se os momentos dipolares magnéticos decertos domínios alinhados. A aplicação de campos externos faz com que essesdomínios mudem de posição e que os momentos de diferentes domínios se alin-hem, causando um fenómeno de saturação. A remoção dos campos deixa umagrande fracção dos momentos ainda alinhados e a magnetização permanentepode atingir valores de ordem superior a 104Gauss.As substâncias ferromagnéticas apresentam o fenómeno da histerese, o que

significa que a relação entre−→B e

−→H não é linear e, além disso, não é unívoca.

Suponhamos que, para um material ferromagnético, traçamos uma curva demagnetização, isto é uma curva representando B em função de H Vê-se que arelação não é linear, SeH tende para infinito, a curva torna-se aproximadamente

2Relembremos que a energia potencial U de um momento magnético permanente −→m numcampo

−→B é dada por:

U = −−→m ·−→B (27)

Assim o dipolo tende a alinhar-se com o campo para que o potencial seja mínimo.

5

Figure 1:

linear, porque a magnetização M atinge um valor constante a que se chamamagnetização de saturação.Suponhamos agora que, em vez de fazer o campo H tender para infinito,

atingimos um certo valor de H correspondente a atingir a magnetizaçao desaturaçãoMS correspondente a uma induçãoBS e depois começamos a decresceros seus valores. A curva obtida é diferente da anterior e ao atingirmos H = 0temos B 6= 0.A esse valor de B chama-se indução remanescente. Para se atingirB = 0 é preciso que se continue até H = −HC ( força coerciva ou coercividade).Se continuarmos o processo até atingir uma indução magnética igual a −BS einvertermos o campo magnético obteremos a curva fechada que se representa nafigura, a que se chama ciclo de histerese ( hysteresis loop ).Conforme os valores do campo que se atingem, assim se obtêm sucessivas

"hysteresis loop" que podem recobrir todo o espaço do plano.Nos sistemas em que ocorre o fenómeno da histerese há uma conversão irre-

versível de energia do campo magnético em calor. Este fenómeno é independentedo fenómeno de transformação de energia eléctrica em calor.de Joule.

6

Figure 2:

Figure 3:

7

2 Condições de fronteira.Descontinuidades dosvectores do campo electromagnético

A validade das equações do campo electromagnético foi discutida para pontos navizinhança dos quais as propriedades do meio variam continuamente. Na super-fície de separação entre dois meios ou dois corpos diferentes podem, no entanto,ocorrer variações bruscas nos parâmetros ε, σ, µ.Numa escala macroscópica, es-sas variações podem ser consideradas descontínuas e devemos discutir se osvectores do campo traduzem, ou não, essas descontinuidades.Consideremos, em primeiro lugar, uma superfície limítrofe entre os meios (1)

e (2),Suponhamos que essa superfície é constituída por uma fina camada cujos

parâmetros variam rapidamente mas continuamente dos valores perto de S nomeio (1) para os valores perto de S no meio (2) .Dentro de cada um dos meios, assim como no interior da camada os vectores

do campo assim como as suas derivadas são funções contínuas e limitadas da

8

Figure 4:

posição e do tempo. Imagiemos agora um fino cilindro através da camada deseparação, como se mostra na figura.

A superfície lateral do cilindro é normal a S e as bases superior e inferiorencontram-se na parte superior e na parte inferior da camada de separação.Assim, essas extremidades estão separadas pela espessura ∆l.Temos então:Z

Sc

−→B.−→n dS = o (28)

sendo Sc a superfície lateral mais as extremidades superior e inferior docilindro e dS um elemento da superfície. Seja ∆a a área da base superior e dabase inferior. Se estas bases forem sufoicientemente pequenas, podemos supôrque B é constante nelas. Assim podemos escrever, desprezando diferenciais deordem superior, a expressão anterior sob a forma:³−→

B.−→n 1 +−→B.−→n 2

´∆a+ contribuiçao da parte lateral = 0 (29)

Notemos agora que a contribuição da parte lateral para o integral de su-perfície é directamente proporcional a ∆l. Suponhamos agora que a camada detransição se torna tão fina que degenera na superfície S.No limite ∆l −→ 0,asbases do cilindro encontram-se precisamente nos dois lados de S e a contribuiçãoda parede lateral torna-se infinitamente pequena. Sejam:−→

B 1 o valor de B num ponto da superfície S no meio 1.−→B 2 o valor de B num ponto da superfície S no meio 2.−→n o vector unitário representando a normal positiva a S dirigida do meio

1.para o meio 2:−→n 1 = −−→n ;−→n 2 = +

−→nEntão, quando ∆l −→ 0: ³−→

B 2 −−→B 1

´.−→n = 0 (30)

9

Figure 5:

A transição da componente normal de−→B através de qualquer superfície de

descontinuidade do meio é contínua.A condição anterior é uma consequência de

−→∇ ·−→B = 0.

O vector−→D pode ser tratado de modo semelhante mas neste caso o integral

de superfície da componente normal do campo numa superfície fechada é dadopela carga contida na superfície:Z

Sc

−→D.−→n dS = q (31)

sendo q a carga contida na superfície Sc constituída a partir das duas basesmais a parte lateral do cilindro. A carga q está distribuída sobre a camadade transição com a densidade ρ .Se as duas bases do cilindro se aproximam demodo a juntarem-se, a carga total permanece constante pois não não pode serdestruída. Então:

q = ρ∆l∆a (32)

No limite, se ∆l → 0, ρ → ∞.É então conveniente substituír o produtoρ∆l pela densidade superficial σ,definida como carga por unidade de área. Atransição da componente normal de

−→D através de qualquer superfície S é então

dada por: ³−→D2 −

−→D1

´.−→n = σ (33)

porque³−→D2 −

−→D1

´.−→n∆a = σ∆a.

A presença de uma destribuição de carga em S origina uma modificaçãobrusca na componente normal do deslocamento eléctrico

−→D. A descontinuidade

que esta componente normal sofre é dada pelo valor da densidade superficial decarga.Considerando agora o comportamento das componentes tangenciais, substi-

tuamos o cilindro considerado anteriormente pelo percurso rectangular repre-sentado na figura:Os lados do rectângulo de comprimento ∆s encontram-se de cada um dos

lados da camada de transição.Os lados do rectângulo que penetram na camada

10

têm comprimento igual à respectiva espessura ∆l.Podemos então calcular ointegral de linha no contorno do rectângulo C0 : 3Z

C0

−→E .−→ds+

ZS0

∂−→B

∂t.−→n 0dS = 0 (34)

dS0 é a área do rectângulo e−→n 0 é a normal positiva. A direcção e o sentido

desta normal são bem determinados.−→τ1 e −→τ2 são vectores unitários como se mostra na figura. Desprezando difer-

enciais de ordem superior, podemos escrever a equção anterior sob a formaaproximada:

³−→E .−→τ1 +

−→E .−→τ2

´∆s+contribuiçoes das extremidades laterais = −∂

−→B

∂t.−→n 0∆s∆l

(35)Quando a camada considerada se retrai de modo a recaír na superfície S as

contribuições dos segmentos laterais que são proporcionais a∆l tornam-se infini-tamente pequenas. Sendo −→n a normal positiva dirigida de (1) para (2) ,podemosdefinir o vector unitário −→τ pela expressão:

−→τ = −→n 0 ×−→n (36)

Atendendo à igualdade vectorial:

−→n 0 ×−→n .−→E = −→n 0.−→n ×

−→E (37)

e a que:

−→E .−→τ1 = −−→E 1.

−→n 0 ×−→n³= −−→E 1.

−→τ´

(38)

−→E .−→τ2 = +

−→E 2.−→n 0 ×−→n

³= +−→E 2.−→τ´

(39)

da equação [35]podemos escrever, no limite em que ∆l→ 0 :

h³−→E 2 −

−→E 1

´.−→n 0 ×−→n

i+ lim∆l→0

Ã∂−→B

∂t.−→n 0

!∆l = 0 (40)

3Da equação:−→∇ ×−→E = −∂

−→B

∂tvem:

S

−→∇ ×−→E .−→n dS =C

−→E .ds = −

S

∂−→B

∂t.−→n dS

sendo C o contorno da superfície S.

11

o que se pode escrever:

−→n 0.

"−→n ×

³−→E 2 −

−→E 1

´+ lim∆l→0

∂−→B

∂t∆l

#= 0 (41)

A orientação do rectângulo e portanto também de −→n 0 é inteiramente ar-bitrária e portanto o parênttises recto da equação anterior deve ser nulo, ouseja:

−→n ׳−→E 2 −

−→E 1

´= − lim

∆l→0

∂−→B

∂t∆l (42)

Como se assume que tanto os vectores do campo como as suas derivadas sãolimitados, o termo do lado direito da equação anterior tende para zero com ∆l,obtendo-se finalmente:

−→n ׳−→E 2 −

−→E 1

´= 0 (43)

A transição das componentes tangenciais do vector−→E através de uma su-

perfície de descontinuidade é contínua.O comportamento de H na fronteira pode ser deduzido imediatamente a

partir de um caminho paralelo ao seguido de [34]para[35] . Partindo da equação

:−→∇ ×−→H =

−→J +

∂−→D

∂tescrita na forma integral:

ZC0

−→H.−→ds−

ZS0

∂−→D

∂t.−→n 0dS0 −

ZS0

−→J .−→n 0dS0 = 0 (44)

obtemos:−→n ×

³−→H 2 −

−→H 1

´= + lim

∆l→0

Ã∂−→D

∂t+−→J

!∆l (45)

O primeiro termo do lado direito da equação anterior decai para zero com ∆lporque

−→D e as suas derivadas são funções limitadas. Se a densidade de corrente−→

J for finita o segundo termo também se anula.Pode, no entanto, acontecer que a corrente I =

−→J .−→n 0∆s∆l se encontre

comprimida numa camada infinitesimal na superfície S quando os lados sãopostos em contacto. É conveniente representar esta corrente superficial poruma densidade de corrente superficial

−→j definida como o limite do produto−→

J ∆l quando ∆l→ 0 e−→J →∞ :

−→j = lim

∆l→0,−→J→∞

−→J ∆l (46)

12

Então obtemos também:

−→n ׳−→H 2 −

−→H 1

´=−→j (47)

Quando a condutividade σ∗dos meios contíguos é finita, não pode havercorrente superficial, porque nesse caso, σ∗E é uma função limitada e portantoo produto σ∗E∆l decai para zero com ∆l. Nesse caso:

−→n ׳−→H 2 −

−→H 1

´= 0 (48)

Frequentemente é, no entanto, necessário supôr que a condutividade do meioé infinita para simplificar a análise do campo. Nesse caso, deve utilizar-se apenúltima em vez da última das equações anteriores.Resumindo:

Condições de Continuidade do Campo Electromagnéticona Superfície de Separação Descontínua entre dois Meios

Componentes normais:

³−→B 2 −

−→B 1

´.−→n = 0 (49)³−→

D2 −−→D1

´.−→n = σ (50)

Componentes tangenciais:

−→n ׳−→H 2 −

−→H 1

´=−→j (51)

−→n ׳−→E 2 −

−→E 1

´= 0 (52)

Destas equações obtêm-se facilmente as condições sobre as componentes nor-mais de

−→E e de

−→H e sobre as componentes tangenciais de

−→D e de

−→B :

Componentes normais:µ−→H 2 −

µ1µ2

−→H 1

¶.−→n = 0 (53)µ

−→E 2 −

ε1ε2

−→E 1

¶.−→n =

σ

ε2(54)

Componentes tangenciais:

−→n ×µ−→B 2 −

µ2µ1

−→B 1

¶= µ2

−→j (55)

−→n ×µ−→D2 −

ε2ε1

−→D1

¶= 0 (56)

13

3 Potencial vector e potencial escalarAs equações de Maxwell consistem num conjunto de equações às derivadas par-ciais de primeira ordem que relacionam as componentes do campo eléctrico e docampo magnético. Só podem ser resolvidas para casos extremamente simples.Torna-se muitas vezes conveniente introduzir os potenciais, obtendo um númeromais pequeno de equações às derivadas parciais de segunda ordem. Utilizam-seassim o potencial escalar Φ e o potencial vector

−→A.

A partir das equações de Maxwell homogéneas obtemos sucessivamente:

−→∇ ·−→B = 0 =⇒ −→B =−→∇ ×−→A (57)

Então, a partir da Lei de Faraday obttemos:

−→∇ ×Ã−→E +

∂−→A

∂t

!= 0 (58)

A grandeza entre parentises cujo rotacional é nulo pode escrever-se como ogradiente de uma dada grandeza escalar, que designatemos por Φ :

−→E +

∂−→A

∂t= −−→∇Φ (59)

ou seja:−→E = −−→∇Φ− ∂

−→A

∂t(60)

As definições anteriores de−→E e de

−→B em termos dos potenciais satisfazem

identicamente as duas equações de Maxwell homogéneas. O comportamentodinâmico de

−→A e de Φ vai ser determinado a partir das equações não homogéneas.

A partir das equações anteriores e aplicando identidades vectoriais conheci-das, podemos escrever:

( com c =1

√ε0µ0

,velocidade da luz no vácuo )

∇2Φ+ ∂

∂t

³−→∇.−→A´ = − ρ

ε0(61)

∇2−→A − 1

c2∂2−→A

∂t2−−→∇

µ−→∇.−→A +

1

c2∂Φ

∂t

¶= −µ0

−→J (62)

Reduzimos assim o conjunto das quatro equações de Maxwell a duas equaçõesacopladas. Podemos obter uma equação para

−→A e outra para Φ explorando a

arbitrariedade que existe na definição dos potenciais.As relações de invariância electromagnética que discutiremos seguidamente,

mostram que temos uma liberdade ( bem definida ) na escolha de−→A,Φ.

14

3.1 Relações de Invariância Electromagnética. Transfor-mações de Gauge.

Como−→B é o rotacional de

−→A e o rotacional do gradiente é nulo,

−→B fica invariante

se adicionarmos a−→A o gradiente de uma função escalar Λ. Além disso,para que

o campo elécrico−→E = −−→∇Φ − ∂

−→A

∂ttambém permaneça invariante, é preciso

que o potencial escalar seja também transformado:

−→A =

−→A +

−→∇Λ (63)

Φ = Φ− ∂Λ

∂t(64)

À transformação anterior chama-se uma transformação de gauge, e à invar-iância correspondente invariância de gauge.A liberdade de escolha implicada por estas equações permite escolher um

par de potenciais³−→A,Φ

´tal que (condição de Lorentz):

−→∇.−→A +1

c2∂Φ

∂t= 0 (65)

Isto vai desacoplar o par de equações [61] e [62] conduzindo à obtenção deduas equações não homogéneas, uma para

−→A e outra para Φ :

∇2Φ− 1

c2∂2Φ

∂t2= − ρ

0(66)

∇2−→A − 1

c2∂2−→A

∂t2= −µ0

−→J (67)

As três equações anteriores formam um conjunto de equações identicas àsequações de Maxwell.

Pode introduzir-se o operador d ´Alembert : ¤0 = ∇2 −1

c2∂2

∂t2e escrever

as duas últimas equações sob a forma:

¤0½Φ−→A

¾= −

(ρ

0

µ0−→J

)(68)

As soluções deste sistema de equações são os potenciais retardados de Lorentz:

Φ (−→r , t) = 1

4π 0

Z ρ

µ−→r , t−

−→r −−→rc

¶¯−→r −−→r

¯ dv (69)

15

oluções violam

−→A (−→r , t) = µ0

4π

Z −→J µ−→r , t− −→r −−→rc

¶¯−→r −−→r

¯ dv (70)

Designemos t = t−−→r −−→r

cEstes potenciais podem interpretar-se com o significado físico de traduzirem

a propagação não instantânea de acções à distância: os elementos potenciantesρ³−→r , t

´dv e

−→J³−→r , t

´contribuem para os potenciais num ponto definido pelo

vector posição −→r e no instante t com os seus valores no instante anterior t.Note-se, no entanto, que ospotenciais electrmagnéticos são apenas instru-

mentos matemáticos. É possível obter soluções em que aparece t = t+−→r −−→r

c .Essassoluções violam o princípio da causalidade (porque lhes corresponde um efeitoanterior à causa ) e são fisicamente inaceitáveis.

3.2 Gauge Restrita de Lorentz

Suponhamos que temos um par de potenciais−→A,Φ que não satisfazem à condição

de Lorentz; queremos obter um par de potenciais−→A , Φ que satisfaçam a essa

condição. Então:−→∇.−→A +

1

c2∂Φ

∂t= 0 (71)

Pelas relações de invariância electromagnética [63], [64] ,temos de ter:

−→∇.−→A +1

c2∂Φ

∂t= 0 =

−→∇.−→A +1

c2∂Φ

∂t+−→∇2Λ− 1

c2∂2Λ

∂t2(72)

Se se puder encontrar uma função Λ tal que:

−→∇2Λ− 1

c2∂2Λ

∂t2= −

µ−→∇ .−→A +

1

c2∂Φ

∂t

¶(73)

−→A , Φ vão satisfazer à condição de Lorentz.Se−→A,Φ já satisfizerem à condição de Lorentz, podemos passar para um par

de potenciais também satisfazendo a essa condição desde que:

−→∇2Λ− 1

c2∂2Λ

∂t2= 0 (74)

Diz-se assim que a transformação:

−→A −→ −→A +

−→∇Λ

Φ −→ Φ− ∂Λ

∂t

16

preserva a condição de Lorentz, desde que Λ satisfaça à condição [74] .Diz-se que todos os potenciais nesta classe pertencem à Gauge restrita de

Lorentz.A gauge de Lorentz é muito utilizada porque, por um lado os potenciais

satisfazem à equação de onda [66], [67] e, por outro lado, adequa-se muito bemaos estudos de relatividade restrita.

3.3 Gauge de Coulomb, de radiação ou transversa

Nesta gauge: −→∇.−→A = 0 (75)

A partir das equações[61] e [62] podemos concluír, neste caso, que:-o potencial escalar satisfaz à equação de Poisson:

∇2Φ = − ρ

ε0(76)

cuja solução é o potencial de Coulomb instantâneo:

Φ (−→r , t) = 1

4π 0

Z ρ³−→r , t

´¯−→r −−→r ¯dv (77)

-o potencial vector satisfaz à seguinte equação:

∇2−→A − 1

c2∂2−→A

∂t2= −µ0

−→J +

1

c2−→∇ ∂Φ

∂t(78)

Como−→∇ ∂Φ

∂té irrotacional, existe uma sugestão para que cancele a pate

correspondente da densidade de corrente ( porque, pelo Teorema de Helmoltz,−→J se pode escrever como a soma de um vector irrotacional ou longitudinal

−→J

com um vector solenoidal ou transversal−→J t).

Tem-se:−→∇ ×−→J = 0 e

−→∇.−→J t = 0.Pode mostrar-se que:

1

c2−→∇ ∂Φ

∂t= µ0

−→J (79)

Demonstração:

A partir da equação de conservação da carga:−→∇ ·−→J + ∂ρ

∂t= 0 e a Φ (−→r , t) =

14π 0

R ρ−→r ,t

−→r −−→rdv podemos escrever:

∂Φ

∂t= − 1

4π 0

Z −→∇ ·−→J¯−→r −−→r

¯dv (80)

17

∂

∂teRcomutam porque estamos a tratar da electrodinâmica de corpos em

repouso. Assim:−→∇ ∂Φ

∂t= − 1

4π 0

−→∇Z −→∇ ·−→J¯−→r −−→r

¯dv (81)

Esta gauge é muito utilizada em electrodinâmica quântica. O potencialescalar correspondente é o potencial de Coulomb.

4 Teorema de Poynting e Conservação da Ener-gia e doMomento para um Sistema de Partícu-las Carregadas num Campo Electromagnético

ver Jackson 6.7, pg 258-262

5 Equação de onda e velocidade da luz.Ondas

planas e ondas esféricas

5.1 Derivação da equação de onda

Suponhamos uma região do espaço desprovida de cargas e de correntes: ρ =

0,−→J = 0.Atendamos às equações:

−→D = ε

−→E ,−→B = µ

−→H (82)

A partir das equações de Maxwell vamos obter uma equação para−→E e outra

para−→H separadamente:

−→∇ ×−→H − ∂−→D

∂t= 0 (83)

−→∇ ×−→E +∂−→B

∂t= 0 (84)

−→∇ ·−→D = 0 (85)−→∇ ·−→B = 0 (86)

-Substitui-se−→B da equação [82]na equação [84]

-Dividem-se ambos os membros por µ-Aplica-se o operador

−→∇×

18

(87)

19

(88)

20

Se o meio for homogéneo:

−→∇2−→E − εµ

c2∂2−→E

∂t2= 0 (89)

−→∇2−→H − εµ

c2∂2−→H

∂t2= 0 (90)

Estas equações são equações de onda. Sugerem a existência de ondas elec-tromagnéticas propagando-se com velocidade v =

c√εµ

.

5.2 Ondas planas

Numa região do espaço em que existe um meio homogéneo e na ausência de car-gas e de correntes, cada componente do campo, que designaremos aqui generi-camente por V (−→r , t) satisfaz a equação de onda homogénea:−→∇2−→H− εµ

c2∂2−→H

∂t2 = 0

−→∇2V − 1

v2∂2V

∂t2= 0 (91)

Esta equação admite várias soluções possíveis. Discutiremos em primeirolugar a que corresponde às ondas planas. Seja −→r (x, y, z) o vector posição deum ponto do espaço e −→s (x, y, z) um vector unitário numa direcção fixa. Umasolução da equação que se apresente sob a forma:

V (−→r , t) = V (−→r ·−→s , t) (92)

representa uma onda plana, porque em cada instante V é constante na sériede planos definidos por: −→r ·−→s =constante.Se definirmos um novo conjunto de eixos cartesianos Oξ,Oη,Oζ, com Oζ na

direcção de −→s ,ou seja:ζ = −→r ·−→s e poderemos escrever, com α = x, y ou z :

∂V

∂α= sα

∂V

∂ζ(93)

∂2V

∂α2=

∂

∂α

µ∂V

∂α

¶=

∂

∂α

µsα

∂V

∂ζ

¶= s2α

∂2V

∂ζ2(94)

ou seja (−→s (x, y, z) é um vector unitário):

∇2V =Xα

∂2V

∂α2=

∂2V

∂ζ2(95)

A equação [91]escreve-se:

∂2V

∂ζ2− 1

v2∂2V

∂t2= 0 (96)

21

Figure 6:

ζ − vt = p e ζ + vt = q a equação anterior pode apresentar-se sob a forma:

∂2V

∂p∂q= 0 (97)

A solução geral da equação anterior é a seguinte:

V = V1 (p) + V2 (q) = V1 (−→r ·−→s − vt) + V2 (

−→r ·−→s + vt) (98)

O argumento de V1,isto é p, é inalterável perante a substituição: (ζ, t) −→(ζ + vτ , t+ τ) ,porque p = ζ − vt = ζ + vτ − v (t+ τ) .Assim, V1 representa uma perturbação que se propaga com velocidade v no

sentido positivo do eixo ζ.Semelhantemente, V2 representa uma perturbação que se propaga com ve-

locidade v no sentido negativo do eixo ζ.

5.3 Ondas esféricas

Consideremos outras soluções possíveis da equação [91] , nomeadamente as soluçõesda forma:

V = V (r, t) (99)

22

com r =px2 + y2 + z2

A partir de relações do tipo:∂

∂x=

∂r

∂x

∂

∂r=

x

r

∂

∂retc...

mostra-se facilmente que:

∇2V =1

r

∂2

∂r2(rV ) (100)

e pode-se então escrever a equação [91] sob a forma:

∂2

∂r2(rV )− 1

v2∂2

∂t2(rV ) = 0 (101)

Esta equação é semelhante à equação [96]se substituirmos nesta ζ por r e Vpor rV. Podemos escrever imediatamente a solução da equação [101] a partirde [98] :

V =V1 (r − vt)

r+

V2 (r + vt)

r(102)

V1 e V2são ainda funções arbitrárias. Sendo v a velocidade de propagação:V1 (r − vt)

rrepresenta uma onda esférica divergente da origem

V2 (r + vt)

rrepresenta uma onda esférica convergente para a origem

23

6 Ondas vectoriais

(103)

24

(104)

25

(105)

26

(106)

27

(107)

28

(108)

29

(109)

30

(110)

31

(111)

32

(112)

33

(113)

34

(114)

35

(115)

36

(116)

37

(117)

38

(118)

39

(119)

40

Reflexão e Refracção das Ondas Planas Lei da Reflexão e da Refracção

Quando uma onda plana incide na superfície de separação entre dois meios homogéneos com propriedades ópticas diferentes, essa onda origina uma onda reflectida que volta para o meio inicial e uma onda transmitida que progride no segundo meio. Vamos supor que essas ondas são também planas e derivar as expressões para as direcções de propagação e para as amplitudes das ondas transmitidas.

Relembremos que a dependência espacio-temporal de uma onda plana que se propaga na direcção e sentido é representada por uma função do tipo ( )is

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−

vsrtF

i velocidade de propagação →v

Notemos que se conhecermos a dependência temporal de ( )tF num dado ponto do

espaço da onda que se propaga na direcção e sentido caracterizados pelo vector unitário , a onda fica completamente determinada em todo o espaço. Com efeito, se s ( )tF

representa a dependência temporal num dado ponto, em qualquer outro ponto cuja

posição relativamente ao primeiro é r , essa dependência é dada por: ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅−

vsrtF

i

.

Numa superfície de separação entre os dois meios, a variação temporal dos campos da onda secundária tem de ser a mesma que a dos campos da onda primária.

Sejam e respectivamente os vectores unitários na direcção de propagação da onda reflectida e da onda transmitida.

( )rs ( )ts

Igualando os argumentos das três funções de onda num ponto r situado no plano de separação , temos 0=z

( ) ( ) ( )

211 vsrt

vsrt

vsrt

tri ⋅−=

⋅−=

⋅− (1)

Sendo e as velocidades de propagação nos dois meios. Mais explicitamente

podemos escrever, com (ponto genérico da superfície de separação) 1v 2v

0,, yxr =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

211 vysxs

vysxs

vysxs t

yt

xr

yr

xi

yi

x +=

+=

+ (2)

Atendendo a que (2) se deve verificar para qualquer ponto ( )0,, yx sobre a superfície

podemos escrever

( ) ( ) ( )

211 vs

vs

vs t

xr

xi

x == ( ) ( ) ( )

211 vs

vs

vs t

yr

yi

y == (3)

1

O plano especificado por e pela normal à superfície de separação chama-se ( )is plano

de incidência. A equação anterior mostra que ( )ts e ( )rs se encontram nesse plano. Até agora ainda só definimos a superfície de separação como sendo a superfície 0=z .

Vamos agora escolher para plano de incidência o plano . xzSejam iθ , rθ e tθ os ângulos que ( )is , ( )rs e ( )ts fazem com o eixo . Temos então z0

Figura 1 – Refracção e reflexão de uma onda plana. Plano de incidência

( )

( )

( )t

tx

rr

x

ii

x

sens

sens

sens

θ

θ

θ

=

=

=

( )

( )

( ) 0

0

0

=

=

=

ty

ry

iy

s

s

s

( )

( )

( )t

tz

rr

z

ii

z

s

s

s

θ

θ

θ

cos

cos

cos

=

=

=

(4)

para ondas que se propagam do 1º meio para o 2ºmeio as componentes dos vectoresz s

são positivas. Para as ondas que se propagam em sentido contrário, essas componentes são negativas.

( )

( )

( ) 0cos

0cos

0cos

≥=

≤=

≥=

tt

z

rr

z

ii

z

s

s

s

θ

θ

θ

(5)

O primeiro conjunto de (3) dá, utilizando (4)

211 vsen

vsen

vsen tri θθθ

== (6)

Portanto ir sensen θθ = ; e atendendo a (5), ir θθ coscos −= . Assim

ir θπθ −= (7).

2

Obtivemos assim as leis da reflexão: está no plano de incidência (o raio reflectido está no plano de

incidência) ( )rs

ir θπθ −= (os ângulos entre o raio incidente e a normal e o raio reflectido e a normal são iguais entre si)

Atendendo a (6) e à relação entre o índice de refracção e a constante dieléctrica

εµ=n , podemos ainda escrever ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

εµcv

121

2

22

11

2

1 nnn

vv

sensen

t

i ====µεµε

θθ

Obtivemos assim as leis da refracção(leis de Snell):

121

2 nnn

sensen

t

i ==θθ (8)

está no plano de incidência (o raio refractado está no plano de incidência)

( )ts

Quando , e diz-se que o segundo meio é opticamente mais denso do que o primeiro meio. Neste caso, por (8)

12 nn > 112 >n

iit sensenn

sen θθθ <=12

1 (9)

Há assim um ângulo real tθ para cada ângulo iθ de incidência. No entanto, se o segundo meio for opticamente menos denso do que o primeiro, (isto é

se ), só obtemos valores reais para 112 <n tθ para ângulos incidentes tais que 12nsen t ≤θ . Para valores maiores do ângulo de incidência ocorre o fenómeno da reflexão total.

Fórmulas de Fresnel

Vamos agora considerar as amplitudes das ondas reflectidas e transmitida. Vamos

admitir que os dois meios em contacto têm ambas condutividade nula e são portanto perfeitamente transparentes (além de, como já admitimos, serem homogéneos e

3

isótropos). As permeabilidades magnéticas vão ser supostamente constantes e iguais a 1 ( 121 == µµ ).

Seja A a amplitude do campo eléctrico da onda incidente. A é em geral complexa, com a fase igual à parte constante do argumento da função de onda. A parte variável é

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+⋅−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−=

11

cosv

zsenxtvsrt ii

ii

θθωωτ (10)

Vamos decompor cada vector em componentes paralelas (designadas pelo símbolo //) e

perpendiculares (símbolo ) ao plano de incidência. Escolhemos os sentidos positivos das componentes paralelas como se indica na figura. As componentes perpendiculares devem ser visualizadas de forma a fazerem ângulos rectos com o plano da figura.

⊥

As componentes do vector campo eléctrico do campo incidente são assim

( ) iii

ix eAE τθ −−= cos// ( ) iii

y eAE τ−⊥= ( ) ii

ii

z esenAE τθ −−= // (11) As componentes do vector campo magnético são obtidas imediatamente usando uma

relação anterior (com 1=µ )

EsH ∧= ε (12) Da qual obtemos

( ) iii

ix eAH τεθ −

⊥−= 1cos ( ) iiiy eAH τε −−= 1// ( ) ii

ii

z esenAH τεθ −⊥= 1 (13)

Semelhantemente se T e R forem as amplitudes complexas das ondas transmitida e

reflectida, os vectores campo eléctrico e campo magnético correspondentes são: Campo transmitido:

( )

( ) t

t

it

tx

it

tx

eTH

eTEτ

τ

εθ

θ−

⊥

−

−=

−=

2

//

cos

cos

( )

( ) t

t

ity

ity

eTH

eTEτ

τ

ε −

−⊥

−=

=

2//

( )

( ) t

t

ii

tz

it

tz

esenTH

esenTEτ

τ

εθ

θ−

⊥

−

=

+=

2

// (14)

com ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+⋅−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−=

22

cosv

zsenxtvsrt tt

t

tθθωωτ (15)

Campo Reflectido

( )

( ) r

r

ir

rx

ir

rx

eRH

eREτ

τ

εθ

θ−

⊥

−

−=

−=

1

//

cos

cos ,

( )

( ) r

r

iry

iry

eRH

eREτ

τ

ε −

−⊥

−=

=

1//

, ( )

( ) r

r

ir

rz

ir

rz

esenRH

esenREτ

τ

εθ

θ−

⊥

−

=

−=

1

// (16)

4

com

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+⋅−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−=

cosv

zsenxtvsrt rr

r

rθθωωτ

21

(17)

As condições de fronteira respeitantes a E e H estudadas anteriormente mostram que,

na superfície de separação, as componentes tangenciais respectivas devem ser contínuas. Devemos portanto ter:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )tx

rx

ix

tx

rx

ix

HHH

EEE

=+

=+ ,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (18) t

yr

yi

y

ty

ry

iy

HHH

EEE

=+

=+

Fazendo as substituições em (18) de todas as componentes, usando a relação

( ) iir θθπθ coscoscos −=−= e atendendo também a que temos que tri iii eee τττ −−− ==

( )

( )( ) //2////1

21

//////

coscos

coscos

TRA

TRA

TRATRA

ti

ti

εε

θεθε

θθ

=−

=−

=+=−

⊥⊥⊥

⊥⊥⊥ (19)

Notamos que as equações (19) se dividem em dois grupos, um que contém apenas

componentes paralelas ao plano de incidência, enquanto o outro contém apenas as perpendiculares ao plano de incidência. Estes dois tipos de ondas são assim independentes uma da outra.

Podemos resolver as equações (19) de modo a exprimir as componentes das ondas reflectida e transmitida em função das componentes da onda incidente. Se utilizarmos a relação ε=n ( 1= )µ obtemos

⊥⊥ +=

+=

Ann

nT

Ann

nT

ti

i

ti

i

θθθ

θθθ

coscoscos2

coscoscos2

21

1

//12

1//

(20)

⊥⊥ +

−=

+−

=

AnnnnR

AnnnnR

ti

ti

ti

ti

θθθθθθθθ

coscoscoscoscoscoscoscos

21

21

//12

12//

(21)

Fórmulas de Fresnel

5

Estas fórmulas foram obtidas por Fresnel numa forma um pouco menos geral, com base na teoria elástica da luz, em 1823.

São geralmente escritas na forma seguinte que é obtida a partir de (20) e de (21) utilizado a lei da refracção

121

2 nnn

sensen

t

i ==θθ

e a igualdade trigonométrica seguinte

( ) ( )babasenbsenbasena ∓coscoscos ±=⋅±⋅

( ) ( )

( ) ⊥⊥ +=

−×+=

AsensenT

Asen

senT

ti

it

titi

it

θθθθ

θθθθθθ

cos2coscos2

////

(20a)

( )( )( )( ) ⊥⊥ +

−−=

+−

=

AsensenR

AR

ti

ti

ti

ti

θθθθ

θθθθ

//// tantan

(21a)

Discussão: Excluamos por agora o caso da reflexão total. Então iθ e tθ são reais e portanto os membros à direita das equações (20a) e (21a)

também são reais. Assim a fase de cada componente da onda reflectida ou transmitida é ou igual à fase da componente correspondente à onda incidente ou difere dela pelo vector π .

Como e têm o mesmo sinal de e , //T ⊥T //A ⊥A a fase da onda transmitida é igual à fase da onda incidente. No caso da onda reflectida, a fase depende das grandezas relativas de

iθ e tθ . Se o segundo meio é opticamente mais denso do que o primeiro ( )12 εε > ou então (( 112 >n ) )it θθ < . Então por (21a) os sinais de e de são diferentes e as

fases diferem de ⊥A ⊥R

π . Nessas circunstâncias ( )ti θθ −tan é positivo, mas o denominador

( ti )θθ −tan torna-se negativo se ( ) 2πθθ >+ ti ou seja se iθ for maior do que o ângulo

de Brewster.Nessas condições as fases de e diferem de //R //A π . Quando 12 εε < , ou seja, o 2º meio é opticamente menos denso do que o

primeiro) uma análise semelhante permite tirar conclusões em sentido oposto para a mudança de fase na reflexão.

( 112 >n )

Fórmulas de Fresnel para a incidência normal

6

0=iθ , e tendo em atenção que ti sennsen θθ 12= , 0=tθ . As fórmulas de Fresnel (20a) e (21a) conduzem aparentemente a indeterminações. É no entanto fácil levantar essas indeterminações quando se tratam iθ e tθ como infinitésimos equivalentes aos seus senos e tangentes quando 0→iθ . A fórmula (8) pode então escrever-se sob a forma

ti nθθ = . Podemos então escrever, a partir de (20a), designando nn =12 ( )1coscos == ti θθ

( )

⊥⊥ +=

+=

+=

+=

An

T

An

An

ATt

t

ti

t

12

12

122

//////// θθ

θθθ

( )( )

⊥⊥⊥ +−

−=+−

−=

+−

=+−

=+−

=

AnnAR

AnnA

nnAR

ti

ti

t

t

ti

ti

11

11

11

////////

θθθθ

θθ

θθθθ

O mesmo resultado pode ser obtido, mais facilmente, a partir de (20 e 21) fazendo

simplesmente 1coscos == ti θθ e 1

2n

nn = .

Em conclusão, as fórmulas de Fresnel para a incidência normal são:

⊥⊥ +=

+=

An

T

An

T

12

12

////

(22)

⊥⊥ +−

−=

+−

==

AnnR

AnnR

1111

////

(23)

Factor de reflexão e factor de transmissão (reflectibilidade e transmissibilidade). Polarização na reflexão e na transmissão

O transporte de energia de uma onda é descrito pelo vector de Poynting que se escreve (com 1=µ )

sEncsEcsEcS222

444 πε

πε

εµπ=== (24)

7

Para obter a energia que incide por unidade de tempo sobre a unidade de área da superfície de separação podemos recorrer à projecção ( ) nS i ⋅ . E procedemos identicamente quando queremos obter a energia que emerge na unidade de tempo da unidade de área da superfície de separação, quer no respeitante à onda reflectida, quer no que respeita à onda transmitida. Resultam assim as três densidades de fluxo de energia:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )tt

tt

iirr

iiii

TcnSJ

RcnSJ

AcnSJ

θπ

θ

θπ

θ

θπ

θ

cos4

cos

cos4

cos

cos4

cos

22

21

21

==

==

==

Às razões

( )( ) 2

2

A

R

JJ

i

r==ℜ (26) e

( )( ) 2

1

22

cos

cos

An

Tn

JJ

i

ti

t

θ

θ==ℑ (27)

Chamam-se respectivamente factor de reflexão ou reflectibilidade e factor de transmissão ou transmissibilidade.

Pode verificar-se facilmente que, de acordo com a Lei da Conservação da Energia

1=ℑ+ℜ (28) A reflectibilidade e a transmissibilidade dependem da polarização da onda incidente.

Podem ser expressas em termos da reflectibilidade e da transmissibilidade associada com as polarizações nas direcções paralela e perpendicular respectivamente.

Seja iα o ângulo que o vector E da onda incidente faz com o plano de incidência, então:

i

i

senAAAA

αα

==

⊥

cos// (29)

Ponhamos

( ) ( )

( ) ( )i

ii

i

ii

ii

senJAcnJ

JAcnJ

αθπ

αθπ

221

22//

1//

cos4

coscos4

===

===

⊥⊥

(30)

e

8

( )

( )i

r

ir

RcnJ

RcnJ

θπ

θπ

cos4

cos4

21

2//

1//

⊥⊥ =

= (31)

Então, como

( ) ( ) ( ) ( )rrii

r JJRRcnRcnJ ⊥⊥ +=+== //22

//121 cos

4cos

4θ

πθ

π

Temos:

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( )( ) iiii

rii

r

i

rr

i

r

sensenJJ

JJ

JJJ

JJ

αααα 22//

22

//

//

//

coscos ⊥⊥

⊥

⊥

ℜ+ℜ=+=

+==ℜ

(32)

Em que

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )ti

tii

r

ti

tii

r

sensen

A

R

JJ

tgtg

A

R

JJ

θθθθ

θθθθ

+

−===ℜ

+

−===ℜ

⊥

⊥

⊥

⊥⊥ 2

2

2

2

2

2

2//

2//

//

////

(33)

De modo semelhante, podemos obter:

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )ti

ti

i

ti

t

titi

ti

i

ti

t

sensensen

A

Tnn

JJ

sensensen

A

Tnn

JJ

θθθθ

θθ

θθθθθθ

θθ

+===ℑ

−+===ℑ

⊥

⊥

⊥

⊥⊥ 22

2

1

2

222//

2//

1

2

//

////

22coscos

cos22

coscos

(35)

Podemos verificar outra vez que

1//// =ℑ+ℜ e 1=ℑ+ℜ ⊥⊥ (36)

9

Para uma incidência a distinção entre as componentes paralela e perpendicular desaparece e pelas fórmulas (22), (23) e (27) vem

( )2

2

14

11

+=ℑ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=ℜ

nn

nn

(37)

E é observado pela forma (37) que 0lim

1=ℜ

→n e 1lim

1=ℑ

→n (38)

Os denominadores em (33) e (35) são limitados, excepto quando 2

πθθ =+ ti . Nesse

caso então ( ) ∞=+ titg θθ e portanto 0// =R . Os raios reflectido e transmitido são perpendiculares entre si, e da lei da refracção conclui-se que

ntg i =θ (39)

(porque iit sensen θθπθ cos2

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −= )

O ângulo iθ (ou ângulo polarizante) dado pela equação anterior designa-se por ângulo de Brewster. O seu significado foi notado pela 1ª vez em 1815 por David Brewster.Se a luz incide na superfície de separação segundo o ângulo de Brewster, o campo eléctrico da onda reflectida não tem componente no plano de incidência.

Fig # - Ilustração do ângulo de polarização (de Brewster) Na figura seguinte a reflectibilidade do vidro de índice de refracção 1,52 está

representado em função do ângulo de incidência iθ . O zero da curva (c) para corresponde ao Ângulo de Brewster

//R'40º5652.1 =arctg .

10

Fig # - Intensidade da luz reflectida em função dos ângulos de incidência

(a) ; (b) ⊥R ( )⊥+ RR//21 ; (c) //R

Os índices de refracção relativamente ao ar são da ordem de 1,5 para comprimentos de

onda ópticos. Mas para as ondas de rádio esses índices de refracção são muito mais elevados havendo assim um aumento do ângulo de Brewster. Por exemplo, no caso dos comprimentos de onda ópticos o índice de refracção da água é de cerca de 1,3 e o ângulo polarizante é de 53º. Para comprimentos de onda de ondas de rádio esse valor é de cerca de 9, e o ângulo polarizante avizinha 84º.

De acordo com (32) a curva (b) na figura anterior representa a reflectibilidade ℜ para a luz natural, ou seja para a luz de um corpo que brilha pelo facto da sua temperatura ter sido aumentada.

Pode exprimir-se o grau de polarização sob a forma seguinte

{ ⊥−ℜ

= RRP //211 } (40)

Diz-se muitas vezes que { ⊥− RR// } é a porção polarizada da luz reflectida. Resultados semelhantes podem obter-se para a luz transmitida. Pode mostrar-se que, no

caso da luz natural também se tem

1=ℑ+ℜ (41) A partir dos resultados de (35) podemos justificar a polarização da luz por refracção

obtida com uma pilha de lamelas transparentes. Se um feixe de luz despolarizado incidir

11

sobre a pilha é parcialmente polarizado em cada refracção e pode atingir um grau de polarização razoavelmente elevado, mesmo com um pequeno número de lamelas. Com efeito, na transmissão através de uma lamela, isto é depois de o feixe de luz sofrer as refracções (ver figura a baixo) as intensidades das componentes N e P da onda transmitida, iguais por hipótese na onda incidente, estão agora na razão

( ) 1cos42

//<=−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ℑℑ⊥ χθθ ti (42)

Fig # - Representação da mudança de direcção de um feixe de luz ao mudar de meio

Para obter este resultado temos em atenção as equações (35) e observamos que eles são

insensíveis à troca de iθ com tθ . Assim a razão //ℑ

ℑ⊥ é igual para a primeira e para a

segunda refracção pois na segunda tudo se passa como se simplesmente iθ e tθ trocassem os seus papeis relativamente aos da primeira. Vê-se assim que, ao emergir da lamela, a componente paralela é mais forte do que a componente normal com uma razão de intensidades χ

1 . Na pilha de lamelas, a intensidade da componente normal reduz-se

em relação à intensidade da componente paralela na razão de , sendo m o número de

lamelas. Se se trabalha por exemplo sob incidência de Brewster

mχ

2πθθ =+ ti , ntg i =θ e

χ vem dado por

( ) ( )4

244

122cos ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

==−=nnsen iti θθθχ (43)

Para obter este resultado utilizaram-se as seguintes relações:

( ) ( )( )

( )α

αα

ααα

2

2

22

122

2122

tgtgtg

tgtgsen

−=

+=

(44)

Com , 5,1=n 73,0=χ ; isto significa que se obtém uma razão de intensidades 0,2 com

5 lamelas, 0,07 com 8 lamelas. Vê-se claramente que esta polarização por refracção é

12

sempre parcial, embora se possa conseguir na prática luz quase completamente polarizada (polarizada linearmente).

Reflexão Total

Introdução Até agora excluímos o caso em que

12nsen

sen it

θθ = (45)

não dá um valor real para o ângulo de refracção tθ . Vamos examinar o caso em que a luz se propaga de um meio opticamente mais denso para um meio opticamente menos denso, isto é o caso em que

111

22

1

212 <==

µεµε

nnn (46)

13

e, além disso, em que o ângulo de incidência iθ excede o valor crítico iθ dado por

12nsen i =θ (47)

Quando ii θθ = , 1=tsenθ , isto é º90=tθ e a luz emerge numa direcção tangente à

fronteira. Se ii θθ > , não há luz que passa para o 2º meio. Toda a luz é reflectida para o 1º meio e fala-se então de reflexão total.

Onda evanescente Apesar de não haver refracção, isso não significa que não existe campo

electromagnético no 2º meio. Com efeito existe ai um campo que vamos estudar teoricamente.

Podemos escrever, com n12=n

1cos 2

2

−±=

=

nsen

i

nsen

sen

it

it

θθ

θθ

(48) e (49)

O factor de fase da onda transmitida escreve-se então

12

2

22−±⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

− = nsen

vz

vnsenxti

iii

t eee

θωθωτ (50)

A equação anterior representa uma onda tal que:

Se propaga segundo o eixo dos x. Com efeito, o factor imaginário não tem dependência em z. Como esse factor é o que contêm a dependência espacio-temporal característica da propagação por ondas, não há propagação ao longo do eixo dos z.

Tem uma amplitude efectiva dependente de z e não constante, como a amplitude da onda incidente. A amplitude varia exponencialmente com a distância z da fronteira.

Só o sinal (-) em frente da raiz quadrada intervém na expressão da amplitude tem significado físico, porque o sinal (+) corresponderia a uma amplitude que aumentava tendendo para infinito com o aumento da distância.

A amplitude decresce assim muito rapidamente com a espessura, definindo-se uma espessura de penetração que é o valor de z para o qual a amplitude se reduz a um valor de 1/e do seu valor na superfície de separação dos dois meios (ou seja para z=0). A espessura efectiva de penetração é da ordem de

14

πλ

ω 222 =

v (51)

Pode fazer-se uma ideia mais precisa dessa espessura de penetração calculando o factor

real de Tτ para diferentes ângulos de incidência e diferentes valores de z. Exemplo: caso de um vidro com índice de refracção de 1,596 relativamente ao ar

(sendo o vidro tomado como meio (1) e o ar como meio (2), vem n12=(1,596)-1)

Θi=40º Θi=60º Θi=85º z/λ2=1 0,2352 0,0025 0,0004 z/λ2=4 0,0031 4x10-11 3x10-14

Tabela # - Análise da onda evanescente do ponto de vista energético

Podemos seguir a via indirecta de calcular a energia da onda reflectida comparando-a

com a da onda incidente. Vamos rescrever as formulas (21a) na forma seguinte

⊥⊥ +−

−=

+−

=

Asensensensen

R

Asensensensen

R

itti

itti

ttii

ttii

θθθθθθθθ

θθθθθθθθ

coscoscoscos

coscoscoscos

////

(52)

e substituímos nesta expressão as equações (48) e (49) relembrando que apenas o sinal (+) em frente da raíz quadrada deve ser considerado. Obtemos então:

⊥⊥−+

−−=

−+

−−=

Anseni

nseniR

Ansenin

nseninR

ii

ii

ii

ii

22

22

//222

222

//

cos

cos

cos

cos

θθ

θθ

θθ

θθ

(53)

Portanto 222

//2

////// ⊥⊥⊥⊥ =⇒==⇒= ARAReARAR (54)

para cada componente a intensidade da luz reflectida iguala a intensidade da luz incidente. São iguais em média as densidades de energia na onda reflectida e na onda

15

incidente. Para isso são também iguais os fluxos médios dos vectores de Poynting respectivos em qualquer área da superfície de separação dos dois meios. Toda a energia da onda incidente passa para a onda reflectida. Apesar da existência da onda evanescente não passa efectivamente nenhuma energia para o segundo meio em média. À mesma conclusão se poderia chegar pelo cálculo directo do valor médio do vector de Poynting do campo electromagnético no 2º meio para z=0. Processos de verificação experimental da onda evanescente. Aparelho de Gaumont

Vamos descrever processos de verificação experimental de onda evanescente. Comprovaremos principalmente que o 2º meio está interessado no fenómeno, embora numa pequena espessura. Veremos também que se limitarmos suficientemente a espessura do 2º meio, poderá mesmo não se dar a reflexão total.

verificamos que certa altura que passa a haver transmissão por lâminas; deixou de se verificar a reflexão total. Quantitativamente, deixa de haver reflexão total quando a distância z entra a lâmina e a superfície de separação é da mesma ordem que o comprimento de onda λ2 (no meio 2). Isto prova que o segundo meio é interessado no fenómeno e que a espessura de penetração depende de λ2.

Consideremos em primeiro lugar o dispositivo figurado. À superfície de separação vidro-ar fazemos chegar um feixe de luz sob incidência tal que se produza reflexão total. No ar (que é o segundo meio) não se observa qualquer transmissão. Porém, se aproximarmos uma lâmina de vidro da superfície de separação, e se formos a pouco e pouco diminuindo a distância que a separa da superfície de separação,

Mais interessante é o aparelho imaginado por Gramont. É constituído por dois prismas de reflexão total, um dos quais tem a face hipotenusa talhada em forma ligeiramente encurvada, constituído uma calote convexa de grande raio de curvatura. Entre duas faces hipotensas pode assim estabelecer-se um contacto numa área em torno de O, de forma aproximadamente circular.

16

os que incidem na face hipotensa de I bastante afastadraios 1 e 2 sofrem reflexão total. Aqueles que vão incidios compreendidos entre 3 e 4, penetram completamentecomo se atravessassem sempre o mesmo meio) e vão sque lhes é normal.

Daqui resulta que um observador colocado em (L) vê uescuro, enquanto que um observador colocado em (Mexcepto num círculo de escuridão central. Mas falta oatingem a hipotenusa do prisma I na vizinhança da ártotalmente reflectir-se, têm na verdade ondas evanescenespessura de ar aí existente originam transmissão, codescrito.

Sucede porém que, sendo a luz incidente uma luz comgama de comprimentos de onda e dependendo da espevanescentes do comprimento de onda, as diferentes diferentes face à espessura de ar que enfrentam na vizinh

Se repararmos que λvioleta<λvermelho facilmente compreedo vermelho penetram mais e, como resultado disso, parde contacto só as radiações vermelhas conseguem transmvioletas sofrem já reflexão total. Há assim uma zona, circulo de contacto entra as duas faces hipotenusas dosdecomposição da luz segundo os comprimentos de ondaar uma partição entre radiações que são transmitidas reflectidas.

Em consequência disto, um observador em (L) vê umcírculo branco que observa; e um observador em (M) vêcírculo escuro que observa.

Cálculo das diferenças de fase entre as componente

incidente Atendendo a (54) nós podemos escrever

Enviando um feixe de raios paralelos de luz composta – luz branca, por ex- de modo a incidir normalmente a uma das faces cateto do prisma I, pode observar-se que os diferentes raios do feixe não seguem todos o mesmo percurso. Assim,

os da área de contacto, como os r sobre a zona de contacto, como no prisma II (pois tudo se passa air pela face cateto do prisma II

m círculo iluminado sobre fundo ) vê todo o campo iluminado

mais importante. Os raios que ea de contacto, e que deveriam tes que avançando pela pequena mo já vimos no exemplo atrás

posta de radiações de toda uma essura de penetração das ondas radiações vão ter comprimentos ança da área de contacto. ndemos que as radiações da zona a os raios mais afastados da área itir-se ao prisma II, enquanto as

em coroa circular, em torno do prismas, na qual se produz uma , havendo para cada espessura de e radiações que são totalmente

a auréola vermelha em torno do uma auréola violeta em torno do

s da onda reflectida e da onda

17

//

//

// δieAR

= ⊥=⊥

⊥ δieAR

(55)

Atendendo a (53) sabemos que R///A// e R /A são ambas formas z/z⊥ ⊥

*. Portanto se escrevermos

2δi

eaz = (a e δ reais)

*2

2

zz

e

eei

i

i ==−δ

δ

δ

1

2

221

2 zztg

ezizzzi

=

=+=

δ

δ

portanto

i

i

i

i

nsentg

nnsen

tg

θθδ

θθδ

cos2

cos222

2

22//

−−=

−−=

⊥

(56)

As duas componentes sofrem diferentes variações de fase na reflexão. Assim a luz

polarizada linearmente virá polarizada elipticamente após reflexão total. Podemos escrever imediatamente a expressão para a diferença de fase relativa //δδδ −= ⊥

[utilizando a relação ( )βαβαβα

tgtgtgtgtg

+−

=+1

]

i

i

i

i

nnsen

nsenn

tgtg

tgtgtg

θθ

θθ

δδ

δδδ

22

22

22

2

//

//

cos1

cos11

221

222 −

+

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⊥

⊥

isto é

i

ii

sennsen

tgθθθδ

2

22cos2

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ (57)

Esta expressão anula-se para o caso de incidência razante (θi=π/2) e para incidência no ângulo crítico iθ (pois nsen i =θ ).

18

Entre esses dois valores encontra-se o máximo valor da diferença de fase. É determinado pela equação:

( )

012

2 223

222

=−

+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

nsensen

sennntg

dd

ii

i

i θθ

θδθ

Esta equação é verificada quando

2

22

12

nnsen i +

=θ (58)

Substituído (58) em (57) obtém-se para máximo da diferença de fase relativa. δm, a seguinte expressão:

nntg m

21

2

2−=

δ (59)

A partir da fórmula (57) é possível ver que existem, para um dado n, dois valores do

ângulo θi para cada valor δ. A diferença de fase que ocorre na reflexão total pode ser usada para obter luz

circularmente polarizada a partir de luz linearmente polarizada (este método foi descoberto por Fresnel).

Devem por isso cumprir-se duas condições igualmente importantes (condições de polarização circular):

Devem ser iguais entre si as componentes perpendicular e paralela na onda reflectida.

Deve ser de π/2 a diferença de fase δ. Para satisfazer a primeira condição basta que na onda incidente sejam iguais entre si as

amplitudes das ondas |A//| e |A |. Pela condição (54) serão então também iguais as amplitudes |R

⊥

//| e |R |. Como a onda incidente é, por hipótese polarizada linearmente, se escolhermos para inclinação da direcção de polarização sobre o plano de incidência o ângulo π/4, temos |A

⊥

//|=|A | e também |R⊥ //|=|R |. ⊥

A segunda condição é mais difícil de satisfazer. Com efeito, querendo já utilizar a diferença de fase relativa no seu valor máximo δm, para tirar maior proveito, deveríamos procurar um meio tal que δm= π/2, ou seja tg δm/2 =1, ou seja ainda por (59)

12

1 2

=−

nn

Daqui vem (n=n12) 012 12

212 =−+ nn (com n12< 1)

o que dá n12=0.414 ou n21=2.414

19

Em conclusão, o índice de refracção do meio a utilizar deveria ser de 2.414, o que não é prático: somente o diamante negro tem um índice de refracção tão elevado, mas esse é o meio menos conveniente por ser absorvente. Para obviar a dificuldade, Fresnel recorreu a uma bireflexão por um processo expedito, que o levou a conceber o paralelepípedo de Fresnel.

Ele dividiu a diferença de fase de π/2 a ser obtida, por duas reflexões, obtendo π/4 em cada uma delas. Utilizando-se um vidro de índice n21=1.51 vem por (58) e (59)

θm=51º20’ e δm=45º56’

Pode assim atingir-se o valor de δ*= π/4=45º para dois valores de θi*

θi1*=48º37’ e θi2*=54º37’

Permitindo ambos uma boa margem de trabalho. As duas reflexões no paralelipípedo de Fresnel realizam-se como se indica nas figuras. Nota:Na nossa notação o ângulo ϕ da figura é designado iθ .

20

1 APÊNDICES

1.1 Fórmulas úteis de cálculo vectorial e Teoremas impor-tantes (Jackson, contra-capa)

1

2

3

2 Unidades e dimensões2.1 Introdução

As unidades podem dividir-se em unidades fundamentais que se referem àsgrandezas com dimensões independentes e unidades derivadas que são de�nidascomo função das unidades fundamentais. Tradicionalmente, na Mecânica, asunidades de massa (m) , comprimento (l) e tempo (t) são tratadas como funda-mentais. Pelo contrário, no Electromagnetismo, há uma certa disparidade entreas unidades fundamentais escolhidas nos vários sistemas, por razões históricas.Efectivamente, a electrostática e a magnetostática desenvolveram-se ini-

cialmente de forma independente, sendo utilizados dois sistemas de unidadesdiferentes, um para medição de grandezas eléctricas, e outro para medição degrandezas magnéticas. A descoberta da Lei da indução de Faraday e a prova re-alizada, mais tarde, de que a corrente eléctrica consiste em carga em movimentoimpuseram o estabelecimento de relações bem de�nidas entre os dois tipos desistemas de unidades.Vamos demonstrar que:A consideração dos fenómenos electromagnéticos faz introduzir duas grandezas

independentes que devem ser adicionadas às três grandezas independentes daMecânica.A escolha das grandezas independentes depende do sistema de unidades

adoptado.A escolha das unidades em electrostática baseou-se na Lei de Coulomb: A

força entre duas cargas e e e�é directamente proporcional ao valor das cargas einversamente proporcional à sua distância:

felec = k0ee�

r2(1)

Como a presença da matéria não afecta as dimensões da carga, vamos supôrque as medições são realizadas no espaço livre. Nos Sistemas de UnidadesRacionalizados k0 = 1

4�"0

Nos sistemas não racionalizados, k0 = 1"0.

"0 é a permitividade do vazio ( permittivity of free space )Surgem assim, na expressão da força eléctrica, duas grandezas, "0 e e, a

serem tomadas em consideração, para além das grandezas da mecânica.Por outro lado, na magnetostática, as Leis de Biot-Savart e de Laplace

encontram-se compreendidas na Lei de Ampère. Em vez de recordar estalei, torna-se no entanto mais conveniente para a presente discussão, escrevera equação fundamental da magnetostática sob uma forma semelhante à Lei deCoulomb. Utilizando a noção de cargas magnéticas m podemos escrever1 :

fmagn = k�0mm�

r2(2)

1A carga magnética m de�ne-se de modo que o produto desas grandeza pela distância entreos polos de um dipolo magnético iguala o momento desse dipolo.

4

em que k�0 está directamente relacionado com �0; permeabilidade magnéticado vazio.Aparecem assim na expressão da força magnética duas novas grandezas, m

e �0.Finalmente, para especi�car as unidades electromagnéticas, devemos intro-

duzir a Lei da indução de Faraday, que relaciona os fenómenos eléctricos comos fenómenos magnéticos. Chamando, desde já,

�� 1c

�à constante que intervém

nessa lei, obtemos:

"ind[C] = �1

c

d

dt�magnC (3)

sendo assim, portanto, introduzida uma nova constante, c:(constante elec-tromagnética universal ).Um pequeno comentário se torna aqui premente: ao passar para os campos

variáveis no tempo, a Lei de Ampère deve ser corrigida para a Lei de Maxwell-Ampère, por introdução da corrente de deslocamento. No entanto, essa correnteadiciona-se à corrente de condução,

�!J , sendo assim as suas dimensões bem

determinadas; a introdução de uma dimensão suplementar não é necessária.Antecipemos agora o segundo resultado que será demonstrado mais tarde:

quando se combinam as quatro equações de Maxwell, obtêm-se uma equaçãode onda que mostra que o campo electromagnético se propaga por ondas. Avelocidade de propagação dessas ondas, a0;é dada pela seguinte expressão:

a0 =c

p"0�0

(4)

Esta expressão fornece assim uma relação entre as novas grandezas intro-duzidas.Em conclusão:-Ao considerar os fenómenos electromagnéticos tornou-se necessário intro-

duzir cinco novas grandezas:e; "0;m;�0; c-As grandezas mencionadas estão relacionadas por 3 equações independentes:-Mostra-se assim que é necessário adicionar 5-2=3 grandezas independentes

às grandezas independentes da Mecânica.

5

6

7

De�nições em vários sistemas de unidades(Jackson,"Appendix on units and dimensions")

8

Tabela de conversão

9