Teoria Eletromagnetica II

A.R.J.S.1 Equacoes de Maxwell

Lei de Gauss

→∇ .

→ρ= ρ

→∇ .

→B= 0

Lei de Faraday

→∇ ×

→E= −∂

→B

∂t

Lei de Ampere

→∇ ×

→H=

→j

→∇ ×

→H=

→j +

∂→D

∂t

onde→D e a densidade de corrente de deslocamento.

1.1 Conservacao da Energia Eletromagnetica

UE =1

2

∫V

→E .

→D dv

Um =1

2

∫V

→H .

→B dv

No caso de campos variaveis no tempo podemos expressar a conservacaode energia da seguinte forma:

→∇ ×

→H= j +

∂→D

∂t

→∇ ×

→E= −∂

→B

∂t

→∇ .(

→E ×

→H)

1

A.R.J.S.→H .(

→∇ ×

→E)−

→E (

→∇ ×

→H) = −

→H∂→B

∂t−→E∂→D

∂t−→E→j

→∇ .(

→E ×

→H) = −

→H∂→B

∂t−→E∂→D

∂t−→j→E

para meios lineares onde µ e ε sao independentes de t, E ou B podemosinserir

→D= ε

→E

→B= µH

→E∂→D

∂t=

∂

∂t

(1

2

→E .

→D

)

→H∂→B

∂t=

∂

∂t

(1

2

→H .

→B

)logo ∫ →

∇ (→E ×

→H)dv = − ∂

∂t

∫ 1

2(→E .

→D +

→H→B)dv −

∫ →j→E dv

∫ →∇ (

→E ×

→H)dv =

∮(→E ×

→H)nda

aplicar a conservacao de energia mostrando que a integral de→s sobre uma

area que inclui a apenas a bateria = potencia fornecida pela bateria.

1.2 Revisao de Eletrodinamica

Para a maioria das substancias temos que

→j= σ

→f

onde→f e a forca por unidade de carga, vamos nos ater ao caso em que esta

forca e eletromagnetica

j = σ(→E +

→v ×

→B)

2

A.R.J.S.geralmente

→v e tao pequeno que fazemos

→j= σ

→E (1)

esta equacao e a chamada lei de ohm. Podemos provar que a diferenca de

potencial entre dois eletrodos e proporcional a corrente, se→E e homogeneo

num material que obedece (1).

V = RI

R depende da forma do material, para um fio

R =σA

L

no caso de correntes estacionarias e condutividade uniforme

→∇→E=

1

σ

→∇ j = 0

logo a densidade de carga e zero e toda carga nao balanceada reside nasuperfıcie.

1.3 Forca Eletromotiva

Ha no circuito duas forcas encarregadas de mover a corrente, a fonte fs,que esta confinada na bateria, e a forca eletroestatica, que serve para suavizaro fluxo e comunicar a influencia da fonte para partes do circuito.

→f=

→fs +

→E

qual seja o mecanismo que gera→fs seu efeito e determinado pela integral de

linha ao redor do circuito

ε =∮ →f .

→dl=

∮ →fs .

→dl

ε e chamada forca eletromotriz.

Numa fonte ideal a forca resultante nas cargas e 0, logo −→fs=

→E e a

diferenca de potencial entre os terminais da bateria.

v = −∫ b

a

→E .

→dl=

∫ b

a

→fs .

→dl=

∮ →fs .

→dl= ε

3

A.R.J.S.1.4 Fem Gerada por Movimento

Quando movemos um circuito na presenca de um campo magnetico cria-

mos uma fem (→F= q

→v ×

→B) que por sua vez gera uma corrente.

Ha uma boa maneira de expressar a fem em um campo em um loop em

movimento seja Φ o fluxo de→B atraves do loop.

Φ =∫ →B→da

onde a fem e a veriacao no tempo do fluxo no loop.

ε = −dΦ

dt

1.5 Inducao Eletromagnetica

Faraday concluiu atraves de suas experiencias que:Uma mudanca no campo magnetico induz um campo eletrico

Usando novamente que a fem e a variacao do fluxo no tempo.

ε =∮ →E .

→dl= −dΦ

dt

onde→fs=

→E em todo o circuito. Usando a definicao de Φ chegamos a uma

relacao entre→B e

→E:

∮ →E .

→dl= −

∫ ∂→B

∂t.→da

usando o teorema de stokes

→∇ ×

→E= −∂

→B

∂t

1.6 Campo Eletrico Induzido

Como vimos ha dois tipos de campo eletrico: um associado a mudanca nocampo magnetico e outro associado a lei de coulomb. Para calcular o campodevido a variacao do campo magnetico, podemos explorar uma analogia entrea lei de Faraday

→∇ ×

→E= −∂

→B

∂t

4

A.R.J.S.e a lei de Ampere

→∇ ×

→B= µ0

→j

e claro, o rotacional nao e suficiente para a determinacao de um campo,

precisamos do divergente tambem mas desde que→E seja um campo de faraday

puro, a lei de gauss diz que:

∇.→E= 0

enquanto que para campos magneticos

→∇ .

→B= 0

logo podemos fazer um paralelo, pois o campo eletrico induzido e totalmente

determinado por (∂B∂t

) como→B e por µ0

→j .

1.7 Energia em Campos Magneticos

Requer uma certa quantidade de energia para manter a corrente fluindo,nao apenas estamos falando da energia perdida por efeito joule mas sim dotrabalho realizado contra a fem oposta. Este trabalho em uma unidade decarga, em uma volta ao redor do circuito e −ε. O trabalho fica

dw

dt= −εI = IL

dI

dT

integrando de um tempo onde I = 0 ate um valor final I

w =1

2LI2

Ha uma maneira melhor de escrever w, que tem a vantagem de ser generali-zada para correntes superficiais e volumetricas, lembrando que o fluxo sobreuma espira e igual ha L.I. Por outro lado

Φ =∫s

→B .

→da=

∫s(→∇ ×

→A).

→ds=

∮c

→A .

→dl

entao

L.I =∮ →A .

→dl

e assim

5

A.R.J.S.w =

1

2I∮ →A .

→dl=

1

2

∮ →A .

→I dl

nesta forma, generalizado

w =1

2

∫v(→A .

→J )dτ

podemos expressar w inteiramente em termos de→B como

→∇ ×

→B= µ0

→J .

w =1

2µ0

∫ →A .(

→∇ ×

→B).dτ

integrando por partes

∇.(→A ×

→B) =

→B (

→∇ ×

→A)−

→A (

→∇ ×

→B)

→A (∇×

→B) =

→B→B −∇.(

→A ×

→B)

consequentemente

w =1

2µ0

[∫B2dτ −

∫∇(→A ×

→B)dτ

]

w =1

2µ0

[∫VB2dτ −

∮s(→A ×

→B)

→da]

V e o volume que engloba→j mas qualquer volume maior tambem serve

integrando entao o espaco

w =1

2µ0

∫B2dτ

1.8 Equacoes de Maxwell

Antes de Maxwell

→∇ .

→E=

ρ

ε0

→∇ .

→B= 0

6

A.R.J.S.→∇ ×

→E= −∂

→B

∂t

→∇ ×

→B= µ0

→j

estas equacoes representam o estado da teoria eletromagnetica ha um seculoatras quando Maxwell comecou seu trabalho. Porem, acontece que ha umainconsistencia nestas formulas, tem haver com o fato que o divergente dorotacional e zero

→∇ .(

→∇ ×

→B) = µ0(

→∇ .

→j )

o lado esquerdo precisa ser zero, mas o lado direito, em geral, nao e. Para cor-

rente estacionaria divergente de→j e zero, mas indo alem da magnetostatica,

a lei de Ampere nao pode estar certa.E claro, nao temos o direito de esperar que a lei de Ampere estivesse certa,pois a derivamos da lei de Biot-Savart

1.9 Como Maxwell Consertou a Lei de Ampere

Aplicando a equacao da continuidade e a lei de gauss, o termo pode serreescrito

→∇ .

→j= −∂ρ

∂t= − ∂

∂t(ε0

→∇ .

→E) = −∇.

(ε0∂E

∂t

)

→∇

j + ε0∂→E

∂t

= 0

logo combinando os dois termos ocorre que o divergente e sempre nulo, seadicionarmos na lei de Ampere, sera o suficiente para acabar com o termoextra.

→∇ ×

→B= µ0

→j +µ0ε0

∂→E

∂t

logo concluimos que:Uma mudanca no campo eletrico induz um campo magneticoMaxwell chamou seu termo extra de corrente de deslocamento.

→jd= ε0

∂→E

∂t

7

A.R.J.S.1.10 Equacoes de Maxwell na Materia

As equacoes de Maxwell vistas ate agora estao completas e corretas.Porem quando trabalhamos com materiais estes estao sujeitos a polarizacaoeletrica e magnetica, logo existe uma forma mais conveniente de escrever essasequacoes. Dentro de um material polarizado ha acumulos de carga e correntesobre o qual nao temos controle. Seria melhor reescrever as equacoes de modoque so fizessemos referencia a carga e corrente que podemos controlar. Nosja aprendemos que

ρb = −→∇ .

→P

→jb=

→∇ ×

→M

Ha so mais um aspecto que precisamos considerar no caso nao estatico. Qual-

quer mudanca na polarizacao eletrica envolve um fluxo de carga ligada (→jp,

que deve ser incluido na coarrente total suponha que nos examinemos umpedaco de material polarizado. A polarizacao introduz uma densidade decarga σb = P e um lado −σb no outro. Se P aumentar um pouco, a carga emcada lado aumenta um pouco, dando uma corrente resultante. A densidadede corrente e entao:

dI =∂σb∂t

da⊥ =∂P

∂tda⊥

logo a densidade de corrente e→jp=

∂→P∂t

.

A corrente de polarizacao nao tem nada haver com a corrente ligada→jb.

A ultima esta associada com a magnetizacao do material e involve o spin e

movimento orbital dos eletrons:→jp, pelo contrario, e o resultado do movi-

mento linear de carga quando a polarizacao eletrica muda. Nesta conexao,nos podemos verificar que esta equacao e consistente com a equacao de con-tinuidade

→∇→jp= ∇.

∂ →P∂t

=∂

∂t(∇P ) = −∂ρb

∂t

em vista disso, a densidade total de carga pode ser separada em duas partes

ρ = ρf + ρb = ρ−→∇→P

e a densidade corrente em tres partes

8

A.R.J.S.→j=

→jf +

→jb +

→jp=

→jf +

→∇ ×

→M +

∂→P

∂t

a lei de Gauss pode ser escrita como

→∇ .

→E=

1

ε0(ρf−

→∇ .

→P )

→∇→D= ρf

onde→D no caso estatico, e dado por

→D= ε0

→E +

→P

enquanto isso a lei de Ampere fica:

→∇ ×

→B= µ0

→jf +→∇ ×

→M +

∂→P

∂t

+ µ0ε0∂→E

∂t

ou

→∇ ×

→H=

→jf +

∂→P

∂t

onde

→H=

→B

µ0

−→M

em termos de cargas e correntes livres a equacao de Maxwell fica:

→∇ .

→D= ρf

→∇ ×

→E= −∂

→B

∂t

→∇ .

→B= 0

→∇ ×

→H=

→jf +

∂→D

∂t

9

A.R.J.S.2 Leis de Conservacao

Nesta secao estudaremos a conservacao de energia, momento e momentoangular, em eletrodinamica. Mas comecamos revendo a conservacao de carga,porque este e um paradigma para toda lei de conservacao. O que ela nos diz?Que a carga do universo e constante? Bem, e claro esta e a conservacao globalda carga, mas conservacao local da carga e uma afirmacao muito mais forte.Se a carga total em algum volume muda, entao aquela quantidade exata decarga passou pela superfıcie.

Formalmente, a carga em um volume V e

Q(t) =∫Vρ(→r , t)dτ (2)

e a corrente fluindo para fora atraves do contorno S e∫S

→j .

→da, entao a

conservacao da carga diz que

dQ

dt= −

∫s

→j .

→da

usando (2) juntamente com o teorema da divergencia:

∂ρ

∂t= −

→∇ .

→j

esta e a equacao de continuidade a afirmacao matematica precisa da con-servacao local da carga como indicado anteriormente pode ser derivado dasequacoes de Maxwell conservacao da carga nao e uma lei independente, masuma consequencia das leis da eletrodinamica.

2.1 Teorema de Poynting

Anteriormente, nos achamos o trabalho necessario para juntar uma dis-tribuicao estatica de carga:

We =ε02

∫E2.dτ

onde→E e a resultante do campo eletrico, do memso modo, o trabalho reque-

rido para ter correntes indo contra a fem oposta.

Wm =1

2µ0

∫B2.dτ

onde→B e a resultante do campo magnetico. Isto sugere que a energia total

armazenada no campo eletromagnetico e:

10

A.R.J.S.Uem =

1

2

∫ (ε0E

2 +1

µ0

B2

)dτ

derivando esta equacao de uma forma mais geral, no contexto da lei de con-servacao da energia para a eletrodinamica.

Suponha que nos tenhamos uma configuracao de carga e corrente tal que,

num tempo t, produz campos→E e

→B. No instante seguinte, dt, as cargas se

movem um pouco. Nossa questao e: Quanto trabalho, dw, e realizado pelasforcas eletromagneticas atuando nas cargas neste intervalo dt? de acordocom a lei da forca de Lorentz, o trabalho realizado na carga que e

→F .

→dl= q(

→E +

→v ×

→B).

→v dt = q

→E .

→v .dt

Agora, q = ρ.dτ e ρ→v=→j , entao a taxa na qual o trabalho e feito em todas

as cargas no volume V e:

dw

dt=∫V

(→E .

→j )dτ

evidentemente→E .

→j e o trabalho feito por unidade de tempo por unidade

de volume. Nos podemos expressar essa quantidade em termos do campousando a lei de Ampere-Maxwell para eliminar j

→E .

→j=

1

µ0

→E .(

→∇ ×

→B) = ε0

→E∂→E

∂t

usando a regra do produto

∇.(→E ×

→B) = B(∇×

→E)− E(

→∇ ×

→B)

invocando a lei de Faraday

→∇ ×

→E=

∂→B

∂t

segue que:

→E .(

→∇ ×

→B) = −B∂B

∂t−∇(

→E ×

→B)

enquanto que

11

A.R.J.S.→B .

∂→B

∂t=

1

2

∂B2

∂t

e

→E .

∂→E

∂t=

1

2

∂E2

∂t

entao

→E .

→j= −1

2

∂

∂t

(ε0E

2 +B2

µ0

)=

1

µ0

∇.(→E ×

→B)

colocando na equacao dw/dt

dw

dt= − d

dt

∫V

1

2

(ε0E

2 +1

µ0

B2

)dτ − 1

µ0

∮(→E ×

→B)

→da

Este e o teorema de Point: O trabalho realizado nas cargas pela forca eletro-magnetica e igual ao decaimento na energia armazenada no campo, menos aenergia que flui para fora da superfıcie.

A energia por unidade de tempo, por unidade de area transportada peloscampos e chamado vetor de Poynting.

→s=

1

µ0

(→E ×

→B)

especificamente, (→s .

→da) e a energia por unidade de tempo cruzando a su-

perfıce→da o fluxo de energia.

Vamos usar o teorema de Poynting:

dw

dt= −dUem

dt−∮s

→s .

→da

e claro, o trabalho w vai aumentar a energia mecanica (cinetica, potencial,. . . ). Se nos denotarmos µmec como a densidade de energia mecanica, entao:

dw

dt=

d

dt

∫Vµmecdτ

e se usarmos µem para densidade de energia dos campos:

µem =1

2

(ε0E

2 +1

µ0

B2

)

12

A.R.J.S.entao

d

dt

∫V

(µmec + µem)dτ = −∮→s .

→da= −

∫ →∇ .

→s dτ

esta e a variacao diferencial do teorema de Poynting:

∂

∂t(µmec + µem) = −

→∇→s

2.2 Equacoes de Ondas

Lei de Ampere-Maxwell

∇×→H= j +

∂→D

∂t

→∇ ×

→∇ ×

→H=

→∇ ×

→j +

→∇ ×

∂→D

∂t

usando

→D= ε

→E e

→j= σ

→E

→∇ ×

→∇ ×

→H= σ

→∇ ×

→E +ε

∂

∂t(→∇ ×

→E)

→∇ ×

→E= −∂

→B

∂t= −µ0

∂→H

∂t

→∇ .

→B= 0 = µ.

→∇ .

→H

→∇ ×

→∇ ×

→H= −σ∂

→H

∂t− εµ∂

2H

∂t2

→∇ ×

→∇ ×

→H=

→∇ (

→∇ .

→H)−∇2

→H

∇2→H −εµ

∂2H

∂t2− σµ∂

→H

∂t= 0

13

A.R.J.S.a partir de

→∇ ×

→E=

∂→B

∂t

→∇ ×

→∇ ×

→E= −µ0

→∇ ×

∂ →H∂t

= −µ0∂

∂t(→∇ ×

→H)

= µ∂

∂t(→∇ ×

→H)

→∇ ×

→H −

→j +

∂→D

∂t=→j +

∂→E

∂t

→∇ ×

→∇ ×

→E= −σµ∂

→E

∂t− εµ∂

2→E

∂t2

→∇ ×

→∇ ×

→E=

→∇ (

→∇ .

→E)−∇2

→E

onde→∇ (

→∇ .

→E) e igual a zero

→∇

2→E −εµ

∂2H

∂t2− σµ∂

→E

∂t= 0

2.3 Ondas Monocromaticas w = cte

→E (

→r , t) =

→E (r)e−iwt

substituindo na E.D para→E:

e−iwt{∇2

→E +w2εµ

→E +iwσ

→E

}= 0

casos simples1) vacuo µ = µ0 = 4π × 10−7, ε = ε0 = 8.85× 10−12

onde se propagando ao longo de z.

E(z) = E0e±ikz

14

A.R.J.S.→E (z, t) =

→E0 e

−i(wt±kz) =→E0 e

−iw(±z/c)

tomando a parte real→E (z, t) =

→E0 cos(wt± kz)

2) Meio dieletrico nao-magnetico e nao condutor

(ε = kε0, µ = µ0, σ = 0)

∇2→E +

(w√k

c

)2→E= 0

K =

√kw

c

a onda se propaga com velocidade cn.

3) O meio condutor (σ > 0)

∇2→E −εµ

∂2→E

∂t2− σµ∂

→E

∂t= 0

E(→r , t) =

→E (

→r )e−iwt

e−iwt{∇2

→E (r) + w2εµ

→E +iwσµ

→E

}= 0

Se wσµ << w2εµ ou σ << wε ocorrera propagacao de uma onda com ampli-tude amortecida. Se σ >> wε o termo associado a propagacao ondulatoriapode ser desprezado. Em uma dimensao:

d2→E

dt2+iwσµ

→E

k2= 0

→E (z) =

→E0 e

±ikz =→E0 (z)e−αz

que cai exponencialmente com z pois k e imaginario. A transicao entre osdois comportamentos ocorre para

wc ∼=σ

ε

wc =1

tc

onde tc e o termo de relaxacao do material.

15

A.R.J.S.2.4 Condicoes de Contorno

∮ →B .

→da= 0

∮ →B1 .

→da1 +

∮ →B2 .

→da2 +

∮ →B3 .

→da3= 0

se ε→ 0 ∮ →B .

→da3= 0

B1 = B2

componente de→E tangencial a interface

→∇ ×

→E= −∂

→B

∂t

∮ →E→dl= −∂Φ

∂t

= − d

dt

∫ →B .

→da

lE1t − lE2t − h1E′

1n − h2E′

2n + h2E2n + h1E1n =dΦ

dt

se h1 → 0 h2 = 0

E1t = E2t

Componente normal do campo→E

→∇ .

→D= ρf

∫D.

→da= σf = σfA

D1⊥ −D2

⊥ = σfA

D1⊥ −D2

⊥A = σfA

16

A.R.J.S.ε1E

1⊥ − ε2E2

⊥ = σ

no caso em que ocorre correntes

→∇→j= −∂ρ

∂t

∮ →j .

→da= −dq

dt= −Adσ

dt

j1n − j2n = −∂σ∂t

q1E1n − q2E2n = −∂σ∂t

caso a corrente na interface seja alternada e caracterizada por um unico w.

dσ

dt= −iwσ

logo podemos escrever, para o caso monocromatico

q1E1n − q2E2n = iwσ

2.5 Energia Eletromagnetica

Ja vimos anteriormente que

EE =1

2

∫V

→E .

→D .dV

pode ser identificada como a energia potencial eletrostatica do sistema decargas que produzem o campo eletrico. De maneira semelhante:

Um =1

2

∫V

→H→B dV

foi identificado como a energia armazenada no campo magnetico. Vamosanalisar a aplicabilidade destas equacoes a situacoes nao - estaticas.

Multiplicando a lei de Ampere-Maxwell por→E: l subtraindo na lei de

Faraday escalar→H:

17

A.R.J.S.−→E .(

→∇ ×

→H)+

→H (

→∇ ×

→E) = −

→j .

→E −

→E∂→D

∂t−→H∂→B

∂t

usando que

→∇ .(

→F ×

→G) =

→G .

→∇ ×

→F −

→F .

→∇ ×

→G

→∇ .(

→E ×

→H) = −

→H∂→B

∂t−→E∂→D

∂t−→j .

→E

se considerarmos um meio linear onde

→D= ε

→E

→B= µ

→H

→E∂D

∂t=→E∂(ε

→E)

∂t=

1

2ε∂(E2)

∂t=

∂

∂t

(1

2

→E .

→D

)

→H∂→B

∂t=→H .u

∂→H

∂t=

1

2µ∂→H

2

∂t=

∂

∂t

(1

2

→H→B

)usanso estas relacoes

∇(→E ×

→H) =

∂

∂t

1

2

(→E→D +

→H→B

)−→j→E

o primeiro termo a direita e a variacao temporal da soma da energia do campoeletrico mais magnetico; o segundo termo e em muitos casos o negativo dataxa de aquecimento joule por unidade de volume. Integrando em um volumeV ∫

V

→∇ (

→E ×

→H)dV = − ∂

∂t

1

2

∫V

(→E→D +

→H→B)dV

∫V

→j→E dV

aplicando o teorema de gauss∮(→E ×

→H)nda = − d

dt

(1

2

∫V

(→E→D +

→H→B)dV

)−∫ →j→E dV

reescrevendo

18

A.R.J.S.−∫ →j→E dV = − d

dt

∫V

1

2(→E→D +

→B→H)dV −

∮ →E ×

→H n

→da

logo o termo→j→E e composto da variacao de energia armazenada no campo

eletromagnetico mais uma integral de superfıcie. O lado esquerdo representaa potencia transferida ao campo eletromagnetico devido a movimentacao dascargas. Vamos supor que uma carga que se desloca com velocidade constante→v , sob a influencia de forcas mecanicas eletricas e magneticas, a taxa a quala forca mecanica realiza trabalho sobre a partıcula.[ →

Fm +q(→E +v×

→B)]

= 0

pois v constante, logo

→Fm→v= −q(

→E +

→v ×

→B)

→v= −q

→E→v

como a densidade de corrente e definida por

→j=

∑i

Niqi→vi

a taxa segundo a qual o trabalho mecanico e realizado e:∑i

Ni

→Fm→vi= −

→E→j

e esta e a densidade de potencia transferida ao campo eletromagnetico.Como a integral de superfıcie envolve apenas o campo eletrico e magnetico

podemos o interpretar como o fluxo de energia atraves de S. Assim a equacaoexpressa a conservacao de energia num volume V . Retornando a repre-sentacao diferencial e usando as seguintes notacoes

S =→E ×

→H

u =1

2

(→E→D +

→B→H

)logo

→∇ S +

∂u

∂t= −

→j→E

usualmente trata-se o proprio→S=

→H ×

→E (vetor de Poynting), como o fluxo

de energia local por unidade de area.

19

A.R.J.S.2.6 Equacao da Onda

Uma das consequencias mais importantes da euqacao de Maxwell saoas equacoes de propagacao das ondas eletromagneticas num meio linear. A

equacao de onda para→H e deduzida, tomando o rotacional da lei de Ampere-

Maxwell:

→∇ ×

→∇ ×

→H=

→∇ ×

→j +

→∇ ×

∂→D

∂t

fazendo

D = εE e j = g→E

→∇ ×

→∇ ×

→H= g(

→∇ ×

→E) + ε

∂

∂t(→∇ ×

→E)

usando a lei de Faraday e B = µ→H

→∇ ×(

→∇ ×

→H) = gµ

∂→H

∂t− εµ∂

2→H

∂t2

usando a identidade vetorial:

→∇ ×

→∇ × = ∇

→∇ +∇2

∇(→∇→H) +∇2

→H= gµ

∂→H

∂t− εµ∂

2→H

∂t2

→∇→H=

→∇

→Bµ

obtemos a equacao da onda:

∇2→H −εµ

∂2→H

∂t2− gµ∂

→H

∂t= 0

→E obedece uma equacao semelhante

→∇ ×

→∇ ×

→E= −

→∇ ×

∂→B

∂t

mas

20

A.R.J.S.→∇ ×

→B= µg

→E +εµ

∂→E

∂t

→∇ ×

→∇ ×

→E= µg

∂→E

∂t+ εµ

∂2E

∂t2

que resulta (usando→∇→E= ρ = 0)

∇2→E −εµ

∂2→E

∂t2− gµ∂

→E

∂t= 0

estas equacoes de onda regem os campos eletrico e magnetico em meios li-neares na ausencia de carga livre e claro que estas equacoes sao condicoesnecessarias da equacao de Maxwell mas nao sufientes, ou seja, ao resolver aequacao da onda temos que obter cuidadosamente para estas serem solucoesdas equacoes de Maxwell.

Vamos estudar agora as solucoes do tipo onda monocromatica que saocaracterizadas por uma unica frequencia. Consideramos a dependencia tem-poral como sendo e−iwt, de forma que

→E (

→r , t) =

→E (

→r )e−iwt

substituindo na equacao da onda

∇2→E e−iwt + (w2eµ

→E +iwgµ

→E)e−iwt = 0

∇2→E +w2eµ

→E +iwgµ

→E= 0

Vamos analisar os resultados desta equacao em diferentes casos:Espaco vazio (g = 0, ε = ε0, µ = µ0). Vamos supor que o campo so varie nadirecao z

d2→E

dz2+(w

c

)2 →E= 0

onde c =√

1ε0µ0

que tem solucao do tipo:

→E (z) =

→E0 e

±ikz

21

A.R.J.S.k =

w

c

que nos da a solucao completa

→E (

→r , t) =

→E0 e

−i(wt±kx)

tomando a parte real

→E (

→r , t) =

→E0 cos(wt± kx)

Dieletrico nao magnetico, nao condutor (g = 0, ε = kε, µ = µ0). A derivacaoe a mesma da anterior com a diferenca que

k =√kw/c

definindo, n =√k, observamos que os resultados sao os mesmos que no

vacuo com a diferenca que a velocidade agora e c/n .Meio Condutor (g > 0)

e−iwt{∇2

→E +w2εµ

→E +iwgµ

→E

}= 0

Se g for pequeno, o terceiro termo e despresıvel perto do primeiro o que levaa solucao de onda:

wgµ << w2εµ

g << wε

no outro estremo quando g ≥ wε, desprezamos o segundo termo:

d2→

E(z)

dz+ iwgµ

→E= 0

tomemos o coeficiente de→E real fazendo α = iw real logo w e imaginario

entao:

k =√αgµ

a dependencia espacial e a mesma. A diferenca reside na dependencia tem-poral:

→E (

→r , t) =

→E (

→r )e−αt

22

A.R.J.S.2.7 Condicoes de Contorno

1)→∇→B= 0, na forma integral∮ →

B n→da= 0

∫s1

→B n1da+

∫s2

→B n2da+

∫s3

→B n3da = 0

se fizermos ε = 0, tiramos que B11 = B1

2

2) Componente tangecial de→E,

→∇ ×

→E +

∂→B

∂t= 0

∫c

→E dl =

∂

∂t

∫s

→B nda

logo

E′′

1 l − E′′

2 l + E⊥1 h1 + E⊥2 h2 − E⊥′

1 h1 − E⊥′

2 h2 =∂

∂t

∫s

→B nda

fazendo h1 → 0 e h2 → 0 temso, E′′1 = E

′′2

3) Componente normal do deslocamento eletrico

∇D = ρf

integrando ∮s

→D n

→da=

∫VρdV

fazendo h→ 0

D⊥1 A−D⊥2 A = σA

D⊥1 −D⊥2 = σA

4) Componente tangencial ao campo auxiliar→H

→∇ ×

→H= j

∂→D

∂t∫c

→H dl =

∂

∂t

∫s

→D n

→da +

∫s

→j n

→da

que nos da

H′′

1 −H′′

2 = j1

23

A.R.J.S.3 Ondas em Regiao de Contorno

Usaremos agora as solucoes do tipo onda plana para estudar as equacoesde Maxwell em regioes com condicoes de contorno.Reflexao e Refracao nos limites de dois meios nao condutores. Incidencianormal

Vamos agora estudar o caso onde uma onda eletromagnetica incide nor-malmente na interface de dois materiais dieletricos. Estas ondas no casoplanas deverao satisfazer as condicoes para serem solucoes da equacao deMaxwell no meio

→k→E= 0

→k→B= 0

→K ×

→E= w

→B

→k ×

→B= −w

c2εr→E

(figura)Estamos supondo que deve haver uma onda refletida e outra transmitida,

vamos agora impor as condicoes de contorno a onda→E1 achando a relacao

entre→E′1,→H′1,→E2,

→H2. Pela equacao de Maxwell

k1 = n1w

c

k2 = n2w

c

B =n

cu× E

para a onda trasmitida→u2= k, para a onda refletida

→u1= −k, logo o campo

magnetico deve obedecer

c→B1= jn1E1xe

i(k1z−wt)

c→B′

1= jn1E′

1xei(k1z−wt)

24

A.R.J.S.c→B′

2= jn2E′

2xei(k2z−wt)

como vimos as condicoes de contorno para g1 = g2 = 0 (nao condutor) requerque todos os campos sejam continuos na interface em qualquer tempo (porisso todas as ondas tem a mesma frequencia w). Impondo a condicao nainterface em (z = 0)

E1x − E′

1x = E2x

O campo H deve ser contınuo tambem e em meios nao magneticos (µ1 =µ2 = µ0)

n1(E1x + E′

1x) = n2E2x

podemos resolver as equacoes acima para E′1x e E2x em funcao dos dados do

problema E1x, n1, n2:

E′

1x =n2 − n1

n2 + n1

E1x

E2x =2n1

n1 + n2

E1x

logo as razoes entre os campos sao totalmente determinados pelo ındeice derefracao

E′1x

E1x

= r12

E2x

E1x

= t12

r12 e t12 sao chamadas de coeficientes de Fresnel. Assim:

r12 =(n2 − n1)

(n2 + n1)E1x

t12 =2n1

(n1 + n2)

25

A.R.J.S.como experimentalmente o que e medido e o fluxo medio de energia porunidade de area (intensidade), usamos muitas vezes o vetor de Poyinting:

S =1

2

n

µ0c(E2

p + E2s )

escolhemos Ep = Ex (Es = 0). Definimos a reflectancia Rn e a transmitanciaTn para incidencia normal:

s1′

s1

= Rn

s2

s1

= Tn

entao

Rn = (r12)2

Tn =n2

n1

(t12)2

fazendo a substituicao chegamos que

Rn + Tn = 1

consideramos ate agora somente o caso linearmente polarizado. No caso emque a luz e elipticamente polarizada precisamos considerar as componentes

perpendiculares→Es= Ey

3.1 Reflexao e Refracao nos Limites de dois Meios naoCondutores (Incidencia Obliqua)

Vamos passar a um caso mais geral agora quando uma onda eletro-magnetica incide em uma superfıcie fazendo um angulo θ. Exemplificamoseste caso com uma gravura

(figura)na figura estamos supondo que as ondas sao todas coplanares, prova-se estasuposicao. Levando em conta essa suposicao os campos ficam:

→E1= E1pe

i(→k1→r−wt)

26

A.R.J.S.→E′

1= E′1pe

i(

→

k′1

→r−wt)

→E2= E2pe

i(→k2→r−wt)

as amplitudes significam

E1p = E1pp1

E′1p = E

′1pp1

′

E2p = E2pp2

Os vetores de propagacao sao

→k1= k1

→u1

a normal unitaria a superfıcie e n = k. Definimos o plano que contem→k1 e n

como o plano de incidencia (cuja normal e→k1 ×n).

A componente p da polarizacao e escolhida como paralela ao plano deincidencia. Em geral tambem existe uma componente em s de modo que:

E1s = E1ss1

E′1s = E1s

′

s1′

E2s = E2ss2

Para cada uma das tres ondas,→s=→u ×

→p e p =

→s × →u

s1 = s1′= s2 = j

Pelas condicoes de contorno para materiais nao condutores, temos que os

vetores→E e

→H devem ser continuos na interface em cada instante de tempo

logo nao so a frequencia w e igual em cada instante de tempo como a fasetambem deve ser sobre toda a superfıcie, ou seja,

27

A.R.J.S.→k1

′→r=

→k1→r=

→k2→r

esta condicao simples provoca consequencias extremamente interessante. Ebom ressaltar que

→r nas equacoes anteriores nao e qualquer posicao,

→r esta

restrito a superfıcie ou seja z = 0, ou, n→r= 0. Considerando a identidade:

n× (n× →r ) = n(n→r )− n2 →r= − →r

logo um vetor→r na interface:

→r= −n× (n× →r )

substituindo nas relacoes dos→ki→r :

→k1→r= −

→k1

[n× (n× →r )

]= −(

→k1 ×n)(n× →r )

como→r e um vetor arbitrario da superfıcie:

→k1

′

×n =→k1 ×n =

→k2 ×n

A primeira conclusao que tiramos dessa equacao e que os vetores n,→k1,

→k1

′

sao coplanares. O angulo de incidencia e dado por:

→k1 n = k1 cos θ1

→k1

′

n = −k′1 cos θ′

1

→k2 n = k2 cos θ2

portanto ∣∣∣∣→k1 ×n∣∣∣∣ = k1 sin θ1

∣∣∣∣∣→k1

′

×n∣∣∣∣∣ = k1 sin θ

′

1

28

A.R.J.S.∣∣∣∣→k2 ×n

∣∣∣∣ = k2 sin θ2

usando a equacao

k′

1 sin θ′

2 = k1 sin θ1 = k2 sin θ2

o modulo de k′1 = n1

wc

e igual a k1 = n1wc

logo

θ′

1 = θ1

que e a lei da reflexaosubstituindo os valores de k1 e k2

n1 sin θ1 = n2 sin θ2

lei de SnellPara derivar os coeficientes de Fresnell, necessitamos das condicoes de

contorno sobre as componentes do campo magnetico e eletrico. Primeira-mente vamos utilizar a identidade vetorial

n× (n×→E) = n(n

→E)−

→E

→E= n(n

→E)− n× (n×

→E)

logo n(n→E) e a componente normal e −n(n

→E) e a componente tangencial.

Usaremos as condicoes de contorno

n× (E1 + E1

′

) = n× E2

n× (B1 + B1

′

) = n× B2

lembrando das relacoes vindas da equacao de Maxwell

B =n

c

→u ×E

E = − cn

→u ×

→B

29

A.R.J.S.substituindo nas condicoes de contorno

n1n× (→u1 ×E1+

→u1

′

×→E1

′

) = n2n× (→u2 ×

→E2)

usando que

n× (→u ×

→E) = n(

→u E)− (n

→u)→E

logo a componente s do campo Es

n× (→u ×Es) = Es cos θ

n1(E1s cos θ1 − E′

1s cos θ′) = n2E2s cos θ2

usando a lei de reflexao:

n1(E1s − E1s

′

) cos θ1 = n2E2s cos θ2

como s e tangencial a superfıcie ela deve ser contınua

E1s + E1s

′

= E2s

vamos considerar casos isolados de polarizacao, ou seja,Caso 1: Polarizacao s

r12s =E′1s

E1s

obtemos usando as equacoes obtidas anteriormente

r13s =n1 cos θ1 − n2 cos θ2

n1 cos θ1 + n2 cos θ2

t12 =2n1 cos θ1


Caso 2: Polarizacao p:

Quando os vetores→E estao na direcao p o campo

→B esta na direcao s.

Usando a condicao de contorno para a componente tangencial de→E

n× (E1 + E1

′

) = n×→E2 +

c

n1

n× (→u ×

→B1 +

→u ×

→B1s)

30

A.R.J.S.=

c

n2

n× (→u ×B2)

usando que

n× (→u ×

→B) = B cos θ

1

n1

cos θ1(B1s − B′1s) =

1

n2

cos θ2B2s

alem disso como o material e nao magnetico

B1s + B′1s = B2s

lembrando que

B′1s = r12pB1s

B2s =n1

n2

t12pB1s

onde achamos que

r12p =n2 cos θ1 − n1 cos θ2


t12p =2n1 cos θ1


logo usamos estes coeficientes de fresnell temos uma solucao completa doproblema de contorno, uma vez que uma onda polarizada pode ser decom-posta em componentes s e p. Se olharmos estes resultados para θ = 0 asequacoes resumem-se a incidencia normal. Usando as equacoes junto com alei de Snell

cos θ2 =√

1− (n1/n2)2 sin2 θ1

podemos expressar os coeficientes de fresnell em termos so de n1 e n2 e doangulo de incidencia θ1 . Vamos agora achar a relacao entre as intensidades.Dividiremos ela conforme a polarizacao.

31

A.R.J.S.Rs =

ns1s′

ns1s

Ts =ns2s

ns1s

Rp =ns1p

′

ns1s

Tp =ns1p

′

ns1p

como

→S=

1

µ0

n

cE2 →u

Rs = (r12s)2

Rp = (r12p)2

Ts =n2

n1

cos θ2

cos θ1

(t12s)2

Tp =n2

n1

cos θ2

cos θ1

(t12p)2

as entidades

Rs + Ts = 1

Rp + Tp = 1

32

A.R.J.S.3.2 Angulo de Brewster e Angulo Crıtico

Como vimos na secao anterior R e T dependem do angulo de incidenciano caso de dois meios nao condutores. Como vimos em cada caso T = 1−R,logo so discutirems R. Alguns casos partıculares:Caso θi = 0, e entao temos o caso de incidencia normal a superfıcie, e areflectancia torna-se maior conforme a razao n2/n1 >> 1

R =(n1 − n2

n1 + n2

)2

=

(n1/n2 − 1

n1/n2 + 1

)2

Caso θ = π/2, entao temos uma onda incidindo paralelamente a superfıcie,pelas equacoes vistas: R1s = R1p = 1.angulos proximos de θ = π/2 (incidencia rasante) tem reflectancia grande.Para angulos de incidencia intermediarios, ha dosi angulos de especial inte-resse. Vamos agora investigar o caso onde nao ha luz refletida (R = 0), seraque este caso e possıvel. Examinando o coeficiente de Fresnell na forma:

r12s =sin(θ2 − θ1)

sin(θ2 + θ1)(3)

r12p =tan(θ1 − θ2)

tan(θ1 + θ2)(4)

podemos ver que se θ2 = θ1, entao ambas as componentes do campo elericonao serao refletidos (r12s = r12p = 0), mas pela lei de Snell


n1 = n2

ou seja, os meios sao indistinguiveis ( o que nao nos desperta muito interesse).De (3) e (4) podemos visualizar outro caso: se θ1 + θ2 = π/2 entao tan(θ1 +θ2)→ e R12p = 0, logo so uma componente do campo e refletida, neste cason1 nao e necessariamente igual a n2.Isto significa que se a luz que incide sob essa condicao, que tiver uma pola-rizacao elıptica ou ser ate mesmo nao polarizada, ficara na direcao s. Vamosachar o valor de θ1 para qual tal efeito ocorre. (ja que nossas variaveisindependentes ou dadas no problema sao n1, n2, θ1 e polarizacao da ondaincidente) usando a lei de Snell com θ2 = π/2− θ1

n1 sin θ1 = n2 sin(π

2− θ1

)= n2 cos θ1

33

A.R.J.S.tan θB =

n1

n2

(5)

o angulo θB e conhecido como angulo de Brewster (a equacao (5) e chamadade lei de Brewster). A polarizacao pelo angulo de Brewster e uma maneira deobter radiacao polarizada. Se analisarmos as equacoes (3) e (4) novamenteveremos que existe outro caso alem da incidencia razante em que toda a luze refletida, ou seja, Rs = Rp = 1. Se θ2 = π/2 entao a luz e refletida. Oangulo θ1 para o qual θ2 = π/2 e chamado angulo crıtico (θc) e pode serdeterminado pela lei de Snell.

n1 sin θc = n2 sin(π

2

)

sin θc =n2

n1

vamos agora analisar este resultado com cuidado, pois usando o resultado doangulo de Brewster

sin θc = tan θB =n2

n1

mas a tan θB nao e restrita quanto ao valor, logo sempre existira um angulode Brewster real. Como tan θ > sin θ, θB < θc. Vamos analisar angulos deincidencia maior que o angulo crıtico

sin θ2 =n1

n2

sin θ1 >n1

n2

sin θc

logo isto requer que

sin θ2 > 1

Tal reesultado aparentemente absurdo nao apresenta uma complicacaomuito seria. Ela significa que nao existe um angulo θ2 real que satisfaca aequacao de Snell. Pode isso? claro que pode, o que acontece e que supomosinicialmente (para deduzirmos a lei de Snell e outras coisas mais) que haveriauma onda transmitida fazendo um angulo θ2 real. Porem nosso resultadomostra que nossa suposicao inicial na e sempre valida. Como interpretamoso resultado? O resultado e Rs = Rp = 1 quando θ1 ≥ θc analisaremos oporque disso posteriormente.

34

A.R.J.S.3.3 Coeficientes Complexos de Fresnell e Reflexao por

um Plano Condutor

Considerando o impasse que surgiu no item anterior (sin θ2 > 1), vamosagora considerar o coeficiente de Frenell como complexo.

sin θ > 1

entao

cos θ =√

1− sin2 θ

e puramente imaginaria de cos θ, desse modo cos θ2 (que aparece nos coefi-cientes de Fresnell) e complexo logo os proprios coeficientes sao complexos.Isto tambem ocorreria se o meio n2 fosse condutor pois n2 seria complexo,nesse caso a lei de Snell fica:


Nosso calculo anterior, nao falamos em ındices de refracao complexos,nosso resultado e ainda valido? Deve ser pois so uma condicao de contornoe alterada

k1 sinE1n = k2E2n

k1E1n = k2E2n

n2 =√k2

logo a forma e a mesma a unica diferenca e que k2 e complexo e como todasas contas feitas tambem vale k2 for complexo entao os resultados tambemdevem ser validos (levando em consideracao que n2 → n2 e θ2 → θ2). Dessaforma

→k1 ×

→n=

→k2 ×

→n

logo→k2 ×

→n e real (porque

→k1 ×

→n= 0) e esta na direcao j assumindo que o

plano de incidencia seja z, logo o caso mais geral seria que

k2j = 0

definimos o angulo complexo θ2 de forma que

35

A.R.J.S.k2.n =

∣∣∣k2

∣∣∣ cos θ2

entao a lei de Snell torna-se


onde

sin θ2 =√

1− cos2 θ2

todas as manipulacoes algebricas com as condicoes de→E e

→B sao validas

logo os coeficientes de Fresnell tem a mesma forma porem agora θ2 e n2 saocomplexos expressndo na forma polar,

ˆr12s = | ˆr12s| eiαs

ˆr12p = | ˆr12p| eiαp

usando a definicao

E′1s = |r12| eiαsE1s

E′1p = | ˆr12p| eiαpE1p

logo e evidente que o campo→E refletido e trasmitido, entao com a fase alte-

rada em relacao ao campo E incidente.Para incidencia normal (θ1 = 0) do ar (n1 = 1) em um meio condutor

(n2 = n+ ik) a reflectancia e:

Rn =(n− 1)2 + k2

(n+ 1)2 + k2

se o segundo meio e semi-infinito entao toda a energia transmitida sera ab-sorvida pelo condutor. Definimos entao uma grandeza a absorvancia

A = 1−R

para a incidencia normal

36

A.R.J.S.An =

4n

(n+ 1)2 + k2

Podemos agora analisar alguns casos particularesCaso 1: n ∼= k >> 1logo

ki =g

ε0w>> 1

An ∼=2

k<< 1

neste caso

ki ∼= 2k2

k ∼=√

g

2ε0w

An ∼= 2

√2ε0w

g

que e conhecida como a relacao de Hangen-Rubens, que vale para alta condu-tividade e baixa frequencia pois supomos que g

ε0w>> 1 a onda transmitida

e importante em problemas como os que sao cnsiderados na secao seguinte.As amplitudes e fases sao dadas por ˆt12p e ˆt12s, e seu vetor de propagacao k2

que satisfaz:

→k1 ×n = k2 × n

k2n = k2 cos θ1

sin θ2 =√

1− cos2 θ2

O vetor de onda complexo k2 definira os planos de fase constante e asvelocidades (parte real) assim como os planos de amplitude constante (parteimaginaria). estas podem ser vizualizadas de:

37

A.R.J.S.k =

→kr +i

→ki

k = k sin θi+ k cos θk

como vimos→k ×n e real

→k1 ×n =

→kr ×n

→ki ×n = 0

a equacao anterior mostra que→ki e paralelo a n

→k1 ×n =

→kr ×n

k1 sin θ1 = kr sin Θ

onde Θ e um angulo real entre→kr e n o que nos define a direcao de propagacao

da onda. Os planos de amplitude constante sao paralelos a superfıcie→ki

//n. Em virtude dessas novas definicoes (Θ), vamos reescrever o vetor depropagacao dentro do metal:

k = kr sin Θi+ kr cos Θk + ikik

= k1 sin θ1i+ (kr cos Θk + iki)k

k1 sin θ1 = k sin θ (6)

kr cos Θ + iki = k cos θ (7)

(6) e novamente a lei de Snell, mas (7) junto com kr sin(Θ) = k1 sin θ, ja arelacao entre kr, ki,Θ e n, k, θ1 que procuravamos

k cos θ =w

c(p+ iq)

de modo que

n cos θ = p+ iq

38

A.R.J.S.kr =

w

c

√p+ n1 sin θ1

ki =w

cq

nos falta determinar p e q, que nos resultaram resolvendo as equacoes acimae lembrando que n2 = (kr + iki) n

21 = k

kr − k1 sin2 θ1 = p2 − q2

ki = 2pq

p =

√1

2

[(kr − k1 sin2 θ1) +

√(kr − k1 sin2 θ1)2 + k2

i

]

q =

√1

2

[(−kr − k1 sin2 θ1) +

√(kr − k1 sin2 θ1)2 + k2

i

]a equacao para kr pode ser escrita como

kr = Nw

c

o que define um ındice de refracao real e da a velocidade de fase c/n, vemosque N satisfaz

N sin Θ = n1 sin θ1

N cos Θ = p

Agora que definimos angulos complexos vamos voltar a solucao do meionao condutor quando o angulo de incidencia era maior que o angulo crıtico.Naquele caso n2 =

√k2r e ki = 0, porem, cos θ2 e imaginario quando θ1 > θc

cos θ2 =√

1− sin2 θ2 =

√1−

(n1

n2

)2

sin2 θ1

cos θ2 = i

√√√√(sin θ1

θ2

)2

− 1

39

A.R.J.S.pois sin θc = n2/n1. Agora segundo nossas definicoes:

n2 cos θ2 = in2

√√√√(sin θ1

sin θc

)2

− 1 = p+ iq

de modo que p = 0

q = n2

√√√√(sin θ1)2

(sin θc)− 1

usando isso nos coeficientes de Fresnell

ˆr12s =n1 cos θ1 − iqn1 cos θ2 + iq

o numerador e o numero complexo do denominador de modo que

R = ˆr12s ˆr12s∗ = 1

logo T = 0 (pela conservacao de energia). Porem os coeficientes de fresnellˆt12 nao sao nulos, logo ha campos E e B que nao se anulam do meio 2. Vamos

tentar entao encontrar→k2 com p = 0.

N = n1 sin θ1 = n2

(sin θ1

sin θc

)

logo quando

θc < θ1 <π

2

n2 ≤ N ≤ n1

como

N cos Θ = p = 0

Θ =π

2

40

A.R.J.S.3.4 Reflexao e Transmissao por uma Camada Delgada

Consideraremos duas superfıcies de descontinuidade plano infinitas emz = 0 e z = d, em z < 0 temos z > d temos o meio 3.

(figura)Um metodo para resolver este problema e impor as condicoes de contorno

nas descontinuidades para→E e para

→B. Porem usaremos um metodo mais

direto que consiste em utilizar os resultados antes obtidos, para somar ondastrasmitidas e refletidas em cada interface

(figura)A interface de fase e

β = 2k2.→r2 −

→k1 .

→r

as componentes de→r2

→r2= xi+ dk

e

→r1= 2xi− wp1

p1 = s× u1 = j× →u1

e perpendicular a→k1= k1

→u1. Entao:

β = 2× (k2i−→k1 i) + 2dk2

→k

agora

k2i−→k1 i = k2 sin θ2 − k1 sin θ1 = 0

de acordo com a lei de Snell k2z = k2 cos θ2

β = 2dw

cn2 cos θ2 = 2d

w

c(p+ iq)

vamos agora somar os coeficientes de Fresnell de todas as ondas refletidas ede todas as ondas transmitidas.

r = r12 + ˆt12r23ˆt21 + ˆt12r23r21r23

ˆt21ei2β + . . .

r = r12 + ˆt12r23ˆt21e

iβ[1 + r21r23e

iβ + (r21r23eiβ)2

]+ . . .

41

A.R.J.S.usando que isto e uma serie geometrica

1 + z2 + z2 + . . . =1

1− z

r = r12 +ˆt12r23

ˆt21eiβ

1− r12r23eiβ

usando que r12 = −r21 e que r122 + ˆt12

ˆt21 = 1

r = r12 +ˆt12r23

ˆt21eiβ

1 + r12r23eiβ

=r12 + ˆt12

ˆt23ˆt21e

iβ

1 + r12r23eiβ

um calculo semelhante fornece a amplitude transmitida para o meio 3:

t =ˆt12 + ˆt23e

iβ/2

1 + r12r23eiβ

3.5 Propagacao entre Placas Condutoras Paralelas

Agora estudaremos o caso de um meio dieletrico entre placas planas pa-ralelas condutoras ou seja, temos novamente um problema de contorno. Parasimplificar consideraremos a condutividade do metal como infinita ou seja,ki →∞ e n2 →∞, logo

ˆr12s = −1

ˆr12p = 1

para a reflexao em um plano condutor com qualquer angulo de incidencia. Omeio dieletrico considerado sera o vacuo,

(figura)

Cosideramos uma onda com vetor de onda→k que se propaga entre duas

placas plano codutoras uma em y = 0 e outra em y = a. Consideremos→k no

plano yz formando um angulo θ com o eixo y no plano de incidencia. A outrasera refletida primeiramente pelo plano em y = a, o vetor de onda refletidafara um angulo de θ com o eixo y negativo. Essa onda ao chegar em y = 0

42

A.R.J.S.sera novamente refletida, fazendo o vetor

→K voltar a fazer um angulo θ com

o eixo dos y positivo. Logo podemos escrever as ondas como:

ei[k(y cos θ+z sin θ)−wt] (8)

ei[k(−y cos θ+z sin θ)−wt] (9)

para ondas desse tipo a duas polarizacoes possıveis:

Polarizacao s , ou seja,→E na direcao x, esse caso e chamado de transversal

eletrica. T.E.Polarizacao p, ou seja,

→H na direcao x, esse caso e chamado de transversal

magnetica TM.Consideramos o caso da transversal eletrica. O campo eletrico na regiao

entre os dois planos e dado por:

→E= x

(E1e

i[k(y cos θ+z sin θ)−wt] + E′

1ei[k(−y cos θ+z sin θ−wt]

)vamos agora utilizar nossos resultados anteriores, da definicao dos coeficientesde Fresnell

E′

1 = r12sE1

E′

1 = −E1

logo nossa onda pode ser reescrita como

→E= xE(eiky cos θ − e−iky cos θ)ei(kz sin θ−wt) (10)

As condicoes de contorno sao Et = 0 (que e o nosso caso pois x e paraleloaos planos) em y = 0 e y = a0 vemos, da equacao (10) que a condicao emy = 0 e automaticamente satisfeita a condicao em y = a so sera satisfeita secolocarmos certas restricoes em k.

ka cos θ = nπ (11)

onde n e um valor inteiro. Qual o significado fısico disto? Lembramos quek = w

c, logo se consideramos w como dado entao θ tem os valores fixos dados

por (11).Calculando este angulo, poderiamos dizer que a velocidade aparente na

direcao z e:

vp =c

sin θ

43

A.R.J.S.que e para qualquer valor de θ, maior ou igual a velocidade da luz. Tal para-doxo resolveremos mais tarde. Expressaremos a variacao no campo eletriconas direcoes y e z em termos de comprimentos de onda como se segue:

λg =2π

k sin θ=

λ0

sin θ

λ0 =2/pi

k=

2πc

w

na direcao z.

λz =2π

k cos θ=

λ0

cos θ

logo o campo eletrico fica

→E= kE0 sin

2πy

λcei[(2πz/λg)−wt]

as restricoes impostas pelas condicoes de contorno ficam

a

λc=n

2(12)

tambem temos a relacao:

1

λ2g

+1

λ2c

+1

λ20

(13)

se na equacao (12) n = 1 entao λc = 2a, como λ0 so da frequencia ele podetomar valores maior que 2a nessa situacao λg e imaginario, isto significa quea onda resultante sera atenuada na direcao z, tal fato sempre ocorre quandoλ0 > λc por isso λc e chamada frequencia de corte.

Na velocidade vp obtida anteriormente, esta sempre excede a velocidadeda luz, e torna-se infinita quando θ = 0 (λc = λ0) Quem e vp? vp significa avelocidade de fase, ou seja, a velocidade com que se propagam planos de faseconstante. A solucao desse paradoxo reside que a energia se propaga comuma velocidae menor que a da luz, ou seja, com A assim chamada velocidadede grupo e nao com a velocidade de fase.

Para obtermos a velocidade com que a energia se propaga vamos utilizarda relacao

→s= u.

→v

onde u e a energia armazenada no campo, logo

44

A.R.J.S.v =

∣∣∣→s ∣∣∣u

para calcular u precisamos de→E e

→B, ja temos

→E, para obtermos

→B utilizamos

a lei de Faraday

→∇ ×E = −∂B

∂t

→B (

→r , t) = zE0

2π

wλcsin

2πy


+izE02/pi

wλgcos

2πy


para calcular o vetor de Poyinting usamos

→s=→E ×

→H

calculando U usando

→u=

1

4Re[

→E∗.→D +

→B∗.→H]

e S usando

→s=

1

2ReE

2xHy

3.6 Guia de Ondas

Como vimos→E e

→H satisfazem a equacao da onda no espaco livre:

∇2→E −ε0µ0

∂2→E

∂t2

∇2→H −ε0µ0

∂2→H

∂t2= 0

para ond na forma

45

A.R.J.S.→E (

→r , t) =

→E (

→r )e−iwt

logo as equacoes ficam

∇2→E +

w2

c2→E= 0

∇2→H +

w2

c2→H= 0

Porem essas equacoes poe si so nao caracterizam totalmente os campos, epreciso satisfazer as equacoes de Maxwell. Para uma onda transversal eletrica(TE) propagando na direcao z, Ez = 0. Ondas que se propagam na direcaoz possuem as cinco quantidades de campo restantes proporcionais a ei2πz/λg .As equacoes do rotacional de Maxwell neste caso sao:

→∇ ×

→E −iµ0w

→H= 0

∂Ey∂x− ∂Ex

∂y− iµ0wHz

Ex =µ0wλa

2πHy

Ey = −µ0wλg2π

Hx

→∇ ×

→H +iε0w

→E= 0

∂Hz

∂y− 2πi

λgHy + iεwEx = 0

2πi

λgHx −

∂Hz

∂x+ iε0wEy = 0

∂Hy

∂x− ∂Hx

∂y= 0

46

A.R.J.S.substituindo chegamos que

partialHz

∂y=

(2πi

λg− iε0µ0w

2λg2π

)Hy

ou seja, Hy pode ser achado se conhecermos Hz, de maneira analoga podemosobter Hx em funcao de Hz. Logo todas as componentes dos campos podemser determinadas em funcao de Hz. Mas Hz deve satisfazer a equacao danda o que nos permite achar Hz se soubermos as condicoes de contornoapropriadas.

∂2Hz

∂x2+∂2Hz

∂y2+

(w2

c2− 4π2

λ2g

)Hz = 0

Vamos agora estudar o caso de um guia de onda retangular:(figura)

usando separacao de variaveis chegamos a seguinte solucao geral para Hz:

Hz = [A cos(kxx) cos(kyy) +B cos(kxx) sin(kyy) +

(sin(kxx) cos(kyy) +D sin(kxx) sin(kyy)]e2πiz/λy

onde kx e ky devem obedecer:

−(k2x + k2

y) +

w2

c2−(

4π

λy

)2 = 0

escrevendo Ex em funcao de Hz

Ex = −µ0wλg2π

(2πi

λg− iε0µ0w

2λg2π

)−1∂Hz

∂y

o campo Ey deve se anular y = 0 e em y = b, para que isso aconteca

∂Hz

∂y

∣∣∣∣y=0

e

∂Hz

∂y

∣∣∣∣y=s

deve ser zero, logo para y = 0 ser satisfeitos nao deve existir termos, emsin(kyy) em hz a segunda condicao e satisfeita se ky = nπ

b. Fazendo trata-

mento semelhante para Ey chegamos que o campo Hz e

47

A.R.J.S.Hz = A cos

mπx

acos

nπy

be2πizλy

onde m e n sao inteiros que satisfazem:(2π

λy

)2

=(

2π

λ0

)2

−(nπ

b

)2

−(mπ

a

)2

para uma onda (TE)mn (modo m n) pode -se mostrar que

σT =8π

3R2e

tambem e obtido apartir da teoria de espalhamento em materiais a altasfrequencias

n ∼= 1, k1 << 1, k0 << 1

no interior de um metal

s =E2

µ0c=

1

µ0cE2

0e−2z/γ

onde α = 2γ. Na pratica usa-se no lugar de α o parametro µl (coeficiente

linear de absorcao)

µ0 = µmρ

ρ→ massa especıfica

δ =c

wk0

e a profundidade de atenuacaose considerarmos o volume por eletron

Vol =σT δ

α

Vol = σTλ

λ =δ

2

48

A.R.J.S.se

Vol =numero de eletrons

m3=

1

vol

λσ =1

N

σT =2

Nδ=

2k0w

Nc

δ ∼= 109Hz

k0∼=w2pγ

2w3

usamos

γ =4π

3

(Re

λ

)w

onde

λ =2πc

w

49

Teoria Eletromagnetica II

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