Relatividade (2a. Parte) - .Segunda lei de Newton Na relatividade as leis de Newton para o movimento

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Relatividade (2a. Parte)

2a. Parte: Dinmica Relativstica

Momentum linear relativstico

Classicamente p = m v = m x/t No caso relativstico usamos o intervalo de tempo

prprio t0 (medido por um observador que se move junto com a partcula, ou seja, em repouso em relao a ela) e a massa de repouso m

Da dilatao do tempo t = t0 o intervalo de tempo medido por um observador no laboratrio

Logo p = m x/t0 = m x/t, ou seja

p = m v

Segunda lei de Newton

Na relatividade as leis de Newton para o movimento continuam valendo para observadores em movimento relativo uniforme (primeiro postulado)

Segunda lei: F = dp/dt Trabalho elementar realizado pela fora F: dW = F dx =

(dp/dt) dx = v dp = v d( m v) Se a partcula inicialmente estiver em repouso (v = 0) o

trabalho realizado para acelerar a partcula at uma velocidade v dado pela integral

W=0vv d ( mv

1 v2c2)=mc2( 1

1 v2c21)

Energia cintica

O teorema do trabalho-energia cintica continua valendo na relatividade

K: energia cintica da partcula K = Kf Ki = W Como inicialmente v = 0 ento Ki = 0 e temos K = mc2 ( 1) No limite no-relativstico v

Energia relativstica

Energia de repouso E0 = mc2

Energia cinticaK = (-1) m c2 = mc2 - E0

Energia de um corpo de massa m E = E0 + K = m c2

Massa e energia so totalmente equivalentes!

O eltron-volt

uma unidade prtica de energia usada apenas para partculas elementares

a energia de um eltron acelerado por uma diferena de potencial de 1 V

1 eV = 1,6 x 10-19 J Usamos os mltiplos

keV = 103 ev, MeV = 106 eV, GeV = 109 eV, TeV = 1012 eV Ex: massa de repouso de um eltron: m0 = 9,11 x 10-31 kg

energia de repouso: E0 = m0c2 = 9,11 x 10-31 x (3,0 x 108)2 =

8,2 x 10-15 J / 1,6 x 10-19 J = 5,11 x 104 eV = 0,511 MeV

Problemas

Proposto: Uma partcula alfa constituida por dois prtons e dois nutrons. Dado que as massas de repouso do prton e do nutron so 1,673 x 10-27 kg e 1,675 x 10-27 kg, respectivamente, determine a energia de repouso de uma partcula alfa em mltiplos do eltron-volt. Resposta: 3,75 GeV

Para casa: Ache as energias de repouso do prton e do nutron. Respostas: 938,2 MeV e 939,5 MeV.

Problema resolvido

Um corpo estacionrio explode em dois fragmentos de massa 1,0 kg cada, que movem-se com velocidades 0,6 c em relao ao corpo original. Ache a massa do corpo original.

Usaremos o princpio de conservao da energia relativstica (repouso + cintica)

Problema proposto

A energia solar alcana a Terra a uma taxa de 1,4 kW por metro quadrado de superfcie perpen-dicular distncia ao Sol. Quanta massa o Sol perde por segundo devido a esta perda de energia? O raio mdio da rbita da Terra 1,5 x 1011 m

Problema para casa

Um corpo em repouso quebra-se espontaneamente em duas partes que se movem em direes opostas. As partes tm massas de repouso de 3 kg e 5,33 kg, e velocidades 0,8 c e 0,6 c, respectivamente. Ache a massa de repouso do corpo original.

Relao entre momentum e energia

K = (-1) m c2

p = m v Eliminando v obtemos

E2 = p2c2 + m2c4 Partculas com

massa de repouso nula: E = p c

Problema resolvido

Uma partcula de massa de repouso m0 tem velocidade v. Uma fora F constante atua sobre a partcula numa direo paralela sua velocidade. Usando a segunda lei de Newton determine a acelerao da partcula.

Problemas para casa

Determine a energia total e o momentum linear de um eltron cuja energia cintica 1,0 MeV.

Qual a velocidade de um eltron cuja energia cintica 2,0 MeV?

Um foguete no pode ser acelerado at a velocidade da luz!

Na medida em que v se aproxima de c a massa do foguete tende para infinito

Quanto maior a massa mais difcil ser acelerar o foguete, ento para que v fosse igual a c seria necessria uma fora infinita para conseguir o objetivo

3a. Parte: Relatividade Geral

Extenso da teoria da relatividade para incluir a gravidade (Einstein, 1916)

Princpio de equivalncia: um referencial acelerado equivalente a um campo gravitacional uniforme

Consequncia do princpio de equivalncia

Massa gravitacional m=P/g

Massa inercial m = F/a As massas gravitacional e

inercial so iguais Comprovado

experimentalmente por Eotvos h mais de 100 anos

Efeito da gravidade sobre a luz

Sob uma grande acelerao, o feixe de luz ir se curvar para baixo

Princpio de equivalncia: o feixe de luz ir se curvar numa regio de intenso campo gravitacional.

Curvatura da luz por um campo gravitacional

Um corpo de grande massa produz um campo gravitacional que deforma o espao-tempo ao seu redor

A trajetria da luz no campo gravitacional curvada (a luz percorre caminhos chamados geodsicas do campo gravitacional)

Deflexo da luz que passa prximo a uma estrela

A luz que vem de uma estrela e passa prximo ao Sol defletida por um ngulo de 1,75'' em relao posio observada da estrela

Previso terica pode ser confirmada em eclipses solares totais

Eclipse solar total de 1919

Uma equipe de astrnomos ingleses foi a Sobral (Cear) para observar a posio de estrelas prximas ao Sol durante ao eclipse, e compar-las com as posies medidas em dias normais.

A previso de Einstein foi verificada

Einstein tornou-se uma celebridade mundial

Lentes Gravitacionais

A luz de galxias distantes defletida pelo campo gravitacional de galxias no seu caminho

Vrias imagens da galxia distante (efeito de lente)

Efeito previsto teoricamente por Einstein em 1936 mas observado apenas em 1979 (Twin QSO)

Precesso do perilio de Mercrio

O campo gravitacional do Sol exerce sobre a rbita do planeta Mercrio um efeito de precesso previsto pela relatividade

Precesso de 43 segundos de arco por sculo

Primeiro teste experimental da teoria de Einstein

Dilatao do tempo gravitacional

Um campo gravitacional provoca o atraso de um relgio

t': tempo medido na presena de gravidade

t: tempo medido na ausncia de gravidade

G: constante gravitacionalM: massa do corpor: distncia do relgio ao centroc: velocidade da luz no vcuo

Raio de Schwarschild da Terra

M = 5,98 x 1024 kg R = 6,37 x 106 m G = 6,67 x 10-11

N.m2/kg2 c = 3,0 x 108 m/s rs = 2GM/c2

= 8,86 x 10-3 m

Sistema GPS

Sistema de navegao baseado em satlites artificiais

Permite a determinao de posies e tempos desde que haja sinais de pelo menos 4 satlites

Possuem relgios atmicos com preciso de 20 a 30 nanossegundos PRECISA LEVAR EM CONTA OS EFEITOS DA RELATIVIDADE

ESPECIAL E GERAL!

Dilatao do tempo e o GPS

Satlite GPS distncia r = 20180 km (geoestacionrio): mede o intervalo t

Observador na Terra mede o intervalo t'

t' = t (12,19 x 10-10) Diferena de tempo

acumulada em 1 dia |t' t| = 2,19 x 10-10 t

= 19 s

Cosmologia

big-bang: criao do Universo inflao: expanso acelerada do espao-tempo expanso atual: matria escura?

Tamanho e forma do Universo

espao-tempo quadridimensional

o Universo no pode ser infinito (paradoxo de Olbers)

pode haver curvatura positiva (esfera), negativa (hiperbolide) e zero (plano)

dados atuais mostram que o Universo plano

Buracos negros

regio com campo gravitacional to intenso que nem partculas nem radiao podem escapar

formado por uma estrela com massa suficientemente grande que deforma o espao

evoluo do Sol: an branca estrela de nutrons buraco negro

Horizonte de eventos: limite da regio at a qual no h escape

Buracos negros super-massivos

absorvem estrelas e outros buracos negros

massas milhes de vezes maiores que o Sol

existem nos centros das galxias (Via Lctea)

discos de acreso: formados por matria que orbita os buracos negros

Ondas gravitacionais

so ondulaes na curvatura do espao-tempo que se propagam como ondas

so geradas por certas interaes gravitacionais e propagam-se para longe da sua fonte

transportam energia sob a forma de radiao gravitacional

Fontes de ondas gravitacionais

sistemas estelares binrios formados por ans brancas, estrelas de nutrons e buracos negros

ondas detectadas pela primeira vez em 2016 (projeto LIGO)

supernova (exploso de uma estrela)

ecos do big-bang: universo primordial

FIM

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