Relatividade (2a. Parte)

2a. Parte: Dinâmica Relativística

Momentum linear relativístico

● Classicamente p = m v = m ∆x/∆t● No caso relativístico usamos o intervalo de tempo

próprio Δt0 (medido por um observador que se move junto com a partícula, ou seja, em repouso em relação a ela) e a massa de repouso m

● Da dilatação do tempo Δt = γ Δt0 é o intervalo de tempo medido por um observador no laboratório

● Logo p = m ∆x/∆t0 = m γ ∆x/∆t, ou seja

p = γ m v

Segunda lei de Newton

● Na relatividade as leis de Newton para o movimento continuam valendo para observadores em movimento relativo uniforme (primeiro postulado)

● Segunda lei: F = dp/dt ● Trabalho elementar realizado pela força F: dW = F dx =

(dp/dt) dx = v dp = v d(γ m v)● Se a partícula inicialmente estiver em repouso (v = 0) o

trabalho realizado para acelerar a partícula até uma velocidade v é dado pela integral

● W=∫0

vv d (

mv

√1−v2

c2

)=mc2(

1

√1−v2

c2

−1)

Energia cinética

● O teorema do trabalho-energia cinética continua valendo na relatividade

● K: energia cinética da partícula

● ΔK = Kf – Ki = W

● Como inicialmente v = 0 então Ki = 0 e temos

● K = mc2 (γ – 1)● No limite não-relativístico v << c então

γ ≈ 1 + (v2/2c2) + … donde K≈ mv2/2

Energia relativística

● Energia de repouso

E0 = mc2

● Energia cinética

K = (γ-1) m c2 = γmc2 - E0

● Energia de um corpo de massa m

E = E0 + K = γ m c2

● Massa e energia são totalmente equivalentes!

O elétron-volt

● É uma unidade prática de energia usada apenas para partículas elementares

● É a energia de um elétron acelerado por uma diferença de potencial de 1 V

1 eV = 1,6 x 10-19 J● Usamos os múltiplos

keV = 103 ev, MeV = 106 eV, GeV = 109 eV, TeV = 1012 eV

● Ex: massa de repouso de um elétron: m0 = 9,11 x 10-31 kg

energia de repouso: E0 = m0c2 = 9,11 x 10-31 x (3,0 x 108)2 =

8,2 x 10-15 J / 1,6 x 10-19 J = 5,11 x 104 eV = 0,511 MeV

Problemas

● Proposto: Uma partícula alfa é constituida por dois prótons e dois nêutrons. Dado que as massas de repouso do próton e do nêutron são 1,673 x 10-27 kg e 1,675 x 10-27 kg, respectivamente, determine a energia de repouso de uma partícula alfa em múltiplos do elétron-volt. Resposta: 3,75 GeV

● Para casa: Ache as energias de repouso do próton e do nêutron. Respostas: 938,2 MeV e 939,5 MeV.

Problema resolvido

● Um corpo estacionário explode em dois fragmentos de massa 1,0 kg cada, que movem-se com velocidades 0,6 c em relação ao corpo original. Ache a massa do corpo original.

● Usaremos o princípio de conservação da energia relativística (repouso + cinética)

Problema proposto

● A energia solar alcança a Terra a uma taxa de 1,4 kW por metro quadrado de superfície perpen-dicular à distância ao Sol. Quanta massa o Sol perde por segundo devido a esta perda de energia? O raio médio da órbita da Terra é 1,5 x 1011 m

Problema para casa

● Um corpo em repouso quebra-se espontaneamente em duas partes que se movem em direções opostas. As partes têm massas de repouso de 3 kg e 5,33 kg, e velocidades 0,8 c e 0,6 c, respectivamente. Ache a massa de repouso do corpo original.

Relação entre momentum e energia

K = (γ-1) m c2

p = γ m v● Eliminando v obtemos

E2 = p2c2 + m2c4

● Partículas com

massa de repouso nula:

E = p c

Problema resolvido

● Uma partícula de massa de repouso m0 tem velocidade v. Uma força F constante atua sobre a partícula numa direção paralela à sua velocidade. Usando a segunda lei de Newton determine a aceleração da partícula.

Problemas para casa

● Determine a energia total e o momentum linear de um elétron cuja energia cinética é 1,0 MeV.

● Qual a velocidade de um elétron cuja energia cinética é 2,0 MeV?

Um foguete não pode ser acelerado até a velocidade da luz!

● Na medida em que v se aproxima de c a massa do foguete tende para infinito

● Quanto maior a massa mais difícil será acelerar o foguete, então para que v fosse igual a c seria necessária uma força infinita para conseguir o objetivo

3a. Parte: Relatividade Geral

● Extensão da teoria da relatividade para incluir a gravidade (Einstein, 1916)

● Princípio de equivalência: um referencial acelerado é equivalente a um campo gravitacional uniforme

Consequência do princípio de equivalência

● Massa gravitacional m=P/g

● Massa inercial m = F/a● As massas gravitacional e

inercial são iguais● Comprovado

experimentalmente por Eotvos há mais de 100 anos

Efeito da gravidade sobre a luz

● Sob uma grande aceleração, o feixe de luz irá se curvar para baixo

● Princípio de equivalência: o feixe de luz irá se curvar numa região de intenso campo gravitacional.

Curvatura da luz por um campo gravitacional

● Um corpo de grande massa produz um campo gravitacional que deforma o espaço-tempo ao seu redor

● A trajetória da luz no campo gravitacional é curvada (a luz percorre caminhos chamados geodésicas do campo gravitacional)

Deflexão da luz que passa próximo a uma estrela

● A luz que vem de uma estrela e passa próximo ao Sol é defletida por um ângulo de 1,75'' em relação à posição observada da estrela

● Previsão teórica pode ser confirmada em eclipses solares totais

Eclipse solar total de 1919

● Uma equipe de astrônomos ingleses foi a Sobral (Ceará) para observar a posição de estrelas próximas ao Sol durante ao eclipse, e compará-las com as posições medidas em dias normais.

● A previsão de Einstein foi verificada

Einstein tornou-se uma celebridade mundial

Lentes Gravitacionais

● A luz de galáxias distantes é defletida pelo campo gravitacional de galáxias no seu caminho

● Várias imagens da galáxia distante (efeito de lente)

● Efeito previsto teoricamente por Einstein em 1936 mas observado apenas em 1979 (“Twin QSO”)

Precessão do periélio de Mercúrio

● O campo gravitacional do Sol exerce sobre a órbita do planeta Mercúrio um efeito de precessão previsto pela relatividade

● Precessão de 43 segundos de arco por século

● Primeiro teste experimental da teoria de Einstein

Dilatação do tempo gravitacional

● Um campo gravitacional provoca o atraso de um relógio

● Δt': tempo medido na presença de gravidade

● Δt: tempo medido na ausência de gravidade

G: constante gravitacionalM: massa do corpor: distância do relógio ao centroc: velocidade da luz no vácuo

Raio de Schwarschild da Terra

● M = 5,98 x 1024 kg● R = 6,37 x 106 m● G = 6,67 x 10-11

N.m2/kg2

● c = 3,0 x 108 m/s

● rs = 2GM/c2

= 8,86 x 10-3 m

Sistema GPS

● Sistema de navegação baseado em satélites artificiais

● Permite a determinação de posições e tempos desde que haja sinais de pelo menos 4 satélites

● Possuem relógios atômicos com precisão de 20 a 30 nanossegundos PRECISA LEVAR EM CONTA OS

EFEITOS DA RELATIVIDADE ESPECIAL E GERAL!

Dilatação do tempo e o GPS

● Satélite GPS à distância r = 20180 km (geoestacionário): mede o intervalo Δt

● Observador na Terra mede o intervalo Δt'

● Δt' = Δt (1–2,19 x 10-10)● Diferença de tempo

acumulada em 1 dia● |Δt' – Δt| = 2,19 x 10-10 Δt

= 19 μs

Cosmologia

● “big-bang”: criação do Universo● inflação: expansão acelerada do espaço-tempo● expansão atual: matéria escura?

Tamanho e forma do Universo

● espaço-tempo é quadridimensional

● o Universo não pode ser infinito (paradoxo de Olbers)

● pode haver curvatura positiva (esfera), negativa (hiperbolóide) e zero (plano)

● dados atuais mostram que é o Universo é plano

Buracos negros

● região com campo gravitacional tão intenso que nem partículas nem radiação podem escapar

● é formado por uma estrela com massa suficientemente grande que deforma o espaço

● evolução do Sol: anã branca – estrela de nêutrons – buraco negro

Horizonte de eventos: limite da região até a qual não há escape

Buracos negros super-massivos

● absorvem estrelas e outros buracos negros

● massas milhões de vezes maiores que o Sol

● existem nos centros das galáxias (Via Láctea)

● discos de acresção: formados por matéria que orbita os buracos negros

Ondas gravitacionais

● são ondulações na curvatura do espaço-tempo que se propagam como ondas

● são geradas por certas interações gravitacionais e propagam-se para longe da sua fonte

● transportam energia sob a forma de radiação gravitacional

Fontes de ondas gravitacionais

● sistemas estelares binários formados por anãs brancas, estrelas de nêutrons e buracos negros

● ondas detectadas pela primeira vez em 2016 (projeto LIGO)

● supernova (explosão de uma estrela)

● “ecos do big-bang”: universo primordial

FIM