Lista 2 - Relatividade mosna/RG2018_   Lista 2 - Relatividade Geral...

download Lista 2 - Relatividade mosna/RG2018_    Lista 2 - Relatividade Geral RicardoAntonioMosna,agostode2018

If you can't read please download the document

  • date post

    18-Jan-2019
  • Category

    Documents

  • view

    212
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Lista 2 - Relatividade mosna/RG2018_   Lista 2 - Relatividade Geral...

Lista 2 - Relatividade Geral

Ricardo Antonio Mosna, agosto de 2018

1. Considere o toro mostrado na figura abaixo ( esquerda):

(a) Parametrize tal superfcie usando as coordenadas e da figura.

(b) Obtenha expresses para os vetores ei da base coordenada correspondente e para o o

tensor mtrico gij .

(c) Obtenha expresses para ei e gij .

(d) Usando o que voc obteve no tem (b) escreva a integral que corresponde ao comprimento

da curva dada por = 0 que abraa o toro e a calcule. Faa o mesmo para a curva

= 0.

(e) Escreva a integral que corresponde ao comprimento de uma curva que d uma volta no

toro como na figura da direita (escolha uma).

2. Considere a espiral esfrica (ou loxodromia) dada pela curva C parametrizada por r(t) =

(x(t), y(t), z(t)) S2, onde

x(t) = cos(t) sech(mt),

y(t) = sen(t) sech(mt),

z(t) = tanh(mt),

com < t

(d) Calcule o ngulo que tal curva faz com e para cada t. Interprete. Dica: faa

m1+m2

= cos.

(e) Calcule o comprimento de tal curva. Interprete.

3. O smbolo completamente antissimtrico de Levi-Civita, 1...n definido como sendo +1 se

{1 . . . n} uma permutao par de {1 . . . n}, 1 se {1 . . . n} uma permutao mparde {1 . . . n} e 0 nos demais casos (isto , quando {1 . . . n} contm algum ndice repetido).Por definio, o smbolo de Levi-Civita tem as componentes acima em qualquer sistema de

coordenadas e portanto no um tensor (vamos remediar isso ainda nessa lista). Vamos

assumir que estamos trabalhando em R3 euclidiano com coordenadas cartesianas de maneiraque ndices podem ser subidos e baixados impunemente.

(a) Mostre que ijk rsk = irjs isjr;

(b) Mostre que ijk ijl = 2 kl;

(c) Mostre que ( ~A ~B)k = ijkAiBj e ( ~A)k = ijkiAj ;

(d) Use os itens anteriores para mostrar que ~A( ~B ~C) = ~B ( ~A ~C) ~C ( ~A ~B) e( ~A) = ( ~A)2 ~A.

4. Definimos a simetrizao e antissimetrizao de um tensor Ti1in por T(i1in) =1n!

T(i1)(in)

e T[i1in] =1n!

(1)T(i1)(in), respectivamente, onde a soma percorre todas as permu-

taes de {1, 2, . . . , n} e (1) denota o sinal da permutao.

(a) Obtenha expresses explcitas dessas operaes para n 3;

(b) Mostre que se Ti1in simtrico (resp. antissimtrico) em todos os seu ndices, ento

T(i1in) = Ti1in (resp. T{i1in} = Ti1in);

(c) Mostre que se Aij simtrico, ento AijBij = AijB(ij);

(d) Mostre que se Aij antissimtrico, ento AijBij = AijB[ij];

(e) Mostre que se Aij simtrico e Bij antissimtrico, ento AijBij = 0.

5. Considere um tensor Rijkl em um espao vetorial de dimenso n com as seguintes simetrias:

(i) Rijkl = Rjikl,

(ii) Rijkl = Rijlk,

(iii) Rijkl +Rjkil +Rkijl = 0.

Use as propriedades (i), (ii) e (iii) para mostrar que:

(a) Rijkl = Rklij ,

(b) Mostre que o conjunto dos tensores que satisfazem as propriedades (i), (ii) e (iii) um

espao vetorial de dimenso n2(n21)

12 .

(c) Dado um tensor simtrico Bij , o tensor Aijkl = BikBjlBilBjk tem as mesma simetriasque Rijkl.

(d) Mostre que se n = 2 e Rijkl satisfaz as propriedades (i), (ii) e (iii) ento Rijkl = K(gikgjlgilgjk), K escalar.

(e) Se Rijklxiyjxkyl = 0 para todos os vetores xi, yi, ento Rijkl = 0.

6. (Extra) O espao dual (exerccio escrito pelo Matheus)

Seja V um espao vetorial real de dimenso n. O espao dual a V definido como o espao

vetorial das funes lineares de V em R (funcionais lineares), munido com as operaes usuais.Usualmente, denotado por V .

(a) Seja {e1, . . . , en} uma base de V . Mostre que o conjunto de funcionais lineares {1, . . . , n}tais que j(ei) = ij constitui uma base para V

. Tal base conhecida como base dual.

(b) Como dimV = dimV , tais espaos vetoriais so isomorfos. Entretanto, esse isomorfismo

no natural, isto , depende da escolha de base. Convena-se disso.

(c) Agora, suponha que V possui um produto interno g : V V R. Prove o teorema darepresentao de Riesz: dado f V , existe um nico vf V tal que f(v) = g(vf , v).

(d) Utilize o resultado do item anterior para construir um isomorfismo natural entre V e V .

(e) Sejam : V V o isomorfismo que voc construiu no item anterior e 1 o isomorfismoinverso. Para v V , escreva (v) = v[; se V , escreva () = ]. Como a notaosugere, os isomorfismos e 1 so conhecidos como isomorfismos musicais (se voc

no entendeu isso, tudo bem; voc no precisa entender de msica para ser aprovado

neste curso). Sejam vi e i as componentes de v e nas bases do item a), i.e, v = vieie = ii. Mostre que

(v[)i = gijvj

e

(])i = gijj ,

onde gij = g(ei, ej). O que significam os elementos gij?

7. (Extra) Produto tensorial de espaos vetoriais (exerccio escrito pelo Matheus)

Sejam V e W dois espaos vetoriais reais de dimenso n e m, respectivamente. Suponha que

exista uma transformao bilinear T : V W E, onde E um espao vetorial. Iremoschamar tal transformao de produto tensorial e denot-la por T (v, w) = v w. Se {ei} e{i} so bases de V e W , suponha que os elementos da forma ei j formam uma base paraE. Ento, E um espao vetorial de dimenso mn, chamado de produto tensorial dos espaos

V e W e denotado por E = V W .

(a) Considere transformaes lineares f : V F e g : W H, onde F e H so doisespaos vetoriais reais de dimenso finita. Utilize estas aplicaes para construir uma

transformao linear f g : V W F H. (Dica: Deixe a notao lhe guiar!)

(b) A partir de agora, suponha queW = V e que V possui um produto interno g : V V R. Mostre que V V naturalmente isomorfo ao espao L(V ) das transformaeslineares de V em V .

(c) De modo anlogo ao item b), argumente que o espao V V pode ser identificadonaturalmente com o espao das aplicaes bilineares de V em R. O que pode ser ditosobre V V ?

8. (Extra) Tensores em espaos vetoriais (exerccio escrito pelo Matheus)

Seja V um espao vetorial real de dimenso n e V o seu dual. Um tensor do tipo (r, s) em

V um elemento do espao vetorial

T rs (V ) = V . . . V r

V . . . V s

.

(a) Convena-se de que T rs (V ) naturalmente isomorfo ao espao das aplicaes multilineares

de r cpias de V e s cpias de V em R.

(b) Generalize o item e) da questo 1 para tensores do tipo (r, s).

(c) Utilizando a linguagem desta questo, exiba as operaes entre tensores dadas em aula.

Em particular, mostre como a contrao pode ser definida em termos de aplicaes

entre espaos vetoriais. Por exemplo, se T = T ijk ei ej j , descreva o tensor cujas

componentes so T ijj em termos de uma aplicao de V V V em V . Generalizepara tensores de tipo qualquer.

9. Densidades tensoriais e o tensor de Levi-Civita (exerccio 10 ligeiramente modificado

da lista 2, do curso do Maurcio Richartz)

Vamos agora construir um tensor a partir do smbolo de Levi-Civita.

http://professor.ufabc.edu.br/~mauricio.richartz/relatividade_2017.html

(a) Seja M uma matrix n n ( indica a linha e ( indica a coluna). Mostre que

det(M) = 1...nM1

1 Mnn. Faa a conta explcita para o caso n = 2 e n = 3.

(b) Mostre que 1...n det(M) = 1...nM11 Mnn .

(c) Mostre que o smbolo de Levi-Civita se transforma pela seguinte regra:

1...n = det(J) 1...nx1

x1 x

n

xn,

onde J =(x

x

) a matriz Jaconiana. Assim, a menos do fator det(J), o smbolo

de Levi-Civita se transforma como um tensor. Como o fator det(J) aparece elevado a

potncia 1, dizemos que o smbolo de Levi-Civita uma densidade tensorial de peso 1.

(d) A mtrica g um tensor do tipo (0, 2) e assim se transforma como g = x

xx

xg .

Mostre que seu determinante g = det (g) como g = det(J)2g. Assim, a menos do

fator det(J), o determinante da mtrica se transforma como um escalar. Como o fator

det(J) aparece elevado potncia 2 dizemos que o determinante da mtrica umadensidade escalar de peso 2.

(e) Mostre que, dada uma densidade tensorial de peso w, podemos transform-la em um

tensor simplesmente multiplicando-a por gw/2, se g > 0. Em particular, podemos definir

o tensor de Levi-Civita 1...n a partir do smbolo de Levi-Civita fazendo

1...n =g 1...n .

(f) Como devemos proceder no caso em que g < 0?

10. (Extra) Formas diferenciais e integrao em variedades (exerccio 11 da lista 2, do curso

do Maurcio Richartz)

a) Em um espao plano, sabemos que a rea de um paralelogramo gerado pelos vetores ~A

e ~B dada por | ~A ~B| e que o volume de um paraleleppedo determinado pelos vetores~A, ~B e ~C dado por |( ~A ~B) ~C|. Mostre que podemos escrever | ~A ~B| = |AB |e |( ~A ~B) ~C| = |ABC|, onde o tensor de Levi-Civita definido no exerccioanterior.

b) Seguindo a lgica acima, no espao de Minkowski podemos definir o volume do pa-

raleleppedo gerado pelos quadrivetores A, B , C e D como sendo a quantidade

|ABCD|. Dizemos que esses quadrivetores tem orientao positiva quando valeA

BCD > 0. O volume de uma regio arbitrria obtido somando-se volumes

de paraleleppedos infinitesimais gerados pelos vetores x0e0, x1e1, x2e2, e x3e3,

http://professor.ufabc.edu.br/~mauricio.richartz/relatividade_2017.html

onde {e0, e1, e2, e3} a base coordenada associada ao sistema de coordenadas (t, x, y, z).O volume de cada paraleleppedo infinitesimal portanto

4V = 0123x0x1x2x3 =

1

4!x

xxx(1),

onde o sinal da permutao (i.e. = 0 se uma permutao