LISTA 09 - SEQUÊNCIAS NUM 01
4
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO II Lista 9 1. Escreva o termo geral de cada uma das seguintes seqüências começando com n=1: 1.1. 1, 1 3 , 1 9 , 1 27 ,... 1.2. 1, − 1 3 , 1 9 , − 1 27 ,... 1.3. 1 2 , 3 4 , 5 6 , 7 8 ,... 1.4. 1 π , 4 π 3 , 9 π 4 , 16 π 5 ,... 1.5. 0, 1 2 2 , 2 3 2 , 3 4 2 ,... 1.6. −1, 2, −3,4, −5,... 1.7. 1 3 5 , − 1 3 6 , 1 3 7 , − 1 3 8 ,... 1.8. 1 − 1 2 , 1 2 − 1 3 , 1 3 − 1 4 , 1 4 − 1 5 ,... 2. Esboce o gráfico das sequências começando com n=1 e analise o que ocorre, descrevendo seu comportamento a medida que n aumenta: 2.1. f (n) = 1 n 2.2. f (n) = 1 se n for ímpar 2 n + 2 se n for par 2.3. n n + 2 2.4. n 2 2n + 1 2.5. 2 {} 2.6. ln 1 n 2.7. ln n n 2.8. n sen π n 2.9. 1 + −1 ( ) n { } 2.10. −1 ( ) n +1 n 2 3. Escreva os cinco primeiros termos da seqüência, começando com n=1, determine se ela converge e se isso acontecer, ache o limite. 3.1. n n + 2 3.2. n 2 2n + 1 3.3. 2 {} 3.4. ln 1 n 3.5. ln n n 3.6. n sen π n 3.7. 1 + −1 ( ) n { } 3.8. −1 ( ) n +1 n 2 3.9. −1 ( ) n 2n 3 n 3 + 1 3.10. n 2 n 3.11. (n + 1)(n + 2) 2n 2 3.12. π n 4 n 3.13. cos 3 n 3.14. cos π n 2 3.15. n 2 e −n { } 3.16. n 2 + 3n − n { } 3.17. n + 3 n + 1 n 3.18. 1 − 2 n n 3.19. n 3 n +1 3.20. 1 + 1 3n n 4. Use a definição para provar que a seqüência abaixo tem limite L, dado. 4.1. 3 2n − 1 ; L = 0 4.2. 8n 2n + 3 ; L = 4 5. Mostre que as seqüências n 2 n − 3 e n 2 n + 4 divergem; porém, a seqüência n 2 n − 3 − n 2 n + 4 é convergente. 6. A Seqüência cujos termos são 1,1,2,3,5,8,13,21,... é chamada de seqüência de Fibonacci em homenagem a Leonardo “Fibonacci” de Pisa ( 1170-1250). Esta seqüência tem a propriedade de, após começar com dois “1”, cada termo é a soma dos dois precedentes. 6.1. Denotando a seqüência por {a n } e começando por a 1 =1 e a 2 =1, mostre que: a n + 2 a n +1 = 1 + a n a n +1 se n ≥ 1 6.2. Mostrar que se a seqüência a n +1 a n { } converge para algum limite L, então a seqüência a n + 2 a n +1 { } deve convergir para o mesmo limite L, calculando o valor de L.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO II
Lista 9 1. Escreva o termo geral de cada uma das seguintes seqüências começando com n=1:
1.1.
€
1, 13, 19, 127,... 1.2.
€
1,− 13,19 ,−
127,... 1.3.
€
12,34 ,56 ,78 ,... 1.4.
€
1π, 4π3, 9π4, 16π5,...
1.5.
€
0, 122, 232, 342,... 1.6.
€
−1,2,−3,4,−5,... 1.7.
€
135,− 136, 137,− 138,... 1.8.
€
1− 12
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ,12−13
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ,13−14
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ,14−15
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ,...
2. Esboce o gráfico das sequências começando com n=1 e analise o que ocorre, descrevendo seu comportamento a medida que n
aumenta:
2.1.
€
f (n) =1n
2.2.
€
f (n) =1 se n for ímpar
2n + 2
se n for par
⎧
⎨ ⎪
⎩ ⎪ 2.3.
€
nn + 2
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
2.4.
€
n2
2n +1
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
2.5.
€
2{ } 2.6.
€
ln 1n⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
2.7.
€
ln nn
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
2.8.
€
n sen πn
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
2.9.
€
1+ −1( )n{ } 2.10.
€
−1( )n+1
n2⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪
3. Escreva os cinco primeiros termos da seqüência, começando com n=1, determine se ela converge e se isso acontecer, ache o limite.
3.1.
€
nn + 2
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
3.2.
€
n2
2n +1
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
3.3.
€
2{ } 3.4.
€
ln 1n⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
3.5.
€
ln nn
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
3.6.
€
n sen πn
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
3.7.
€
1+ −1( )n{ } 3.8.
€
−1( )n+1
n2⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪
3.9.
€
−1( )n 2n3
n3 +1
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
3.10.
€
n2n
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
3.11.
€
(n +1)(n + 2)2n2
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
3.12.
€
π n
4n⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
3.13.
€
cos 3n
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
3.14.
€
cos π n2
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
3.15.
€
n2e−n{ } 3.16.
€
n2 + 3n − n{ }
3.17.
€
n + 3n +1⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ n⎧
⎨ ⎪
⎩ ⎪
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪ 3.18.
€
1− 2n
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ n⎧
⎨ ⎪
⎩ ⎪
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪ 3.19.
€
n3n+1
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
3.20.
€
1+13n
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ n⎧
⎨ ⎪
⎩ ⎪
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪
4. Use a definição para provar que a seqüência abaixo tem limite L, dado.
4.1.
€
32n −1
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭ ;L = 0
4.2.
€
8n2n + 3
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭ ;L = 4
5. Mostre que as seqüências
€
n2
n − 3
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
e
€
n2
n + 4
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
divergem; porém, a seqüência
€
n2
n − 3−
n2
n + 4
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
é convergente.
6. A Seqüência cujos termos são 1,1,2,3,5,8,13,21,... é chamada de seqüência de Fibonacci em homenagem a Leonardo “Fibonacci” de
Pisa ( 1170-1250). Esta seqüência tem a propriedade de, após começar com dois “1”, cada termo é a soma dos dois precedentes. 6.1. Denotando a seqüência por {an} e começando por a1=1 e a2=1, mostre que:
€
an+2an+1
= 1+anan+1
se n ≥ 1
6.2. Mostrar que se a seqüência
€
an+1 an{ } converge para algum limite L, então a seqüência
€
an+2 an+1{ } deve convergir para o mesmo limite L, calculando o valor de L.
7. Começando por n=1, escreva os seis primeiros termos da sequência
€
an{ } , sendo e
€
an =1, se n for ímparn, se n for par⎧ ⎨ ⎩
.
8. Começando por n=1, considerando-se separadamente os termos pares e ímpares, ache a fórmula para o termo geral da sequência:
€
1, 122,3, 124,5, 126,...
9. Começando por n=1, considerando-se separadamente os termos pares e ímpares, ache a fórmula para o termo geral da sequência:
€
1, 13, 13, 15, 15, 17, 17, 19, 19,...
10. Determine, para os exercícios 7, 8 e 9, se as sequências convergem. Em caso afirmativo, calcule o limite.
11. Utilize o teorema do confronto para analisar a convergência da seqüência:
€
sen2nn
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
RESULTADOS LISTA 09 1.
1.1.
€
13n−1
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
1.2.
€
(−1)n−1
3n−1⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
1.3.
€
2n −12n
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
1.4.
€
n2
π1/(n+1)
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
1.5.
€
n −1n2
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
1.6.
€
(−1)n−1n{ } 1.7.
€
(−1)n+1
3n+4
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
1.8.
€
1n−
1n +1
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
2.
2.1.
€
f (n) =1n, n = 1,2,3,
2.2.
€
f (n) =1 se n for ímpar
2n + 2
se n for par
⎧
⎨ ⎪
⎩ ⎪
2.3.
€
nn + 2
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
2.4.
€
n2
2n +1
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
2.5.
€
2{ }
2.6.
€
ln 1n⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
2.7.
€
ln nn
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
2.8.
€
n sen πn
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
2.9.
€
1+ −1( )n{ }
2.10.
€
−1( )n+1
n2⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪
3.
3.1.
€
13
, 24
, 35
, 46
, 57
,...; limn→+∞
nn + 2
= 1⇒ converge 3.2.
€
13
, 45
, 97
,169
, 2511
,...; limn→+∞
n2
2n +1= +∞⇒ diverge
3.3.
€
2,2,2,2,2,...; limn→+∞
2 = 2⇒ converge 3.4.
€
ln1, ln 12
, ln 13
, ln 14
, ln 15
,...; limn→+∞
ln 1n⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ = −∞⇒ diverge
3.5.
€
ln1, ln 22
, ln 33
, ln 44
, ln 55
,...; limn→+∞
lnnn
= 0⇒ converge
3.6.
€
sen π ,2sen π2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ,3sen π
3⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ,4sen π
4⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ,5sen π
5⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ,...; lim
n→+∞n sen π
n= π ⇒ converge
3.7.
€
0,2,0,2,0,...; diverge 3.8.
€
1,− 14
, 19
,− 116
, 125
,...; limn→+∞
−1( )n+1
n2 = 0⇒ converge
3.9.
€
−1,169
,− 5428
,12865
,− 250126
,...; n par limn→+∞
−1( )n 2n3
n3 +1= 2;n ímpar lim
n→+∞−1( )n 2n3
n3 +1= −2⇒ diverge
3.10.
€
12
, 24
, 38
, 416
, 532
,...; limn→+∞
n2n
= 0⇒ converge 3.11.
€
62
,128
, 2018
, 3032
, 4250
,...; limn→+∞
(n +1)(n + 2)2n2 =
12⇒ converge
3.12.
€
π4
, π2
42 , π3
43 , π4
44 , π5
45 ,...; limn→+∞
π4
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ n
= 0⇒ converge
3.13.
€
cos 3( ),cos 32⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ ,cos 1( ),cos 3
4⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ ,cos 3
5⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ ,...; lim
n→+∞cos 3
n⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ = 1⇒ converge
3.14.
€
0,−1,0,1,0,...; diverge 3.15.
€
e−1,4e−2,9e−3,16e−4 ,25e−5,...; limn→+∞
n2e−n = 0⇒ converge
3.16.
€
1, 10 − 2, 18 − 3, 28 − 4, 40 − 5,...; limn→+∞
n2 + 3n − n =32⇒ converge
3.17.
€
2, 53⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
2
, 64⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
3
, 75⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
4
, 56⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
5
,...; n + 3n +1⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ n⎧
⎨ ⎪
⎩ ⎪
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪ limn→+∞
n + 3n +1⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ n
= e2 ⇒ converge
3.18.
€
−1,0, 13⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
3
, 24⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
4
, 35⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
5
,...; limn→+∞
1− 2n
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ n
= e−2 ⇒ converge
3.19.
€
132 , 2
33 , 334 , 4
35 , 536 ,...; lim
n→+∞
n3n+1 = 0⇒ converge 3.20.
€
43⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ ,
76⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
2
, 109
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
3
, 1312⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
4
, 1615⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
5
,...; limn→+∞
1+13n
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ n
= e1/ 3 ⇒ converge
4. 5. 6. 6.1. 6.2.
€
1+ 5( ) / 2 7.
€
1,2,1,4,1,6,...
8.
€
an =n, se n for ímpar12n
, se n for par
⎧
⎨ ⎪
⎩ ⎪
9.
€
an =
1n
, se n for ímpar
1n +1
, se n for par
⎧
⎨ ⎪
⎩ ⎪ ⎪
10. 7) Diverge; 8)Diverge; 9) Converge 11.
