Relativistička kvantna mehanika

zadaci sa prošlih rokova, emineter.wordpress.com

Pismeni ispit, 8. jul 2016.

1. Pokazati da generatori Lorencove grupe Sµν = i4[γµ, γν ] zadovoljavaju

Lorencovu algebru:

[Sµν , Sρσ] = i(gνρSµσ − gµρSνσ + gµσSνρ − gνσSµρ). (50%- kolokvijum)

2. Naći jednačinu koja određuje energijske nivoe čestice mase m, spina 0 inaelektrisanja e, koja se nalazi u s-stanju sfernosimetričnog potencijala:

eA0 =

{0 za r < aU za r > a.

U oblasti r > a čestica je u vezanom stanju. (50% - kolokvijum)

3. Ispitati kako se veličina ψ(x)Sµν∂µψ(x) menja pri Lorencovim transforma-cijama, vremenskoj inverziji i konjugaciji naboja. Ovde je Sµν = i

4[γµ, γν ].

(35 % - ispit)

4. Komptonovo rasejanje je proces e−γ → e−γ. Napisati amplitudu prelazaiM za ovaj proces u najnižem redu teorije perturbacije, a zatim pokazati daova amplituda zadovoljava Vordov identitet kµMµ = 0 koji kaže da ako uamplitudi prelaza polarizacije fotona εα(k) i ε∗′β(k′) zamenimo sa odgovara-jućim impulsima fotona kα i k′β, dobijamo izraz koji je jednak 0. (65% - ispit)

Pismeni ispit, 11. februar 2016.

1. Čestica mase m, naelektrisanja e i spina 0 nailazi na barijeru:

eA0 =

{−V za x ∈ (0, a)0 za x /∈ (0, a).

1

Naći koeficijent transmisije. Odrediti energije na kojim je barijera transpar-entna, odnosno koeficijent transmisije jednak 1.

2. Razmotrite "modifikovanu Dirakovu jednačinu" (γµ∂µ + γ5m)ψ(x) = 0i pokažite da je ona ekvivalentna sa standardnom Dirakovom jednačinom(iγµ∂µ −m)Ψ(x) = 0.Pomoć: Neka je ψ(x) = eiαγ5Ψ(x), gde je α realan parametar, i pokažiteda se α može izabrati tako da ukoliko ψ zadovoljava modifikovanu Dirakovujednačinu, onda je Ψ rešenje obične Dirakove jednačine.

3. Talasna funkcija relativističkog elektrona u sistemu S je:

ψ(x) =

√Ep +m

2m(1 0

p

Ep +m0)T e−i(Et−pz).

Naći talasnu funkciju antičestice ψc, talasnu funkciju na koju deluje CPTtransformacija, kao i talasnu funkciju koju vidi posmatrač zarotiran za ugaoα oko y-ose.

4. Naći diferencijalni presek za rasejanje elektrona e− na antimionu µ+:

e− + µ+ → e− + µ+,

u sistemu centra mase. Inicijalne i finalne polarizacije se ne mere.

Kolokvijum, 23. decembar 2015.

1. Napisati Dirakovu jednačinu u spoljašnjem elektromagnetnom polju. Pokazatida se iz te jednačine može dobiti sledeći oblik jednačine:(

(∂µ − ieAµ)(∂µ − ieAµ) +m2 + σµνTµν

)ψ = 0,

gde je Tµν tenzorska funkcija koja zavisi od Aµ. Ako je Aµ = 0 rešiti ovujednačinu.

2. Napisati Dirakovu jednačinu u sfernim koordinatama, odnosno u obliku:[i(γt∂t + γr∂r + γθ

1

r∂θ + γφ

1

r sin θ∂φ

)−m

]ψ(t, r, φ, θ) = 0.

2

Potom izračunati komutatore {γµ, γν}, gde su µ, ν = t, r, φ, θ.

Pismeni ispit, 12. februar 2015.

1. Jednačina kretanja masenog vektorskog polja sa članom koji fiksira kali-braciju je (�+m2)Aµ + (1−λ)∂µ∂νAν = 0. Odrediti Grinovu funkciju ovogpolja u impulsnom prostoru.

2. Elektron se rasejava u spoljašnjem polju Aµ = (0, ae−k2~x2 , 0, 0), gde su

a i k konstante. Izračunati kvadrat modula amplitude za rasejanje {|Sfi|2},usrednjen po spinskim stanjima inicijalnog elektrona i sumiran po spinskimstanjima finalnog elektrona u procesu. Uzeti da se pre rasejanja elektronkreće duž z-ose impulsom ~pi, a nakon rasejanja impulsom ~pf u xz-ravni.

Pismeni ispit, 22. januar 2015.

1. Talasna funkcija relativističkog elektrona u sistemu S je:

φ(x) = Np(1, 0,p

Ep +m, 0)T e−i(E−pt).

Naći talasnu funkciju koja se dobije nakon delovanja R(αey) CPT transfor-macija. Ovde su T vremenska inverzija, P prostorna inverzija, C konjugacijanaboja i R(αey) rotacija za ugao α oko y-ose.

2. Naći totalni presek za rasejanje e+e− → τ+τ− u sistemu centra mase.Taon je čestica slična elektronu s tim da mu je masa mτ = 3477, 5me.

Kolokvijum, 10. decembar 2014.

1. Jednodimenzionalna Klajn-Gordonova jednačina mase m, energije E inaelektrisanja q nailazi na potencijalnu barijeru:

qA0 =

{0 za x < 0U0 za x > 0.

Ovde je U0 > 0 i važi da je E > m+ U0. Naći koeficijent transmisije.

2. Napisati Dirakovu jednačinu u sfernim koordinatama, tj. u obliku:[i(γt∂t + γr∂r + γφ

1

r sin θ∂φ + γθ

1

r∂θ

)−m

]ψ(t, r, φ, θ) = 0.

3

Izračunati antikomutatore {γµ, γν}, gde je µ = ν = t, r, φ, θ.

Kolokvijum, 12. decembar 2013.

1. Jednodimenzionalna Klajn-Gordonova jednačina mase m, energije E inaelektrisanja q nailazi na potencijalnu barijeru:

qA0 =

{0 za x < 0U0 za x > 0.

Ovde je U0 > 0 i važi da je E > m+ U0. Naći koeficijent transmisije.

2. U ovom zadatku razmotrićemo sistem koji se zove Dirakov oscilator. Takavsistem je prvi put eksperimentalno realizovan ove godine.(http://link.aps.org/dou/10.1103/PhysRevLett.111.170405)

a) Krenite od Dirakove jednačine koja opisuje česticu mase m i naelek-trisanja e u spoljašnjem elektromagnetnom polju koje ima oblik (0, ~A), apotom je napišite u formi i ∂

∂tψ = Hψ. Hamiltonijan H napišite preko ma-

trica αi = γ0γi i β = γ0.b) Pokazati da je αiαjxipj = ~r~p + i~Σ~L. Ako ne možete ovo da dokažete,pređite na deo pod c). Mala pomoć za one koji dokazuju [αi, αj] = 2iεijkΣk.c) Neka je ~A = im

cω~r, gde je ω konstanta. Pokažite da se H2 može napisati

u formi:H2 = p2 +m2 + Ar2 + (B~S~L+ C)mωβ,

gde su A, B i C konstante koje treba odrediti. Ovde je ~S = 12~Σ spin i

~L = ~r × ~p moment impulsa.

4