Mehanika fluida - handot za auditorne...

1 Nevrtlo�na (poten ijalna) struja�afluida1.1 Znaqaj poten ijalne teorijeOsnove poten ijalne teorije su postavene pre oko 250 godina zahvauju�i velikim imenima svet-ske nauke kao xto su Ojler (Euler), Bernuli (Bernoulli), Dalamber (D′Alambert), Lagran� (Lagrange),Stoks (Stokes), Helmhol (Helmholtz), Kirhof (Kirchoff) i Kelvin (Kelvin). Prvo se ova teorija koris-tila za objax�ava�e i predviÆa�e fenomena u drugim nauqnim dis iplinama, kao xto su provoÆe�etoplote, teorija elastiqnosti i elektromagnetizam, i pri tome je dala veoma dobre rezultate. PoxtoizmeÆu pojedinih prirodnih fenomena postoje analogije (opisuju se istim tipovima jednaqina), doxlose na ideju da se ova teorija primeni i za struja�e fluida. Pri tim prouqava�ima viskoznost fluidaje zanemarena (struja�a neviskoznog fluida). Uz tu pretpostavku doxlo se do jednog kontradiktornogzakuqka - na telo koje se kre�e kroz fluid ne deluje nikakva sila otpora. Naravno, ovakav zakuqakse kosio sa realnox�u. Istovremeno, taqnije polovinom XIX veka, razvijala se i teorija viskoznogfluida kada su formulisane quvene Navije-Stoksove (Navier − Stokes) jednaqine koje opisuju stru-ja�a viskoznog fluida. Radi se o par ijalnim, nelinearnim diferen ijalnim jednaqinama drugogreda koje se mogu rexiti samo u nekim spe ijalnim sluqajevima, zanemariva�em pojedinih qlanova(o tome �e biti vixe reqi kasnije). Prva taqna rexe�a Navije-Stoksovih jednaqina su odreÆenaza sluqajeve veoma sporih struja�a - iz rexe�a ovih jednaqina se moglo zakuqiti da je struja�eizrazito vrtlo�no, i primena poten ijalne teorije je dovedena u pita�e. Pojavio se problem: sjedne strane je bila poten ijalna teorija, qiji je matematiqki aparat omogu�avao rexava�e raznihproblema, ali na jednom va�nom problemu (kreta�e tela kroz fluid) je davala razoqaravaju�e rezul-tate; s druge strane su bile jednaqine koje je bilo mogu�e rexiti samo u par sluqajeva. Nemaqkinauqnik Ludvig Prantl (Ludwig Prandtl) 1905. godine objavuje svoju quvenu teoriju graniqnog sloja(Boundary Layer Theory) koja povezuje teoriju viskoznog fluida i poten ijalnu teoriju. U slede�imredovima se u par reqeni a daje suxtina te genijalne teorije.Pri optrujava�u tela neviskoznim fluidom, na samoj konturi fluid ima brzinu razliqitu odnule, koja je uvek prav a tangente u toj taqki konture (Slika 1.1a). Sa druge strane, realan fluid,qija je viskoznost razliqita od nule, mora da zadovoi uslov da je brzina u svim taqkama konturejednaka nuli. Imaju�i to u vidu, Prantl je eksperimentalno je pokazao da se efekti viskoznostiose�aju u tankom sloju neposredno uz konturu tela (graniqni sloj), u sluqaju da je viskoznost fluidarelativno mala veliqina (eksperimenti su vrxeni na instala iji sa vodom). Pored ovog uslova,mora biti i zadovoeno da Rejnoldsov broj, Re = U L/ν, mnogo ve�i od jedini e, Re ≫ 1 (ovde je Ukarakteristiqna brzina za dato struja�e, a L karakteristiqna du�ina). Debina graniqnog slojate�i nuli kada Re → ∞. U ovom sluqaju strujni prostor se mo�e podeliti na sloj neposrednouz konturu tela u kome su viskozne sile istog reda veliqine kao i iner ijalne sile, i oblast vangraniqnog sloja, gde je struja�e nevrtlo�no i neviskozno.

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 2��

��PSfrag repla emen U∞(x)Graniqni sloj

��

��PSfrag repla emen Graniqni sloj

~ω 6= 0

(a) (b)Slika 1.1: PoreÆe�e nevrtlo�nog i struja�a pri velikim vrednostima Rejnoldsovog broja: (a) stru-ja�e idealnog fluida, ν = 0; (b) struja�e pri velikim vrednostima Re broja.Struja�e izvan graniqnog sloja (spoax�e struja�e) se mo�e prouqavati prime�uju�i teorijupoten ijalnih struja�a, zanemaruju�i postoja�e graniqnog sloja. Rezultati dobijeni na taj naqin(npr. poe pritiska i brzine oko graniqnog sloja) omogu�avaju da se jednaqine za struja�e u graniq-nom sloju mogu rexiti - poznata je zakonitost promene pritiska na samoj konturi tela, kao i dodatnigraniqni uslov za brzinu, a to je obi no da je izvan graniqnog sloja u = U∞ (x). MeÆutim, i teorijagraniqnog sloja se ne mo�e prime�ivati u svim sluqajevima opstrujava�a nekog tela. Naime, ako jeto telo neaerodinamiqnog oblika (kao xto je npr. kru�ni ilindar, sl. 1.2) dolazi do fenomenaodvaja�a graniqnog sloja od konture tela, iza tela se stvaraju vrlozi, i viskoznost vixe nema uti ajsamo u tankom sloju uz konturu tela, ve� u znatno ve�em delu strujnog prostora. Poten ijalna teorijau ovim sluqajevima se mo�e eventualno koristiti samo do taqke odvaja�a.��

��

��

��Slika 1.2: Primeri odvaja�a graniqnog sloja. Uzvodno od taqke odvaja�a, poten ijalna teorija dajezadovoavaju�e rezultateMo�e se na kraju ovog uvoda re�i, da poten ijalna teorija ne zauzima entralno mesto u modernojmehani i fluida, kao xto je to bio sluqaj pre jednog veka. Ipak, ona daje izvanredne rezultatena nekim poima tehnike, posebno u aerodinami i. Npr. poe pritiska oko aeroprofila mo�ese odrediti sa velikom taqnosqu na osnovu poten ijalne teorije. Quvena teorema Kuta-�ukovskog(Kutta − Zhukhovsky) o sili uzgona aeroprofila dobijena korix�e�em poten ijalne teorije, se odliqnoslaze sa eksperimentalnim rezultatima. Prantlova teorija se koristi u i danax�oj modernoj mehani ifluida.

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 31.2 Strujna funk ija i poten ijal brzinePosmatrajmo dvodimenzijsko struja�e nestixivog fluida (ρ = const.). Jednaqina kontinuiteta utom sluqaju:∂vx

∂x+∂vy

∂y= 0 (1.1)obezbeÆuje postaja�e skalarne funk ije ψ (x, y) iz koje se komponente brzine vx i vy odreÆuju naslede�i naqin:

vx ≡ ∂ψ

∂yvy ≡ −∂ψ

∂x(1.2)Skalarna funk ija ψ (x, y) se naziva strujna funk ija i ona identiqki zadovoava jednaqinu (1.1).S druge strane uslov da je vrlo�nost 2 ~ω = ∇×~v jednaka nuli u sluqaju dvodimenzijskih struja�ase svodi na jednaqinu:

∂vy

∂x− ∂vx

∂y= 0 (1.3)Iz teorije poa je dobro poznato da ako je rotor nekog vektorskog poa jednak nuli, da je takvovektorsko poe mogu�e izraziti kao gradijent neke skalarne funk ije, jer je jednostavno rot(gradA) =

0 za svako skalarno poe A. Dakle, obezbeÆeno je postoja�e jox jedne skalarne funk ije, ϕ (x, y) kojase naziva poten ijal brzine i koja je povezan sa komponentama brzine na slede�i naqin:~v = gradϕ =

∂ϕ

∂x~i+

∂ϕ

∂y~j ≡ vx

~i+ vy~j =⇒ vx ≡ ∂ϕ

∂xvy ≡ ∂ϕ

∂y(1.4)Kako se u sluqaju nevrtlo�nih struja�a mora postojati poten ijal brzine, takva struja�a se qestoi nazivaju poten ijalna struja�a. Jednaqine (1.1) i (1.2) pokazuju da izvod strujne funk ije dajekomponentu brzine rotiranu za 90◦ u smeru kazaki na satu u odnosu na prava diferen ira�a, dokizvod poten ijala brzine daje komponentu brzine u prav u diferen ira�a. Porede�i jednaqine (1.1)i (1.2) dobija se

∂ϕ

∂x=∂ψ

∂y Koxi-Rimanovi uslovi∂ϕ

∂y= −∂ψ

∂x

(1.5)iz kojih se mo�e odrediti jedna od funk ija ako je ona druga poznata. Ekvipoten ijalne linije(ϕ = const) i strujni e (ψ = const) su ortogonalne, sto neposredno sledi iz jednaqine (1.3)∇ϕ · ∇ψ =

∂ϕ

∂x

∂ψ

∂x+∂ϕ

∂y

∂ψ

∂y= 0Vrlo lako (unakrsnim diferen ira�em Koxi-Rimanovih uslova - prva jednaqina se diferen irapo x a druga po y i obrnuto) se mo�e do�i do jedne va�ne osobine strujna funk ije i poten ijalabrzine - te dve funk ije zadovoavaju Laplasovu jednaqinu:

∇2ϕ ≡ ∆ϕ =∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂y2= 0 (1.6)

∇2ϕ ≡ ∆ψ =∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2= 0 (1.7)Funk ija koja zadovoava Laplasovu jednaqinu se naziva harmonijska funk ija. Laplasova jed-naqina je par ijalna diferen ijalna jednaqina drugog reda, eliptiqkog tipa. Naravno, uz svaku

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 4��

��

PSfrag repla emen U∞

~n

~t

~v ≡ v~t

xSlika 1.3: Graniqni uslovi pri opstrujava�u tela neviskoznim fluidomdiferen ijalnu jednaqinu se moraju definisati graniqni uslovi koji �e iz familije �enih rexe�aizdvojiti ono koje odgovara rexe�u problema koji se prouqava.Pri nevrlo�nom struja�u fluida se definixu slede�i graniqni uslovi:(1) Uslovi na konturi tela - Komponenta brzine struja�a normalna na konturu tela je jednakanuli, qime se obezbeÆuje da fluid ne prodire unutar konture tela. Taj graniqni uslov prilikomopstrujava�a tela koje miruje se mo�e iskazati jednaqinom:Na konturi :∂ϕ

∂n= 0 ili ∂ψ

∂s= 0 (1.8)gde su s i n prav i tangente i normale konture tela.(2) Uslovi u "beskonaqnosti" - za tipiqan primer tela koje se opstrujava uniformnom strujomu prav u x ose brzinom U∞, taj uslov se svodi

∂ϕ

∂x= U∞ ili ∂ψ

∂y= U∞ (1.9)Rexava�e jednaqina (1.6), tj. (1.7) uz graniqne uslove definisane jednaqinama (1.8) i (1.9)nije jednostavno. Istorijski posmatrano, teorija poten ijalnih struja�a se razvijala nala�e�emfunk ija koje zadovoavaju Laplasovu jednaqinu, i potom odreÆiva�a mogu�ih graniqnih uslova kojeta funk ija zadovoava. Kako je Laplasova jednaqina linearna, sabira�e (superpozi ija) poznatihharmonijskih funk ija daje novu harmonijsku funk iju koja zadovoava neke nove graniqne uslove.Na taj naqin je otkriven veliki broj razliqitih rexe�a kojima se mogu simulirati razni prob-lemi struja�a fluida. U daem izlaga�u �e biti prihva�en ovaj pristup prouqava�u poten ijalnihstruja�a.Ako je poznato rexe�e Laplasove jednaqine, odreÆiva�em izvoda ϕ ili ψ je jednoznaqno odreÆeni vektor brzine. Konaqno, raspodela pritiska je odreÆena Bernulijevom jednaqinom, koja u sluqajunevrtlo�nog struja�a neviskoznog fluida glasi:

p+1

2ρ v2 = const. (1.10)gde je v intenzitet brzine (v =

√vx

2 + vy2). Bernulijeva jednaqina u ovom sluqaju (nevtrlo�nostruja�e neviskoznog fluida) va�i za bilo koje taqke u strujnom pou.U slede�im redovima daju se najva�nije formule koje se koriste pri rexava�u problema iz dvodi-menzijskih poten ijalnih struja�a nestixivog fluida koje predstavaju kratak , kao i kompleksnipoten ijali osnovnih struja�a.

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 51.3 REPETITORIJUM - dvodimenzijska poten ijalna stru-ja�a nestixivog fluidaPosmatraju se ravanska (vz = 0, ∂∂z

= 0), sta ionarna (∂(... )∂t

= 0), nevrtlo�na (rot~v = 0) struja�anestixivog fluida (ρ = const).• Jednaqina kontinuiteta:

∂vx

∂x+∂vy

∂y= 0 (1.11)Strujna funk ija ψ (x, y) se definixe na slede�i naqin:

vx ≡ ∂ψ

∂yvy ≡ −∂ψ

∂x(1.12)qime je jednaqina kontinuiteta identiqki zadovoena. Linije ψ(x, y) = C se nazivaju struj-ni e. Kada je C = 0, tj. ψ(x, y) = 0 u pita�u je nulta strujni a.

• Struja�e je nevtrlo�no - 2 ~ω = rot~v ≡ ∇×~v = 0. Za dvodimenzijsko struja�e ovaj uslov se svodina:∂vy

∂x− ∂vx

∂y= 0 (1.13)Ovaj uslov omogu�ava da se vektor brzine izrazi kao gradijent skalarnog poa ϕ = ϕ(x, y).Funk ija ϕ se naziva poten ijal brzine

~v = gradϕ =⇒ vx ≡ ∂ϕ

∂xvy ≡ ∂ϕ

∂y(1.14)Linije ϕ(x, y) = C se nazivaju ekvipoten ijalne linije.Iz prethodnih jednaqina se mogu izvu�i va�ni zakuq i:Izvod strujne funk ije daje komponentu brzine roti-ranu za 90◦ u smeru kazaki na satu u odnosu na prava diferen ira�a, dok izvod poten ijala brzine daje kom-ponentu brzine u prav u diferen ira�a.

∂ϕ

∂x=∂ψ

∂y

∂ϕ

∂y= −∂ψ

∂x

Koxi - Rimanovi uslovi (1.15)∂vx

∂x= −∂vy

∂y

∂vx

∂y=∂vy

∂x

(1.16)

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 6Ekvipoten ijalne linije i strujni e su familije uzajamno ortogonalne linije:gradϕ · gradψ =

∂ϕ

∂x

∂ψ

∂x+∂ϕ

∂y

∂ψ

∂y= −vx vy + vy vx = 0Strujni e i ekvipoten ijalne linije su ortogonalnelinije.

ψ = C1

ψ = C2

ψ = C3

ϕ = const.

Ako je poznata jedna funk ija, npr. ϕ(x, y) ili vy(x, y), iz jednaqina (5), odnosno (6) se mo�eodrediti druga, nepoznata funk ija, ψ(x, y), odnosno vx(x, y), i obrnuto.Diferen ira�em jednaqina (2) i (4) po x i y uz (1) i (3) dobija se jox jedna va�na osobina strujnefunk ije i poten ijala brzine:ψ(x, y)iϕ(x, y) su harmonijske funk ije

∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂y2= 0

∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2= 0

(1.17)Dakle, strujna funk ija i poten ijal brzine zadovoavaju Laplasovu jednaqinu, tj. ∆ϕ = 0 i

∆ψ = 0, gde je ∆ = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 Laplasov operator. Funk ija koja zadovoava Laplasovu jednaqinu senaziva harmonijska funk ija.Za rexava�e nekih problema je pogodnije korix�e�e polarnih koordinata r i θ umesto Dekartovihx i y. U slede�im redovima se daju prethodne jednaqine u polarnim koordinatama:

1

r

∂

∂r(r vr) +

1

r

∂vθ

∂θ= 0 (jednaqina kontinuiteta) (1.18)

1

r

∂

∂r(r vθ) −

1

r

∂vr

∂θ= 0 (nevrtlo�no struja�e) (1.19)

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 7r =

√

x2 + y2

θ = arctg(y

x

)

PSfrag repla emen y

x

θ

r

vθvr

Slika 1.4: Polarne koordinate i komponente brzine u polarnim koordinatamaProjek ija brzine vr:vr =

∂ϕ

∂r=

1

r

∂ψ

∂θ(1.20)Projek ija brzine vθ:

vθ =1

r

∂ϕ

∂θ= −∂ψ

∂r(1.21)Laplasijan poten ijala brzine ϕ u polarnim koordinatama:

∇2ϕ =1

r

∂

∂r

(

r∂ϕ

∂r

)

+1

r2∂2ϕ

∂θ2= 0 (1.22)Laplasijan strujne funk ije ψ u polarnim koordinatama:

∇2ψ =1

r

∂

∂r

(

r∂ψ

∂r

)

+1

r2∂2ψ

∂θ2= 0 (1.23)Koxi-Rimanovi uslovi u polarnim koordinatama (jednaqine (10) i (11)):

∂ϕ

∂r=

1

r

∂ψ

∂θ

1

r

∂ϕ

∂θ= −∂ψ

∂r

Koxi - Rimanovi uslovi (1.24)Veza izmeÆu projek ija brzine vr i vθ (direktno sledi iz jednaqina (8) i (9)):∂

∂r(r vr) = −∂vθ

∂θ

∂vr

∂θ=

∂

∂r(r vθ)

(1.25)Mo�e se pokazati da ako je zadovoena jednaqina (5), onda ϕ(x, y) i ψ(x, y) predstavaju realnii imaginarni deo komleksne analitiqke funk ije koja se oznaqava sa w(z) i naziva se kompleksnipoten ijal.

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 8w(z) = ϕ(x, y) + i ψ(x, y) = ϕ(r, θ) + i ψ(r, θ) (1.26)gde je z = x+ i y = r eiθ kompleksni broj (kompleksna prome�iva).Va�na osobina kompleksnih analitiqkih funk ija je da �ihov izvod ne zavisi od prav a di-feren ira�a - izvod komplesnog poten ijala po kompleksnoj prome�ivoj z je jednoznaqno odreÆenakompleksna funk ija v̄(z) i ona predstava kompleksnu brzinuv̄(z) =

dw(z)

dz≡ vx − i vy ≡ (vr − i vθ) e

−iθ (1.27)Kompleksna brzina je takoÆe analitiqka kompleksna funk ija qiji su realni i imaginarni delovi:Re [v̄(z)] = vx(x, y) i Im [v̄(z)] = −vy(x, y). Lako se mo�e proveriti da se Koxi-Rimanovi uslovi zakomleksnu brzinu svode na jednaqinu (6). Taqke u kojima je brzina struja�a jednaka nuli, vx = vy = 0se nazivaju zaustavnim taqkama.

• Protok kroz konturu ograniqenu taqkama A i V se mo�e izraqunati korix�e�em obras a:V̇ =

∫

A

~v · ~ndA =

B∫

A

~v · ~n dl · 1︸︷︷︸

dAPSfrag repla emen yx

B

A

d~l

~n

~v

dA

A

z = 1

Slika 1.5: Proizvona kontura ograniqena taqkama A i V.Lako se mo�e pokazati, primenom Grinove formule u ravni, da se prethodni izraz svodi na:V̇AB = ψB − ψA (1.28)Dakle, protok kroz neku konturu koja je ograniqena taqakama A i V i koja je jediniqne visine semo�e lako izraqunati kao razlika vrednosti strujne funk ije u kraj�oj i poqetnoj taqki konture.Ako je kontura zatvorena protok kroz konturu jednak nuli (taqka A se poklapa sa taqkom V), osimu sluqaju kada se unutar konture nalaze singulariteti tipa izvora i ponora - tada je protok krozkonturu jednak sumi izdaxnosti izvora (ponora) V̇ ≡

∑

i

ε.

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 9• Na sliqan naqin se mo�e izraqunati i irkula ija du� konture ograniqene taqkama A i V

ΓAB =

B∫

A

~v · ~dl = ϕB − ϕA (1.29)Cirkula ija du� proizvone konture koja je ograniqena taqkama A i V se mo�e izraqunati kaorazlika vrednosti poten ijala brzine u kraj�im i poqetnim taqakama konture. Cirkula ija du�zatvorene konture je jednaka nuli, osim ako se unutar konture nalaze singulariteti tipa vrtloga -tada je irkula ija jednaka zbiru irkula ija vrtloga koji se nalaze unutar konture Γ =∑

i

Γi.• Kompleksne analitiqke funk ije, pored jednoznaqnog izvoda imaju jox jedno va�no svojstvo - oneobezbeÆuju konformno preslikava�e, pri kome strujni e i ekvipoten ijalne linije zadr�avajusvoju meÆusobnu ortogonalnost. Analitiqka funk ija

Z(z) = X(x, y) + i Y (x, y)

PSfrag repla emen a

a

−a

x

x

y

y

X

X

Y

Y

U∞ U∞

z

z

Z

Z

Slika 1.6: Primena konformnog preslikava�apreslikava struja�e iz z ravni opisano kompleksnim poten ijalom w(z) u novo struja�e u ravni Zopisano kompleksnim poten ijalom W (Z)

W (Z) = Φ(X,Y ) + iΨ(X,Y ) = W [Z(z)] = w(z)gde su Φ(X,Y ) = ϕ(x, y) i Ψ(X,Y ) = ψ(x, y) poten ijal brzine i strujna funk ija preslikanog stru-ja�a.

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 10Posredstvom transforma ije �ukovskog:Z =

1

2

(

z +a2

z

)struja�e oko kru�nog ilindra u ravni z se preslikava u struja�e oko ravne ploqe, eliptiqkog ilindra ili aeroprofila �ukovskog u ravni Z.•Bernulijeva jednaqina. U sluqaju ravanskog sta ionarnog struja�a nestixivog, neviskoznogfluida poe pritiska je povezano sa poem brzine preko Bernulijeve jednaqine, koja za taj sluqajstruja�a glasi:

p+1

2ρ v2 = const. (1.30)Obiqno su poznate vrednosti pritiska i brzine u "beskrajno" dalekim taqkama, p∞ i v∞. Raspodelapritiska du� neke konture se mo�e odrediti korix�e�em Bernulijeve jednaqine, uz prethodno odre-Æenu raspodelu brzine du� te konture:

p∞ +1

2ρ v2

∞= p+

1

2ρ (v2

x + v2y)

• Sila na proizvonu konturu C. Neka su Px i Py komponente sile ~P kojom nestixiv fluidpri sta ionarnom, ravanskom struja�u, koje je opisano kompleksnim poten ijalom w(z), deluje naproizvonu zatvorenu konturu C u xy-ravni. Tada se sila na tu konturu mo�e izraqunati korix-�e�em Blasijus-Qapaginovog obras a:P̄ = Px − i Py =

i ρ

2

∮

C

(dw

dz

)2

dz (1.31)Sila pritiska kojom fluid deluje na element konture AB konture C ograniqene taqkama A(z = zA)i B(z = zB) se mo�e odrediti primenom izraza:P̄ = Px − i Py =

i ρ

2

∫

AB

(dw

dz

)2

dz − i

(

p+1

2ρ v2

)

(z̄B − z̄A) (1.32)gde je p+ 12ρv

2 = const, i gde su z̄B = xB − i yB i z̄A = xA − i yA konjugovano kompleksni brojevi zA izB.

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 11Kratak podsetnik - Ojlerova formula. Osnovne opera ije sa komplek-snim brojevimai =

√−1 − imaginarna jedini aOjlerova formula : eiθ = cos θ + i sin θNeka je z1 = x1 + i y1 = r1 e

iθ1 i z2 = x2 + i y2 = r2 eiθ2

• Sabira�e: z = z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2)

• Oduzima�e: z = z1 − z2 = (x1 − x2) + i (y1 − y2)

• Mno�e�e: z = z1 · z2 = r1 eiθ1 · r2 eiθ2 = r1 r2e

i(θ1+θ2) iliz = (x1 + i y1)(x2 + i y2) = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1)

• Dee�e: z =z1z2

=r1r2ei(θ1−θ2) ili

z =x1 + i y1x2 + i y2

· x2 − i y2x2 − i y2

=x1x2 + y1y2x2

2 + y22+ i

x2y1 − x1y2x2

2 + y22Neke trigonometrijske rela ije:sin 2θ = 2 cos θ sin θ

cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ

tg(θ1 ± θ2) =tgθ1 ± tgθ2

1 ∓ tgθ1 tgθ2

arctgA± arctgB = arctgA±B

1 ∓ABU slede�oj tabeli su dati kompleksni poten ijalni osnovnih struja�a, qijim se superponira�emmogu dobiti slo�ene strujne slike.

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 12w(z) = v∞ z e−i βUniformna struja intenziteta v∞ pod uglom β uodnosu na pozitivan smer x-ose v∞PSfrag repla emen

x

y

β

w(z) =ε

2 πln (z − z0)Struja�e u pou osamenog (linijskog) izvoraizdaxnosti ε, ε > 0 smextenog u taqki z = z0.PSfrag repla emen

x

y

z = z0

w(z) =ε

2 πln (z − z0)Struja�e u pou osamenog (linijskog) ponoraizdaxnosti ε, ε < 0 smextenog u taqki z = z0.PSfrag repla emen

x

y

z = z0

w(z) =M e i β

2 π (z − z0)Struja�e u pou osamenog dvopola momenta Msmextenog u taqki z = z0, qija je osa nagnuta poduglom β u odnosu na pozitivan smer x-ose.PSfrag repla emen x

y

z = z0

β

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 13w(z) =

Γ

2 π iln (z − z0)Struja�e u pou osamenog vrtloga irkula ije

Γ smextenog u taqki z = z0; kada je Γ > 0 u pi-ta�u je je vrtlog pozitivne irkula ije, sa pozi-tivnim matematiqkim smerom obrta�a , kao nasli i. Ako je Γ < 0, smer obrta�a je suprotan.PSfrag repla emen x

y

z = z0

w(z) = a znStruja�e u 2n uglova, gde je a = const. Na sli ije prikazano struja�e opisano kompleksnim po-ten ijalom w(z) = −z2, zaustavna taqka je u ko-ordinatnom poqentku, z = 0. PSfrag repla emen x

y

1.4 Zada i1. Za sluqaj da je ravansko struja�e nestixivog fluida definisano strujni ama u obliku kon- entriqnih krugova i veliqninom apsolutne brzine propor ionalne n-tom stepenu rastoja�aod entra, ispitati da li je za n = 0, n = 1 i n = −1 struja�e vrtlo�no i odrediti vrednost irkula ije po krugu polupreqnika R.2. Ako je poten ijal brzine ravanskog nevtrlo�nog strujnog poa odreÆen funk ijomϕ(r, θ) = −

√r3 sin

(3

2θ

)odrediti protok kroz konturu omeÆenu taqkama A(

2,π

6

) i B (

3,π

9

).3. Zadata je jedna projek ija brzine sta ionarnog poa ravanskog poten ijalnog struja�a nestix-ivog fluida:vy =

2 − y

(x+ 3)2 + (y − 2)2

• Odrediti kompleksnu brzinu v̄(z), ako je vx(−3, 5) = 0.• Odrediti kompleksni poten ijal ako je w(−2, 2) = 0 i na rtati strujnu sliku ovog stru-ja�a.

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 144. Ravansko poten ijalno struja�e opisano je kompleksnim poten ijalomw(z) =

12(3 + i√

3)

z − 3 − i√

3izlo�eno je dejstvu jednolije struje koja zaklapa ugao α = 30◦ sa pozitivnim smerom x ose i imaintenzitet v∞ = 2√

3m/s. Odrediti:(a) Kompleksni poten ijal, strujnu funk iju, jednaqinu nulte strujni e i zaustavne taqke ovogslo�enog struja�a.(b) Na rtati strujnu sliku sa smerom struja�a.(v) Odrediti polo�aj i vrednost minimalnog pritiska na nultoj strujni i, ako je gustinafluida ρ = 1000 kg/m3, a pritisak u beskrajno dalekim taqkama p∞ = 1 bar.5. Ravansko poten ijalno struja�e nestixivog fluida se ostvaruje u z-ravni dejstvom jednolikestruje paralelne pravoj y = −x, na osameni izvor izdaxnosti ε = 2π koji se nalazi u koordi-natnom poqetku.(a) Odrediti intenzitet jednolike struje, ako se zna da je taqka (-1, 1) zaustavna taqka ovogslo�enog struja�a.(b) Odrediti smer struja�a i ski irati strujnu sliku.(v) Ako je gustina fluida ρ = 1000 kg/m3, a pritisak u beskrajno dalekim taqkama p∞ = 105 Pa,odrediti vrednost pritiska u taqki M (2, 0).(g) Funk ijom(Z + 2i)2

(Z − 2i)2= z2 exp[(1 + i)z]dato struja�e preslikati u ravan Z. Odrediti strujnu funk iju Ψ(X, Y ) i ski iratistrujnu sliku sa na�anaqenim smerom struja�a i sraqunati protok kroz konturu Y = 0.6. Zadata je kompleksna brzina ravanskog poten ijalnog struja�a mestixivog fluida:

v̄(z) =3z

z2 − z − 2(a) Odrediti komplesksni poten ijal w(z) ovog struja�a ako je w(3) = ln 4 i ski irati strujnusliku.(b) Odrediti raspodelu projek ije brzine vx du� y ose kao i taqku u kojoj je �en intenzitetmaksimalan. Koliko iznosi taj intenzitet?7. Duga porozna ev postavena je na rastoja�u a od ravnog zida. Protok vode po duznom metru evi je V̇ . Dodava�em struja�a koje je opisano poten ijalom brzine ϕ3 = k (x2 − y2), i uslovomψ3(0) = 0, dobija se kontura koja je prikazana na sli i. Sada voda iz evi dopire najdae dovisine. Odrediti:(a) Konstantnu k, k = k(V̇ , a, h) u opxtim brojevima, kao i za konkretne vrednosti a = 2 m,

h = 3 m i V̇ = 5π (m3/s)/m.(b) Jednaqinu konture koja razdvaja vodu iz evi od vode pridodatog struja�a.

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 151.4.1 II kolokvijum xkolske 2003/'04. godine1. Jednolika struja brzine v0 = 1m/s opstrujava izvor i ponor jednakih izdaxnosti ǫ = 4π kojise nalaze na rastoja�u 2a = 10m (slika 1). Odrediti strujnu funk iju, poten ijal brzine ipokazati da je strujna funk ija koja prolazi kroz zaustavnu taqku nulta strujni a. (30 poena)v

2aSlika 12. Polu ilindriqna graÆevina polupreqnika R i du�ine L izlo�ena je dejstvu vetra na naqinprikazan na sli i 2. Odrediti pod kojim uglom θ0 treba napraviti otvor tako da sila kojomvazduh deluje na polu ilindriqnu konstruk iju bude nula. Smatrati da se radi o poten ijalnomstruja�u vazduha. (40 poena)PSfrag repla emen θ0

LR

v∞, p∞PSfrag repla emen

θ0

R

v∞, p∞Slika 23. Struja�e u tornadu mo�e se predstaviti kao ravansko poten ijalno struja�e u pou vrtloga iponora koji su smexteni u istoj taqki. Ako je brzina vetra, na mestu udaenom 6km od jezgratornada, 20m/s, a pritisak 98kPa, na�i brzinu i pritisak na mestu koje je udaeno 1km odjezgra. (30 poena)

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 161.4.2 II kolokvijum xkolske 2004/'05. godine1. Tri izvora jednakih izdaxnosti ε = 2π (m3/s)/m se nalaze na jednakim suk esivnim rastojan-jima a = 1 m (slika 1).• Odrediti kompleksni poten ijal, strujnu funk iju, jednaqinu nulte strujni e i zaustavnetaqke ovog struja�a.• Na rtati strujnu sliku sa smerom struja�a.• Odrediti protok kroz konturu ograniqenu taqkama A (−1,

√2), B (1,

√2). (50 poena)

PSfrag repla emen εεε

x

y

aa

A B

Slika 11. Na rastoja�u h = 1 m od ravne beskonaqne ploqe nalazi se vrtlog pozitivne irkula ije Γ (slika2). U taqki M sa koordinatama (h, h) izmerene su vrednosti (intenziteta) brzine i pritiska:vM = 2

√5m/s i pM = 1 bar. Odrediti:

• vrednost irkula ije Γ,• raspodelu pritiska p = p(x) du� ploqe, ako je ρ = 1.25 kg/m3

• na osnovu odreÆene raspodele pritiska, napisati izraz pomo�u kojeg se mo�e izraqunatisila pritiska po jedini i du�ine (N/m) na deo ploqe izmeÆu taqaka x1 = −h i x2 = h.(50 poena)

��

��

PSfrag repla emen x

y

Γ

x1 x2

0 h

M (h, h)

Slika 2

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 171.4.3 Drugi kolokvijum xkolske 2005/'06. godine1. Ravansko struja�e nestixivog fluida, odreÆeno je strujnom funk ijom ψ(x, y) = ay2− bx2, gdesu a i b realne konstante (a, b ∈ R).(a) Pokazati da je ovo struja�e u opxtem sluqaju vrtlo�no.(b) Odrediti uslov pod kojim struja�e postaje nevrtlo�no i za taj sluqaj na�i kompleksnubrzinu v̄(z), kompleksni poten ijal w(z) i poten ijal brzine, ako je graniqni uslov w(0) =

0.(v) Odrediti nulte strujni e, polo�aj zaustavne taqke i na rtati strujnu sliku. (35 poena)2. Preko ravnomerno perforiranog dela evi visine H = 5 m usisava se zapreminskim protokom V̇voda iz jezera (slika 1). Cev se nalazi na rastoja�u a = 1 m od obale. Ako je u taqki A intenzitetbrzine v = 5 m/s, odrediti zapreminski protok V̇ . Smatrati da se ev mo�e modelirati kaoponor qija je izdaxnost odreÆena izrazom ε = −V̇ /H (problem razmatrati u horizontalnoj ravni- slika 1b). (30 poena)��

��

��

��

��

��PSfrag repla emen

H

a

a

a

a

V̇

A A(a) (b)

Slika 13. Oblik brda, koje je izlo�eno dejstvu vetra, mo�e se aproksimirati jednom od strujni a koja seformira prilikom a ikliqnog opstrujava�a ilindra polupreqika R (slika 2). Maksimalnavisina brda je H = 3R/4. Odrediti intenzitet brzine i pritisak na vrhu brda, ako su pritisaki brzina u beskrajno dalekim taqkama u podno�ju brda p∞ = 1 bar i v∞ = 20 m/s. Gustinavazduha je ρ = 1.2 kg/m3. Smerni a: prvo odrediti rastoja�e h. (35 poena)��

��

PSfrag repla emen x

y

H

h

R

p∞, v∞

Slika 2

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 181.4.4 Jox malo o kompleksnim brojevima i kompleksnim funk ijamaIako su ve� date neki osnovni izrazi vezani za opera ije sa kompleksnim brojevima, ovde �e se malodetanije analizirati pojam argumenta kompleksnog broja. Pa krenimo redom.U kompleksnoj ravni taqka sa koordinatama (a, b), a ∈ R, b ∈ R odgovara kompleksnom brojuz = x + i y. Ovo je zapis kompleksnog broja u Dekartovim1 pravouglim koordinatama. Taqka (a b) semo�e predstaviti i preko polarnih koordinata - rastoja�a od koordinatnog poqetka r i preko uglaθ, odnosno kao z = r cos θ + i sin θ. Ovo je trigonometrijski zapis kompleksnog broja - r predstavamodul kompleksnog broja, r ≡ |z| =

√

(Re z)2 + (Im z)2 =√a2 + b2, dok je θ (ugao izmeÆu potega r ipozitivnog smera x ose) argument kompleksnog broja. Korix�e�em Ojlerove formule, kompleksnibroj se mo�e prikazati i u eksponen ijalnom obliku z = |z|eiθ.

rPSfrag repla emen θ

a a

b b

x ≡ Rez x ≡ Rez

y ≡ Imz y ≡ Imz

Slika 1.7: Razni naqini predstava�a kompleksnog broja.Kako bi se izbegle vixeznaqnosti po pita�u argumenta kompleksnog broja (neka dva kompleksnabroja z1 i z2 imaju isti moduo, |z1| = |z2|, a neka je, re imo θ1 = 3π/2, a θ2 = −π/2 - ovo su dva identiqnakompleksna broja), u kompleksnoj analizi se definixe pojam glavne vrednosti argumenta, koji seobele�ava sa arg z i koji mo�e imati vrednosti od u intervalu od −π do π, ili pak u intervalu od 0do 2π.−π < arg z < π − glavna vrednost argumenta kompleksnog broja (1.33)Pored glavne vrednosti argumenta, definixe se i uopxtena vrednost argumenta, Arg z,

Arg z = arg z + 2kπ, (k ∈ Z) − uopxtena vrednost argumenta kompleksnog broja (1.34)Dakle, jednakost kompleksnih brojeva z1 i z2 povlaqi za sobom i |z1| = |z2| i arg z1 = arg z2, dok nepovlaqi za sobom i jednakost �ihovih uopxtenih argumenata.Prilikom odreÆiva�a glavne vrednosti argumenta kompleksnog broja z, mora se voditi raquna otome u kom se kvadrantu kompleksne ravni on nalazi.Neka je θ vrednost glavnog argumenta kompleksnog broja, slika 1.8.1Poxto sam �eleo da se posvetim samo tra�e�u istine, smatrao sam da moram odba iti kao krivo sve o qemu bih mogaoi najma�e sum�ati, da vidim ne�e li nakon toga ostati i nexto u mom uvere�u, xto bi bilo izvan svake sum�e. Budu�i danas naxa qula ponekad varaju, hteo sam pretpostaviti, da nema stvari, koje bi bile takve kakve nam se prikazuju. . . Ali samodmah zatim primetio, da, dok sam hteo tako misliti, da je sve krivo, nu�no treba da ja, koji mislim, jesam nexto. I poxtomi je bilo jasno da je ova istina: mislim, dakle jesam, tako qvrsta i tako pouzdana da je ni najpreteranije pretpostavkeskeptika nisu u sta�u uzdrmati, prosudio sam da je bez promixa�a mogu prihvatiti kao prvo naqelo filozofije kojomsam se bavio." - Rene Dekart (1596-1650)

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 19• θ = arg z, −π < θ < π, i takoÆe je α = arctg

∣∣∣b

a

∣∣∣2

PSfrag repla emen θ

θ

θ

θ

a

a

bb

α

α

−a

−a

−b−b

(a) Prvi kvadrant (b) Drugi kvadrant

(v) Tre�i kvadrant (g) Qetvrti kvadrant

z z

zz

θ = arctg∣∣∣b

a

∣∣∣ θ = π − α = π − arctg

∣∣∣b

a

∣∣∣

θ = −π + α = −π + arctg∣∣∣b

a

∣∣∣ θ = −α = −arctg

∣∣∣b

a

∣∣∣Slika 1.8: OdreÆiva�e vrednosti glavnog argumenta kompleksnog brojaMeÆutim, vrednost glavnog argumenta se mo�e definisati u intervalu arg z ∈ [0, 2π), tako da �ese izrazi u sluqaju da se kompleksni broj nalazi u tre�em i qetvrtom kvadrantu, izrazi za vrednostglavnog argumenta razlikovati:

• Tre�i kvadrant: θ = π + α = π + arctg∣∣∣b

a

∣∣∣

• Qetvrti kvadrant: θ = 2π − α = 2π − arctg∣∣∣b

a

∣∣∣2U skupu realnih brojeva R, funk ija arctg x uzima vrednosti iz intervala −π/2, π/2, tj. −π/2 < arctg x < π/2, za

−∞ < x < ∞, i takoÆe va�i arctg (−x) = −arctg x.

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 20TakoÆe, ovde se daje jox dve korisne rela ija, a vezane su za zbirarg(z1) + arg(z2) = arg(z1 z2) (1.35)odnosno razlikuarg(z1) − arg(z2) = arg

(z1z2

) (1.36)argumenata kompleksnog brojeva z1 i z2.Primer 2.1. Ako je struja�e fluida opisano kompleksnim poten ijalom w(z) = ln(z+2i)− ln(z−2i)na rtati strujnu sliku i odrediti protok kroz konturu y = 0.Na osnovu zadatog kompleksnog poten ijala, i imaju�i u vidu izraze za osnovne komplesne poten ijale,zakuqujemo da se radi u struja�u u pou izvora i ponora jednakih izdaxnosti ε = 2π, smextenihu taqkama z = −2i (izvor) i z = 2i (ponor). Kako su strujni e odreÆene izrazom ψ = const, trebaodrediti imaginarni deo kompleksne funk ije w(z).w(z) = ln(z + 2i) − ln(z − 2i) ≡ ϕ(x, y) + i ψ(x, y)Realni i imaginarni deo kompleksne funk ije ln(z + 2i), odnosno ln(z − 2i) se odreÆuje na slede�inaqin:

ln(z + 2i) = ln [x+ i(y + 2)] = ln(r1 e

i θ1

)gde sur1 = |x+ i(y + 2)| =

√

x2 + (y + 2)2 i θ1 = arg[x+ i(y + 2)].Sliqno za ln(z − 2i):ln(z − 2i) = ln [x+ i(y − 2)] = ln

(r2 e

i θ2

)gde sur2 = |x+ i(y − 2)| =

√

x2 + (y + 2)2 i θ2 = arg[x+ i(y − 2)].Dakle, realni i imaginarni deo kompleksnog poten ijala w(z) su:w(z) = ln r1 − ln r2 + i (θ1 + θ2) =⇒ ψ = θ1 + θ2 ≡ arg[x+ i(y + 2)] − arg[x+ i(y − 2)]Dae se izraz za strujnu funk iju uslovno3 mo�e napisati i kao:

ψ(x, y) = arctgy + 2

x− arctg

y − 2

xKoriste�i trigonometrijsku rela iju za zbir funk ije arctg, dolazi se do slede�eg izrazaψ(x, y) = arctg

4x

x2 + y2 − 4iz koga slede da su strujni e krugovi qiji se entri nalaze na x-osi i koji prolaze kroz taqke ukojima su smexteni izvor i ponor. Strujni e su odreÆene izrazom:arctg

4x

x2 + y2 − 4= C =⇒ (x− 2C1)

2 + y2 = 4(1 + C21 ), C1 = ctgC3Jednostavno, arg z i arctg(Im z/Re z) su veoma sliqne funk ije, ali nemaju iste vrednosti u svim taqkama z ravni!O tome se mora voditi raquna prilikom odreÆiva�a vrednosti strujne funk ije u nekoj taqki z ravni.

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 21

PSfrag repla emen x

y

Slika 1.9: Struja�e u pou izvora i ponora smextenih u taqkama z = −2i i z = 2i.Nulta strujni a, ψ(x, y) = 0, je x = 0.Do izraza za strujnu funk iju je mogu�e do�i i na slede�i naqin:ψ(x, y) = arg[x+ i(y + 2)] − arg[x+ i(y − 2)] = arg

[x+ i(y + 2)

x+ i(y − 2)

]

= arg

[x2 + y2 − 4

x2 + (y − 2)2+ i

4x

x2 + (y − 2)2

]odnosno, (uslovno)ψ(x, y) = arctg

4x

x2 + y2 − 4Protok kroz neku konturu ograniqenu taqkama A i V u sluqaju dvodimenzijskih poten ijalnihstruja�a se mo�e odrediti na osnovu izraza (2.28). Sada �e biti pokazano da �e se u sluqaju da sevrednost strujne funk ije odreÆuje preko raquna�a funk ije arctg dobiti pogrexni rezultat!Ako primenimo izraz (2.28) za raquna�e protoka kroz x osu, taqke V i A su odreÆene koordinatamaB (−∞, 0) i A(∞, 0).

• Prvi naqin odreÆiva�a vrednosti strujne funk ije u taqkama A i V - pogrexan!ψB = arctg

2

−∞ − arctg−2

−∞ = 0

ψA = arctg2

+∞ − arctg−2

+∞ = 0pa je protok kroz konturu jednak nuli, xto je, gledaju�i sliku pogrexno - jasno je da �e protokx osu biti jednak izdaxnosti izvora (ponora), tj. V̇ = 2π!

• Drugi naqin odreÆiva�a vrednosti strujne funk ije (argument definisan u intervalu −π ≤arg z < π) :

ψB = arg (−∞ + 2i)︸︷︷︸

II kvadrant − arg (−∞− 2i)︸︷︷︸

III kvadrant = π − arctg∣∣∣

2

−∞∣∣∣ −

(

−π + arctg∣∣∣−2

−∞∣∣∣

)

= 2π

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 22ψA = arg (+∞ + 2i)

︸︷︷︸

I kvadrant − arg (+∞− 2i)︸︷︷︸

IV kvadrant = arctg∣∣∣

2

+∞∣∣∣ − arctg

∣∣∣−2

−∞∣∣∣ = 0.Ako se izabere vrednost argumenta u opsegu 0 ≤ arg z < 2π, dobija se

ψB = arg (−∞ + 2i)︸︷︷︸

II kvadrant − arg (−∞− 2i)︸︷︷︸

III kvadrant = π − arctg∣∣∣

2

−∞∣∣∣ −

(

π + arctg∣∣∣−2

−∞∣∣∣

)

= 0

ψA = arg (+∞ + 2i)︸︷︷︸

I kvadrant − arg (+∞− 2i)︸︷︷︸

IV kvadrant = arctg∣∣∣

2

+∞∣∣∣ −

(

2π − arctg∣∣∣−2

−∞∣∣∣

)

= −2πProtok je sada, saglasno izrazu (2.28), V̇ = ψB −ψA = 2π! Dobijena je ista vrednost protoka za obaintervala u kojima se definixe argument, iako se vrednosti u taqkama A i B pojedinaqno razlikuju.Dakle, u sluqaju kada u strujnom pou imamo neki singulatitet tipa izvora (ponora) ili vrtloga,odnosno struja�e koje je opisano poten ijalom u kome �e figurisati kompleksna analitiqka funk ijaln(z− z0), u izrazu za strujnu funk iju kod izvora ili ponora, odnosno za poten ijal brzine kod vrt-loga figurisa�e funk ija arg(z−z0), i ako treba odreÆivati vrednost strujne funk ije (poten ijalabrzine) u nekoj taqki strujnog poa treba koristiti pravila za odreÆiva�e argumenta opisana uprethodnim redovima.Protok kroz neku konturu (povrx) se uvek mo�e odrediti integra ijom vektora brzine po tojkonturi.4Kompleksna brzina je odreÆena izvodom kompleksnog poten ijala po z, tj.

v(z) =dw

dz=

1

z + 2i− 1

z − 2i= −i 4

z2 + 4Kompleksna brzina na x-osi se jednostavno odreÆuje tako xto se z u prethodnom izrazu zameni sa xv(z)

∣∣z=x

= −i 2

x2 + 4≡ vx

∣∣z=x

− i vy

∣∣z=xDakle, raspodela (intenziteta) brzine na x-osi je odreÆena izrazom v(x) = 4/(x2 +4), i vektor brzineu svakoj taqki x ose je usmeren u pozitivnom smeru y ose. Zapreminski protok je odreÆen izrazom(vektor brzine i vektor normale elementarnih povrxi su kolinearni u svakoj taqki x-ose):

V̇ =

∫

A

~v · d ~A =

∫

A

~v dA =

+∞∫

−∞

v(x) dx

1∫

0

dz =

+∞∫

−∞

4

x2 + 4dx

=

+∞∫

−∞

dx

1 +(

x2

)2 = 2 arctgx

2

∣∣∣

+∞

−∞

= 2 [ arctg(+∞) − arctg(−∞)]

= 2[π

2−

(

−π2

)]

= 2π

�

4Zapreminski protok je kroz neku povrx je odreÆen fluksom vektora brzine kroz tu povrx, V̇ =R

A~v · ~ndA, gde je ~nvektor normale elementarne povrxi dA.

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 231.5 Korix�e�e programskog paketa Mathematica

Mathematica je vode�i softverski paket za tzv. simboliqki raqun. Autor Mathematica-e je StefanVolfram (Stephen Wolfram) i prva verzija je ugledala svetlo dana 1988. godine, i tada je predstavalapravu revolu iju u nauqnom svetu. Mogu�nosti ovog softvera su ogromne, i do sada je objaveno oko300 (!) k�iga koje se �ime bave. Posled�a verzija je 5.2.Startova�em Mathematica-e dobija se prazan prozor (Notebook), u koga se unose odgovaraju�e ko-mande. Komunika ija sa programom je interaktivna. Kada zavrxite sa unosom sa Shift + Enter dajetenaredbu kernelu da izvrxi odgovaraju�u komandu.Prilikom instala ije Mathematica-e instalira se i �en odliqno uraÆeni Help Browser, sa veomajasnom naviga ijom.U slede�im primerima �e se pokazati primena Mathematica-e za rexava�e problema iz dvodimen-zijskih poten ijalnih struja�a nestixivog fluida.Primer 2.1 Izvor izdaxnosti ε = 2π (m3/s)/m, smexten je u taqki z = −4. Na osnovu Milne-

Thompson-ove teoreme (teoreme o kru�ni i), odrediti kompleksni poten ijal struja�a koje simuliraopstrujava�e ilindra polupreqika R = 2 m datim izvorom. Primenom programskog paketa Mathe-

matica na rtati strujnu sliku.Primenom teoreme o kru�ni i na neku zadati kompleksnu funk iju f(z) (u naxem sluqaju to je kom-pleksni poten ijal izvora), dobija se nova kompleksna funk ija F (z) qija je jedna linija Im[F (z)] =

const u kompleksnoj ravni kru�ni a polupreqnika R. Teorema o kru�ni i se opisuje izrazom:F (z) = f(z) + f̄

(R2

z

) (1.37)Kompleksni poten ijal izvora ε = 2π, smextenog je u taqki z = −4 je odreÆen izrazom:f(z) =

ε

2πln(z − z0) = ln(z + 4)Prime�uju�i teoremu o kruzni i na dati kompleksni poten ijal f(z) dobija se novi kompleksnipoten ijal w(z):

w(z) = f(z) + f̄

(R2

z

)

= ln(z + 4) + ln

(22

z+ 4

)

= ln(z + 4) + ln[4(z + 1)] − ln z = ln(z + 4) + ln(z + 1) − ln z + ln 4Dakle, izvoru je pridodat jos jedna izvor iste izdaxnosti, smexten u taqki z = −1 i ponor izdax-nosti ε = −2π smexten u koordinatnom poqetku. Mo�e se pokazati analitiqki da je nulta strujni astruja�a koje je opisano ovim kompleksnim poten ijalom kru�ni a polupreqnika R = 2 smextenau koordinatnom poqetku. Sada �emo, koriste�i Mathematica-u, na rtati strujnu sliku i odreditipolo�aje zaustavnih taqaka.Sledi algoritam rta�a strujni a za zadati kompleksni poten ijal u Mathematica-i:1. Definixi kompleksni broj:z = x + I ∗ ySa I se oznaqava imaginarna jedini a i; takoÆe znak ∗, koji oznaqava mno�e�e se mo�e iizostaviti, ali su u tom sluqaju mora napraviti razmak izmeÆu brojeva koji se mno�e, tj.

z = x + I y.

Aleksandar �o�i�: MEHANIKA FLUIDA - auditorne ve�be 242. Definixi kompleksni poten ijalw[z] = Log[z+ 4] + Log[4 (z + 1)] − Log[z]Funk ija Log[x] predstava prirodni logaritam broja x, tj. funk iju lnx. Logaritam nekeproizvone baze b broja x se pixe kao Log[b, x].3. Odredi strujnu funk iju:

strujnafunkcija= ComplexExpand[Im[w[z]]]Sa komandom ComplexExpand[w[z]] dobija se realni i imagionarni deo kompleknog poten ijala;komandom ComplexExpand[Im[w[z]]] dobija se samo imaginarni deo kompleksnog poten ijala.4. Na rtaj strujni e:strujnice = ContourPlot[strujnafunkcija, {x,−5,5}, {y,−5,5}, PlotPoints− > 200,

ContourShading−> False, Contours−> 50]Posle startova�e ove komande dobija se slede�a slika:

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

5. Na rtaj kru�ni u sa entrom u koordinatnom poqetku i polupreqnika R = 2:kruznica = Graphics[Circle[{0, 0}, 2]6. Prikazi na jednom grafiku strujni e i kru�ni u:

strujnaslika = Show[strujnice, kruznica]


-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

OdreÆiva�e zaustavnih taqaka7. Neka z bude nezavisna prome�iva:Clear[z]8. Diferen iraj kompleksni poten ijal po z - odredi kompleksnu brzinu

v[z] = D[w[z], z]9. Odrediti polo�aje zaustavnih taqaka:zT = Solve[v[z] == 0, z]10. Na rtaj zaustavne taqke:

ztacke = ListPlot[{{−2, 0}, {2, 0}}, PlotStyle−> PointSize[0.02]]11. Prika�i na jednom dijagramu strujnu sliku sa zaustavnih taqkama:finale = Show[ztacke, strujnaslika]


-4 -2 0 2 4 6

-4

-2

0

2

4

Primer 2.2 Primenom programskog paketa Mathematica prikazati strujne slike ikliqnog opstru-java�a ilindra polupreqnika R = 1 m, za karakteristiqne vrednosti irkula ije Γ. Poznato je daje v∞ = 5 m/s.Cikliqno opstrujava�e ilindra se opisuje slede�im kompleksnim poten ijalom:w(z) = v∞z +

M

2πz+iΓ

2πln z = v∞

(

z +R2

z

)Diferen ira�em izraza za komplesni poten ijal po z, dobija se kompleksna brzina v̄(z). Iz-jednaqava�em tog izraza sa nulom, dobija se kvadratna jednaqina qija rexe�a odreÆuje polo�ajezaustavnih taqaka:z1,2 =

−iΓ ±√

−Γ2 + 16π2 v2∞R2

4π v∞U zavisnosti od vrednosti izraza pod korenom, −Γ2 +16π2 v2∞R2, mo�emo imati slede�e sluqajeve:

• Γ < 4π v∞R - postoje dve zaustavne taqke na konturi ilindra• Γ = 4π v∞R - postoji jedna zaustavna taqka na dnu ilindra• Γ > 4π v∞R - postoji jedna zaustavna taqka i ona se ne nalazi na konturi ilindraPrime�uju�i istu metodologiju kao u prethodnom primeru, dobijaju se slede�e strujne slike:


-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

Γ < 4π v∞R Γ = 4π v∞R Γ > 4π v∞RZbog simetrije u odnosu na y osu, sila otpora je, kao i sluqaju a ikliqnog opstrujava�a ilindra(uniformna struja + dvopol) jednaka nuli. MeÆutim, dodava�e vrtloga ima za posledi u nesimet-riqnu sliku u odnosu na x osu, tako da se �e se dobiti neka sila koja deluje na ilindar u vertikalnomprav u - to je sila uzgona. Ta sila se mo�e odrediti integrae�em poa pritiska na konturi ilindra, i pritom se dobija da je ona jednaka:L = ρ v∞Γ (1.38)Ovo je zadivuju�i rezultat, koji nam ka�e da je sila uzgona propor ionalna irkula iji Γ i brzini

v∞, i da je nezavisna od geometrije ilindra. Ovaj fenomen je poznat pod imenom Magnusov efekat.Ovaj rezultat su Kuta (Kutta) i �ukovski (Jaukowski) malo uopxtili:Sila uzgona koja deluje na telo u struji neviskoznog fluida je propor ionalnaukupnoj irkula iji oko tela. Smer sile uzgona je pod uglom od 90◦ u odnosu nasmer struja�a, rotiran u suprotnom smeru od smera irkula ije.Ovaj rezultat je veoma va�an za teorijsku aerodinamiku, gde je veoma va�no odreÆiva�e sile uzg-ona. Evo i jednog primera iz sveta sporta: ba aqi (pitchers) u bejzbolu koriste ovaj fenomen, ba aju�itzv. "zavrnutu loptu" "screw ball" - lopta pod uti ajem poqetne rota ije, ne ide pravolinijski, ve�po nekoj krivolinijskoj puta�i, i be�i od udaraqa (batter).

Mehanika fluida - handot za auditorne...

Documents

Transcript of Mehanika fluida - handot za auditorne...