mehanika Zadatak 5 - phy.pmf.unizg.hrtniksic/Klasicna/II/biljeske/Vjezbe/lec5.pdf · Hamiltonova...

Hamiltonovamehanika

LegendreovatransformacijaZadatak 5.1

Zadatak 5.2

Zadatak 5.3

Hamiltonovejednadžbe gibanjaZadatak 5.4

Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12

Fazni prostorZadatak 5.13

Zadatak 5.14

Zadatak 5.1Izracunajte Legendreovu transformaciju funkcije

f (x) =1α

xα, α > 1 .

Rješenje: skica problema

x

y px

f (x)

F (p, x)

g(p)

g(p)

x(p)

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

• definiramo funkciju

F (p, x) = px − f (x) = px − xα/α

• tražimo ekstrem funkcije F (p, x)

∂xF (p, x) = p − xα−1 = 0 =⇒ x(p) = p1/(α−1)

• Legendreova transformacija

g(p) = F (p, x(p)) = p1

α−1+1 −1α

pα

α−1

= pα

α−1

(

1 −1α

)

=1β

pβ

• pritom smo uveli oznaku

1α

+1β

= 1

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

Zadatak 5.2Izracunajte Legendreovu transformaciju funkcijef (x) = ex .


x

y

px

f (x)

F (p, x)

g(p)

g(p)

x(p)

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14


F (p, x) = px − f (x) = px − ex


∂xF (p, x) = p − ex = 0 =⇒ x(p) = ln p


g(p) = F (p, x(p)) = p ln p − p

p

g(p)

g(p)

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

Zadatak 5.3Izracunajte Legendreovu transformaciju funkcijef (x) = x ln x − x .


x

y px

f (x)

F (p, x)g(p)

x(p)

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14


F (p, x) = px − f (x) = px − x ln x + x


∂x F (p, x) = p − ln x − 1 + 1 = 0 =⇒ x(p) = ep


g(p) = F (p, x(p)) = pep − epp + ep = ep

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

Zadatak 5.4Napišite Hamiltonijan i kanonske jednadžbe zacesticu mase m u Kartezijevim koordinatama.

Rješenje:• postupak konstruiranja Hamiltoniana

• napisati Lagrangian• naci generalizirane impulse• izraziti generalizirane brzine pomocu

generalziranih koordinata i impulsa• napraviti Legendreovu transformaciju

Lagrangiana

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

• Lagrangian cestice mase m u Kartezijevimkoordinatama

L =m2

(

x2 + y2 + z2)

− U(x , y , z)

• generalizirani impulsi

px =∂L∂x

= mx =⇒ x =px

m

py =∂L∂y

= my =⇒ y =py

m

pz =∂L∂z

= mz =⇒ z =pz

m

• važno! Hamiltonijan smije ovisiti samo ogeneraliziranim koordinatama, impulsima ivremenu, ali ne i o generalziranim brzinama

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

• Legendreova transformacija Lagrangiana

H =∑

i

pi qi − L

• sve generalizirane brzine moramo izrazitipomocu impulsa

∑

i

pi qi = px x + py y + pz z

=p2

x

m+

p2y

m+

p2z

m

H =p2

x

m+

p2y

m+

p2z

m−

m2

(

p2x

m2+

p2y

m2+

p2z

m2

)

+ U(x , y , z)

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

• Hamiltonijan glasi

H =1

2m

(

p2x + p2

y + p2z

)

+ U(x , y , z)

• kanonske jednadžbe glase

qi =∂H∂pi

i pi = −∂H∂qi

• koordinata x i pripadni impuls px

x =∂H∂px

=px

m

px = −∂H∂x

= −∂U∂x

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

• analognim postupkom dolazimo do

y =∂H∂py

=py

mi py = −

∂H∂y

= −∂U∂y

z =∂H∂pz

=pz

mi pz = −

∂H∂z

= −∂U∂z

• promotrimo prve dvije kanonske jednadžbe

x =px

mi px = −

∂U∂x

• deriviramo lijevi izraz po vremenu

x =1m

px = −1m

∂U∂x

• vratili smo se na Newtonovu jednadžbu gibanja

mx = −∂U∂x

= Fx

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

Zadatak 5.5Riješite problem kosog hica koristeci Hamiltonovformalizam.

Rješenje:

• pretpostavimo da je cestica ispaljena pod kutemα pocetnom brzinom v0

• koordinatni sustav orjentiramo tako da vrijedi

vx = v0 cos α vy = 0 vz = v0 sin α

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

• Hamiltonijan u Kartezijevim koordinatama

H =1

2m

(

p2x + p2

y + p2z

)

+ U(x , y , z)

• Hamiltonijan cestice u homogenomgravitacijskom polju

H =1

2m

(

p2x + p2

y + p2z

)

+ mgz

• kanonske jednadžbe

x =∂H∂px

=px

mi px = −

∂H∂x

= 0

y =∂H∂py

=py

mi py = −

∂H∂y

= 0

z =∂H∂pz

=pz

mi pz = −

∂H∂z

= −mg

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

• varijable x i y su ciklicke pa su pripadni impulsikonstante gibanja

• prva jednadžba gibanja

px = mx =⇒ px = mx(0) = mv0 cos α

=⇒ x = v0 cos α =⇒ x(t) = v0t cos α + x(0)

• u pocetnom trenutku cestica je u ishodištu

x(t) = v0t cos α

• treca jednadžba gibanja

py = my =⇒ py = my(0) = 0

=⇒ y = 0 =⇒ y(t) = y(0)

• u pocetnom trenutku cestica je u ishodištu

y(t) = 0

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

• zadnja jednadžba gibanja

pz = −mg =⇒ pz(t) = −mgt + pz(0)

• predzadnja jednadžbe gibanja

z(0) =1m

pz(0) =⇒ pz(0) = mv0 sin α

=⇒ pz(t) = −mgt + mv0 sin α

• vratimo se na predzadnju jednadžbu gibanja

z =1m

pz(t) = −gt + v0 sin α

=⇒ z(t) = −g2

t2 + v0t sin α

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

Zadatak 5.6Napišite Hamiltonijan i kanonske jednadžbe zacesticu mase m u cilindricnim koordinatama.

Rješenje:• Lagrangian u cilindricnim koordinatama

L =m2

(

ρ2 + ρ2φ2 + z2)

− U(ρ, φ, z)


pρ =∂L∂ρ

= mρ =⇒ ρ =pρ

m

pφ =∂L

∂φ= mρ2φ =⇒ φ =

pφ

mρ2

pz =∂L∂z

= mz =⇒ z =pz

m

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14


H =∑

i

pi qi − L


∑

i

pi qi = pρρ + pφφ + pz z

=p2

ρ

m+

p2φ

mρ2+

p2z

m

H =p2

ρ

m+

p2φ

mρ2+

p2z

m−

m2

(

p2ρ

m2+

ρ2p2φ

m2ρ4+

p2z

m2

)

+ U(ρ, φ, z)

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

• Hamiltonijan u cilindricnim koordinatama

H =p2

ρ

2m+

p2φ

2mρ2+

p2z

2m+ U(ρ, φ, z)


qi =∂H∂pi

i pi = −∂H∂qi

• koordinata ρ i pripadni impuls pρ

ρ =∂H∂pρ

=pρ

m

pρ = −∂H∂ρ

= −∂U∂ρ

+p2

φ

mρ3

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

• koordinata φ i pripadni impuls pφ

φ =∂H∂pφ

=pφ

mρ2

pφ = −∂H∂φ

= −∂U∂φ

• koordinata z i pripadni impuls pz

z =∂H∂pz

=pz

m

pz = −∂H∂z

= −∂U∂z

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

Zadatak 5.7Koristeci Hamiltonov formalizam opišite gibanjecestice u ravnini pod utjecajem centralnog poljaU(ρ).

Rješenje:• Hamiltonijan cestice u polarnim koordinatama

dobijemo izostavljanjem koordinate z ucilindricnim koordinatama

H =p2

ρ

2m+

p2φ

2mρ2+ U(ρ, φ)

• polje je centralno

H =p2

ρ

2m+

p2φ

2mρ2+ U(ρ)

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14


ρ =∂H∂pρ

=pρ

mi pρ = −

∂H∂ρ

=p2

φ

mρ3−

∂U∂ρ

φ =∂H∂pφ

=pφ

mρ2i pφ = −

∂H∂φ

= 0

• koordinata φ je ciklicka pa je pripadnigeneralizirani impuls konstanta gibanja

pφ = konst. = mρ2φ = Mz

• gibanje se odvija u ravnini pa je Mz = M• pφ možemo identificirati s zakretnim impulsom

pφ ≡ M

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

• prve dvije jednadžbe gibanja

ρ =pρ

mi pρ =

M2

mρ3−

∂U∂ρ

• deriviramo prvu jednadžbu po vremenu

ρ =1m

pρ

• uvrstimo drugu jednadžbu

mρ =

[

M2

mρ3−

∂U∂ρ

]

= −∂

∂ρ

[

U(ρ) +M2

2mρ2

]

• problem smo sveli na jednodimenzionalnogibanje u efektivnom potencijalu

Ueff = U(ρ) +M2

2mρ2

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

Zadatak 5.8Cestica mase m giba se bez trenja unutar stošcaotvornog kuta 2α. Nadite Hamiltonijan i kanonskejednadžbe koristeci cilindircne koordinate.


xy

z

m

ρφ

α

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

• Lagrangian u cilindricnim koordinatama

L =m2

(

ρ2 + ρ2φ2 + z2)

− mgz

• cestica je ogranicena na gibanje po stošcu

x2 + y2 = z2 tan2 α =⇒ ρ = z tan α

• izrazimo koordinatu z pomocu koordinate ρ

=⇒ z =ρ

tan α=⇒ z = ρ cot α

• vratimo se Lagrangianu

L =m2

(

ρ2 + ρ2φ2 + ρ2 cot2 α)

− mgρ cot α

• iskoristimo relaciju

1 + cot2 α =1

sin2 α

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

• Lagrangian

L =m2

(

ρ2

sin2 α+ ρ2φ2

)

− mgρ cot α


pρ =∂L∂ρ

=mρ

sin2 α

pφ =∂L

∂φ= mρ2φ


H = pφφ + pρρ − L

=1

2m

(

p2ρ sin2 α +

p2φ

ρ2

)

+ mgρ cot α

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14


ρ =∂H∂pρ

=1m

sin2 αpρ

φ =∂H∂pφ

=pφ

mρ2

pρ = −∂H∂ρ

=p2

φ

mρ3− mg cot α

pφ = −∂H∂φ

= 0

• φ je ciklicka varijabla pa je pφ konstanta gibanja

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

Zadatak 5.9Napišite Hamiltonijan i kanonske jednadžbe zacesticu mase m u sfernim koordinatama.

Rješenje:• Lagrangian u sfernim koordinatama

L =m2

(

r2 + r2θ2 + r2 sin2 θφ2)

− U(ρ, φ, z)


pr =∂L∂r

= mr =⇒ r =pr

m

pθ =∂L

∂θ= mr2θ =⇒ θ =

pθ

mr2

pφ =∂L

∂φ= mr2 sin2 θφ =⇒ φ =

pφ

mr2 sin2 θ

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14


H =∑

i

pi qi − L


∑

i

pi qi = pr r + pθ θ + pφφ

=p2

r

m+

p2θ

mr2+

p2φ

mr2 sin2 θ

H =p2

r

m+ +

p2θ

mr2+

p2φ

mr2 sin2 θ

−m2

(

p2r

m2+ r2 p2

θ

m2r4+ r2 sin2 θ

p2φ

m2r4 sin4 θ

)

+ U(r , θ, φ)

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

• Hamiltonijan u sfernim koordinatama

H =p2

r

2m+

p2θ

2mr2+

p2φ

2mr2 sin2 θ+ U(r , θ, φ)


qi =∂H∂pi

i pi = −∂H∂qi

• koordinata r i pripadni impuls pr

r =∂H∂pr

=pr

m

pr = −∂H∂r

= −∂U∂r

+p2

θ

mr3+

p2φ

mr3 sin2 θ

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

• koordinata θ i pripadni impuls pθ

θ =∂H∂pθ

=pθ

mr2

pθ = −∂H∂θ

= −∂U∂θ

+p2

φ cos θ

mr2 sin3 θ

• koordinata φ i pripadni impuls pφ

φ =∂H∂pφ

=pφ

mr2 sin2 θ

pφ =∂H∂φ

= −∂U∂φ

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

Zadatak 5.10Koristeci Hamiltonov formalizam opišite gibanjecestice u prostoru pod utjecajem centralnog poljaU(r).

Rješenje:• koristimo sferne koordinate• Hamiltonijan cestice koja se giba u centralnom

polju

H =p2

r

2m+

p2θ

2mr2+

p2φ

2mr2 sin2 θ+ U(r)

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14


r =∂H∂pr

=pr

m

pr = −∂H∂r

= −∂U∂r

+p2

θ

mr3+

p2φ

mr3 sin2 θ

θ =∂H∂pθ

=pθ

mr2

pθ = −∂H∂θ

=p2

φ cos θ

mr2 sin3 θ

φ =∂H∂pφ

=pφ

mr2 sin2 θ

pφ =∂H∂φ

= 0

• koordinata φ je ciklicka pa je pripadnigeneralizirani impuls konstanta gibanja

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

• promotrimo trecu i cetvrtu jednadžbu gibanja

θ =pθ

mr2i pθ =

p2φ cos θ

mr2 sin3 θ

• uzimamo u obzir da je pφ konstanta gibanja• pomnožimo desnu jednadžbu s pθ

pθpθ =p2

φ cos θ

mr2 sin3 θpθ

• iskoristimo lijevu jednadžbu

θ =pθ

mr2=⇒ pθpθ = p2

φ

cos θ

sin3 θθ

=⇒12

ddt

p2θ = −

12

p2φ

ddt

(

1

sin2 θ

)

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

• zadnju jednadžbu možemo napisati u obliku

ddt

(

p2θ +

p2φ

sin2 θ

)

= 0

• izraz u zagradi je ocito konstanta gibanja

p2θ +

p2φ

sin2 θ≡ a2

θ

• vratimo se na prve dvije jednadžbe

r =pr

mi pr = −

∂U∂r

+p2

θ

mr3+

p2φ

mr3 sin2 θ

• desnu jednadžbu možemo preurediti

pr = −∂U∂r

+1

mr3

(

p2θ +

p2φ

sin2 θ

)

= −∂U∂r

+a2

θ

mr3

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

• prvu jednadžbu gibanja deriviramo po vremenu

mr = pr = −∂U∂r

+a2

θ

mr3

= −∂

∂r

(

U +a2

θ

2mr2

)

• problem smo sveli na jednodimenzionalnogibanje u efektivnom potencijalu

Ueff (r) = U(r) +a2

θ

2mr2

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

Zadatak 5.11Nadite Hamiltonijan anaharmonickog oscilatora akoje Lagrangian dan izrazom

L =12

x2 −12ω2x2 − αx3 + βxx2

Rješenje:• generalizirani impuls

px =∂L∂x

= x + 2βxx =⇒ x =px

1 + 2βx

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14


H = xpx − L

=p2

x

1 + 2βx−

12

p2x

(1 + 2βx)2 +12ω2x2 + αx3

− βxp2

x

(1 + 2βx)2

• drugi i zadnji clan zajedno daju

−p2

x

2(1 + 2βx)2[1 + 2βx ] = −

12

p2x

1 + 2βx

• Hamiltonijan

H =p2

x

2(1 + 2βx)+

12ω2x2 + αx3

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

Zadatak 5.12Lagrangian harmonickog oscilatora s trenjemmožemo napisati u obliku

L = ebt/m

(

m2

q2 −k2

q2

)

Nadite pripadni Hamiltonijan i jednadžbe gibanja.

Rješenje:

• prvo racunamo generalizirani impuls

p =∂L∂q

= mebt/mq =⇒ q =pm

e−bt/m

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14


H = qp − L =p2

me−bt/m − L(q, q(q, p, t), t)

• uvrstimo q u Lagrangian

L(q, q(q, p, t), t) = ebt/m

(

m2

p2

m2e−2bt/m −

k2

q2

)

=p2

2me−bt/m −

k2

q2ebt/m

• Hamiltonijan glasi

H =p2

2me−bt/m +

k2

q2ebt/m

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14


q =∂H∂p

=pm

e−bt/m

p = −∂H∂q

= −kqebt/m

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

Zadatak 5.13Izracunajte površinu omedenu putanjomharmonickog oscilatora u faznom prostoru.

Rješenje:

• Hailtonijan harmonickog oscilatora

H =p2

2m+

12

mω2q2

podudara se s energijom• putanje u faznom prostoru su elipse

p2

2m+

12

mω2q2 = E

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

q

p

√

2Emω2

√2mE

• površina elipse s velikom poluosi a i malompoluosi b

A = abπ =

√

2Emω2

√2mE =

2Eω

π

• deriviranjem površine po energiji dolazimo doperioda oscilatora

τ =2π

ω

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

Zadatak 5.14Cestica mase m i energije E elasticno se odbijaizmedu dva zida udaljena za d . Izracunajte površinuomedenu putanjom u faznom prostoru, ako segibanje odvija u jednoj dimenziji.

Rješenje: cestica se giba izmedu dva zida

x

U

−d2

d2

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

• impuls cestice p = ±√

2mE• predznak + odgovara gibanju cestice udesno, a

predznak − odgovara gibanju ulijevo

x

p

−d2

d2

√2mE

−√

2mE

• površina iznosi A = 2√

2mEd

Hamiltonovamehanika


Zadatak 5.2

Zadatak 5.3


Zadatak 5.5

Zadatak 5.6

Zadatak 5.7

Zadatak 5.8

Zadatak 5.9

Zadatak 5.10

Zadatak 5.11

Zadatak 5.12


Zadatak 5.14

• deriviramo površinu po energiji

dAdE

= 2√

2md1

2√

E= d

√2mE

• energija cestice se podudara s kinetickomenergijom

dAdE

= d√

2m

√

2mv2

=2dv

• zadnji izraz odgovara periodu cestice koja seelasticno odbija izmedu dva zida

mehanika Zadatak 5 - phy.pmf.unizg.hrtniksic/Klasicna/II/biljeske/Vjezbe/lec5.pdf · Hamiltonova...

Documents

Transcript of mehanika Zadatak 5 - phy.pmf.unizg.hrtniksic/Klasicna/II/biljeske/Vjezbe/lec5.pdf · Hamiltonova...