OSNOVNI OPERATORI U KARTEZIJEVIM, … II/Formule_MFII_vjezbe... · VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 3...

FORMULE: 1. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 3

Izvor: A. Werner: Odabrana poglavlja iz mehanike fluida-zbirka zadataka, FSB Zagreb

OSNOVNI OPERATORI U KARTEZIJEVIM, CILINDARSKIM I SFERNIM KOORDINATAMA

⎪⎭

⎪⎬

⎫

===

zzsinrycosrx

ϑϑ

2 2r x yyarctgx

z z

ϑ

⎫= + +⎪⎪= ⎬⎪

= ⎪⎭

⎪⎭

⎪⎬

⎫

===

ψϑψϑψ

cosRzsinsinRycossinRx

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

+=

+++=

xyarctg

zyx

arctg

zyxR

ϑ

ψ22

222

Cilindarske koordinate Sferne koordinate TABLICA 1.1 Osnovne operacije deriviranja skalarnih ( s ) , vektorskih ( w,v ) i tenzorskih (T ) polja u kartezijevim koordinatama

kji zyxzzyyxx vvvevevevv ++≡++=

kji zyxzzyyxx wwweweweww ++≡++= ( )⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

TTTTTTTTT

T

zv

yv

xv

v zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇

2

2

2

2

2

22

zs

ys

xss

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

[ ]xss x ∂

∂=∇ [ ]

zv

yvv yz

x ∂

∂−

∂∂

=×∇ [ ]z

Ty

Tx

T zxyxxxx ∂

∂+

∂

∂+

∂∂

=TDiv

[ ]yss y ∂

∂=∇ [ ]

xv

zvv zx

y ∂∂

−∂∂

=×∇ [ ]z

Ty

Tx

T zyyyxyy ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=TDiv

[ ]zss z ∂

∂=∇ [ ]

yv

xv

v xyz ∂

∂−

∂

∂=×∇ [ ]

zT

yT

xT zzyzxz

z ∂∂

+∂

∂+

∂∂

=TDiv

[ ]z

wv

yw

vx

wvwv x

zx

yx

xx ∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∇⋅

[ ]z

wv

yw

vx

wvwv y

zy

yy

xy ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇⋅

[ ]z

wv

yw

vx

wvwv z

zz

yz

xz ∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∇⋅

ϑ

x y

z

(x,y,z)ili(r,ϑ,z)

xy

z

(x,y,z)ili(R,ψ,ϑ)

R

ϑ

x y

z

Ψ

xy

z

r

Alternativne oznake

ii

exs

ss∂∂

==∇ grad

i

i

xv

vv∂∂

==⋅∇ div

rot kijk i

j

vv v ex

ε ∂∇× = =

∂

2Δ ∇=∇⋅∇=



TABLICA 1.2 Osnovne operacije deriviranja skalarnih ( s ) , vektorskih ( w,v ) i tenzorskih (T ) polja u cilindarskim koordinatama

zzrr evevevv ++= ϑϑ ϑϑ sinvcosvv yxr +=

zzrr eweweww ++= ϑϑ ϑϑϑ cosvsinvv yx +−= zz vv =

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zzzzr

zr

rzrrr

TTTTTTTTT

ϑ

ϑϑϑϑ

ϑ

T

zvv

rrv

rrv z

r ∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇ϑϑ1)(1)(

2

2

2

2

22 1)(1)(

zss

rrsr

rrs

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂∂

=∇ϑ

[ ]rss r ∂

∂=∇ [ ]

zvv

rv z

r ∂∂

−∂∂

=×∇ ϑ

ϑ1

[ ]ϑϑ ∂

∂=∇

sr

s 1 [ ]r

vz

vv zr

∂∂

−∂

∂=×∇ ϑ

[ ]zss z ∂

∂=∇ [ ]

ϑϑ ∂∂

−∂∂

=×∇ rz

vr

)rv(rr

v 11

[ ]r

TT

zT

rrT

rr zrrrrrϑϑ

ϑϑ−

∂∂

+∂∂

+∂∂

=1)(1DivT

[ ]r

TTT

zT

rTr

rrrr

zrϑϑ

ϑϑϑϑϑ ϑ−

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=1)(1Div 2

2T

[ ] zzzrzz Tz

Tr

rTrr ∂

∂+

∂∂

+∂∂

= ϑϑ1)(1DivT

[ ] )()1()(z

wv

rww

rv

rw

vwv rz

rrrr ∂

∂+−

∂∂

+∂

∂=∇⋅ ϑ

ϑ ϑ

[ ] )()1()(z

wv

rww

rv

rw

vwv zr

r ∂∂

++∂

∂+

∂∂

=∇⋅ ϑϑϑ

ϑϑ ϑ

[ ] )()1()(z

wv

wr

vr

wvwv z

zzz

rz ∂∂

+∂∂

+∂

∂=∇⋅

ϑϑ

xy

z

reϑe

ze

ϑ

r

xyz



TABLICA 1.3 Osnovne operacije deriviranja skalarnih ( s ) , vektorskih ( w,v ) i tenzorskih (T ) polja u sfernim koordinatama

ϑϑψψ evevevv RR ++= ψϑψϑψ cosvsinsinvcossinvv zyxR ++=

ϑϑψψ eweweww RR ++= ψϑψϑψψ sinvsincosvcoscosvv zyx −+=

ϑϑϑ cosvsinvv yx +−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

ϑϑϑψϑ

ψϑψψψ

ϑψ

TTTTTTTTT

R

R

RRRR

T

ϑψψ

ψψϑ

ψ ∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇v

sinRsinv

sinRvR

RRv R

1)(1)(1)( 22

2

2

2222

22 1)(1)(1)(

ϑψψψ

ψψ ∂

∂+

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∇s

sinRssin

sinRRsR

RRs

[ ]Rss R ∂

∂=∇ [ ]

ϑψψ

ψψψ

ϑ ∂

∂−

∂∂

=×∇v

sinRsinv

sinRv R

1)(1

[ ]ψψ ∂

∂=∇

sR

s 1 [ ] )(11ϑψ ϑψ

RvRR

vsinR

v R

∂∂

−∂∂

=×∇

[ ]ϑψϑ ∂

∂=∇

ssinR

s 1 [ ]ψψϑ ∂

∂−

∂∂

=×∇ RvR

RvRR

v 1)(1

[ ]R

TTT

sinRsinT

sinRTR

RRRRRRR

ϑϑψψϑψ ϑψ

ψψψ

+−

∂∂

+∂∂

+∂∂

=1)(1)(1Div 2

2T

[ ]R

cotTTTT

sinRsinT

sinRTR

RRRR

Rψ

ϑψψ

ψψϑϑψψ

ϑψψψψψ−−

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=)(1)(1)(1Div 3

3T

[ ]R

cotTTTT

sinRsinT

sinRTR

RRRR

Rψ

ϑψψ

ψψϑψϑϑ

ϑϑϑψϑϑ+−

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=)(1)(1)(1Div 3

3T

[ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂=∇⋅

Rww

Rv

Rww

Rv

Rw

vwv RRRRR

ϑϑ

ψψ ϑψψ sin

11

[ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂

∂+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂

∂+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=∇⋅ ψ

ϑψψϑψ

ϑψ

ψψ

ψ cotR

wwsinR

vR

wwR

vR

wvwv R

R11

[ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂=∇⋅ ψ

ϑψψψϑ

ϑϑ

ψϑ

ϑ cotsin11

Rw

Rww

Rv

wR

vR

wvwv R

R

y

z

x

ψ

ϑ

Re

y

ϑe

ψeR z

x


Potencijal brzine i strujna funkcija elementarnih strujanja

(u kartezijskim i polarnim koordinatama)

Strujanje Potencijal ϕ Strujna funkcija ψ Brzine 1v i 2v

Paralelno

strujanje

brzinom

1 2( , )V V V=�

1 1 2 2V x V xϕ = +

1 2cos sinV r V rϕ ϑ ϑ= +

1 2 2 1V x V xψ = −

1 2sin cosV r V rψ ϑ ϑ= −

1 1v V=

2 2v V=

Izvor ( Q >0) ili

ponor (Q <0)

kapaciteta Q u

ishodištu

koordinatnog

sustava

( )2 2

1 2ln4

Qx xϕ

π= +

ln2

Qrϕ

π=

2

1

arctg2

Q x

xψ

π

=

2

Qψ ϑ

π=

11 2 2

1 22

xQv

x xπ=

+

22 2 2

1 22

xQv

x xπ=

+

Vrtlog jačine Γ

u ishodištu

koordinatnog

sustava

2

1

arctg2

x

x

Γϕ

π

=

2

Γϕ ϑ

π=

( )2 2

1 2ln4

x xΓ

ψπ

−= +

ln2

rΓ

ψπ

−=

21 2 2

1 22

xv

x x

Γ

π

−=

+

12 2 2

1 22

xv

x x

Γ

π=

+

Dipol jakosti m

orijentacije α u

ishodištu

koordinatnog

sustava. (α je

kut između

spojnice ponor-

izvor i osi 1x )

1 2

2 2

1 2

cos sin

2

x xm

x x

α αϕ

π

+−=

+

( )cos

2

m

r

ϑ αϕ

π

−−=

1 2

2 2

1 2

sin cos

2π

x xm

x x

α αψ

−−=

+

( )sin

2π

m

r

ϑ αψ

−=

( )

( )

1

2 2

1 2 1 2

22 2

1 2

2π

cos 2 sin

mv

x x x x

x x

α α

=

− +

+

( )

( )

2

2 2

1 2 1 2

22 2

1 2

2π

2 cos sin

mv

x x x x

x x

α α

=

− −

+

Formule za translaciju koordinatnog sustava (za slučaj da singulariteti nisu u ishodištu

koordinatnog sustava)

2 2 1 1 ; x x b x x a′ ′= − = −

( ) ( )2 22 2

1 2 1 2 = r x x x a x b′ ′ ′= + − + −

2 2

1 1

arctg arctgx x b

x x aϑ

′ −′ = =

′ −

Cauchy-Riemanovi uvjeti

Kartezijske koordinate

1

1 2

vx x

ϕ ψ∂ ∂= =

∂ ∂ 2

2 1

vx x

ϕ ψ∂ ∂= = −

∂ ∂

Polarne koodinate

1r

vr r

ϕ ψ

ϑ

∂ ∂= =

∂ ∂

1v

r rϑ

ϕ ψ

ϑ

∂ ∂= = −

∂ ∂

1x

2x

1x′

2x ′

0

0′

a

b ϑ

r

r ′

ϑ ′


Optjecanje kružnog cilindra polumjera 0r , brzinom V

(kombinacija paralelnog strujanja brzinom V i dipola jačine 2

02m r Vπ=

orijentiranog suprotno paralelnom strujanju)

Potencijal brzine u polarnim koordinatama: 2

0 cosr

V rr

ϕ ϑ

= +

Strujna funkcija u polarnim koordinatama: 2

0 sinr

V rr

ψ ϑ

= −

Obodna brzina po površini cilindra: 0( , ) 2 sinV r Vϑ ϑ ϑ= −

Promjena tlaka po površini cilindra: 2

2

0( , ) (1 4sin )2

Vp r p

ρϑ ϑ∞= + −

Koeficijent tlaka po površini cilindra: 2

21 4sin

2

p

p pC

Vϑ

ρ∞−

= = −

Sila otpora (sila u smjeru strujanja): 1 0F = (D'Alembertov paradoks)

Sila uzgona (sila okomito na smjer strujanja): 2 0F = .


Cirkulacijsko optjecanje kružnog cilindra polumjera 0r , brzinom v

(kombinacija paralelnog strujanja brzinom v , dipola jačine 202m r v orijentiranog

suprotno paralelnom strujanju i vrtloga jačine 0 u ishodištu)

Potencijal brzine u polarnim koordinatama: 2

0 cos2

rv rr

Strujna funkcija u polarnim koordinatama: 2

0 sin ln2

rv r rr

Obodna brzina po površini cilindra: 00

, 2 sin2

v r vr

Promjena tlaka po površini cilindra: 22

00

, 1 2sin2 2

vp r pv r

Sila otpora (sila u smjeru strujanja): 1 0F (D'Alembertov paradoks)

Sila uzgona (sila okomito na smjer strujanja): 2F v

Kutta i Žukovski su pokazali da izraz 2F v za silu uzgona vrijedi pri ravninskom

potencijalnom optjecanju bilo kakvog profila (zatvorene konture). Smjer sile se dobije tako da se vektor brzine paralelnog strujanja zakrene za o90 u suprotnom smjeru od smjera cirkulacije . Pri optjecanju aeroprofila, potrebnu jačinu cirkulacije određuje se na temelju hipoteze Kutta-Žukovskoga koja kaže da je potrebna cirkulacija ona koja će na stražnjem bridu osigurati konačnu brzinu.


Potencijal brzine elementarnih prostornih strujanja (u kartezijskim i sfernim koordinatama)

(oznaka polarnog kuta ovdje je zamijenjena oznakom )

Strujanje Potencijal Paralelno strujanje brzinom

1 2 3( , , )V V V V

1 1 2 2 3 3V x V x V x

1 2 3sin cos sin sin cosV R V R V R

Izvor (Q >0) ili ponor (Q <0) kapaciteta Q u ishodištu koordinatnog sustava

2 2 21 2 34

Qx x x

1

4

QR

Dipol jakosti orijentacije ie u

ishodištu koordinatnog sustava. ( ie su komponente jediničnog

vektora spojnice ponor-izvor)

1 1 2 2 3 3

32 2 21 2 3

4

x e x e x e

x x x

34

e RR

Optjecanje kugle polumjera 0R , brzinom v

(kombinacija paralelnog strujanja brzinom v iz pozitivnog smjera osi z i dipola jačine 302 R v orijentiranog suprotno paralelnom strujanju)

Potencijal brzine u sfernim koordinatama: 30

22

Rv R cosR

Komponenta brzine v po površini kugle: 0

3, , sin

2v R v

Koeficijent tlaka po površini kugle: 2

2

91 sin

1 42

pp pC

v

Sila otpora (sila u smjeru strujanja): 3 0F (D'Alembertov paradoks)

Sila uzgona (sila okomito na smjer strujanja): 1 2 0F F .


Hidrodinamička reakcija i pridružena masa Pri ubrzanom gibanju tijela kroz fluid (čak i u potencijalnom strujanju) javlja se sila između fluida i tijela, koju zovemo hidrodinamičkom reakcijom HF . Fizikalno je to sila kojom tijelo ubrzava fluid. Hidrodinamička reakcija se definira izrazom HF aλ= − gdje je λ pridružena masa, a a ubrzanje tijela. Pridružena masa zavisi od oblika tijela i smjera gibanja tijela (osim god kugle zbog simetričnosti oblika).

• Pridružena masa kugle jednaka je polovini mase fluida istisnute kuglom. • Pridružena masa cilindra u ravninskom strujanju okomitom na os cilindra jednaka je

punoj masi fluida istisnutoj cilindrom. Osnosimetrično potencijalno strujanje Strujanje kod kojeg se slika strujanja ponavlja u ravninama konst.ϑ = cilindarskog koordinatnog sustava, tako da se strujanje opisuje r i z koordinatom. Cauchy-Riemannovi uvjeti za osnosimetrično potencijalno strujanje glase

1zv

z r rϕ ψ∂ ∂

= =∂ ∂

1rv

r r zϕ ψ∂ ∂

= = −∂ ∂

Primjeri strujnih funkcija u osnosimetričnom strujanju u cilindarskim koordinatama

Strujanje Potencijal ϕ Strujna funkcija Paralelno strujanje paralelno s osi 3z x≡ 3(0,0, )V V= 3V zϕ = 23

2V rψ =

Izvor (Q >0) ili ponor (Q <0) kapaciteta Q u ishodištu koordinatnog sustava

2 2

14Q

r zϕ

π= −

+

2 24Q z

r zψ

π= −

+

Dipol jakosti μ usmjeren u osi 3z x≡ orijentacije

( )0,0,1ie = u ishodištu koordinatnog sustava.

( )3

2 2 24z

r z

μϕπ

= −+

( )

2

32 2 24

r

z r

μψπ

=+

Potencijal i polje brzine površinski raspodijeljenih izvora gustoće q u ravninskom potencijalnom strujanju (na segmentu duž osi 1x od 1x a= do 1x b= )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 2ln ln 2

4 a b b aq x a r x b r xϕ ϑ ϑπ⎡ ⎤= − − − + −⎣ ⎦

( )

2

1 21

22

= = ln4

= =2

a

b

b a

rqvx r

qvx

ϕπ

ϕ ϑ ϑπ

⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

∂−

∂

, gdje su :( )

( )

22 2 21 2 a

1

22 2 21 2

1

, arctg

, arctg

a

b b

xr x a xx a

xr x b xx b

ϑ

ϑ

= − + =−

= − + =−

.



TABLICA 1.4 Tenzor brzine deformacije ijD u Kartezijevim, cilindarskim i sfernim koordinatama Kartezijeve koordinate :)z,y,x(

xvD x

xx ∂∂

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂

∂==

yv

xv

DD xyxyyx 2

1

yv

D yyy ∂

∂=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂+

∂∂

==z

vyv

DD yzyzzy 2

1

zv

D zzz ∂

∂= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

==xv

zv

DD zxzxxz 2

1

Cilindarske koordinate :)z,,r( ϑ

rv

D rrr ∂

∂= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

==ϑ

ϑϑϑ

rrr

vr

)r

v(

rrDD 1

21

rvv

rD r+

∂∂

=ϑϑ

ϑϑ1 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

==z

vvr

DD zzz

ϑϑϑ ϑ

121

zv

D zzz ∂

∂= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

==rv

zv

DD zrzrrz 2

1

Sferne koordinate :),,R( ϑψ

Rv

D RRR ∂

∂=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

+∂∂

==ψ

ψψψ

RRR

vRR

vR

RDD 1)(21

Rvv

RD R+

∂

∂=

ψψ

ψψ1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂+

∂∂

==ϑψψψ

ψ ψϑψϑϑψ

vsinRsin

vR

sinDD 1)(21

Rcotv

Rvv

sinRD R ψ

ϑψψϑ

ϑϑ ++∂∂

=1 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

== )(121

Rv

RR

vsinR

DD RRR

ϑϑϑ ϑψ



TABLICA 1.5 Tenzor naprezanja ijσ u Kartezijevim, cilindarskim i sfernim koordinatama.

Kartezijeve koordinate :)z,y,x(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅∇−

∂∂

+−= )(322 v

xv

p xxx μσ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂

∂+

∂∂

==x

vyv yx

yxxy μττ ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

στττστττσ

σT

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅∇−

∂

∂+−= )(

322 v

yv

p yyy μσ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

+∂

∂==

yv

zv zy

zyyz μττ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅∇−

∂∂

+−= )(322 v

zv

p zzz μσ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

==z

vxv xz

xzzx μττ

zv

yv

xv

v zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇ )(


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅∇−

∂∂

+−= )(322 v

rv

p rrr μσ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

==ϑ

μττ ϑϑϑ

rrr

vrr

vr

r 1)( ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

zzzzr

zr

rzrrr

στττστττσ

ϑ

ϑϑϑϑ

ϑ

σT

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅∇−+

∂∂

+−= )(32)1(2 v

rvv

rp r

ϑμσ ϑ

ϑϑ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

==ϑ

μττ ϑϑϑ

zzz

vrz

v 1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅∇−

∂∂

+−= )322 v(

zv

p zzz μσ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

==zv

rv rz

rzzr μττ

zvv

rrv

rrv z

r ∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇ϑϑ1)(1)(


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅∇−∂∂

+−= )(322 v

Rv

p RRR μσ

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

ϑϑϑψϑ

ψϑψψψ

ϑψ

σστττστττσ

R

R

RRRR

T

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅∇−+

∂

∂+−= )(

32)1(2 v

Rvv

Rp R

ψμσ ψ

ψψ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅∇−++

∂∂

+−= )(32)1(2 v

Rcotv

Rvv

sinRp R ψ

ϑψμσ ψϑ

ϑϑ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

+∂∂

==ψ

μττ ψψψ

RRR

vRR

vR

R 1)(

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂+

∂∂

==ϑψψψ

ψμττ ψϑ

ϑψψϑv

sinRsinv

Rsin 1)(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

== )(1Rv

RR

vsinR

RRR

ϑϑϑ ϑψ

μττ

ϑψψ

ψψϑ

ψ ∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇v

sinRsinv

sinRvR

RRv R

1)(1)(1)( 22



TABLICA 1.6 Jednadžba kontinuiteta u Kartezijevim, cilindarskim i sfernim koordinatama Kartezijeve koordinate :z,y,x )(

0)()()( =∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

zyx vz

vy

vxt

ρρρρ


0)()(1)(1=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

zr vz

vr

rvrrt

ρρϑ

ρρϑ


0)(1)(1)(1 22

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

ϑψ ρϑψ

ψρψψ

ρρ v

sinRsinv

sinRvR

RRt R



TABLICA 1. 7 Jednadžbe količine gibanja izražena naprezanjima u Kartezijevim, cilindarskim i sfernim koordinatama Kartezijeve koordinate :)z,y,x(

xzxyxxxx

zx

yx

xx f

zyxzv

vyv

vxv

vt

vρττσρ +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

yzyyyxyy

zy

yy

xy f

zyxzv

vy

vv

xv

vt

vρτστρ +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

zzzyzxzz

zz

yz

xz f

zyxzv

vyv

vxv

vt

vρσττρ +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂


rzrrrrr

zrr

rr f

rzrr

rrzv

vr

vvr

vrv

vt

vρ

σττ

ϑσ

ϑρ ϑϑ

ϑϑϑ +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+−∂∂

+∂∂

+∂∂ 1)(12

ϑϑϑ

ϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑ ρ

τττσ

ϑτ

ϑρ f

rzrr

rrzv

vrvvv

rv

rv

vt

v rrzrz

rr +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

++∂∂

+∂∂

+∂∂ 1)(1 2

2

zzzzrzz

zzz

rz f

zrr

rrzv

vv

rv

rv

vt

vρστ

ϑτ

ϑρ ϑ

ϑ +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ 1)(1


+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +−

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

)(1)(1 22

22

ψτψψ

σϑψψ

ρ ψϑψϑψ sin

sinRR

RRRvvv

sinRvv

Rv

Rv

vt

vRRR

RRRR

R

RR fRsinR

ρσσ

τϑψ

ϑϑψψϑ +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−

∂∂

+1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

Rcotv

Rvvv

sinRvv

Rv

Rv

vt

v RR

ψϑψψ

ρ ϑψψϑψψψψ2

ψϑϑψψ

ϑψψψψ ρψσττ

τϑψ

ψτψψ

τ fR

cotsinR

sinsinR

RRr

RRR +

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−+

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

=)(1)(1)(1 3

3

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

ψϑψψ

ρ ϑψϑϑϑϑϑϑϑ cotRvv

Rvvv

sinRvv

Rv

Rv

vt

v RR

ϑϑψϑϑ

ϑϑψϑϑ ρψτττ

σϑψ

ψτψψ

τ fR

cotsinR

sinsinR

RRr

RRR +

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−+

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

=)(1)(1)(1 3

3



TABLICA 1.8 Jednadžbe količine gibanja za newtonovske fluide, za .const=ρ i .const=μ u Kartezijevim, cilindarskim i sfernim koordinatama, Navier-Stokesove jednadžbe Kartezijeve koordinate :)z,y,x(

xxxxx

zx

yx

xx f

xp

zv

yv

xv

zv

vyv

vxv

vt

vρμρ +

∂∂

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

2

yyyyy

zy

yy

xy f

yp

z

v

y

v

x

vz

vv

yv

vx

vv

tv

ρμρ +∂∂

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2

2

2

2

2

2

zzzzz

zz

yz

xz f

zp

zv

yv

xv

zv

vyv

vxv

vt

vρμρ +

∂∂

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

2


rrr

rr

zrr

rr f

rpv

rzvv

rrv

rrrzv

vr

vvr

vrv

vt

vρ

ϑϑμ

ϑρ ϑϑϑ +

∂∂

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

−∂

∂+

∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+−∂∂

+∂∂

+∂∂

22

2

2

2

2

2 21)(1

ϑ

ϑϑϑ

ϑϑϑϑϑϑ

ρϑ

ϑϑμ

ϑρ

fpr

vrz

vvr

rvrrrz

vv

rvvv

rv

rv

vt

v rz

rr

+∂∂

−

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

+∂

∂+

∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

++∂∂

+∂∂

+∂∂

1

21)(122

2

2

2

2

zzzzz

zzz

rz f

zp

zvv

rrv

rrrz

vv

vr

vrv

vt

vρ

ϑμ

ϑρ ϑ +

∂∂

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

21)(1


RRR

RRRR

RR

fRpv

sinRsinv

sinRv

sinRv

sinsinR

vR(RRRR

vvvsinRvv

Rv

Rv

vt

v

ρϑψ

ψψψϑψψ

ψψψ

μϑψψ

ρ

ϑψ

ϑψϑψ

+∂∂

−⎥⎥⎦

⎤

∂∂

−∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+

⎢⎣

⎡+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +−

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

2222

2

222

22

22

2)(211

1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

Rcotv

Rvvv

sinRvv

Rv

Rv

vt

v RR

ψϑψψ

ρ ϑψψϑψψψψ2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂⎢⎣⎡

∂∂

= )(1112

22 ψ

ψψψμ ψ

ψ sinvsinRR

vR

RR

ψϑψ ρ

ψϑψψ

ψϑψf

pR

vsinR

cotvR

v

sinRR +

∂∂

−⎥⎥⎦

⎤

∂∂

−∂∂

+∂

∂+

1221222

2

22

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

ψϑψψ

ρ ϑψϑϑϑϑψϑϑ cotRvv

Rvvv

sinRvv

Rv

Rv

vt

v RR

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎢⎣⎡

∂∂

= )(1112

22 ψ

ψψψμ ϑ

ϑ sinvsinRR

vR

RR

ϑψϑ ρ

ϑψϑψψ

ϑψϑψf

psinR

v

sinRcotv

sinRv

sinRR +

∂∂

−⎥⎥⎦

⎤

∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

1221222

2

22


Rješenja laminarnoga graničnog sloja uz ravnu ploču uz pomoć von Kármanove jednadžbe uz pretpostavku različitih profila brzine unutar graničnog sloja (zadnji redak označuje rješenje Blasiusove jednadžbe)

( )1v fv

η∞

= , yηδ

= 1δδ

2δδ

11

vxρδ

μ∞ 1w x

v vτ μμ ρ∞ ∞

Fv LC ρμ

∞ 11,2

2

H δδ

=

( )f η η= 12

16

1.732 0.289 1.155 3.00

( ) 31.5 0.5f η η η= − 38

39280

1.740 0.323 1.292 2.7

( ) 3 42 2f η η η= − + 310

37315

1.752 0.343 1.372 2.55

( ) sin( / 2)f η ηπ= 2ππ− 4

2ππ−

1.741 0.327 1.310 2.66

Blassius 1.721 0.332 1.328 2.59

OSNOVNI OPERATORI U KARTEZIJEVIM, … II/Formule_MFII_vjezbe... · VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 3...

Documents

Transcript of OSNOVNI OPERATORI U KARTEZIJEVIM, … II/Formule_MFII_vjezbe... · VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 3...