Kvantna mehanika 2 - · PDF fileKvantna mehanika 2 zadaci sa pro²lih rokova,...

5
I ~ d ~ E φ ~ d ~ E d 2 dt 2 φ = - dE sin φ I d 2 dt 2 hφi = - dE sin φ I hsin φi N H = -J Σ N i=1 ~ S i ~ S i+1 ~ S N +1 = ~ S 1 (J> 0) z E 0 = - ~ 2 4 NJ | 1 2 , 1 2 i | ↑i | 1 2 , - 1 2 i | ↓i J< 0 | ↑↓↑ ... ↓i H V = D(x 4 + y 4 + z 4 - 3 5 r 4 ) d L z 2i = R(r) sin 2 θe ±2, 1i =2R(r) sin θ cos θe ±, |0i = r 2 3 R(r)(3 cos 2 θ - 1).

Transcript of Kvantna mehanika 2 - · PDF fileKvantna mehanika 2 zadaci sa pro²lih rokova,...

Page 1: Kvantna mehanika 2 - · PDF fileKvantna mehanika 2 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 31. avgust 2015. 1. Kruti rotator u ravni momenta inercije Ii elektri

Kvantna mehanika 2

zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com

Pismeni ispit, 31. avgust 2015.

1. Kruti rotator u ravni momenta inercije I i elektri£nog dipolnog momenta~d se nalazi u elektri£nom polju ~E. U klasi£noj mehanici ugao φ izmeu ~di ~E zadovoljava diferencijalnu jedna£inu d2

dt2φ = −dE sinφ

I. Ukoliko problem

tretiramo kvantno-mehani£ki, pokazati da vaºi d2

dt2〈φ〉 = −dE sinφ

I〈sinφ〉. Na

osnovu poslednje jedna£ine vidimo da se u odgovaraju¢em limitu dobija izraznaveden u klasi£noj mehanici.

2. Razmatramo sistem koji se sastoji od N elektrona i opisan je hamil-tonijanom H = −JΣN

i=1~Si~Si+1. Smatrati da je ~SN+1 = ~S1. Pokazati da je

za Hajzenbergov feromagnet (J > 0) stanje koje se sastoji od svih spinovasa pozitivnom projekcijom na z osi svojstveno sa energijom E0 = −~2

4NJ .

(Stanje |12, 12〉 ¢emo obeleºavati kao | ↑〉, dok ¢e se stanje |1

2,−1

2〉 pisati kao

| ↓〉.) Pokazati da za Hajzenbergov antiferomagnet (J < 0), "o£igledno"osnovno stanje koje se moºe napisati kao | ↑↓↑ . . . ↓〉 nije svojstveno stanjeH. Ovo ilustruje da je nalaºenje osnovnog stanja Hajzenbergovog antifero-magneta kompleksan problem.

3. Jon se nalazi u kristalnom polju koje ima formu V = D(x4+y4+z4− 35r4).

Ovaj potencijal deluje na degenerisane d nivoe. Neperturbovane talasnefunkcije su svojstvene funkcije operatora ugaonog momenta Lz:

| ± 2〉 = R(r) sin2 θe±2iφ,

| ± 1〉 = 2R(r) sin θ cos θe±iφ,

|0〉 =

√2

3R(r)(3 cos2 θ − 1).

1

Page 2: Kvantna mehanika 2 - · PDF fileKvantna mehanika 2 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 31. avgust 2015. 1. Kruti rotator u ravni momenta inercije Ii elektri

a) Odrediti matri£ne elemente operatora V u ovom bazisu, kao i njegovesvojstvene vrednosti i svojstvene vektore. Pokazati da je degeneracija samodelimi£no uklonjena, tj. da postoje samo dve razli£ite svojstvene energije.b) Kada na sistem dodatno deluje konstantno magnetno polje u z-pravcu,degeneracija je potpuno uklonjena. Odrediti svojstvene energije i svojstvenevektore u ovom slu£aju.

Pismeni ispit, 13. jul 2015.

1. Magnetna spinska rezonanca elektrona (electron spin resonance) pruºanam korisne informacije o elektronskoj strukturi molekula. U ovom zadatku¢emo pretpostaviti slede¢e: spinske i prostorne promenljive su nezavisne zaelektrone i za jezgra. Prostorno osnovno stanje elektrona je nedegenerisano,tako da moºemo da zanemarimo orbitalne efekte magnentnog polja. Mi uz-imamo u obzir slede¢e magnetne spinske interakcije: Zemanovu interakcijuspinskog magnetnog momenta sa spolja²njim poljem B i hipernu interak-ciju izmeu elektrona i jezgra. Hiperna interakcija je oblika Hhf = A

~2~S~I =

A4~σe · ~σn, gde je ~S = ~

2~σe spin elektrona i ~I = ~

2~σn spin jezgra. Magnetno

polje ~B deluje duº z-ose.a) Ukoliko jezgro ne poseduje spin, kako izgledaju energetski nivoi spina?Uzeti da je ωe = −µBB.b) Za spin jezgra 1

2, napisati kompletan Hamiltonijan u bazisu |~σ2, ~σn〉.

Na¢i svojstvene vektore i svojstvene vrednosti ovog Hamiltonijana. Smatratida je σn = −µnBB i η = (ωe−ωn)

2.

c) Pretpostavi¢emo da je magnetno polje B jako, u smislu da je |~ωe| >> A.Neka je A = ~a. Odrediti aproksimativno svojstvene vrednosti do prvog redapo a

η.

d) Moºe se pokazati da elektromagnetno polje moºe da indukuje samo prelazeizmeu stanja koja se razlikuju za jedan spin (npr. prelaz | − +〉 → | + −〉nije dozvoljen). Odrediti frekvence prelaza izmeu dozvoljenih stanja.

2. Dat je sistem tri identi£ne £estice orbitalnog ugaonog momenta l = 1 ispinskog s = 1

2, tako da je bazis jedno£esti£nog prostora stanja |1,m; 1

2,ms〉,m =

−1, 0, 1;ms = −12, 12.

a) Odrediti dimenziju ukupnog prostora stanja.b) Na koje komponente ukupnog ugaonog momenta J se razlaºe ovaj prostori koliko puta se javlja svaki od njih?

2

Page 3: Kvantna mehanika 2 - · PDF fileKvantna mehanika 2 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 31. avgust 2015. 1. Kruti rotator u ravni momenta inercije Ii elektri

c) esto se razmatraju stanja koja su simetrizovana u spinskom, a anti-simetrizovana u orbitnom prostoru, ili obrnuto. Odrediti dimenziju ovakvogprostora i bazis u njemu.

3. Na £esticu mase m koja se nalazi u beskona£no dubokoj dvodimen-zionalnoj potencijalnoj jami (0 < x < a, 0 < y < a) deluje perturbacijaV (x, y) = V0 cos2 πx

a. Odrediti razdvajanje tre¢eg pobuenog nivoa u prvom

redu teorije perturbacije.

Pismeni ispit, 22. jun 2015.

1. Posmatra¢emo reeksiju monoenergetskog neutronskog snopa koji je nor-malan na feromagnetni materijal. Osa x je pravac propagacije upadnog snopai yz povr²ina feromagnetnog materijala koja u potpunosti popunjava x > 0oblast. Neka svaki upadni neutron ima energiju E i masu m. Spin neu-trona je s = 1

2i njegov magnetni moment se moºe napisati kao ~M = γ~S (γ

je ºiromagnetni odnos). Potencijalna energija neutrona je suma dva £lana.Prvi odgovara interakciji neutrona sa materijalom. Fenomenolo²ki, moºe sepredstaviti potencijalom V (x), koji je denisan kao:

V (x) =

0 za x < 0V0 za x > 0.

Drugi £lan odgovara interakciji magnetnog momenta svakog neutrona sa un-utra²njim magnetnim poljem ~B0 = B0~ex. Dakle, imamo W = 0 za x ≤ 0 iW = −ω0Sz za x > 0 (ω0 = γB0). Razmatra¢emo slu£aj 0 < ~ω0 < V0.a) Odrediti stacionarna stanja neutrona ako je spin paralelan i ako je spinantiparalelan sa z-osom.b) Izra£unati koecijent reeksije u oba slu£aja (snop paralelan i antiparale-lan sa z-osom) ako je energija neutrona u intervalu V0− ~ω0

2< E < V0 + ~ω0

2.

2. Hamiltonijan interakcije dva spina 12je jednak H = −J(t)~S1

~S2. Odreditimatri£ne elemente H u bazisu |+ +〉, |s〉, |t〉, | − −〉. Ukoliko je vremenskiinterval spinske interakcije τ , odrediti evolucioni operator U = e−

i~∫ τ0 Hdt u

istom bazisu. Uzeti da je φ = ~∫ τ0J(t)dt. Odrediti i:

Ug = ei2~πS

21e−

i2~πS

22Ue

i~πS

12U.

3

Page 4: Kvantna mehanika 2 - · PDF fileKvantna mehanika 2 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 31. avgust 2015. 1. Kruti rotator u ravni momenta inercije Ii elektri

3. Na 1D LHO deluje vremenski zavisna perturbacija λW (t):

W (t) =

−qEx za t ∈ [o, τ ]0 za t < 0 i t > τ,

gde je q naelektrisanje, E homogeno elektri£no polje i x opservabla koordi-nate. Odrediti verovatno¢u prelaza P01 iz osnovnog u prvo pobueno stanjekoriste¢i prvi red teorije vremenski zavisne perturbacije. Izra£unati P02 uprvom i drugom redu teorije vremenski zavisne perturbacije.

Popravni kolokvijum, 15. maj 2015.

1. Na elektron naelektrisanja −q(q > 0) i mase m deluje potencijal V =14mω2

0(2z2−x2− y2). Elektron se nalazi u magnetnom polju usmerenom duºz-ose (koristiti gejdº ~A = B

2(−y, x, 0)).

• Pokazati da se ukupan Hamiltonijan moºe podeliti na dva £lana, Hz =p2z2m

+ 12mω2

0z2 i Ht =

p2z+p2y

2m+ 1

2ωcLz, gde je ωc = qB

m. Izraziti Ω pomo¢u

ωc i ω0.

• Pokazati da je Hz = ~ω0(a†zaz + 1

2), gde je az =

√mω0

2~ (z + imω0

pz) ia†z =

√mω0

2~ (z − imω0

pz).

• Deni²imo dva operatora ar = 12(β(x−iy)+ i

β~(px−ipy)) i al = 12(β(x+

iy) + iβ~(px + ipy)). Pokazati da je Lz = ~(a†rar + 1

2) − ~ωm(a†lal + 1

2).

Odrediti omega′c i ωm pomo¢u ω0 i ωc.

Kolokvijum, 8. april 2015.

(zbog komplikovanosti zadatka kolokvijum je ponovljen)

1. Elektron mase m i naelektrisanja q(q < 0) nalazi se u homogenom istati£kom magnetnom polju ~B, usmerenom duº z-ose. Hamiltonijan elek-trona je H = 1

2m(~p−q ~A)2−~µ ~B. Magnetni moment ~µ je povezan sa spinskim

operatorom ~S pomo¢u ~µ = γ~S, gde je γ = (1 + a) qm. Veli£ina a se naziva

anomalija magnetnog polja. U okviru kvantne elektrodinamike pokazuje seda je a proporcionalno konstanti ne strukture a = α

2π(α = 1

137). Operator

brzine je jednak ~v = ~p−q ~Am

, dok je ω = qBm.

4

Page 5: Kvantna mehanika 2 - · PDF fileKvantna mehanika 2 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 31. avgust 2015. 1. Kruti rotator u ravni momenta inercije Ii elektri

a) Pokazati da vaºe slede¢e komutacione relacije: [vx, H] = i~ωvy, [vy, H] =−i~ωvx.b) Neka su date tri veli£ine: C1(t) = 〈Szvz〉, C2(t) = 〈Sxvx + Syvy〉, C3(t) =〈Sxvx − Syvy〉. Izra£unati C1, C2 i C3 u proizvoljnom trenutku t.c) Kako izgleda 〈~S~v〉 u proizvoljnom trenutku?d) Snop elektrona brzine v je prepariran u spinskom stanju tako da znamovrednosti C1(0), C2(0) i C3(0). Snop interaguje sa magnetnim poljem ~B utoku vremenskog intervala [0, T ]. Zanemariti interakciju izmeu elektrona usnopu. U trenutku T se meri veli£ina koja je proporcionalna 〈~S~v〉. Rezul-tat ovog merenja je prikazan na slici kao funkcija vremena T za vrednostmagnetnog polja B = 9, 4mT . Pomo¢u date slike odrediti pribliºnu vrednostveli£ine a.) Da li se eksperimentalna vrednost slaºe sa predikcijom kvantne elektrod-inamike?

5