MEHANIKA FLUIDA dio 6 - rudar.rgn.hrrudar.rgn.hr/~zandreic/studenti/fluidi/mf_p6.pdf · Željko...
Transcript of MEHANIKA FLUIDA dio 6 - rudar.rgn.hrrudar.rgn.hr/~zandreic/studenti/fluidi/mf_p6.pdf · Željko...
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 1
MEHANIKA FLUIDA
dio 6
prof. Željko Andreić
Rudarsko-geološko-naftni fakultet
Sveučilište u Zagrebu
http://rgn.hr/~zandreic/
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 2
sadržaj 1-2-3!
Vrtložno tečenje
1. Vremensko usrednjavanje kod vrtložnog tečenja2. raspodjela brzine kod vrtložnog tečenja3. koeficijenti trenja glatkih cijevi 4. hidraulička hrapavost5. koeficijenti trenja hrapavih cijevi6. lokalni gubici
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 3
Fluidi u stvarnosti teku turbulentno!
Primjer:
voda kod 20oC, ν=1x10-6 m2s-1
cijev promjera 25 mm: vkr=0,1ms-1
kod turbulentnog toka putanje čestica postaju nepravilne, dolazi do vrtloženja i miješanja fluida. Zato je svako turbulentno tečenje nestacionarno.
da bi ipak nešto mogli proračunati, koristimo se vremenski usrednjenom brzinom za svaku točku toka.
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 4
Vremenski usrednjena brzina u nekoj točci toka
t
v
v
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 5
Vremenski usrednjena brzina u nekoj točci toka 2
ili, po komponentama,
ovako usrednjena brzina naziva se srednja lokalna brzina.
PAŽNJA: ne miješati je sa brzinom usrednjenom po presjeku toka ( v=Q/A) sa kojom smo se sreli ranije!
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 6
Vremenski usrednjena brzina u nekoj točci toka 3
vx vx vx
t=t1 t=t2
usrednjavanje rješava problem nestacionarnosti!
kod turbulentnog strujanja ne vrijedi Newton-ov zakonviskoznosti!
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 7
Srednja brzina turbulentnog toka
vrtloženje "diže" česticu sa y1 na y2, no ona i dalje ima svojupočetnu brzinu! Brzina okolnog fluida na tom mjestu je
yy1
y2
x
vx(y1)
vx(y1)vx(y2)
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 8
Srednja brzina turbulentnog toka 2
čestica je dakle za sporija od okolnog fluida.
Okolni fluid će ju ubrzati, ali će to ubrzanje proizvesti silu koju okolni fluid osjeća kao otpor tečenju. Da bi je odredili, pogledajmo protok koji se u blizini čestice odvija u y-smjeru.
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 9
Srednja brzina turbulentnog toka 3
Maseni protok kroz neku površinu okomitu na y-os je:
ta se masa mora ubrzati na brzinu vx(y2), što dovodi do promjene količine gibanja:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 10
Srednja brzina turbulentnog toka 4
Razlika brzina na desnoj strani upravo je:
a rezultirajuće tangencijalno naprezanje je:
pa je sila otpora jednaka:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 11
Srednja brzina turbulentnog toka 5
Vrtloženje je slično kružnom gibanju (srednju brzinu toka u x-smjeru moramo odračunati!), pa možemo pretpostaviti da je
što nam daje
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 12
Srednja brzina turbulentnog toka 6
veličina
ima dimenziju brzine i naziva se prividna brzina
tangencijalnog naprezanja.
izraz za tangencijalno naprezanje time postaje:
Radi preglednosti od sada nadalje u jednadžbama
ispuštamo oznaku usrednjavanja na simbolu brzine!
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 13
Srednja brzina turbulentnog toka 7
Ono što neznamo je ∆y. Tu teorija posustaje pa se koriste empirijske formule.
Prandtl:
Pokusi pokazuju da je k=0,36-0,42 pa je vrijednost usvojena za teoretske proračune k=0,40.
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 14
Profil brzine kod turbulentnog toka
Kombiniranjem Prandtl-ove pretpostavke i formule za prividnu brzinu tangencijalnog naprezanja dolazimo do slijedeće formule:
sa rješenjem (k=0,40):
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 15
Profil brzine kod turbulentnog toka
laminarni profil
vrtložni profilv
y
zona miješanja
A
B
C
yo
granični laminarni sloj
vrtložni tok
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 16
Profil brzine kod turbulentnog toka 2
Od stijenke do točke A koristimo laminarni profil, a od točke C do sredine cijevi turbulentni. Izmeñu A i C ih spajamo glatkom krivuljom tako da profil brzine nema lom, kao što bi to bilo da profile spojimo u točki B u kojoj se oni sijeku.
brzina kod turbulentnog profila pada na nulu u točki yo, pa uz pomoć nje odredimo konstantu integracije:
pa formula za profil brzine postaje:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 17
Profil brzine kod turbulentnog toka 3
yo se teoretski ne da izračunati pa koristimo rezultate pokusa. Npr. prema Nikuradse-u je za glatke cijevi:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 18
Profil brzine kod turbulentnog toka 4
uz Nikuradse-ove rezultate dobijamo slijedeću formulu:
tu još neznamo prividnu brzinu tangencijalnog naprezanja. Nju ćemo naći iz uvjeta u sredini cijevi (v=vmax u sredini!). Gornju relaciju prvo presložimo i napišemo jednom za os cijevi, a jednom za proizvoljni položaj y:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 19
Profil brzine kod turbulentnog toka 5
oduzimanjem donje jednadžbe od gornje i sreñivanjem nalazimo:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 20
Profil brzine kod turbulentnog toka 6
Problem! Uz stijenku to ide u minus beskonačno. (fizika govori: nema turbulentnog toka na samoj stijenci.).Kako je yo malen, i granični sloj tanak, to zanemarujemo, i protok računamo uz brzinu iz dobivene formule! Tako imamo:
uvrštavanjem izraza za brzinu i integracijom prvo dobijamo:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 21
Profil brzine kod turbulentnog toka 7
a iz protoka i srednju brzinu (po površini toka):
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 22
Profil brzine kod turbulentnog toka 8
ograničimo se na okrugle cijevi, pa nalazimo:
Podsjetimo se: veza gubitaka i koef. trenja je opisana sa:
a veza gubitaka i tangencijalnog naprezanja je:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 23
Profil brzine kod turbulentnog toka 9
Ukupno naprezanje zbroj je naprezanja u laminarnom sloju i vrtložnog naprezanja, no laminarni dio je malen (brzina uz stijenku je vrlo mala!) i može se zanemariti, pa , uz:
i prethodne formule izlazi:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 24
Profil brzine kod turbulentnog toka 10
Sad konačno možemo naći vezu srednje i maksimalne brzine:
te koeficijent brzine:
i Corioliss-ov koeficijent:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 25
Profil brzine kod turbulentnog toka 11
a možemo naći i profil brzine za turbulentno strujanje (pazite na prijelaz sa ln na log!):
Pokusi pokazuju da ovaj teoretski profil, u čijem izvodu smo zanemarili granični laminarni sloj, vrijedi i u stvarnim situacijama, uz male promjene koeficijenata:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 26
Koeficijent trenja glatkih cijevi
Iz raspodjele brzine možemo naći protok kroz cijev, a iz njega preko veze prosječne i maksimalne brzine i koeficijent trenja:
Ovo je Prandtl-Karman-ova formula. ITERATIVNA JE!
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 27
Koeficijent trenja glatkih cijevi 2
I na kraju, često se koristi i još jednostavnija Blasius-ova formula:
koja vrijedi u području Re<105
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 28
Faktori brzine za glatke cijevi
Ako upotrijebimo Blasius-ovu formulu profil brzine postaje:
ovo je Karman-ov 1/7-ki zakon:
y/r v/vmax
0 00,1 0,71 1 R-R r
v
vmax
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 29
Faktori brzine za glatke cijevi 2
Izrazi su komplicirani i obično se tabeliraju, a u praksi se najčešće koriste približne vrijednosti:
Pokusi: dužina na kojoj se formira turbulentni tok je:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 30
Uz stijenku cijevi uvijek postoji tanki sloj u kojem je strujanje laminarno. To je laminarni granični sloj. Za glatke cijevi njegova debljina je približno:
Hidraulička glatkost
Porastom Reynolds-ovog broja debljina graničnog laminarnog sloja se smanjuje!
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 31
Hidraulička glatkost 2
turbulentna jezgra toka
laminarni granični sloj
stijenka cijevi
Ovo je hidraulički glatka stijenka jer je granični laminarni sloj deblji od najvećih neravnina stijenke.
prijelazno područje
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 32
Hidraulička glatkost 3
turbulentna jezgra toka
laminarni granični sloj
stijenka cijevi
Ovo je prijelazno područje jer je granični laminarni sloj po debljini približno jednak najvećim neravninama stijenke.
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 33
Hidraulička glatkost 4
turbulentna jezgra toka
laminarni granični sloj
stijenka cijevi
Ovo je hidraulički hrapava stijenka jer je granični laminarni sloj znatno tanji od najvećih neravnina stijenke.
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 34
Hidraulička glatkost 5
e
dlam>4e hidraulički glatko4e>dlam>e/2 prijelazno područjedlam<e/2 hidraulički hrapavo
dlam
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 35
Koeficijent trenja hrapavih cijevi
estaklene <1 µmbakrene, plastične 0,01 mmvaljane čelične 0,1 mmlijevane čelične 0,5 mmbetonske 2 mm
edlam
ponašanje cijevi obično ovisi o omjeru e/R.
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 36
Koeficijent trenja hrapavih cijevi 2
hidraulički glatke cijevi λh=f(Re)
prijelazno područje λh=f(Re,e/R)
hidraulički hrapave cijevi λh=f(e/R)
Ponašanje cijevi ovisi o omjeru e/R, a teorija i eksperiment daju slične rezultate za koeficijent trenja.
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 37
Koeficijent trenja hrapavih cijevi 3
Colebrook-White-ova formula:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 38
Moody-ev dijagram
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 39
Koeficijent trenja hrapavih cijevi 5
Za danu cijev je e/R konstantno, pa je koeficijent trenja konstantan, a gubici proporcionalni kvadratu brzine toka:
U prijelaznom području je situacija složenija, pa se koriste grafički prikazani eksperimentalni podaci (Moody-ev dijagram).
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 40
Koeficijent trenja hrapavih cijevi 6
Kriteriji za odreñivanje vrste tečenja:
laminarno Re<2300turbulentno, glatko Re<0,5 d/eturbulentno, prijelazno Re<500 d/eturbulentno, hrapavo Re>500 d/e
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 41
Opis lokalnih gubitaka
Nastaju na mjestima promjene smjera ili presjeka toka i vrlo su složeni za analizu, pa se odreñuju pokusima. Općenito je:
pa se problem svodi na odreñivanje koeficijenta lokalnog gubitka ζ.
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 42
Opis lokalnih gubitaka 2
v1 v2A1 A2
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 43
Naglo proširenje
Borda-Carnot-ov gubitak.
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 44
Naglo proširenje 2
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 45
Dijafragma (prigušnica)
A1 A2
0,2
0,5
2,3
0,25
5,4
0,2
16
0,15
0,441,081ζ1
0,40,30,1m
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 46
Sapnica po ISO
A1 A2
0,2
0,7
2,3
0,4
5,4
0,3
16
0,2
0,080,441,081ζ1
0,80,60,50,1m
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 47
Postepeni prijelaz (difuzor)
A1 A2ϕ
Ako je kut difuzora veći od ca 30o, gubici su vrlo veliki zbog odvajnja toka od stijenke!kod malog kuta su gubici zbog dužine difuzora veliki!
L
Difuzora ima najrazličitijih kuteva i dužina. Koriste se za smanjenje gubitaka na mjestima promjene presjeka cijevi.
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 48
Postepeni prijelaz (difuzor) 2
A1 A2ϕ
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 49
Venturijeva cijev
A1,v1
Kombinacija sapnice i difuzora, služi za lokalno povečanje brzine toka.
A2,v2
0,3
0,5
2
0,25
3
0,2
7
0,15
0,5117ζ1
0,40,30,1m
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 50
Naglo suženje
kontrakcija mlaza:
A1,v1
As,vs
A2,v2
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 51
Naglo suženje 2
Kontrakcija mlaza je obično izmeñu 0,6 i 1. Uglavnom nije poznata, pa se koriste eksperimentalni podaci. Npr.:
1,8
0,4
9,4
0,2
0,160,5441ζ1
0,80,60,1m
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 52
Naglo suženje 3
Otupljivanje oštrih rubova smanjuje gubitke na 50%, a obli rubovi na 25%!
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 53
Postepeno suženje (konfuzor)
Gubici dolaze samo od trenja i maleni su. Za kuteve manje od 30o ih zanemarujemo, a kod kuteva većih od 60o
suženje više nije postepeno!
A1 A2ϕ
0,07
60o
0,04
45o
0,02ζ2
30oϕ
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 54
Ostali elementi cijevnog sustava
0,05zasun, potpuno otvoren
0,6-3,9ventil, potpuno otvoren
0,1-2,4zaštitna rešetka
0,05-0,1kuglasti ventil, potpuno otvoren
100-800gusto tkanje (platno)
2-25rijetko tkanje (gaza)
0,5-1,5grananje toka
0,05-3spajanje toka
ζζζζ1element
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 55
Ostali elementi cijevnog sustava 2
ζζζζ1= 1,4 ζζζζ1= 1,2
Lukovima se može koef. trenja smanjiti do ca. 0,2.
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 56
Ulazni otvori
v2
ζ2=0,25zaobljeni rub
ζ2=0,5oštar rub
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 57
Ulazni otvori 2
v2
ζζζζ2=1
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 58
Ulazni otvori 3
v2
ζζζζ2=0,005-0,1 ovisno o hrapavosti!
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 59
Izlazni otvori
ζζζζ1=0 (µ=1)
v1v1
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 60
Izlazni otvori 2
v1
ζζζζ1=1,8 (µ∼0,6)
v1
ζζζζ1=0,5 (µ∼0,8)
6-10R
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 61
Izlazni otvori 3
v1
ζζζζ1=0,1 (µ∼0,95)
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 62
Zbrajanje otpora
Otpori pojedinih elemenata cijevnog sustava zbrajaju se serijski:
λλλλ1,l1,r1
λλλλ2,l2,r2 λλλλ3,l3,r3, itd. ζζζζ1
ζζζζ2
A1,v1 A2,v2 A3,v3
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 63
Zbrajanje otpora 2
Kod paralelnih cjevovoda koristi se Kirchoff-ov zakon:
∆h1
∆h2
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 64
Zbrajanje otpora 3
∆h3
∆h4
∆h1
ukupni otpor grana=∆h2
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 65
Izlazna energija
Izlazna energija je preostala energija koju fluid ima kad napušta naš cijevni sustav (turbulentno strujanje!):
Bernoulli-jeva jednadžba za cijeli sustav (izlazni tlak je 0!):
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 66
Izlazna energija 2
Na ulazu u sustav mora se stvoriti energetska visina jednaka ukupnim gubicima u sustavu:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P6 67
Izlazna energija 3
Primjer: horizontalna ravna cijev:
vul viz
vul=viz, zul=ziz