Zadatak 081 (Vedran, maturant) - halapa · 2010. 7. 22. · 1 Zadatak 081 (Vedran, maturant) Jedan...

15
1 Zadatak 081 (Vedran, maturant) Jedan kut u trokutu jednak je 2 3 drugog kuta i istodobno 4 5 trećeg. Koliki je najveći kut trokuta? Rješenje 081 Ponovimo! Zbroj kutova u trokutu je 180°: . 0 180 α β γ + + = 2 2 3 3 3 2 4 4 5 3 5 0 180 5 5 4 2 4 0 0 3 / 2 5 0 180 180 18 / / 4 0 4 α β α β β α α γ α γ γ α α α α α β γ α β γ α β γ = = = = = = + + = + + = + + = + + = 0 0 0 4 6 5 720 15 720 / 48 . :15 α α α α α + + = = = Najveći kut je β: 3 3 0 0 2 48 72 . 2 0 48 β α β β α = = = = Vježba 081 Jedan kut u trokutu jednak je 1 2 drugog kuta i istodobno 1 3 trećeg. Koliki je najveći kut trokuta? Rezultat: 90°. Zadatak 082 (Lidija, ekonomska škola) Nakon dva uzastopna pojeftinjenja cijena proizvoda se prepolovila. Koliko je bilo prvo pojeftinjenje, ako je drugo bilo 20%? Rješenje 082 1.inačica Neka je x početna cijena robe, p prvo pojeftinjenje, a y cijena nakon prvog pojeftinjenja. Tada vrijedi: 1 1 1 100 100 100 100 20 80 4 5 100 2 100 2 5 2 5 4 8 / p p p p x y x y x y x x y x x x y y y y y x - = - = - = - = - = = = = ( ) /: / 5 5 5 3 1 1 1 100 8 100 8 10 1 0 8 100 8 00 x p p p p x x - = - = - = - - =- - 300 37.5%. 8 p p = = 2.inačica Zbog jednostavnosti računanja (jer je riječ o postotnom računu) neka je 100 početna cijena robe, a x cijena prije drugog pojeftinjenja. Budući da se nakon dva uzastopna pojeftinjenja cijena proizvoda prepolovila, slijedi: 20 80 4 250 50 50 50 62.5. 100 100 5 5 / 4 4 x x x x x x - = = = = =

Transcript of Zadatak 081 (Vedran, maturant) - halapa · 2010. 7. 22. · 1 Zadatak 081 (Vedran, maturant) Jedan...

  • 1

    Zadatak 081 (Vedran, maturant)

    Jedan kut u trokutu jednak je 2

    3 drugog kuta i istodobno

    4

    5 trećeg. Koliki je najveći kut

    trokuta?

    Rješenje 081 Ponovimo! Zbroj kutova u trokutu je 180°:

    .0180α β γ+ + =

    2 2 3

    3 3 24 4 5 3 5 01805 5 4 2 4

    00

    3/

    25

    0 180180 18

    / /4

    0

    4

    α β α β β α

    α γ α γ γ α α α α

    α β γα β γ α β γ

    = ⋅ = ⋅ = ⋅

    = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ + ⋅ + ⋅ = ⇒

    ⋅ + + =+ + = + + =

    0 0 04 6 5 720 15 720 / 48 .:15α α α α α⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

    Najveći kut je β: 3

    3 0 02 48 72 .2048

    β αβ β

    α

    = ⋅

    ⇒ = ⋅ ⇒ ==

    Vježba 081

    Jedan kut u trokutu jednak je 1

    2 drugog kuta i istodobno

    1

    3 trećeg. Koliki je najveći kut

    trokuta?

    Rezultat: 90°. Zadatak 082 (Lidija, ekonomska škola) Nakon dva uzastopna pojeftinjenja cijena proizvoda se prepolovila. Koliko je bilo prvo pojeftinjenje, ako je drugo bilo 20%?

    Rješenje 082

    1.inačica Neka je x početna cijena robe, p prvo pojeftinjenje, a y cijena nakon prvog pojeftinjenja. Tada vrijedi:

    1 1 1100 100 100100

    20 80 4 5100 2 100 2 5 2

    5

    4 8/

    p p ppx y x y x yx x y

    x x xy y y y y x

    ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − =− ⋅ = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

    − ⋅ = ⋅ = ⋅ = = ⋅

    ( )/ : /5 5 5 3

    1 1 1100 8 100 8 10

    10 8 100 8

    00xp p p p

    x x

    ⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒ − = ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒

    30037.5%.

    8p p⇒ = ⇒ =

    2.inačica Zbog jednostavnosti računanja (jer je riječ o postotnom računu) neka je 100 početna cijena robe, a x cijena prije drugog pojeftinjenja. Budući da se nakon dva uzastopna pojeftinjenja cijena proizvoda prepolovila, slijedi:

    20 80 4 25050 50 50 62.5.

    100 100 5

    5/

    4 4x x x x x x− ⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =⋅⇒ =

  • 2

    Prvo je pojeftinjenje bilo: 100 100 62.5 37.5%.x− = − =

    Vježba 082 Nakon dva uzastopna pojeftinjenja cijena proizvoda se prepolovila. Koliko je bilo prvo pojeftinjenje, ako je drugo bilo 10%?

    Rezultat: 44.44%. Zadatak 083 (Lidija, ekonomska škola)

    U nekom razredu 3

    4 učenika uči engleski, a

    2

    5 francuski jezik. Ako svaki učenik uči bar jedan

    jezik, koliki je postotak učenika koji uče oba jezika?

    Rješenje 083

    1.inačica Budući da zbroj razlomaka premašuje jedno cijelo (1 = 100%), slijedi:

    3 2 15 8 23 3 31 1

    15

    101 .

    4 5 20 20 20 20 0

    ++ = = = = + = +

    Oba jezika uči 15% učenika.

    2.inačica Shematski je zgodno skupove predstavljati kao dijelove ravnine omeñene zatvorenim krivuljama. To su tzv. Vennovi dijagrami. Neka je x broj učenika koji uče oba strana jezika.

    3 2 3 2 3 2 20 15 81 1 1

    4 5 4

    1001 100%

    10 5 4 50 20x x x xx x

    − − + − = ⇒ ⇒ + − = ⇒ −− + = = − − ⇒ − = ⇒

    =

    ( )3 3 15

    15%.20 2

    / 10 100

    x x x x⋅ −⇒ − = − ⇒ = ⇒ = ⇒ =

    Oba jezika uči 15% učenika.

    Vježba 083 Nakon dva uzastopna pojeftinjenja cijena proizvoda se prepolovila. Koliko je bilo prvo pojeftinjenje, ako je drugo bilo 10%?

    Rezultat: 44.44%. Zadatak 084 (Tina, maturantica) Koliko kišnih kapi stane u posudu oblika kocke brida 10 centimetara ako uzmemo da kišna

    kap ima oblik kuglice promjera 4

    3 π milimetara?

    Rješenje 084 Ponovimo!

    ( ) , , .nnm a an n m n m n m

    a a a a anbb

    ⋅ ⋅= = ⋅ =

    Kocka (heksaedar) je pravilan poliedar. Ona je omeñena sa šest sukladnik strana koje su kvadrati, ima 8 vrhova i 12 bridova. Obujam (volumen) kocke brida a iznosi

    francuskiengleski

    2

    5 - x

    3

    4 - x

    x

  • 3

    3.V a=

    Kugla sa središtem S i polumjerom r skup je svih točaka T prostora za koje vrijedi

    .TS r≤

    Obujam (volumen) kugle polumjera r iznosi 3 .

    4

    3V r π= ⋅ ⋅

    Obujam posude koja ima oblik kocke je:

    ( ) ( )10 100 33 2 6 3100 10 10 .3

    a cm mmV mm V mm V mmp p p

    V ap

    = = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

    =

    Obujam jedne kišne kapi oblika kuglice kojoj je zadan promjer iznosi:

    4 2 323 3 4 2 4 8 323 3.

    33 3 3

    /: 2

    4 43 33 3

    r mm r mm

    V V mm V mmk k k

    V r V rk k

    π πππ

    ππ

    ππ

    ⋅ = = ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =

    = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

    Računamo koliko kišnih kapi stane u posudu:

    56 3 6 5 510 3 10 3 10 10 10 103 10 3 10

    5 532 3 32 22 23

    V V V V Vmmp p p p p

    V V V V Vmmk k k k k

    ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

    5 5 63 5 10 3 5 2 5 6 5 .V V Vp p p

    V V Vk k k

    ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

    Vježba 084 Koliko kišnih kapi stane u posudu oblika kocke brida 1 centimetar ako uzmemo da kišna kap

    ima oblik kuglice promjera 2

    3 π milimetara?

    Rezultat: 6 · 53. Zadatak 085 (Renato, srednjoškolac) Iskopati kanal može Pero za 18 sati, a Jure za 6 sati ako rade svaki za sebe. Za koliko vremena bi iskopali kanal ako rade zajedno?

    Rješenje 085 1.inačica

    Pero iskopa za 1 sat 1

    ti18

    − dio kanala. Jure iskopa za 1 sat 1

    ti6

    − dio kanala. Ako bi obojica radili

    zajedno iskopali bi kanal za x sati, onda bi za 1 sat iskopali 1

    tix

    − dio kanala. Stoga mora biti:

    1 1 1 1 3 1 4 1 2 1 92 9 4.5.

    18 6 18 18 9 2/:2x x x

    x x x x

    ++ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ =

    Ako rade zajedno kanal bi iskopali za 4.5 sati.

    2.inačica Probleme ovog tipa svodimo na promatranje ''količine'' dogañaja u jedinici vremena.

    Za 1 sat Pero iskopa 1

    ti18

    − dio kanala. Za 1 sat Jure iskopa 1

    ti6

    − dio kanala. Zajedno za 1 sat

    naprave:

  • 4

    1 1 1 3 4 2

    18 6 18 18 9

    ++ = = = posla.

    Cijeli posao napravit će za x sati:

    9/

    2 91 4. .

    9 25

    2x x x⇒ = ⇒ =⋅⋅ =

    Ako rade zajedno kanal bi iskopali za 4.5 sati.

    Vježba 085 Iskopati kanal može Pero za 18 sati, a Jure za 9 sati ako rade svaki za sebe. Za koliko vremena bi iskopali kanal ako rade zajedno?

    Rezultat: 6 h. Zadatak 086 (Ivan, tehnička škola) Kad bi svaki učenik u razredu sjedio sam u svojoj klupi nedostajalo bi 11 klupa. A kad bi sjedila po dvojica u klupi, 5 bi klupa bilo suvišnih. Koliko je u razredu učenika, a koliko klupa?

    Rješenje 086 Ponovimo! Zapišimo sljedeće rečenice u obliku matematičkih izraza:

    • broj x je za 11 manji od broja y:

    x + 11 = y ili y – x = 11 ili x = y – 11

    • broj x je za 11 veći od broja y:

    x – 11 = y ili x – y = 11 ili x = y + 11

    • broj x je dvostruko veći od broja y:

    2 ili 2 ili2

    x xx y y

    y= ⋅ = =

    • broj x je dvostruko manji od broja y:

    12 ili ili .

    2 2

    x yx y x

    y⋅ = = =

    Označimo slovom x broj učenika, a slovom y broj klupa. Postavimo sustav jednadžbi:

    • ako svaki učenik u razredu sjedi sam u svojoj klupi nedostaje 11 klupa:

    x – y = 11,

    • ako bi sjedila po dvojica učenika u klupi, 5 bi klupa bilo suvišnih

    2 · (y – 5) = x. Iz sustava jednadžbi slijedi:

    ( )metoda suprotnih

    koeficijenat

    11 11 1121

    2 5 2 10 a2 10

    x y x y x yy

    y x y x x y

    − = − = − = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ ⋅ − = ⋅ − = − + ⋅ =

    2121 11 11 21 32.

    11

    yx x x

    x y

    = ⇒ ⇒ − = ⇒ = + ⇒ =

    − =

    Vježba 086 Kad bi svaki učenik u razredu sjedio sam u svojoj klupi nedostajalo bi 10 klupa. A kad bi sjedila po dvojica u klupi, 5 bi klupa bilo suvišnih. Koliko je u razredu učenika, a koliko klupa?

    Rezultat: Učenika je 30, a klupa 20.

  • 5

    Zadatak 087 (Mia, maturantica) Cijena kino ulaznice za odrasle je 28 kn, a za djecu 20 kn. Za jednu kino predstavu prosječna zarada po posjetitelju je bila 26 kn. Koliki je omjer broja odraslih posjetitelja i djece na toj predstavi?

    Rješenje 087 Ponovimo! Aritmetička sredina brojeva a1, a2, a3, …, an dana je formulom:

    ...1 2 3 .a a a an

    An

    + + + +=

    Označimo slovom x broj odraslih posjetitelja, a slovom y broj djece. Tada je ukupna zarada za jednu kino predstavu

    28 · x + 20 · y, a ukupan broj posjetitelja

    x + y.

    Budući da je prosječna zarada po posjetitelju 26 kn, slijedi:

    ( ) ( )28 20 28 20

    26 26 28 20 26/x y x y

    x y x yx y x y

    x y⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

    = ⇒ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⇒+

    ⋅ ++

    28 20 26 26 28 26 26 20x y x y x x y y⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒

    6 32 6 : 3 :1.

    2

    1/

    2 1y

    x xx y x y

    y y⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ =⋅

    Vježba 087 Cijena kino ulaznice za odrasle je 28 kn, a za djecu 20 kn. Za jednu kino predstavu prosječna zarada po posjetitelju je bila 26 kn. Koliki je omjer broja djece i odraslih posjetitelja na toj predstavi?

    Rezultat: 1 : 3. Zadatak 088 (Alenka, gimnazija) Ako se dvoznamenkasti broj podijeli znamenkom jedinica, dobije se kvocijent 5 i ostatak 2, a ako se podijeli zbrojem znamenaka, dobije se kvocijent 3 i ostatak 7. Koji je to broj?

    Rješenje 088 Ponovimo!

    Za dvoznamenkasti broj ab vrijedi:

    10 ,ab a b= ⋅ +

    gdje je { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9a ∈ i { }0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9b∈ . Označimo slovom a znamenku desetica, a slovom b znamenku jedinica dvoznamenkastog broja.

    Iz prve rečenice '' Ako se dvoznamenkasti broj podijeli znamenkom jedinica, dobije se kvocijent 5 i ostatak 2, …'' slijedi jednadžba:

    10 2 10 25 5 10 5 2 10 5/ 2b

    a b a ba b b a b b

    b b b b

    ⋅ + ⋅ += + ⇒ = + ⇒ ⋅ + = ⋅ + ⇒ ⋅ + ⋅⋅ − = ⇒

    /: 210 4 2 5 2 1.a b a b⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ =

    Iz druge rečenice ''… , a ako se podijeli zbrojem znamenaka, dobije se kvocijent 3 i ostatak 7.'' slijedi jednadžba:

    ( ) ( )10 7 10 7

    3 3 10/ 3 7a b a b

    a b a ba b a b a

    ab

    ba b

    ⋅ + ⋅ += + ⇒ = + ⇒ ⋅ + = ⋅ + + ⇒

    + + + +⋅ +

    10 3 3 7 10 3 3 7 7 2 7a b a b a b a b a b⇒ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⇒ ⋅ + − ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ =

    Tada se zadatak svodi na sustav jednadžbi

    ( )/ 1metoda suprotnihkoeficijenat

    5 2 15 2 1 5 2 1

    7 2 7 a 7 2 77 2 7

    a ba b a b

    a b a ba b

    ⋅ − ⋅ =⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅ = − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =⋅ − ⋅ =

  • 6

    32 6 3 5 3 2 1 15 2 1 2 1 15

    5/

    1: 2

    2

    aa a b b b

    a b

    = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = − ⇒

    ⋅ − ⋅ =

    ( )/2 14 7: 2 .b b⇒ −− ⋅ = − ⇒ = Traženi broj je 37.

    Vježba 088 Ako se dvoznamenkasti broj podijeli znamenkom jedinica, dobije se kvocijent 3 i ostatak 6, a ako se podijeli zbrojem znamenaka, dobije se kvocijent 3 i ostatak 0. Koji je to broj?

    Rezultat: 27. Zadatak 089 (Robert, srednja škola) Puž se penje po stupu visokom 10 m. Danju se popne 5 m, a noću se spusti 4 m. Koliko mu dana treba da se popne na vrh stupa?

    Rješenje 089 Danju se puž popne po stupu 5 m, a noću spusti 4 m. Znači da se tijekom jednog dana (24 h) puž popne po stupu 1 m (5 m – 4 m). Nakon 5 dana bit će na visini 5 m. Šesti dan popet će se na vrh stupa koji je visok 10 m.

    Vježba 089 Puž se penje po stupu visokom 12 m. Danju se popne 2 m, a noću se spusti 1 m. Koliko mu dana treba da se popne na vrh stupa?

    Rezultat: 11 dana. Zadatak 090 (Iva, srednja škola) Marko je pustio puža po stupu visokom 12 metara. Puž se danju popne 2 m, a noću spusti 1 m. Jedan dan kasnije Iva ☺ je pustila drugog puža po istom stupu koji se danju popne 4 m, a noću spusti 3 m. Čiji će puž prvi stići na vrh stupa, Markov ili Ivin?

    Rješenje 090 Markov puž danju se popne 2 m, a noću spusti 1 m. Znači da se tijekom jednog dana (24 h) popne po stupu 1 m (2 m – 1 m). Za 10 dana puž će biti na visini 10 m (još mu nedostaju 2 m do vrha stupa). Jedanaestog dana popet će se na vrh stupa. Dakle,

    Markovom pužu treba 11 dana da se popne na vrh stupa. Ivin puž danju se popne 4 m, a noću spusti 3 m. Znači da se tijekom jednog dana (24 h) popne po stupu 1 m (4 m – 3 m). Za 8 dana puž će biti na visini 8 m (još mu nedostaju 4 m do vrha stupa). Devetog dana popet će se na vrh stupa. Budući da je Iva pustila puža jedan dan kasnije ukupno će njezinom pužu trebati 10 dana. Ivin puž prvi će stići na vrh stupa. Bravooo Iva! ☺

    Vježba 090 Marko je pustio puža po stupu visokom 12 metara. Puž se danju popne 2 m, a noću spusti 1 m. Dva dana kasnije Iva ☺ je pustila drugog puža po istom stupu koji se danju popne 4 m, a noću spusti 3 m. Čiji će puž prvi stići na vrh stupa, Markov ili Ivin?

    Rezultat: Oba će stići istodobno.

    5 m

    4 m4 m

    5 m

    10 m 10 m

    1 m

    nakon6 dana

    nakon1 dan

    10 m

  • 7

    Zadatak 091 (Ivica, srednja škola) Dvije kruške imaju zajedno 100 grama. Veća kruška i uteg od 30 grama u ravnoteži su s manjom kruškom i utegom od 40 grama. Koliko teži svaka kruška?

    Rješenje 091 1.inačica Neka je x masa veće kruške, a y masa manje kruške. Budući da zajedno imaju 100 grama, vrijedi jednakost

    x + y = 100.

    Masu veće kruške i utega od 30 grama zapisujemo u obliku

    x + 30,

    a masu manje kruške i utega od 40 grama zapisujemo u obliku

    y + 40. Budući da su one (mase) u ravnoteži, slijedi

    x + 30 = y + 40.

    Iz sustava od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice izračuna se masa krušaka.

    100 100 100 metoda

    30 40 40 30

    suprotnih

    koeficijenat0 a1

    x y x y x y

    x y x y x y

    + = + = + =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

    + = + − = − − =

    552

    metoda/ : 2

    sups110 2

    titu110 55

    1 cije00

    xx x x

    x y

    =⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ ⇒ ⇒

    + =

    55 100 100 55 45.y y y⇒ + = ⇒ = − ⇒ = Masa veće kruške je 55 grama, a manje 45 grama.

    2.inačica Označimo slovom x masu veće kruške. Budući da dvije kruške imaju zajedno 100 grama, manja kruška imat će masu

    100 – x.

    Masu veće kruške i utega od 30 grama zapisujemo u obliku

    x + 30,

    a masu manje kruške i utega od 40 grama zapisujemo u obliku

    100 – x + 40.

    Budući da su one (mase) u ravnoteži, slijedi

    x + 30 = 100 – x + 40.

    Rješenje linearne jednadžbe je masa veće kruške.

    30 100 40 100 40 30 2 110 /2 11 5.20 5:x x x x x x x+ = − + ⇒ + = + − ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = Masa manje kruške iznosi:

    100 100 55 45.x− = − =

    Masa veće kruške je 55 grama, a manje 45 grama.

    x + y = 100 yx

    40 g30 g

    ++

    Vježba 091 Dvije kruške imaju zajedno 100 grama. Veća kruška i uteg od 20 grama u ravnoteži su s manjom kruškom i utegom od 30 grama. Koliko teži svaka kruška?

    Rezultat: 55 g, 45 g.

  • 8

    Zadatak 092 (Nikolina, gimnazija) U tri košare nalaze se jabuke. U svakoj košari se nalazi najviše 15 jabuka, te ne postoje dvije košare s istim brojem jabuka. Ako je ukupan broj jabuka u sve tri košare jednak 41, koliko se ukupno jabuka nalazi u košari s najviše i u košari s najmanje jabuka?

    Rješenje 092 Ako je ukupan broj jabuka u sve tri košare jednak 41, tada je u svakoj košari, u prosjeku, 14 jabuka:

    41 : 3 13.66... 14

    11

    20

    20

    2

    = ≈

    Budući da je u svakoj košari najviše 15 jabuka, te ne postoje dvije košare s istim brojem jabuka, metodom pogañanja dobije se rezultat. Gledaj tablicu!

    1.košara 2.košara 3.košara Ukupno 13 14 15 42 12 14 15 41 12 13 15 40

    U prvoj košari nalazi se 12 jabuka, u drugoj 14, a u trećoj 15 jabuka. U košari s najviše i u košari s najmanje jabuka ima ukupno

    12 + 15 = 27 jabuka.

    Vježba 092 U tri košare nalaze se jabuke. U svakoj košari se nalazi najviše 15 jabuka, te ne postoje dvije košare s istim brojem jabuka. Ako je ukupan broj jabuka u sve tri košare jednak 42, koliko se ukupno jabuka nalazi u košari s najviše i u košari s najmanje jabuka?

    Rezultat: 28 jabuka. Zadatak 093 (Matija, srednja škola) Josip put od kuće do dućana prevali 4 puta brže na biciklu negoli pješice. Ako u dućan doñe biciklom i vrati se doma pješice za ukupno 20 minuta, u kojem bi vremenu prevalio isti put da je u oba smjera išao biciklom?

    Rješenje 093 Ponovimo! Omjer je količnik dviju istovrsnih veličina

    : ili ,a

    a b k kb

    = =

    gdje je a – prvi član omjera b – drugi član omjera k – vrijednost (količnik) omjera. Vrijednost omjera se ne mijenja ako se članovi omjera pomnože (proširenje omjera) ili podijele (skraćivanje omjera) s nekim brojem različitim od nule.

    ( ) ( ) ( ) ( ): : : : : :, .a b k a c b c k a b k a d b d k= ⇒ ⋅ ⋅ = = ⇒ = 1.inačica Neka je x vrijeme za koje Josip pješice prevali put od kuće do dućana. Neka je y vrijeme za koje biciklom prevali put od kuće do dućana. Budući da put od kuće do dućana prevali 4 puta brže na biciklu negoli pješice, vrijedi:

    4 .x y= ⋅ Iz uvjeta da u dućan doñe biciklom i vrati se doma pješice za ukupno 20 minuta, slijedi jednadžba:

  • 9

    20.y x+ = Riješimo sustav jednadžbi:

    metoda/ : 5

    supstitucije

    44 20 5 20 4.

    20

    x yy y y y

    y x

    = ⋅⇒ ⇒ + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

    + =

    Ako Josip u oba smjera ide biciklom, treba mu

    2 2 4 8 min .y⋅ = ⋅ = 2.inačica Uočimo da se vremena za koje Josip ide pješice i za koje se vozi biciklom, od doma do dućana, odnose kao

    4 : 1. Proširimo omjer sa 4.

    ( ) ( )4 : 1 4 4 : 1 4 16 : 4.= ⋅ ⋅ = Budući da je

    16 4 20,+ =

    znači da Josip treba 16 minuta za pješačenje od doma do dućana, a 4 minute za vožnju biciklom na istom putu. Ako se vozi u oba smjera biciklom treba mu

    2 4 min 8 min .⋅ =

    4 : 1

    Vježba 093 Josip put od kuće do dućana prevali 4 puta brže na biciklu negoli pješice. Ako u dućan doñe biciklom i vrati se doma pješice za ukupno 30 minuta, u kojem bi vremenu prevalio isti put da je u oba smjera išao biciklom?

    Rezultat: 12 min. Zadatak 094 (Petar, srednja škola) Umnožak četiriju uzastopnih cijelih brojeva uvećan za 1 potpuni je kvadrat. Dokaži!

    Rješenje 094 Ponovimo!

    ( ) ( )2 22 2 2 2

    2 2, .a b a a b b a b a a b b+ = + ⋅ ⋅ + − = − ⋅ ⋅ +

    Budući da cijeli brojevi rastu za jedan, četiri uzastopna cijela broja možemo zapisati na više načina:

    3, 2, 1, 2, 1, , 1 1, , 1, 2 , 1, 2,, 3, , .n n n n n n n n n n n n n n n n− − − − − + − + + + + +

    1.inačica

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 1 3 2 1 1n n n n n n n n− ⋅ − ⋅ − ⋅ + = − ⋅ ⋅ − ⋅ − + =

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 23 2 2 1 3 3 2 1 3 3 2 1n n n n n n n n n n n n n= − ⋅ ⋅ − − ⋅ + + = − ⋅ ⋅ − ⋅ + + = − ⋅ ⋅ − ⋅ + + =

    ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2

    3 2 3 1 3

    kvadrat bro

    1

    ja

    1 3 .n n n n n n n n= − ⋅ + ⋅ − ⋅ + = − ⋅ + = − ⋅ +�������

    2.inačica

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1 2 1 1 1n n n n n n n n− ⋅ − ⋅ ⋅ + + = − ⋅ + ⋅ − ⋅ + =

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 1 2 1 2 1n n n n n n n n n n n n n= + − ⋅ − ⋅ − + = − − ⋅ − + = − − ⋅ − + =

  • 10

    ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2

    2 1 1 1

    kvadrat b

    .

    roja

    n n n n n n n n= − − ⋅ − + = − − = − −�������

    3.inačica

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 2 1 1n n n n n n n n− ⋅ ⋅ + ⋅ + + = − ⋅ + ⋅ ⋅ + + =

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 1 2 1 2 1n n n n n n n n n n n n n= + ⋅ − − ⋅ + + = + − ⋅ + + = + − ⋅ + + =

    ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2

    2 1 1 1

    kvadrat b

    .

    roja

    n n n n n n n n= + − ⋅ + + = + − = + −�������

    4.inačica

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 3 1 2 1n n n n n n n n⋅ + ⋅ + ⋅ + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + =

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 23 2 2 1 3 3 2 1 3 3 2 1n n n n n n n n n n n n n= + ⋅ ⋅ + ⋅ + + + = + ⋅ ⋅ + ⋅ + + = + ⋅ ⋅ + ⋅ + + =

    ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2

    3 2 3 1 3

    kvadrat bro

    1

    ja

    1 3 .n n n n n n n n= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = + ⋅ + = + ⋅ +�������

    Vježba 094 Umnožak dva uzastopna cijela broja uvećan za manji od tih brojeva i za broj 1 potpuni je kvadrat. Dokaži!

    Rezultat: Dokaz analogan. Zadatak 095 (Mimi, srednja škola) Djelatnik A primio je za odreñen broj dana rada 6000 kn, a B koji je radio 5 dana manje, primio je 4800 kn. Kad bi A izostao 5 dana sa posla, a B radio onoliko dana koliko je A stvarno radio, tada bi B primio 1900 kn više nego A. Koliko je dana radio svaki od njih?

    Rješenje 095 Ponovimo! Kako zapisati da je broj x za a veći od broja y? Postoje tri inačice:

    , , .x a y x y a x y a− = = + − = Neka je djelatnik A radio x dana za dnevnu zaradu od y kuna. Njegova zarada je:

    6000.x y⋅ = Djelatnik B je radio 5 dana manje, x – 5 dana, za dnevnu zaradu od z kuna. Njegova zarada je:

    ( )5 4800.x z− ⋅ = Kad bi A izostao 5 dana s posla, a B radio onoliko dana koliko je A stvarno radio, tada bi B primio 1900 kn više nego A. Vrijedi jednadžba:

    ( )5 1900.x z x y⋅ − − ⋅ = Rješavamo sustav jednadžbi:

    ( )

    ( ) ( )

    metoda

    6 000

    6 0004800

    5 48005

    5 19supstitucij

    00 5 190

    e

    0

    yxx y

    x z zx

    x z x yx z x y

    =

    ⋅ =

    − ⋅ = ⇒ = ⇒ ⇒−

    ⋅ − − ⋅ =⋅ − − ⋅ =

  • 11

    ( )4800 6 000 5

    5 1900 4800 6 000 19005 5

    / : 100x x

    x xx x x x

    −⇒ ⋅ − − ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒

    − −

    supstitucija

    55 1

    48 60 19 48 601,

    19

    55

    x xt

    x x tx x

    tx x t

    −= =

    −⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒

    ( )1 2 2

    48 60 19 48 60 19 60 19 48 0/ / 1t tt t t tt

    ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = ⋅ ⇒ − ⋅ − ⋅ + =⋅ ⋅ − ⇒

    60 , 19 , 482

    2 60 19 48 0 260 19 48 0 460 , 19 , 48

    1,2 2

    a b c

    t tt t

    b b a ca b c t

    a

    = = = −

    ⋅ + ⋅ − =⇒ ⋅ + ⋅ − = ⇒ ⇒ ⇒

    − ± − ⋅ ⋅= = = − =

    ( )19 361 4 60 48 19 361 11520 19 118811,2 1,2 1,22 60 120 120t t t

    − ± − ⋅ ⋅ − − ± + − ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

    19 109 90 31 1 119 109 120 120 4 .1,2 1619 109 128120

    22 2 15120 120

    t t t

    t

    tt t

    − += = =

    − ±⇒ = ⇒ ⇒ ⇒

    − −= −= = −

    Vraćamo se supstituciji:

    • ( )

    5

    5 34 5 3 4 20 3 4 3 20 20.

    3 4

    4

    xt

    xxx x x x x x x

    xt

    −=

    −⇒ = ⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ =

    =

    Djelatnik A radio je 20 dana, a djelatnik B

    x – 5 = 20 – 5 = 15 dana.

    • ( )

    5

    5 1615 5 16 15 75 16

    16 15

    15

    xt

    xxx x x x

    xt

    −=

    −⇒ = − ⇒ ⋅ − = − ⋅ ⇒ ⋅ − = − ⋅ ⇒

    = −

    1/ nema sm

    7515 16 75 31 75 isla

    31.

    31x x x x⋅⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

    Vježba 095 Djelatnik A primio je za odreñen broj dana rada 6000 kn, a B koji je radio 5 dana manje, primio je 4800 kn. Kad bi A izostao 5 dana sa posla, a B radio onoliko dana koliko je A stvarno radio, tada bi B primio 1900 kn više nego A. Kolika im je nadnica?

    Rezultat: 300 kn, 320 kn. Zadatak 096 (Amela, studentica) Test na prijamnom ispitu sadrži 40 zadataka. Za svaki točan odgovor dobiva se 15 bodova, za netočan se gubi 4 boda. Pristupnik je odgovorio na sva pitanja. Koliko je imao točnih odgovora ako je osvojio 410 bodova?

    Rješenje 096 1.inačica Označimo slovom x broj točnih odgovora na koja je pristupnik odgovorio. Tada je 40 – x broj netočnih odgovora. Budući da je pristupnik osvojio 410 bodova, vrijedi:

  • 12

    ( )15 4 40 410 15 160 4 410 15 4 410 160 19 570x x x x x x x⋅ − ⋅ − = ⇒ ⋅ − + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = + ⇒ ⋅ = ⇒

    /:1 19 570 30.9x x⇒ ⋅ = ⇒ = Pristupnik je odgovorio točno na 30 pitanja.

    2.inačica Neka je x broj točnih, a y broj netočnih odgovora. Postavimo jednadžbe! Pristupnik je odgovorio na 40 pitanja:

    x + y = 40, a osvojio je ukupno 410 bodova:

    15 · x – 4 · y = 410. Iz sustava jednadžbi dobije se x:

    metoda suprotnih / 4

    koeficij

    40 40 4 4 1

    en

    60

    15 4 410 15 4 410 15 4 4a a 1t 0

    x y x y x y

    x y x y x y

    + = + = ⋅ + ⋅ = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =

    / :1 19 570 30.9x x⇒ ⋅ = ⇒ =

    Pristupnik je odgovorio točno na 30 pitanja.

    Vježba 096 Test na prijamnom ispitu sadrži 30 zadataka. Za svaki točan odgovor dobiva se 15 bodova, za netočan se gubi 4 boda. Pristupnik je odgovorio na sva pitanja. Koliko je imao točnih odgovora ako je osvojio 260 bodova?

    Rezultat: 20. Zadatak 097 (Ekipa, TUPŠ)

    Svemirska sonda putuje prema planetu udaljenom 4 · 109 km od Zemlje. Nakon što je prošla četvrtinu puta, izgubila je vezu s bazom na Zemlji. Veza je ponovno uspostavljena na udaljenosti 1.3 · 109 km od Zemlje. Koliko je kilometara sonda preletjela bez kontakta s bazom?

    A. 3 · 108 km B. 3 · 107 km C. 130 km D. 13 km

    Rješenje 097

    Ponovimo!

    ,1 .n m n ma a a a a += ⋅ =

    x

    s2

    s1

    d

    Sa slika vidi se:

    1 19 9 9 94 10 , 4 10 1 10 , 1.3 10 , ?1 24 4d km s d km km s km x= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =

    Bez kontakta s bazom sonda je preletjela x kilometara:

    9 9 9 8 81.3 10 1 10 0.3 10 0.3 10 10 3 10 .2 1x s s x km km x km x km x km= − ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

    Odgovor je pod A.

  • 13

    Vježba 097 Svemirska sonda putuje prema planetu udaljenom 4 · 109 km od Zemlje. Nakon što je prošla polovicu puta, izgubila je vezu s bazom na Zemlji. Veza je ponovno uspostavljena na udaljenosti 2.3 · 109 km od Zemlje. Koliko je kilometara sonda preletjela bez kontakta s bazom?

    A. 3 · 108 km B. 3 · 107 km C. 130 km D. 13 km

    Rezultat: Odgovor je pod A. Zadatak 098 (Ivana, THK)

    Obrtnik prodaje suvenire. Ukoliko ništa ne proizvede, njegovi su troškovi 1000 kn. Cijena suvenira je 25 kn, a trošak po jednom suveniru 5 kn. a) Kolika je najmanja količina suvenira koju obrtnik treba prodati da bi pokrio svoje troškove? b) Koliko najmanje suvenira treba prodati da bi njegova dobit bila barem 5000 kn?

    Rješenje 098

    Neka je x broj suvenira koje obrtnik proizvede. Budući da je cijena po komadu 25 kn, zarada iznosi

    25 · x.

    Fiksni trošak obrtnika je 1000 kn, a trošak po jednom suveniru 5 kn. Ukupni troškovi su

    1000 + 5 · x. a) Najmanja količina suvenira, koje obrtnik mora prodati da bi pokrio svoje troškove, iznosi:

    25 1000 5 25 5 1000 20 1000 20 /: 21 0 00 0 50.x x x x x x x⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = b) Najmanja količina suvenira, koje obrtnik mora prodati, uz zadane uvjete, da bi njegova dobit bila barem 5000 kn, iznosi:

    25 1000 5 5000 25 5 1000 5000 20 60 /00 20 6000 30: 2 0.0x x x x x x x⋅ = + ⋅ + ⇒ ⋅ − ⋅ = + ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

    Vježba 098 Obrtnik prodaje suvenire. Ukoliko ništa ne proizvede, njegovi su troškovi 1000 kn. Cijena suvenira je 15 kn, a trošak po jednom suveniru 5 kn. Kolika je najmanja količina suvenira koju obrtnik treba prodati da bi pokrio svoje troškove?

    Rezultat: 100. Zadatak 099 (Valentina, srednja škola)

    U trima paketima različitih masa stiglo je 64.2 kg naranči. Masa drugoga paketa jednaka je 4

    5

    mase prvoga paketa, a masa trećega paketa je 17

    40 mase drugoga paketa.

    a) Koliki je postotak naranči u trećem paketu u odnosu na prvi paket? b) Kolika je masa drugoga paketa?

    Rješenje 099 Ponovimo! Stoti dio nekog broja naziva se postotak. Piše se kao razlomak s nazivnikom 100. Postotak p je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine. Na primjer,

    9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

    100 100 100%

    1100 00

    pp= = = = =

  • 14

    Kako se računa oda

    xb

    ? Odgovor je: .a

    xb

    Kako se računa postotak broja a u odnosu na broj b? Odgovor je: 0%.10a

    b⋅

    Neka je x masa prvoga paketa. Tada je:

    • masa drugoga paketa jednaka 4

    5 mase prvoga paketa:

    4

    5x⋅

    • masa trećega paketa jednaka 17

    40 mase drugoga paketa:

    4

    40

    17 4 17 17 1 17.

    40 5 5 10 5 50x x x x⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

    Postavimo linearnu jednadžbu.

    4 17 4 1764.2 64.2 50 40 17 3210

    5 50 5 50/ 50x x x x x x x x x+ ⋅ + ⋅ = ⇒ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ ⇒

    107 3210 107 3210 3:107 0/ .x x x⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = Mase paketa su:

    • prvi paket 30x kg=

    • drugi paket 4

    30 245

    kg kg⋅ =

    • treći paket 17

    30 10.2 .50

    kg kg⋅ =

    a) Postotak naranči u trećem paketu u odnosu na prvi paket iznosi:

    10.2100 % 0.34 100 % 34 %.

    30⋅ = ⋅ =

    b) Masa drugog paketa je 24 kg.

    17

    50 ⋅⋅⋅⋅ x

    4

    5 ⋅⋅⋅⋅ xx

    64.2=++

    Vježba 099

    U trima paketima različitih masa stiglo je 64.2 kg naranči. Masa drugoga paketa jednaka je 4

    5

    mase prvoga paketa, a masa trećega paketa je 17

    40 mase drugoga paketa. Kolika je masa trećeg

    paketa?

    Rezultat: 10.2 kg.

  • 15

    Zadatak 100 (Sanja, gimnazija)

    U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike. Svaki šesti učenik bio je vrlo dobar, svaki treći dovoljan, a svaki deveti nedovoljan. Broj učenika je izmeñu 20 i 40. Koliko je učenika dobilo ocjenu dobar i koliko je bilo učenika u razredu? Rješenje 100 Neka je x broj učenika u razredu, a y broj učenika sa ocjenom dobar iz matematike. Zbog uvjeta zadatka slijedi:

    3 6 2 18 186 3 9 6 3 9

    / 18x x x x x x

    y x y x x x x y x⋅+ + + = ⇒ + + + = ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒

    718 18 3 6 2 18 7 1 / :7

    818

    18 .

    xy x x x x y x y x y

    ⋅⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =

    Budući da je broj učenika izmeñu 20 i 40, mora biti

    { }, 21, 22, 23, ... , 39 .x y ∈

    Brojnik 7 · x djeljiv je sa 18 za x = 36 pa je broj učenika u razredu 36, a sa ocjenom dobar ima

    7 3614

    18y

    ⋅= =

    učenika.

    Vježba 100 U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike. Svaki šesti učenik bio je vrlo dobar, svaki treći dovoljan, a svaki deveti nedovoljan. Broj učenika je izmeñu 10 i 20. Koliko je bilo učenika u razredu?

    Rezultat: 18.