Obrtanje krutog tela oko nepomične ose. Ugao rotacije tela. Zakon obrtnog kretanja krutog tela.

Ugao rotacije ϕ (Sl.1) je definisan kao ugao između ma koje nepokretne ravni (na primer α) i ma koje ravni koja pripada telu (na primer β).

Pogledom u pravcu ose obrtanja z u smeru suprotnom od nje, osa se vidi kao tačka O a ravni kao prave OM i ON te se ugao rotacije ϕ(Sl.2) može definisati i kao ugao između ma koje nepokretne prave (na primer OM) i ma koje prave koja pripada telu (na primer ON).

Ugao rotacije tela je važna globalna karakteristika rotacionog kretanja.Kruto telo koje se obrće oko nepomične ose vrši čistu rotaciju.

Zakonom obrtnog kretanja krutog tela (tj. jednačinom tog kretanja) naziva se zavisnost ugla rotacije (na primer ϕ) od vremena t. Ovo je zbog toga što znati ϕ(t), ispostaviće se, znači, znati sve o kinematici takvog kretanja.

Kada, kao kod obrtanja krutog tela oko nepomične ose, jedna koordinata u potpunosti određuje položaj tela, kaže se da sistem ima jedan stepen slobode kretanja. Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja su i pravolinijsko kretanje tačke (tu je jednačina kretanja, na primer, x(t)) kao i krivolinijsko kretanje po poznatoj krivoj (gde je jednačina kretanja, na primer, s(t)). Dakle,broj jednačina kretanja se poklapa sa brojem stepeni slobode kretanja. Jasno jeda za kretanje tačke u ravni, koje je definisano sa dve jednačine kretanja (na primer, sa x(t) i y(t), kao što je to obrađeno u pravouglom Dekartovom koordinatnom sistemu), sistem ima dva stepena slobode kretanja.

O POJMU “BROJ STEPENI SLOBODE KRETANJA”

Ugaona brzina i ugaono ubrzanje krutog tela. Vektori ugaone brzine i ugaonog ubrzanja.Srednja ugaona brzina tela ωsru nekom vremenskom intervalu∆t definisana je kao količnik priraštaja ugla rotacije ∆ϕ i proteklog vremena ∆t: tsr ∆ϕ∆=ω

Ugaona brzina se dobija kao limes od ωsr kad ∆t teži nuli:

ϕ=ϕ=∆ϕ∆=ω=ω

→∆→∆&

dtd

ttsr

t 00limlim

Ugaona brzina tela ω, kao mera brzine obrtnog kretanja, govori o promeni ugla rotacije ϕ sa vremenom t i jednaka prvom izvodu ugla rotacije po vremenu:

( ) ( ) ( )tdt

tdt ϕ=ϕ=ω &

Srednje ugaono ubrzanje tela εsru nekom vremenskom intervalu∆t definisano je kao količnik priraštaja ugaone brzine ∆ω i proteklog vremena ∆t:Ugaono ubrzanje se dobija kao limes od εsr kad ∆t teži nuli:

ω=ω=∆ω∆=ε=ε

→∆→∆&

dtd

ttsr

t 00limlim

tsr ∆ω∆=ε

Ugaono ubrzanje u nekom trenutku vremena jednako prvom izvodu ugaone brzine po vremenu, i samim tim, drugom izvodu ugla rotacije po vremenu.

( ) ( ) ( )ttt ϕ=ω=ε &&&

Vektori ugaone brzine i ugaonog ubrzanja su upravni na ravni u kojima leže putanje tačaka tela. Smerove tih vektora može da odredi pravilo desne ruke (Sl.2).Po tom pravilu, prste desne ruke postaviti u smeru ω a palac desne ruke će poka-zati smer vektora , isto tako, prste desne ruke postaviti u smeru ε a palac desne ruke će pokazati smer vektora .

ωr

εr

Brzine i ubrzanja tačaka tela koje se obrće.

Svaka tačka tela koje se obrće oko nepomične ose ima kružnu putanju, poluprečnika koji je jednak najkraćem rastojanju između te tačke i ose obrtanja.Pošto je vektor brzine svake tačke u pravcu tangente na njenu kružnu putanju, on mora biti i upravan na duž koja povezuje tu tačku sa njoj najbližom tačkom na osi obrtanja, zbog toga je OAVA ⊥

r.i OBVB ⊥

r

Intenzitet brzine se dobija množenjem najkraćeg rastojanja između tačke i ose obrtanja sa ugaonom brzinom, zbog čega je ,ω⋅= OAVA .itdω⋅= OBVB

Vektor normalnog ubrzanja tačke uvek je usmeren od te tačke ka osi obrtanja (najkraćim putem). Intenzitet normalnog ubrzanja jednak je proizvodu između najkraćeg rastojanja te tačke do ose obrtanja i kvadrata ugaone brzine tela, dakle

itd.

Zbog činjenice da tačke imaju kružne putanje vektori njihovih ubrzanja se, kao i uvek u takvom slučaju, razlažu na normalne i tangencijalne komponente, dakle

,ATANA aaarrr += BTBNB aaa

rrr +=

,2ω⋅= OAaAN2ω⋅= OBaBN itd.

Kao i kod brzine, vektor tangencijalnog ubrzanja svake tačke ima pravac tange-nte na njenu kružnu putanju, pa je stoga upravan na duž koja povezuje tu tačku sa njoj najbližom tačkom na osi obrtanja. Zbog toga je OAaAT ⊥r

.i OBaBT ⊥r

Smer tangencijalnog ubrzanja neke tačke, kao na slici, odgovara smeru ugaonog ubrzanja. Intenzitet tangencijalnog ubrzanja se dobija množenjem najkraćeg rastojanja između tačke i ose obrtanja sa ugaonim ubrzanjem, zbog čega je

,ε⋅= OAaAT ε⋅= OBaBTitd.

} jednakoubrzano

Jednoliko (ravnomerno) obrtno kretanje (obrtanje)

- diferencijalna jednačina

.const=ω=ϕ⇒ &

( ) 00 =ϕ - početni uslov ( ) tt ⋅ω=ϕ⇒ - Zakon ugla rotacije

Jednako (ravnomerno) promenljivo obrtanje

0>ε=ϕ&& (jednako ubrzano), ε-ugaono ubrzanje ili

0<ε−=ϕ&& (jednako usporeno), ε-ugaono usporenje

Neka su početni uslovi:Ovde je ε (ugaono ubrzanje, usporenje) konstantno

( ) ,00 =ϕ( ) 00 ω=ϕ&

⇒=ε=ϕ=ϕ .constdtd &

&& ( ) tt ε+ω=ϕ 0& -Zakon ugaone brzine

( ) ⇒ε+ω=ϕ dttd 0( )

2

2

0

ttt ⋅ε+⋅ω=ϕ -Zakon ugla rotacije

⇒=ε−=ϕ=ϕ .constdtd &

&& ( ) tt ε−ω=ϕ 0&

( ) ⇒ε−ω=ϕ dttd 0( )

2

2

0

ttt ⋅ε−⋅ω=ϕ

} jednakousporeno

Zakoni kod jednolikog i jednako promenljivog obrtanja. Ugaona brzina preko n[o/min].

dtd ω=ϕ

-Zakon ugaone brzine

-Zakon ugla rotacije

Dobijene jednakosti predstavljaju traženu vezu između ugaone brzine ω izražene u radijanima u sekundi ( = = ) i n [o/min].

Na osnovu zakona ugla rotacije kod ravnomernog obrtanja, ugaonu brzinu ω[1/s] određuje formula , gde je t [s] proteklo vreme a ϕ [rad] je

prebrođeni ugao rotacije koji odgovara proteklom vremenu.tϕ=ω

Ako bi telo pri ravnomernom obrtnom kretanju učinilo n obrtaja u jednom minutu (dakle, dimenzija za n je [o/min].), onda bi proteklom vremenu s

odgovarao prebrođeni ugao rotacije rad.60=t

n⋅π=ϕ 2

Uvrštavanjem s i rad u formulu dobija se60=t n⋅π=ϕ 2 ,tϕ=ω

⇒π=ω602 n

⇒

[ ]srad

30nπ=ω .

30πω=n

[ ]s1 [ ]1−s[ ]sradω

Pimer 2.1 Pravougli ugaonik OAB obrće se u ravni crteža oko zgloba O (tj. obrće se oko ose koja prolazi kroz zglob O i upravna je na ravan crteža). Dužine krakova ugaonika su mOA 3= .1i mAB =Jednačina obrtnog kretanja ugaonika je( ) 26 ttt −+π=ϕOdrediti položaj, ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje ugaonika

u trenutku ? Zatim u tom trenutku odrediti i skicirati vektore brzina i komponenata ubrzanja tačaka A i B?

st 1=

Ugaona brzina i ugaono ubrzanje:

( ) tt 21−=ϕ& ( ) 11 −=ϕ⇒ &11 −=ω⇒ s

( ) 2−=ϕ t&& ( ) ⇒−=ϕ⇒ 21&&12 −=ε s

Smerovi zaω i ε su, zbog predznaka „minus“, suprotniod porasta ugla ϕ. Dakle, u smeru kazaljke na satu.

Zbog položaj ugaonika je takav da njegov krak OA gradi sa horizontalom ugao od 30o.

( ) rad61 π=ϕ

Iz pravouglog trougla OAB dobija se dužina njegove hipotenuze OB:

( ) mABOAOB 213 2222=+=+=

Intenziteti traženih brzina su: ,3 smOAVA =ω⋅= smOBVB 2=ω⋅=Intenziteti traženih komponenata ubrzanja su:

,3 22 smOAaAN =ω⋅= ,32 2smOAaAT =ε⋅=

,2 22 smOBaBN =ω⋅= .4 2smOBaBT =ε⋅=

Na osnovu ovih vrednosti intenziteti ubrzanja tačaka A i B su:

,15123 222 smaaa ATANA =+=+= 222 52164 smaaa BTBNB =+=+=

Translatorno kretanje krutog tela.Kod translatornog kretanja tela svaka njegova uočena duž, npr. AB (Sl.1), tokom kretanja ne menja svoj pravac (tj. u svakom trenutku je paralelna svom početnom pravcu A0B0). Zbogtoga je: .constAB =

ABABABABAB aaVVdtd

VVABrrdtd

ABrrrrrrrrrrrr =⇒==⇒+=+= ,,

Vektori brzina svih tačaka tela koje se translatorno kreće u nekom tenutku vremena moraju biti isti (Sl.2). Vektori ubrzanja takođe.

...==== EDBA VVVVrrrr

...==== EDBA aaaarrrr

Dokaz:

Primer 2.2 Trougaona ploča kreće se translatorno pravolinijski. Jednačinakretanja njene tačke A, a samim tim i ploče, je: ( ) .627 3tttxA −=Odrediti i skicirati vektore brzina i ubrzanja tačaka A i B i C u trenutku ?st 1=

Brzina i ubrzanje tela (odnosno, tačaka tela):

( ) 227 2ttxA −=&

( ) ttxA −=&&

( ) ⇒+=⇒ 31Ax& smVVV CBA 3===

( ) ⇒−=⇒ 11Ax&&21 smaaa CBA ===

Vektori brzina imaju smer koji se, zbog predznaka „plus“, poklapa sa smerom porasta koordinate .Ax

Vektori ubrzanja imaju smer koji je, zbog predznaka „minus“, suprotan od smera porasta koordinate.Ax

Primer 2.3 Ravanski mehanizamprikazan na slici (zglobničetvorougao) sačinjen je od dvaidentična štapa ( ) i horizontalnog štapaAB (koji je zglobno povezan saštapovimaO1A i O2B.

lBOAO == 21

)21 ABOO =

ŠtapoviO1A i O2B vrše obrtanja oko zglobovaO1 i O2. U položaju prikazanomna slici ugaona brzina štapaO1A je ω a ugaono ubrzanje je ε, smerova datih naslici. U prikazanom položaju odrediti brzinu i ubrzanje proizvoljne tačke Dštapa?

Zbog datih jednakosti četvorougao O1O2BAje uvek paralelogram a štap AB vrši krivolinijsko translatorno kretanje s obzirom da je u svakom trenutku istog pravca (uvek je horizontalan) a putanje njegovih tačaka su krivolinijske (kružne).

Odredimo prvo vektore brzine i ubrzanja tačke A, štapa AB, koristeći činjenicu da tačka pripada i štapu O1A, čije je obrtno kretanje u tom položaju definisano veličinama ω i ε.Intenziteti vektora ,AV

r,ANa

rATa

r,i Aa

r prikazanih na slici su:

Zbogčinjenice da štapAB vrši translatorno kretanje imamo da je

,ω⋅= lVA,2ω⋅= laAN

,ε⋅= laAT2422 ε+ω=+= laaa ATANA

AD VVrr

= .i AD aarr =

,ω⋅==⇒ lVV AD .24 ε+ω== laa AD

Primer 2.3 Sistemčine teretA, koji se kreće vertikalno naniže, i dva doboša1i 2, koji vrše obrtanja oko zglobovaO1 i O2, postavljenih u njihovim centrima. Doboš1 je sačinjen od dva kruto vezana diska, poluprečnika r1 i R1 a doboš 2 je poluprečnika R2. Nerastegljivo uže, namotano na veći disk doboša1 na svomkraju je vezano za teretA. Uže pri kretanju ne proklizava u odnosu na disk. Prikretanju sistema, manji disk doboša1 uz pomoć trenja prouzrokuje obrtanjedoboša2 tako da nema proklizavanja između njih. Odrediti zakone obrtnih kretanja dobošaϕ(t) i ψ(t) ako je zakon kretanja teretax(t)=bt2/2? Takođe odrediti i skicirati vektore brzine i ubrzanja najudaljenijih tačaka K i M doboša 1 i 2, respektivno, u trenutku t = 1 s? Veličine r1, R1, R2 i b smatrati poznatim.Mehanički sistem, prikazan na slici ima jedan stepen slobode kretanja zato što jedna koordinata, na primer x, određuje u potpunosti njegov položaj. To znači da sve druge koordinate, kao što su ovde ϕ i ψ, mogu biti izražene preko x. Za nalaženje traženih veza između ovih koordinata traže se prvo veze na nivou brzina i ugaonih brzina

Važno je znati da ako između dva elementa koji se sprežu nema pro-klizavanja (tj. odvija se kotrljanje bez klizanja) vektori brzina dodi-rnih tačaka tih elemenata moraju biti jednaki. Na taj način je na slici, gde su odvojeno prikazani teret sa pravolinijskim delom nera-stegljivog užeta, doboš1 i doboš2, konstatovana jednakost brzina dodirnih tačaka ovih doboša zbog čega je .21 ψ=ϕ && Rr

Takođe je važno znati da, kada namotano uže na doboš pri kretanju (odmota-vanju ili namotavanju) ne proklizava u odnosu na njega vektori brzina tačke užeta i tačke doboša nad kojom se ona nalazi su jednaki. Na taj način je na slicikonstatovana jednakost brzina tačke Bu na užetu i tačke B1 doboša 1 nad kojom se ona nalazi što je dovelo do veze ϕ= && 1Rx

Diferenciranjem gornjih veza po vremenu dobijaju se sledeće veze između ubrzanja ,21 ψ=ϕ &&&& Rr .1ϕ= &&&& Rx

Integraljenjem dobijenih veza uz nulte početne uslove (to su takvi uslovi gde se podrazumeva da koordinate ϕ i ψ imaju vrednost nula kada je i x koordinata jednaka nuli) dobijaju se veze između samih koordinata ,21 ψ=ϕ Rr .1ϕ= Rx

Na prethodnoj slici konstatovana je i jednakost brzina tačakaA i Bu , koja je posledicačinjenice da pravolinijski deo užeta vrši translatorno kretanje.

Na osnovu veza koordinata lako se dobijaju traženi zakoni:

( ) ( ),2

11

tR

b

R

txt ==ϕ ( ) ( )

.2

12

1

2

1 tRR

br

R

trt =ϕ=ψ

Pošto izvodi po vremenu zadate jednačine kretanja daju i a s obzirom na dobijene veze, intenziteti vektora brzina i komponenataubrzanja tačakaK i M u funkciji vremena su:

( ) bttx =& ( ) ,btx =&&

( ) ( ) ( ) ,1 bttxtRtVK ==ϕ= && ( ) ( ) ( ) ,1 btxtRtaKT ==ϕ= &&&& ( ) ( ) ( ),

1

22

1

22

1 Rtb

Rtx

tRtaKN ==ϕ= &&

( ) ( ) ( ) ( ) ,1

1

1

112 bt

Rr

txRr

trtRtVM ==ϕ=ψ= &&& ( ) ( ) ( ) ( ) ,1

1

1

112 b

Rr

txRr

trtRtaMT ==ϕ=ψ= &&&&&&

( ) ( ) .2

21

2221

2

21

12

22

RR

tbrbt

RRr

RtRtaMN =

=ψ= &

Vrednosti ovih veličina, kao i intenziteta samih ubrzanja tačakaK i M u trenutkust 1= su:

,bVK = ,baKT =1

2

Rb

aKN =2

1

222 1

R

bbaaa KNKTK +=+=⇒

,1

1 bRr

VM = ,1

1 bRr

aMT =2

21

221

RR

braMN =

22

21

421

1

122 1RR

br

R

braaa MNMTM +=+=⇒

Ravno kretanje krutog tela. Jednačine ravnog kretanja. Ugaona brzina i ugaono ubrzanje krutog tela koje vrši ravno kretanje.

Ako se telo kreće u ravni (Sl.1) a to kretanje nije obrtanje oko ose a nije ni translatorno onda je to kretanje takvo da istovremeno sadrži i rotaciju i translaciju i naziva se ravnim kretanjem.

I kod ravnog kretanja, kao i kod obrtanja oko nepomične ose jedna od jednačina kretanja je zavisnost ugla rotacije ϕ od vremenat. Ugao rotacije ϕ se definiše kao ugao između ma koje nepokretne prave (ovde x ose) i ma koje prave koja pripada telu (ovde prave AB).

Potpuno identično, kao što važi za slučaj obrtanja oko nepomične ose, prvi izvod ugla rotacije po vremenu daje ugaonu brzinu tela ω a drugi izvod ugla rotacije po vremenu, tj. prvi izvod ugaone brzine, daje ugaono ubrzanje telaε, dakle:

( ) ( ),tt ϕ=ω & ( ) ( ) ( ).ttt ϕ=ω=ε &&&

Za slobodno kruto telo koje vrši ravno kretanje (Sl.1), s obzirom da tri prome-nljive koordinate u potpunosti određuju položaj tela, postoje tri jednačine koje definišu njegovo kretanje. Osim već pomenute jednačine druge dve mogu, kao na slici 2.10-1, da budu x i y koordinata ma koje proizvoljne tačke tela.

( )tϕ

Dakle, jednačine kretanja za slobodno kruto telo koje vrši ravno kretanje (Sl.1) su: ( ),txA ( ),tyA ( ).tϕMeđutim, ako je telo koje vrši ravno kretanje podvrgnuto nekim vezama (kao na primer na slici 2) broj jednačina kretanja (samim tim i broj stepeni slobode kre-tanja) se umanjuje za broj veza. Tako, za ravno kretanje štapa kao što je prika-zano na slici 2 kretanje je definisano samo jednom jednačinom kretanja .( )tϕ

Tačka A štapa je primorana da se uz pomoć klizača kreće duž vertikalne prave a slično tome tačka B se kreće pravolinijski u horizontalnom pravcu. Da je štap na mestu A ili mestu B bio slobodan (bez klizača koji bi na tom mestu sputavao kretanje), postojala bi samo jedna veza a samim tim dve jednačine kretanja.

Primer 2.4 Odrediti ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje šta-pa prikazanog na prethodnoj slici 2 u trenutku t = 1 s, ako se njegov ugao rotacije menja sa vremenom po zakonu

( ) .326

2ttt −+−π=ϕ

S obzirom da je prvi izvod ugla rotacije po vremenu

( ) ,23 tt −=ϕ& a njegova vrednost za t = 1 s je

sa smerom koji je, zbog predznaka "plus" u izrazu za , isti kao i smer porasta ugla rotacije.

( ) ,11 =ϕ&

imamo da je u tom trenutku ugaona brzina štapa ,1 1−=ω s

( )1ϕ&

S obzirom da je drugi izvod ugla rotacije po vremenu a njegova je vrednost, kako za ma koje t, tako i za t = 1 s, takođe imamo da je u tom trenutku ugaono ubrzanje štapa

( ) ,2−=ϕ t&&( ) ,21 −=ϕ&&

.2 1−=ε sSmer ugaonog ubrzanjaε je, zbog predznaka "minus" u izrazu za , suprotan u odnosu na smer porasta ugla rotacijeϕ.

( )1ϕ&&

Određivanje brzina tačaka krutog tela koje vrši ravno kretanje.Prema teoriji izloženoj u prilogu, za ma koje dve tačke tela koje vrši ravno kretanje, na primer A i B, važi sledeća vektorska jednačina koja povezuje vektore brzina tih tačaka

,ABAB VVVrrr

+=gde se vektor čita „ve be u odnosu na a“ (odnosno „Vektor brzine tačke B odnosu na tačku A“)

ABVr

Ono što bi bio vektor , u zamisli da tačka koja se nalazi u gornjem

BVr

AB ABVr

indeksu „A“ nema kretanja (u toj zamisli tačka koja se nalazi u donjem indeksu „B“ ima kružnu putanju čiji je centar u tački A, poluprečnika ), je vektor .

Činjenice o pravcu, smeru i intenzitetu vektora poputABVr

1. Crta se u tački B (tački koja se nalazi u donjem indeksu) i ima pravac koji je upravan na duž ( )AB ABV A

B ⊥r

2. Smer mu je u skladu sa smerom ugaone brzine(vidi Sl.1)

3. Intenzitet vektora je jednak proizvodu ugaone brzine tela i rastojanja tačaka A i B, ω⋅= ABV A

B

Određivanje ubrzanja tačaka krutog tela koje vrši ravno kretanje.Prema teoriji izloženoj u prilogu, za ma koje dve tačke tela koje vrši ravno kretanje, na primer A i B, važi sledeća vektorska jednačina koja povezuje vektore ubrzanja tih tačaka ,A

BTABNAB aaaa

rrrr ++=gde se vektor čita „a be u odnosu na a normanlo“ (odnosno „Vektor normalnog ubrzanja tačke B odnosu na tačku A“) a vektor se čita „a be u odnosu na a tangencijalno“ (odnosno „Vektor tangenci-jalnog ubrzanja tačke B odnosu na tačku A“).

ABNar

ABTar

Za vektore i , koji se crtaju u tački B, važe sledeća pravila:

ABNar A

BTar

je uvek usmeren od tačke u donjem indeksu ka tački u gornjem indeksu (dakle, u ovom slučaju „od B ka A“)

ABNar

intenzitet vektora :ABNar 2ω⋅== ABaa A

BNABN

r

ima pravac koji je upravan na dužABTar ( )ABaAB A

BT ⊥r

smer vektora je u skladu sa smerom ugaonog ubrzanjaεABTar

intenzitet vektora :ABTar ε⋅== ABaa A

BTABT

r

Prilog 1: Izvodjenje vektorskih formula ABAB VVVrrr

+= ABT

ABNAB aaaa

rrrr ++=i

Medjusobno upravni jedinični vektori pokretnogkoordinatnog sistemaηAξ, vezanog za telo, su .i 21 ee

rr

su promenljivi i za nalaženjenjihovih izvoda po vremenu izrazimo ih preko jediničnih vektora

21 i eerr

:i jirr

.cossin

,sincos

2

1

jie

jierrr

rrr

ϕ+ϕ−=ϕ+ϕ=

jie

jier

&r

&&r

r&

r&&

r

ϕϕ−ϕϕ−=ϕϕ+ϕϕ−=

sincos

cossin

2

1

12 eer

&&r ϕ−=⇒

,21 eer

&&r ϕ=⇒

Jednakost koja tokom vremena pove-zuje vektore položaja: 1eABrr AB

rrr +=Prvi izvod ove jednakosti daje (prvi iz-vod vektora položaja je vektor brzine):

ABABABABAB VVVeABVVeABVVeABrr

dt

d rrrr&

rr&rrrrrr +=ϕ+=+=⇒+= ,, 211 2eABV A

B

r&

rϕ=

Prvi izvod dobijene jednakosti daje (prvi izvod vektora brzine je vektor ubrzanja):

( ) ABN

ABTABAB

ABAB

aaaaeABeABaa

eABeABaaeABVVdt

d

rrrrr&

r&&

rr

&r

&r&&

rrr&

rr

++=ϕ−+ϕ+=⇒

ϕ+ϕ+=⇒ϕ+=

,12

2

222

( ) 12

2

eABa

eABaABN

ABT

r&

r

r&&

r

ϕ−=

ϕ=