Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl Mehanika za...

14
Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl Mehanika za mehatronike Univerzitetni učbenik Maribor, 2011 smernica trka tangentna ravnina v 2 v 1 N N c 1 c 2 x 2 β 2 1 β 1 y x'' y'' z'' = z''' x''' y''' O F 1 F 2 A B

Transcript of Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl Mehanika za...

Page 1: Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl Mehanika za ...fs-serverb.uni-mb.si/tpn/PREDOGLED/Vzorec-00092.pdf · Ta knjiga je nastala kot učni pripomoček k predmetu Mehanika za mehatronike,

Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl

Mehanika za mehatronike

Univerzitetni učbenik

Maribor, 2011

smernica trka

tangentna ravnina

v2

v1 N N

c1

c2

x

2

β2 1

β1

y

x''

y'' z'' = z'''

x'''

y'''

O

F1 F2

A

B

Page 2: Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl Mehanika za ...fs-serverb.uni-mb.si/tpn/PREDOGLED/Vzorec-00092.pdf · Ta knjiga je nastala kot učni pripomoček k predmetu Mehanika za mehatronike,

M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike

UM, Fakulteta za strojništvo I http://www.fs.uni-mb.si

Naslov publikacije: Mehanika za mehatronike

Vrsta publikacije: Univerzitetni učbenik

Avtorji: izr. prof. dr. Marko Kegl, univ. dipl. inž. str.

doc. dr. Matej Vesenjak, univ. dipl. inž. str.

doc. dr. Boštjan Harl, univ. dipl. inž. str.

Oblikovanje: Avtorji

Recenzenta: red. prof. dr. Zoran Ren, univ. dipl. inž. str., FS UM

izr. prof. dr. Boštjan Brank, univ. dipl. inž. gradb., FGG UL

Jezikovni pregled: Nataša Belšak, univ. dipl. ling.

Založba: Založništvo Fakultete za strojništvo, Maribor

Tisk: Tiskarna tehniških fakultet

Naklada: Tisk po naročilu

Leto prve izdaje: 2011

Pravice: Avtorske pravice so pridržane. Gradiva iz publikacije brez

dovoljenja avtorjev ni dovoljeno kopirati, reproducirati,

objavljati ali prevajati v druge jezike.

CIP - Kataložni zapis o publikaciji

Univerzitetna knjižnica Maribor

531/534:681.5(075.8)

KEGL, Marko

Mehanika za mehatronike : univerzitetni učbenik

/ Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl. -

Maribor : Fakulteta za strojništvo, 2011

ISBN 978-961-248-254-1

1. Vesenjak, Matej 2. Harl, Boštjan

COBISS.SI-ID 66370561

Naslovi avtorjev: Fakulteta za strojništvo, Smetanova 17, 2000 Maribor

[email protected]

[email protected]

[email protected]

Page 3: Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl Mehanika za ...fs-serverb.uni-mb.si/tpn/PREDOGLED/Vzorec-00092.pdf · Ta knjiga je nastala kot učni pripomoček k predmetu Mehanika za mehatronike,

M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike

UM, Fakulteta za strojništvo II http://www.fs.uni-mb.si

Vsebina

Vsebina .................................................................................................................................................. II

Predgovor ............................................................................................................................................... V

1 UVOD ................................................................................................................................................... 1 1.1 Mehanika v inženirski praksi 1 1.2 Modeliranje mehanskih dogajanj 2 1.3 Skalarne in vektorske količine 4 1.4 Področja mehanike 4 1.4 Osnovne predpostavke in dogovori 5

2 GRADNIKI MEHANIKE .................................................................................................................. 8 2.1 Osnovni gradniki mehanskega modela 8 2.2 Telo 9 2.3 Podpora in vez 11 2.4 Sila 12

2.4.1 Točkovna sila 12 2.4.2 Porazdeljene sile 13

2.4.2.1 Linijska sila 13 2.4.2.2 Ploskovna sila 14 2.4.2.3 Prostorninska sila 14 2.4.2.4 Rezultante porazdeljenih sil 14

2.4.3 Redukcija sile 15 2.4.4 Razdelitev sil 18

2.4.4.1 Zunanje in notranje sile 18 2.4.4.2 Aktivne in pasivne sile 19

2.4.5 Aktivna zunanja sila: teža 19 2.4.5.1 Težišče telesa 21 2.4.5.2 Težišča geometrijskih teles 22 2.4.5.3 Težišča ploščinskih likov 22 2.4.5.4 Težišča črtnih likov 23

2.4.6 Pasivne zunanje sile: reakcije v podporah 24 2.4.6.1 Ravninske podpore 25 4.2.1.2 Prostorske podpore 26

2.4.7 Trenje 27 2.4.7.1 Sila trenja med trdnim telesom in ravno podlago 27 2.4.7.2 Sila trenja med vrvjo in krožno podlago 30

3 STATIKA ........................................................................................................................................... 32 3.1 Ravnovesni enačbi statike 32

3.1.1 Splošni zapis 32 3.1.2 Zapis enačb z reduciranimi silami in momenti 33 3.1.3 Zapis enačb v primeru sil s skupnim prijemališčem 33

3.2 Konstrukcija 34 3.3 Statična analiza konstrukcije 35 3.4 Računanje reakcij v podporah 36

3.4.1 Ugotavljanje splošnih oblik reakcijskih sil in momentov 36 3.4.2 Ugotavljanje splošnih oblik sil in momentov v vezeh 36 3.4.3 Zapis ravnovesnih enačb 37

Page 4: Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl Mehanika za ...fs-serverb.uni-mb.si/tpn/PREDOGLED/Vzorec-00092.pdf · Ta knjiga je nastala kot učni pripomoček k predmetu Mehanika za mehatronike,

M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike

UM, Fakulteta za strojništvo III http://www.fs.uni-mb.si

3.4.4 Zunanja statična določenost konstrukcij 38 3.5 Računanje notranjih sil 39

3.5.1 Koncept in izvor notranjih sil 39 3.5.2 Upoštevanje notranjih sil v mehanskem modelu 40 3.5.3 Konstrukcijski elementi 42

3.5.3.1 Nosilec 42 3.5.3.2 Palica 44 3.5.3.3 Vrv 44

3.5.4 Zapis ravnovesnih enačb 46 3.5.5 Notranja statična določenost konstrukcij 47

3.6 Kontrola trdnosti 47 3.6.1 Pojem napetosti 48 3.6.2 Statične količine prereza 48 3.6.3 Osnovni problemi trdnosti 50

3.6.3.1 Natezna in tlačna obremenitev 50 3.6.3.2 Upogibna obremenitev 52 3.6.3.3 Strižna obremenitev 53 3.6.3.4 Torzijska obremenitev 54

4 KINEMATIKA .................................................................................................................................. 56 4.1 Lega, hitrost in pospešek točke 56 4.2 Tir in dolžina poti gibajoče se točke 60 4.3 Opis gibanja v ravnini 60

4.3.1 Premo (translatorno) gibanje točke 61 4.3.2 Krožno (rotacijsko) gibanje točke 62 4.3.3 Opis gibanja telesa 64 4.3.4 Opis gibanja točke po gibljivem telesu 66

4.4 Opis gibanja v prostoru 67 4.4.1 Opis gibanja točke v cilindričnih koordinatah 67 4.4.2 Opis gibanja točke z uporabo spremljajočega triroba 68 4.4.3 Opis gibanja točke z uporabo gibljive baze 70 4.4.4 Opis gibanja telesa 73

4.4.4.1 Parametrizacija z uporabo Eulerjevih kotov 74 4.4.4.2 Parametrizacija z uporabo rotacijskega psevdovektorja 76

5 OSNOVE DINAMIKE ...................................................................................................................... 78 5.1 Masni delec in telo 78 5.2 Osnovni zakoni dinamike 80

5.2.1 Prvi Newtonov zakon 80 5.2.2 Drugi Newtonov zakon 80 5.2.3 Tretji Newtonov zakon 81 5.2.4 Uporaba Newtonovih zakonov na sistemu delcev 81

5.3 Splošni zakoni dinamike in njihova uporaba 82 5.3.1 Zakoni o gibalni količini 82 5.3.2 Zakoni o vrtilni količini 84 5.3.3 Zakoni o mehanski energiji 86

5.3.3.1 Delo sile 86 5.3.3.2 Kinetična energija 87 5.3.3.3 Potencialne energije 89

6 TRKI ................................................................................................................................................... 91 6.1 Uvod 91 6.2 Potek trka 92 6.3 Normalni in poševni centrični trk 94

Page 5: Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl Mehanika za ...fs-serverb.uni-mb.si/tpn/PREDOGLED/Vzorec-00092.pdf · Ta knjiga je nastala kot učni pripomoček k predmetu Mehanika za mehatronike,

M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike

UM, Fakulteta za strojništvo IV http://www.fs.uni-mb.si

6.3.1 Normalni centrični trk 94 6.3.1.1 Analiza hitrosti 94 6.3.1.2 Izgubljena kinetična energija 95 6.3.1.3 Določitev koeficienta trka 96

6.3.2 Poševni centrični trk 97 6.3.2.1 Analiza hitrosti 97

7 NIHANJA ........................................................................................................................................... 98 7.1 Uvod 98 7.2 Osnovni gradniki 99

7.2.1 Telo 100 7.2.2 Vzmet 100

7.2.2.1 Natezna/tlačana togost palice 100 7.2.2.2 Upogibna togost konzolno vpetega nosilca 101 7.2.2.3 Torzijska togost palice z okroglim prerezom 102 7.2.2.4 Vzporedna vezava vzmeti 102 7.2.2.5 Zaporedna vezava vzmeti 103

7.2.3 Dušilka 104 7.3 Lastna nihanja 104

7.3.1 Nedušeno lastno nihanje 104 7.3.2 Dušeno lastno nihanje 107

7.4 Vsiljena nihanja 110 7.4.1 Nedušeno vsiljeno nihanje 110 7.4.2 Dušeno vsiljeno nihanje 112

7.4.2.1 Primer vsiljenega nihanja z inercijskim vzbujanjem 113 7.4.2.2 Primer vsiljenega nihanja z vzbujanjem podlage 114

8 ANALITIČNA DINAMIKA ........................................................................................................... 115 8.1 Obravnavani sistem 115 8.2 Generalizirane koordinate 116 8.3 Virtualno delo in generalizirane sile 118 8.4 Lagrangeve enačbe 120

Literatura ............................................................................................................................................ 122

Page 6: Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl Mehanika za ...fs-serverb.uni-mb.si/tpn/PREDOGLED/Vzorec-00092.pdf · Ta knjiga je nastala kot učni pripomoček k predmetu Mehanika za mehatronike,

M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike

UM, Fakulteta za strojništvo V http://www.fs.uni-mb.si

Predgovor

Ta knjiga je nastala kot učni pripomoček k predmetu Mehanika za mehatronike, ki

spada v učni program Fakultete za strojništvo in Fakultete za elektrotehniko, informatiko in

računalništvo na Univerzi v Mariboru.

Za razumevanje knjige je potrebno relativno skromno predznanje. S področja mehanike

je koristno poznavanje osnovnih pojmov. S področja matematike pa je potrebno poznavanje

osnov vektorskega in diferencialnega računa.

Zaradi preglednosti in lažjega branja so matematični in drugi objekti pisani z različnimi

pisavami. Kolikor se je dalo, so uporabljena naslednja pravila označevanja:

skalarne količine: ,

vektorske količine in matrike: ,

točke, liki, telesa ipd.: .

Maribor, 2011

Page 7: Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl Mehanika za ...fs-serverb.uni-mb.si/tpn/PREDOGLED/Vzorec-00092.pdf · Ta knjiga je nastala kot učni pripomoček k predmetu Mehanika za mehatronike,

M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 1 Uvod

UM, Fakulteta za strojništvo 1 http://www.fs.uni-mb.si

1 UVOD

Namen:

Pokazati pomen mehanike v inženirski praksi

Prikazati postopek modeliranja mehanskih pojavov

Spoznati razdelitev področja mehanike

Cilj:

Študenta seznaniti z dejstvom, da je mehanika pomemben in zelo aktualen sestavni del

vsakdanje inženirske prakse.

Glavne oporne točke:

Modeliranje: naravni pojav – mehanski model – matematični model – rešitev

Razdelitev mehanike: kinematika, kinetika (statika, dinamika)

1.1 Mehanika v inženirski praksi

Mehanika je veda, pri kateri je v središču pozornosti spreminjanje stanja snovi v smislu

spreminjanja oblike in lege. Zaradi tega je precej očitno, da predstavlja mehanika pomemben

vidik vsakega sistema, pri katerem se pojavljajo sile ter posledično tudi deformacije in gibanje

– takšni pa so praktično vsi sistemi v tehniški praksi.

Slika 1.1: Obesa avtomobilskega kolesa

Pogled na običajno obeso avtomobilskega kolesa, slika 1.1, odpre celo področje

vprašanj, na katera mora odgovoriti mehanika:

Kakšen je tir gibanja koles (kinematika)?

Kakšne so napetosti in deformacije pri mirovanju vozila (statika)?

Page 8: Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl Mehanika za ...fs-serverb.uni-mb.si/tpn/PREDOGLED/Vzorec-00092.pdf · Ta knjiga je nastala kot učni pripomoček k predmetu Mehanika za mehatronike,

M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 1 Uvod

UM, Fakulteta za strojništvo 2 http://www.fs.uni-mb.si

Kakšen je odziv kolesa pri vožnji čez neravnine (dinamika)?

Dober zgled izjemnih koristi, ki jih omogoča mehanika, je robotska roka, slika 1.2, ki

so jo razvili v Laboratoire de Robotique, Universite Laval. Problem pri robotskih rokah je, da

imajo precej prostostnih stopenj (PS), zaradi česar je potrebno veliko število aktuatorjev. To

pa slabo vpliva na natančnost in končno maso. Raziskovalci so se problema lotili pri

kinematiki vpletenih mehanizmov. Rezultat je bila roka z 10 PS, ki jo poganjata samo 2

aktuatorja. S to roko je bilo opremljeno vesoljsko plovilo.

Slika 1.2: Roka z 10 PS, ki jo poganjata le 2 motorja

1.2 Modeliranje mehanskih dogajanj

Naloga mehanike je številčno ovrednotenje mehanskega dogajanja, in sicer z ustreznimi

postopki in numeričnimi orodji. Pri tem je zelo pomembno dejstvo, da ti postopki delujejo

tudi, kadar se neko mehansko dogajanje dejansko sploh še ne odvija, ampak si ga samo

zamislimo. To dejstvo omogoča projektiranje in izdelavo mehanskih sistemov, za katere že

vnaprej natančno vemo, kako se bodo odzivali na razne obremenitve.

Slika 1.3: Ovrednotenje mehanskega dogajanja

Postopek ovrednotenja mehanskega dogajanja bi lahko opisali nekako takole, slika 1.3:

mehansko dogajanje najprej poenostavimo s predpostavkami ter ga nato opišemo z zakoni, ki

povezujejo mehanske količine dogajanja. Rezultat tega je mehanski model dogajanja. V

naslednjem koraku vpletene količine predstavimo z ustreznimi matematičnimi objekti ter

mehanske zakone zapišemo v obliki matematičnih enačb. Rezultat tega koraka je matematični

MEHANSKO

DOGAJANJE

MATEMATIČNI

model

MEHANSKI

model

Številčno

ovrednotenje

Page 9: Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl Mehanika za ...fs-serverb.uni-mb.si/tpn/PREDOGLED/Vzorec-00092.pdf · Ta knjiga je nastala kot učni pripomoček k predmetu Mehanika za mehatronike,

M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 1 Uvod

UM, Fakulteta za strojništvo 3 http://www.fs.uni-mb.si

model mehanskega dogajanja. Sedaj nam ostane le še zadnji korak, številčno ovrednotenje, pri

katerem pa se stvari lahko zapletejo. Enačb modela namreč z obstoječimi metodami včasih ne

znamo rešiti. Če so rešljive, pa je rešitev lahko več ali pa je vprašljiva njihova natančnost.

Skoraj vse praktične primere moramo namreč reševati numerično, pri čemer se napakam

zaradi zaokroževanja številk ne moremo izogniti. Kljub omenjenim zapletom pa največkrat le

pridemo do uporabnih številčnih rezultatov. Za njihovo pravilno tolmačenje je nujno treba

upoštevati uporabljene mehanske predpostavke in zakone ter z njimi povezano območje

veljavnosti mehanskega modela. Nepoznavanje teh zakonov in predpostavk lahko pripelje do

popolnoma napačnih sklepov. Tej nevarnosti smo v inženirski praksi izpostavljeni ravno pri

uporabi najsodobnejših orodij – računalnikov in programske opreme za analiziranje

mehanskih sistemov.

Kot smo že dejali, je vsak mehanski model osnovan na predpostavkah in predstavlja

zgolj idealizacijo naravnega procesa. Natančno poznavanje vseh uporabljenih predpostavk je

zato bistvenega pomena za pravilno modeliranje procesa in pravilno oceno natančnosti

številčnih rezultatov. Mehanske predpostavke lahko razvrstimo v naslednje skupine:

materialne predpostavke, kamor spadajo vse predpostavke o zgradbi in fizikalnih

lastnostih obravnavane materije;

kinematične predpostavke, kamor spadajo vse predpostavke o gibanju delcev materije;

druge predpostavke, kamor spada na primer predpostavka o točkastem prijemališču sile.

Slika 1.4: Primer pogosto uporabljenih mehanskih predpostavk pri konzolnem nosilcu

Različne predpostavke se bolj ali manj ujemajo z realnostjo, kar pa ne pomeni, da lahko

na tej osnovi sklepamo o njihovi sprejemljivosti za uporabo v konkretnem modelu. Če za

gumijast kvader uporabimo predpostavko o nedeformabilnosti telesa (nedeformabilno telo

nikoli ne spremeni svoje oblike ne glede na velikost in vrsto zunanjih obremenitev), je to

povsem sprejemljiva osnova, če nas na primer zanima, kako se bo gibalo težišče telesa pri

poševnem metu. Nasprotno pa je lahko ta predpostavka povsem nesprejemljiva, če nas

zanima, kakšne so notranje napetosti pri obremenitvi, ki vidno spremeni obliko telesa. Zato

lahko rečemo, da kvaliteta predpostavke ni univerzalna, pač pa je odvisna od konteksta, v

katerem je uporabljena. Tako je lahko neka predpostavka v enem primeru povsem

sprejemljiva, v drugem pa ne.

Na sliki 1.4 je prikazan konzolni nosilec, ki je na vrhu obremenjen s silo. Slika

prikazuje nekatere predpostavke, ki se v takšnih primerih pogosto uporabljajo.

prerezi pri upogibanju

ostanejo ravni

(kinematične)

točkovna sila (druge) homogen material

brez napak

(materialne)

Page 10: Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl Mehanika za ...fs-serverb.uni-mb.si/tpn/PREDOGLED/Vzorec-00092.pdf · Ta knjiga je nastala kot učni pripomoček k predmetu Mehanika za mehatronike,

M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 1 Uvod

UM, Fakulteta za strojništvo 4 http://www.fs.uni-mb.si

1.3 Skalarne in vektorske količine

V mehanskem modelu se pojavljajo različne vrste mehanskih količin. V okviru te knjige

bomo imeli opravek le s takšnimi, ki imajo lastnosti skalarjev ali pa vektorjev.

Skalarne količine. Za skalarno količino je značilno, da je njena vrednost podana z

realnim številom. Ta vrednost je neodvisna od izbire (lege in orientacije) koordinatnega

sistema. Tipični skalarni količini sta na primer masa nekega telesa in gostota mase (ali tudi

gostota snovi) v izbrani točki telesa. Masa telesa je odvisna od vrste snovi in velikosti telesa,

gostota pa od vrste snovi in od izbrane točke telesa. V primerjavi z maso je torej gostota

takšna količina, katere vrednost se od točke do točke telesa spreminja. Takšni skalarni količini

pravimo skalarno polje.

Vektorske količine. Za vektorsko količino je značilno, da ji lahko določimo smer,

jakost in usmerjenost, razen tega pa mora ustrezati aksiomom vektorskega prostora. Tako kot

pri skalarjih bomo imeli tudi pri vektorskih količinah opravek s takšnimi, ki se bodo

spreminjale od točke do točke opazovanega telesa. Takšni vektorski količini pravimo

vektorsko polje.

1.4 Področja mehanike

V okviru tega predmeta bomo s pojmom mehanika označevali le tehniško mehaniko trdnih

teles. V tem primeru lahko rečemo, da se mehanika ukvarja z vsem, kar je povezano s

spreminjanjem oblike in lege teles.

Za zgled naštejmo nekaj problemov, s katerimi se ukvarja mehanika. To so:

1. upogib nosilca (statika),

2. gibanje obese avtomobila (kinematika),

3. dinamično obnašanje manipulatorja (dinamika).

V zgoraj naštetih primerih bi naravni proces lahko številčno ovrednotili z več parametri.

To so:

1. poves vrha nosilca in napetosti v prerezu,

2. trajektorija gibanja premnika kolesa,

3. trajektorija efektorja manipulatorja in reakcijske sile v podporah.

Mehaniko običajno delimo najprej na kinematiko in kinetiko. H kinematiki spadajo tisti

problemi, v katerih se ne pojavljajo vzroki gibanja – sile. Preostale probleme, ki v svojem

opisu vsebujejo sile, štejemo h kinetiki, slika 1.5. Področje kinetike delimo naprej na statiko

in dinamiko. K statiki spadajo problemi, ki ne vsebujejo časa kot neodvisne spremenljivke.

Druge kinetične probleme, ki vsebujejo čas, štejemo k dinamiki.

Page 11: Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl Mehanika za ...fs-serverb.uni-mb.si/tpn/PREDOGLED/Vzorec-00092.pdf · Ta knjiga je nastala kot učni pripomoček k predmetu Mehanika za mehatronike,

M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 1 Uvod

UM, Fakulteta za strojništvo 5 http://www.fs.uni-mb.si

Slika 1.5: Razdelitev področja mehanike

Znotraj področij, prikazanih na sliki, razvrščamo mehanske probleme še nadalje glede

na to, kakšne predpostavke uporabljamo v mehanskem modelu. Tako govorimo na primer o

statiki elastičnih teles, dinamiki togih teles in tako naprej.

1.4 Osnovne predpostavke in dogovori

V okviru te knjige bomo privzeli naslednje dogovore in predpostavke:

Telesa bomo obravnavali kot homogena. Največ opravka bomo imeli z

nedeformabilnimi oziroma togimi telesi, razen kadar bo posebej poudarjeno, da je

obravnavano telo deformabilno oziroma (v našem primeru) elastično.

Vse mehanske sklope, kot so na primer ležaji, mehanske vezi in podpore, bomo

obravnavali idealizirano: ni zračnosti, ni trenja in podobno.

Za opis gibanja bomo večinoma uporabljali Kartezijev koordinatni sistem.

Za opis mehanskega dogajanja v ravnini bomo uvedli fiksno ortonormirano vektorsko bazo

yx ee , in koordinatni sistem , slika 1.6.

Slika 1.6: Ortonormiran koordinatni sistem xyO v opazovani ravnini

Dogovorimo se še, da bomo bazo yx ee , in koordinatni sistem xyO orientirali vedno tako,

kot kaže slika. Zaradi tega dogovora bomo risanje koordinatnega sistema pogosto opuščali.

Prav tako bomo običajno opuščali risanje vektorske baze.

MEHANIKA

Kinematika Kinetika

Statika Dinamika

MEHANIKA MEHANIKA

a

O x

y

ex

ey

ax

ay

Page 12: Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl Mehanika za ...fs-serverb.uni-mb.si/tpn/PREDOGLED/Vzorec-00092.pdf · Ta knjiga je nastala kot učni pripomoček k predmetu Mehanika za mehatronike,

M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 1 Uvod

UM, Fakulteta za strojništvo 6 http://www.fs.uni-mb.si

Za opis gibanja v prostoru vektorsko bazo yx ee , razširimo z vektorjem yxz eee ,

ki določa tretjo os – z-os, slika 1.7. Baza zyx eee ,, je ortonormirana in določa desnosučni

koordinatni sistem , ki ga imenujemo Kartezijev koordinatni sistem.

Slika 1.7: Ortonormiran koordinatni sistem v prostoru

Glede na gornje dogovore lahko poljuben vektor a zapišemo kot:

zzyyxx aaa eeea (1.1)

Ker v izbranem koordinatnem sistemu velja:

1

0

0

,

0

1

0

,

0

0

1

zyx eee (1.2)

lahko zapis vektorja a skrajšamo na

z

y

x

a

a

a

a (1.3)

oziroma

Tzyx aaaa (1.4)

Skalarje xa , ya in za imenujemo koordinate vektorja .

Pri ravninskih problemih imamo v glavnem opravka z vektorji, za katere velja .

Zaradi racionalnosti v takih primerih vektor a pišemo tudi kot:

y

x

a

aa (1.5)

Pozor: Če tak vektor uporabimo v vektorskem produktu, ga je treba pred tem obvezno

razširiti s tretjo koordinato .

Razen fiksnega koordinatnega sistema bomo uvedli še gibljivega .

Vektorsko bazo gibljivega sistema bomo označili z ( ). Kot se bo izkazalo v

nadaljevanju, je uvedba gibljivega koordinatnega sistema koristna zato, ker s tem opis gibanja

v mnogih primerih zelo poenostavimo. Ravninska različica fiksnega in gibljivega

koordinatnega sistema je prikazana na sliki 1.8.

a

O x

y

ex

ey ax ay

z

ez

az

Page 13: Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl Mehanika za ...fs-serverb.uni-mb.si/tpn/PREDOGLED/Vzorec-00092.pdf · Ta knjiga je nastala kot učni pripomoček k predmetu Mehanika za mehatronike,

M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 1 Uvod

UM, Fakulteta za strojništvo 7 http://www.fs.uni-mb.si

Slika 1.8: Fiksni koordinatni sistem in gibljivi koordinatni sistem

Z uvedbo še enega koordinatnega sistema lahko poljubni vektor a zapišemo na dva

načina, in sicer kot:

zzyyxx aaa eeea (1.6)

ter kot:

wwvvuu aaa eeea (1.7)

Opozorimo na dejstvo, da so koordinate xa , ya in za vektorja a v fiksnem koordinatnem

sistemu številčno drugačne od koordinat ua , va in wa istega vektorja v gibljivem

koordinatnem sistemu.

Q eu

ev

u

v

O x

y

ex

ey

Page 14: Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl Mehanika za ...fs-serverb.uni-mb.si/tpn/PREDOGLED/Vzorec-00092.pdf · Ta knjiga je nastala kot učni pripomoček k predmetu Mehanika za mehatronike,

M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 2 Gradniki mehanike

UM, Fakulteta za strojništvo 8 http://www.fs.uni-mb.si

2 GRADNIKI MEHANIKE

Namen:

Definirati osnovne gradnike mehanskega modela (telo, podpore, vezi, sile, momenti)

Vpeljati vrste sil, njihovo klasifikacijo ter rezultante sile in momenta

Vpeljati postopek redukcije sile ter način določevanja aktivnih in pasivnih zunanjih

sil

Cilj:

V tem poglavju bomo spoznali osnovne gradnike za modeliranje in analizo mehanskih

sistemov.

Glavne oporne točke:

Telo: sistem zvezno porazdeljenih delcev

Podpore in vezi: točkovni model

Vrste sil: točkovne, linijske, ploskovne in prostorninske

Določitev sil za mehanski model: redukcija

2.1 Osnovni gradniki mehanskega modela

Pri skoraj vsaki mehanski nalogi iz inženirske prakse je pred začetkom njenega reševanja

treba odgovoriti predvsem na naslednja tri vprašanja

Kaj je opazovan sistem (eno ali več trdnih teles) in kakšen bo njegov model (togi, elastični

...)?

Kakšni so kinematični robni pogoji (predpisani pomiki in/ali zasuki)?

Kakšni so kinetični robni pogoji (predpisane sile in/ali momenti)?

Slika 2.1: Osnovni gradniki mehanskega modela: telo ter kinematični (pomiki/zasuki) in

kinetični (sile/momenti) robni pogoji (RP)

telo

RP: sile in

momenti

RP: pomiki

in zasuki