9. Osnove kvantne mehanike 9.1 NAČELA KVANTNE MEHANIKE 9.1.1 Načelo statističnega opisa o Izida poskusa s posameznim kvantnim delcem ne moremo z gotovostjo napovedati (npr.

ne moremo napovedati v kateri točki bo zadel zaslon naslednji elektron pri poskusu, ki je opisan na strani 181.

o V splošnem pa so možne napovedi za množico delcev. o Vpeljemo verjetnostno gostoto *ρ =Ψ Ψ (glejte str. 181). Bistvene lastnosti interferenčne slike elektronov (str.181) razložimo s seštevanjem valovnih funkcij. Valovna funkcija (funkcija stanja)

( )0

i k r te ω⋅ −Ψ=Ψ

( )k p

p k

W W Vω

=

= = +

gibalna količina elektrona

polna energija elektrona Uvedli smo funkcijo stanja , ki vsebuje vse informacije o stanju kvantnega delca. Verjetnost, da se delec nahaja na izbranem mestu v volumnu dV okoli točke s krajevnim vektorjem je , kjer velja:

( ,r tΨ )

r * dVΨ Ψ

*d 1

V

VΨ Ψ =∫

Pričakovana vrednost koordinate x (povprečna koordinata x):

* *d dx x x x x xρ∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

= = Ψ Ψ= Ψ Ψ∫ ∫ ∫

182

9.1.2 Heisenbergovo načelo nedoločenosti

Werner Heisenberg (1901 - 1976)

x

y

z

x py p

z p

∆ ∆ ≥∆ ∆ ≥

∆ ∆ ≥

Načelo nedoločenosti brani kvantno mehaniko. Heisenberg je ugotovil, da bi se kvantna mehanika zrušila vase, če bi mogli hkrati natančneje izmeriti lego in gibalno količino. Zato je predlagal, naj to ne bi bilo mogoče. Fiziki so se zamislili in poskušali, če jim morda to le ne bi uspelo. A nihče od njih ni mogel najti poti, po kateri bi bilo mogoče hkrati natančneje izmeriti lego in gibalno količino česarkoli – zaslonke, elektrona, biljardne krogle. In tako kvantna mehanika še nadalje obstaja. (R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands: The Feynman Lectures in Physics. Quantum Mechanics, New York, Addison – Wesley, 1965, str. A-3 III).

ocena: x

p

h hλλ∆

∆

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∼

foton

pred trkom

elektron

sipani foton

po trku

odbiti elektron

183

Če pri poskusu s curkom elektronov (str. 181) poskusimo izmeriti skozi katero režo je šel kak elektron skupna verjetnostna gostota 1 2ρ ρ ρ= + nima za dve reži značilnih interferenčnih vrhov in dolin. Verjetnostna gostota za elektrone, ki so šli skozi desno režo je 1ρ , verjetnostna gostota za elektrone, ki so šli skozi levo režo pa je 1ρ .

izvor elektronov

1 2

x

x

x

merilnik 1 merilnik 2

1 2ρ ρ ρ= +

1ρ

2ρ

9.1.3 Načelo superpozicije Če smo hoteli pojasniti interferenčne poskuse z elektroni smo morali privzeti, da se funkcije stanja (imenovane tudi valovne funkcije – od tod ime »valovna mehanika«) lahko seštevajo.

Ψ

To pomeni: če sta in funkciji stanja je tudi vsaka linearna kombinacija 1Ψ 2Ψ

1 1 2 2c cΨ= Ψ + Ψ tudi funkcija stanja, kjer sta c1 in c2 kompleksni števili. Če pišemo:

11 1

ie αΨ = Ψ in 22 2

ie αΨ = Ψ potem je

184

( ) ( )*2 *1 1 2 2 1 1 2 2

2 2 * * * *1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2

c c c c

c c c c c c

Ψ =Ψ Ψ= Ψ + Ψ Ψ + Ψ =

= Ψ + Ψ + Ψ Ψ + Ψ Ψ

torej: 2 2

1 1 2 2c cΨ ≠ Ψ + Ψ 2 9.1.4 Operatorji 9.1.4.1 Klasična mehanika Dinamično stanje masne točke je popolnoma določeno v vsakem trenutku, če poznamo njeno lego in gibalno količino. Dinamične spremenljivke so: o lega, gibalna količina o vrtilna količina o kinetična energija ( )kW

o potencialna energija ( )pV

o celotna energija ( )k pW W V= +

V klasični mehaniki poznamo vrednosti dinamičnih spremenljivk natančno vsaj v načelu. Možno jih je izmeriti v vsakem trenutku. 9.1.4.2 Kvantna mehanika Včasih imenujemo dinamične spremenljivke tudi opazljivke (ali observable). Vendar pa le te v kvantni mehaniki niso merljive brez omejitev, kakor so v Newtonovi mehaniki. To kaže že načelo nedoločenosti. Zato je bolje ne uporabljati imena »opazljivke« in ostati pri terminu »dinamična spremenljivka«. Dinamičnim spremenljivkam v kvantni mehaniki priredimo OPERATORJE. Obravnavajmo prost delec z maso , ki se giblje vzdolž osi x in ima ostro določeno gibalno količino . Že pri interferenčnih poskusih z elektroni smo zapisali valovno funkcijo takega delca v obliki:

m( ,0,0xP p= )

( )

0i k r te ω⋅ −Ψ=Ψ

p kW ω==

185

Za poseben primer gibanja delca z ostro določeno gibalno količino xp v smeri x-osi zapišemo ustrezno valovno funkcijo v obliki: Ψ

( )0

xi p x Wte −Ψ=Ψ

operator

xi px∂

− Ψ=∂

Ψ

ˆ xp ix∂

=−∂

definiramo kot operator komponente gibalne količine xp

ˆ

ˆ

y

z

p iy

p iz

∂=−

∂∂

=−∂

Posplošitev na 3 – dimenzije: p i=− ∇

operator

i Wt∂Ψ = Ψ

∂

W it∂

=∂

definiramo kot operator polne energije

‘ Valovna funkcija delca z ostro določeno gibalno količino:

‘ Valovna funkcija delca, katerega gibalna količina ni ostro določena:

x

( )xΨ

( )xΨ

x

Operatorji za koordinate:

( )ˆˆ operatorji za komponente , ,ˆ

x xy y r x y zz z

= ⎫⎪= =⎬⎪= ⎭

Ker je tudi potencialna energija odvisna samo od ( ), ,r x y z= velja:

186

( ) ( )V r V r= Operator kinetične energije:

2 2

2 2kmv pW

m= =

2 2

2ˆˆ2 2pTm m

= =− ∇

2

2ˆ2

Tm

=− ∇ operator kinetične energije

2 2

22 2

2

2x y z∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

Preizkus (1-D): prost delec z ostro določeno gibalno količino xp ( )( )0V x =

( )( )22 2

2

22

0 22 2 2mxi p x W x x

kt pe

m x mp W−∂

− Ψ = =∂

=

Lastne vrednosti operatorjev: A AΨ = Ψ A je lastna vrednost operatorja A Ψ je lastna funkcija operatorja A V kvantni mehaniki uporabljamo linearne operatorje:

( )1 2 1ˆ ˆA AΨ +Ψ = Ψ + Ψ2A ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2

ˆ ˆA c c c A c AΨ + Ψ = Ψ + Ψˆ

Produkt operatorjev v splošnem ni komutativen:

komutator

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, 0A B A B B A⎡ ⎤ = − ≠⎣ ⎦

187

9.1.5 Pričakovane vrednosti Že prej smo definirali:

* * ˆd dx x x x x

∞ ∞

−∞ −∞

= Ψ Ψ = Ψ Ψ∫ ∫

Posplošitev:

( )

* *

*

ˆ1 - D: d d

ˆ3 - D: d , kjer d d d d koordinatna reprezentacija

A A x A x

A A V V x y z

∞ ∞

−∞ −∞

= Ψ Ψ = Ψ Ψ

= Ψ Ψ =

∫ ∫

∫

( )* ˆ d prostor gibalne količineA A p= Ψ Ψ∫

9.1.6 Tabela operatorjev

Operatorji dinamičnih spremenljivk

Dinamična spremenljivka Operator koordinata …………………... x x x= koordinata …………………... y y y= koordinata ………………..…. z z z= krajevni vektor …………….. r r r= potencialna energija …...….. ( )V r ( )V V r= komponenta gibalne količine xp ( )ˆ xxp i x= ∂ ∂ komponenta gibalne količine yp ( )ˆ yp i y= ∂ ∂ komponenta gibalne količine zp ( )ˆ zp i z= ∂ ∂ vektor gibalne količine ……. p ( )p i= ∇ kinetična energija …………. kW ( )

( )( )

2 2 2

2 2 2 2 2 2

ˆ 2 2

2

T p m h m

h m x y z

= =− ∇ =

− ∂ ∂ +∂ ∂ + ∂ ∂ 2

polna energija …... kW W V= + ˆ ˆ ˆH T V= +

188

9.2 SCHRÖDINGER-jeva ENAČBA s časovno odvisnostjo

Erwin Schödinger (1887 – 1961) Za prost delec z ostro določeno gibalno količino ( )( )0V x = zapišemo funkcijo stanja v obliki

( )0

xi p x Wte −Ψ=Ψ . Od tod pa sledi:

22 2

22 2xpT

m x m

∧ ∂Ψ=− Ψ= Ψ

∂, (9.2.1)

W i Wt

∧ ∂Ψ = Ψ= Ψ

∂. (9.2.2)

Če je delec prost je ( ) 0V x = , torej 2

2xpWm

= , zato velja:

, oziroma: ˆ ˆT WΨ = Ψ

2 2

22i

m x t∂

− Ψ=∂ ∂

∂Ψ

časovno odvisna Schrödinger-jeva enačba za prosti delec (1-D)

Posplošitev na 3 – dimenzije:

22

2i

m t∂

− ∇ Ψ= Ψ∂

Če na delec deluje zunanja sila

( )grad ,F V r=− t

je celotna energija ( )2

,2pH V r tm

= + in ustrezen operator V V∧

= . Torej je operator celotne

energije:

( )2

2ˆ ,2

H Vm

=− ∇ + r t (9.2.3)

189

Operator H imenujemo Hamiltonov operator (hamiltonijan). Posplošitev Schrödinger-jeve enačbe za prost delec za primer delca z od nič različno potencialno energijo je torej: ( ,V r t )

( )2

2 ,2

V r t im

⎡ ⎤ ∂Ψ− ∇ + Ψ=⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦ t

(9.2.4)

Enačbo (9.2.4) imenujemo Schrödinger-jeva enačba s časovno odvisnostjo, katere rešitev je valovna funkcija . ( ),r tΨ=Ψ

190

9.3 SCHRÖDINGER-jeva ENAČBA brez časovne odvisnosti Če potencialna energija ni odvisna od časa tudi Hamiltonov operator ( )V r

( )2

2H

m

∧

=− ∇ +V r

)

ni odvisen od časa.

Časovno odvisno Schrödinger-jevo enačbo (9.2.4) poskušamo v tem primeru rešiti z nastavkom za valovno funkcijo v obliki:

( ) ( ) (,r t r f tΦ =Ψ (9.3.1)

Če vstavimo enačbo (9.3.1) v enačbo (9.2.4) dobimo:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2

2

2i r f t V r r f

t m⎡ ⎤∂

Ψ = − ∇ + Ψ⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦t , oziroma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2dd 2f t

i r r V r r f tt m

⎡ ⎤Ψ = − ∇ Ψ + Ψ⎢ ⎥

⎣ ⎦ / ( ) ( )r f tΨ

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )2

2

samo funkcija samo funkcija

d1 1d 2

t r

f ti r

f t t r mV r r

⎡ ⎤= − ∇ Ψ + Ψ⎢ ⎥Ψ ⎣ ⎦

(9.3.2)

Obe strani enačbe (9.3.2) sta enaki konstanti, ki ju označimo z E. Le v tem primeru je namreč enačba (9.3.2) rešljiva. Torej:

( )( )d1

df t

i Ef t t

= ⇒

( ) ( )ddf t

i E ft

= t , (9.3.3a)

( ) ( ) ( ) ( )2

21 .2

r V r r Er m

⎡ ⎤− ∇ Ψ + Ψ =⎢Ψ ⎣ ⎦

⎥

(9.3.3b)

Enačbo (9.3.2b) zapišemo v obliki:

( ) ( ) ( )2

2

2V r r E r

m⎡ ⎤− ∇ + Ψ = Ψ⎢ ⎥⎣ ⎦

(9.3.4a)

Rešitev enačbe (9.3.3a) pa je:

( ) exp i E tf t C ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

.(9.3.4b)

191

Ker je splošna rešitev ( ) ( ) ( ),r t r f tΦ =Ψ , ne izgubimo nič na splošnosti, če postavimo C = 1:

( ) ( ), exp i E tr t r ⎛ ⎞Φ =Ψ −⎜ ⎟⎝ ⎠

(9.3.5)

Valovno funkcijo ( )rΨ izračunamo iz Schrödinger-jeve enačbe brez časovne odvisnosti, (enačba (9.3.4a)):

( ) ( )2

2

lastnalastna vrednostfunkcijaHamiltonov operator

2V r r E

m⎡ ⎤− ∇ + Ψ =⎢ ⎥⎣ ⎦

Ψ

(9.3.6a)

Zgornja enačba je enačba tipa . Če eni lastni vrednosti Aˆ

n nA AΨ = Ψn n ustreza več linearnih neodvisnih lastnih funkcij pravimo tem lastnim funkcijam degenerirane funkcije. Kaj predstavlja konstanta E, ki ima dimenzijo energije? Ob upoštevanju definicije Hamiltonovega operatorja lahko zapišemo enačbo (9.3.6a) v obliki:

( ) ( ).H r E r∧

↑Ψ = Ψ (9.3.6b)

Vidimo, da je E je lastna vrednost Hamiltonovega operatorja ( )2

2

2H

m

∧

=− ∇ +V r , funkcija

( )rΨ pa je ustrezna lastna funkcija.

Če z operatorjem polne energije W it∂

=∂

delujemo na funkcijo Φ (enačba (9.3.5)) dobimo:

( ) ( )exp expi E t i E ti r E rt⎡ ⎤ ⎡∂ ⎛ ⎞ ⎛Ψ − = Ψ −⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥ ⎢∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎤⎞⎟⎥ , (9.3.7)

kjer je E lastna vrednost operatorja polne energije W it

∧ ∂=

∂, ( ),r tΦ pa je ustrezna lastna

funkcija. Iz enačbe (9.3.7) sledi, da je E polna energija sistema.

Funkcija stanja ( ) ( ), exp i E tr t r ⎛Φ =Ψ −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ ustreza ostro določeni polni energiji sistema.

Pričakovana vrednost polne energije za ( ),r tΦ , E je zato enaka E:

( ) ( )** 3, , 3E r t i r t d r E d r E

t∂

= Φ Φ = Φ Φ =∂∫ ∫

ali

192

( ) ( )** 3, ,E r t H r t d r E d r

∧

= Φ Φ = Φ Φ =∫ ∫ 3 E

Prehod iz kvantne mehanike v klasično (Newton-ovo) mehaniko Ehrenfestovi enačbi (1–D):

d

dxp V

t x∂

=−∂

(9.3.8a)

1dd x

xm p

t−= (9.3.8b)

Prehod k makroskopskim telesom: ( )x x t→

193

9.4 DELEC V NESKONČNI RAVNI POTENCIALNI JAMI 9.4.1 Klasična mehanika Spekter energij je zvezen.

vm

9.4.2 Kvantna mehanika

L

-a 0 +a x

∞ ∞( )V x

Potencialna energija: ( )0,

,a x a

V xx a

− < <⎧⎪= ⎨∞ >⎪⎩ (9.4.1)

Ker za → ∞V *0 0x ρ> ⇒ =Ψ Ψ≡ za x a>

Torej: ( ) 0 prix x aΨ = =± o V področju, kjer ( ) 0V x ≡ ima Schödingerjeva enačba brez časovne odvisnosti obliko:

( ) ( )22

2

d,

2 dx

E xm x

Ψ− = Ψ

oziroma

( ) ( )

22

2

dd

xk x

xΨ

=− Ψ

, (9.4.2)

194

kjer smo definirali: 22

2mk = E (9.4.3)

Splošna rešitev enačbe (9.4.2) je: ( ) cos sinx A kx B kΨ = + x (9.4.4a) Enačbi (9.4.4b) :sta hkrati izpolnjeni v dveh primerih

Ker zahtevamo ( ) 0x aΨ =± = , od tod sledi:

cos 0sin 0

A kaB ka

==

(9.4.4b)

Enačbi (9.4.4b) sta hkrati izpolnjeni v dveh primerih:

I. B = 0, cos ka = 0 II. A = 0, sin ka = 0

, 1,3,5,2nn nk n

a Lπ π

= = = ⋅⋅⋅ , 2, 4,6,2nn nk n

a Lπ π

= = = ⋅⋅⋅

lastne funkcije: ( ) cosn n nx A kΨ = x

lastne funkcije: ( ) sinn n nx B kΨ = x

( ) ( )* 1d 1a

n n na

x x x Aa−

Ψ Ψ = ⇒ =∫

1

nBa

=

( ) 1 cos2nnx x

aaπ

Ψ = ( ) 1 sin

2nnx x

aaπ

Ψ =

1,3,5,n= ⋅⋅⋅

2, 4,6,n= ⋅⋅⋅

Torej:

I in II : , 1, 2,3, 4,5,nnkLπ

= ⋅ ⋅ ⋅ ,

kjer smo kn definirali kot 2

2n

mk = nE (glejte enačbo (9.4.3)), od koder sledi:

2 2 2 2 2

2 , 1, 2,3,4,2 2n

nk nE n

m m Lπ

= = = ⋅⋅⋅ (9.4.5)

SKLEP: ENERGIJA JE KVANTIZIRANA! Posledica: črtasti spektri izsevane svetlobe!

195

02468

10121416

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

Energijski nivoji Valovne funkcije

-a 0 a x

1Ψ

2Ψ

3Ψ

4Ψ( )n xΨ

2

2 2

8n

m a Eπ

x

Lastne funkcije so ortogonalne : ( ) ( )* d 0a

m na

x x x+

−

Ψ Ψ =∫ , če n m≠

Verjetnostna gostota:

0 x-a +a

23Ψ

22Ψ

21Ψ

196

o Končna potencialna jama

-a +a0

3Ψ

2Ψ

1Ψ

x

0V

2Ψ

0,

0,( )

a x aV x

V x a− < <⎧⎪=⎨ >⎪⎩

o Klasična slika: energijski spekter je vedno zvezen

če je 2

02xp V Vm

⎛ ⎞+ < ⇒⎜ ⎟

⎝ ⎠je delec vedno ujet v potencialni jami

najmanjša možna energija je lahko nič.

197

9.5 HARMONSKI OSCILATOR Potencialna energija:

azvoj potencialne energije okrog točke x = a:

x

V(x)

a

R

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

je nič ker je minimum

1' ''2

k

x V a x a V x a x a V x a= + − = + − = +⋅⋅⋅ V

( ) ( ) ( )212

V x V a k x a≈ + −

hodišče koordinatnega sistema premaknem v minimum potencialne energije:

e remo:

Iz Čizbe

( ) 00

V ain a

=

=

⎫⇒⎬

⎭ ( ) 21

2V x k x=

ook-ov zakon H

x

V(x)

o Schrödinger-jeva enačba brez časovne odvisnosti za potencialno energijo: 21

2V k x= :

( ) ( ) ( )222 2

k x x E xm dx

− + Ψ = Ψ (9.5.1)22 1d xΨ

Uvedemo nove brezdimenzijske spremenljivke:

198

2 Eλω

= , (9.5.2)

kjer je 12k

mω ⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

xξ α=

, (9.5.3)

kjer je 1 14 2mk m

2

ωα = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

Ob upoštevanju definicij (9.5.2) in 9.5.3) iz enačbe (9.5.1) sledi:

( ) ( ) ( )2

2d ξΨ 2 0

dλ ξ ξ

ξ+ − Ψ = (9.5.4)

Asimptotske oblika enačbe (9.5.4) za ( )2ξ ξ λ→∞ >> :

22

2 0d ξΨ− Ψ =

d ξ (9.5.5)

Približno rešitev enačbe (9.5.5) za :ξ →∞ ( )2

2p eξ

ξ ξ±

Ψ ≅ ⋅ izberemo tako, da je

funkcija končna za ξ →∞ . Nastavek išemo v obliki:

( ) ( )

za splošno rešitev zato nap

2 2H e ξξ ξ −Ψ = , (9.5.6)

kjer je H neznanaovo enačbo za

funkcija. Nastavek (9.6.5) vstavimo v enačbo (9.5.4). Tako dobimo

n ( )H ξ :

( )2d dH H2 1 0d d

Hξ λξ ξ

− + − = , (9.5.7)

ki jo imenujemo Hermitova

ovi polinom

diferencialna enačba.

Rešitev Hermitove diferencialne enačbe so Hermit i ( )nH ξ , kjer

2 1, 0,1, 2,3, 4,5,...n nλ = + = (9.5.8)

o

199

Hermitovi polionomi:

Ob upoštevanju enačbe (9.5.8) in enačbe (9.5.2) sledi:

( )( )( )( )( )

0

1

22

33

4 24

1

2

4 2

8 12

16 48 12

H

H

H

H

H

ξ

ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

=

=

= −

= −

= − +

2 2 1E nω= + .

Iz enačbe (9.5.9) pa lahko izrazimo lastne energije:

1 , 0,1, 2,3,2nE n nω⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠ ...

, (9.5.10)

kjer km

ω= .

1 , 0,1, 2,...2nE n nω ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Lastne funkcije so torej: ( ) ( ) 2 2 , 0,1, 2n n nN H e nξξ ξ −Ψ = = ,3 . (9.5.11)

Vrednosti normalizacijske konstante Nn določimo iz pogoja :* d 1n n ξ+∞

−∞

Ψ Ψ =∫

( )1 22 !n

nN nα π= (9.5.12)

( )V x

hυ

x0E

1E2E3E4E

200

Verjetnostna gostota:

Primer: 2-atomna molekula, katere atoma sta vezana z efektivno interakcijsko silo, ki jo opišemo v okviru Hookovega zakona z efektivno interakcijsko konstanto k:

a)

µ ≡ reducirana masa

integracijska konstanta

k ≡

( ) 212

V x kx=

1 , 0,12nE n nω ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠ , 2,3

0

0

0

1

1

1

2

2

2

3

3

3

-1

-1

-1

-2

-2

-2

-3

-3

-3

n = 1

n = 2

n = 0

2nΨ

1 2

1 2

m mm m

µ =+

k

r

1m

2m

12

,kωµ

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

x

V(x)

r = a

V(r)

201

Tabela: Osnovne vibracijs konstanta za nekatere ke frekvence in efektivna interakcijska 2-atomne molekule

molekula interakcijska konstanta k

[N/m] frekvenca absorbcije

svetlobe za prehod iz stanja n=0 v stanje n=1

HF 138.72 10× Hz 970 HCl 138.66 10× Hz 480 HBr 137.68 10× Hz 410 HI 136.69 10× Hz 320 CO 136.42 10× Hz 1860 NO 135.63 10× Hz 1530

Iz: G. M. Barrows, The Structure of Molecules, New York,

W. A. Benjamin, 1963.

202

9.6 VODIKOV ATOM

Vodikov atom se sestoji iz protona z maso in nabojem ter elektrona

z maso in nabojem e

27−= ⋅1.67 10 kgpm 0e+

319.11 10 kgem −= ⋅ 0− . V težiščnem sistemu protona in elektrona je:

( )0p p e e

Tr =p e

m r m rm m

+=

+, (9.6.1)

je krajevni vektor iz izhodišča tež a koordinatnega ma do protona in kjer er pr iščneg sistekrajevni vektor do elektrona. Iz enačbe (9.6.1) sledi:

(9.6.2) Enačbo (9.6.2) odvajamo po času:

0p p e em r m r+ =

d d 0d d

p ep e

r rm mt t+ = , (9.6.3)

oziroma:

, (9.6.4)

kjer je

0p p e em v m v+ =

dd

pp

rv

t= hitrost protona in d

de

ervt

= hitrost elektrona. Iz enačbe (9.6.4) sledi:

ep e

p

mv vm

=− . (9.6.5)

Ker je 1e

p

mm

<< od tod sledi, da je v težiščnem sistemu vodikovega atom (proton in elektron):

p ev v<< (9.6.6) Zato je tudi kinetična energija protona:

2

2 2,

1 1 12 2 2

e ek p p p p e e e

p p

m mW m v m v m vm m

⎛ ⎞ ⎛= = =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎠

, (9.6.7)

veliko manjša od kinetične energije elektrona:

2,

12k e e eW m= v , (9.6.8)

203

torej:

2 21 12 2 Na osnovi veljavnosti neenačbe (9.6. S

p p e em v m v<< . (9.6.9)

9) v chrödingerjevi enačbi za vodikov atom v prvem ribližku upoštevamo samo kinetično energijo elektrona. Zato v prvem členu Schrödingerjeve

m vstavimo kar maso elektrona : p

emenačbe brez časovne odvisnosti (9.3.6) za maso

( ) ( ) ( )r E rΨ = Ψ , (9.6.10) 2

2

2 e

V rm

⎡ ⎤− ∇ +⎢ ⎥⎣ ⎦

kjer je 2 2 2

22 2 2x y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂ in

( )20

04 rerVπ ε

= , (9.6.11)

lektrostatska potencialna energija elektrona v električnem polju protona, kjer je e

2 2r x y z= + + 2 rad mase elektrona je namreč izhodišče težiščnega koordinatnega sistema praktično kar na

tona. Stacionarna Schrödingerjeva enačba (9.6.10) za vodikov atom v resnici šujemo v sferičnih koordinatah. Po daljšem računu dobimo za lastne vrednosti energije

(glejte primer J.

zdalja med protonom in elektronom. Zaradi veliko večje mase protona pm

emomestu prore

Strnad: Fizika III):

40 0

2 2 2nnEn

= − =− , 2 20

13.6eV32

m eπ ε

(9.6.12)

kjer je glavn

Enačba (9vodikove

o kvantno število

n = 1, 2, 3, 4, …. (9.6.13)

.6.12) je enačba (8.4.19), ki smo jo uporabili za opis črtastega emisijskega spektra ga atoma (str. 181)

204

9.7 ENERGIJSKI PASOVI V KRISTALIH

Zaradi enostavnos

ti se bomo omejili na periodični Krönig – Penney-ev potencial. o periodična potencialna energija elektrona v kristalu (1 – dimenzionalni primer):

( ) ( )V x L V x+ =

v jami:

med jamami: ( ) 0V x V=−

( ) 0V x =

Slika 9.7.1: Periodična potencialna energija s pravokotnimi odseki, imenovana Krönig –

Penney-ev potencial. Perioda ima dolžino L (Brensden & Joachim, 2000). Schödingerjeva enačba ( )0 0V E− < < :

v jami: ( )22

02

d2 d

xV EΨ , (9.7.1a)

m xΨ

− − Ψ=

med jamami: ( )22 d x22 d

Em x

Ψ . (9.7.1b)

V nadaljevanju uvedemo novi spremenljivki:

Ψ− =

( )2 22 inm V Eβ α02 2

2m E= + − ,

tako, da enačbi (1a) in (1b) preideta v:

v jami:

=

( ) ( )2

22

d0

dx

xx

βΨ

+ Ψ = , (9.7.2a)

med jamami: ( ) ( )2

22

d0

dx

xx

αΨ

− Ψ = . (9.7.2b)

0x

a

( )V x

a - L

0V

L

205

o Rešitev enačb (2a) in (2b) iščemo z nastavkom (Blochov teorem):

( ) ( )ikxkx e u xΨ =

(9.7.3)

k je realen

( )ku x je periodična funkcija s periodo L, kjer je L perioda kristala

načba (9.7.3) upošteva, da elektron v kristalni mreži ne pripada samo enemu izbranemu pač pa je verjetnost, da ga najdemo v bližini kateregakoli atoma v kristalni mreži

Zapišemo rešitev ena (a-L < x v jami: izven jam Iz enač

Eatomu,enaka.

čb (9.7.2a) in (9.7.2b) v področju ene celice v kristalu

< a):

, 0i x i xAe B e a L xβ β−Ψ = + − < < , (9.7.3’a)

e: , 0x xC e D e x aα α−Ψ = + < < . (9.7.3’b)

b (9.7.3), (9.7.3’a) in (9.7.3’b) sledi:

( ) ( ) v jami: , 0ku Ae B e a L x= + − < < , (9.7.3a)

(

i k x i k xβ β− − +

izven jame ) ( ) , 0ku C e De x aik x ik xα α− − += + < < : . (9.7.3b)

E Dodatna zahteva: zveznost

Ψ in 'Ψ na obeh robovih vsake potencialne jame,

torej zveznos in prvega odvoda

t Ψ 'Ψ (ozirom in ) priIz zahteve po zveznosti in prvega odvoda pri x = 0, to je na desnem robu potencialne jame, dobimo:

A + B = C + D, (9.7.4a) .

a ku 'ku x = a – L in x = 0.

ku 'ku

( ) ( ) ( ) ( )i k A i k B ik C ik Dβ β α α− − + = − − + . (9.7.4b)

0 a

L

( )V x

a - L L

x

funkcijo v tem intervalu dobimo zaradi periodičnosti s transformacijo celica

,x x L→ −( )( ) ( )( )i k x L i k x L

ku Ae Beβ β− − + −= +

torej:

206

Iz zahteve po zveznosti in pri levem robu potencialne jame x = a - L dobimo:

ku 'ku

( ) ( ) ( ) ( )i k b k b ik a ik aAe B e C e D eβ β α α− − + − − ++ = + , (9.7.5a)

i

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i k b i k b ik aAe i k B e ik C e ik D eβ β αβ α α− + −− + = − − + ik ai k αβ +− , (9.7.5b)

D. Pogoj za netrivialno rešitev tega sistema enačb je

−

kjer b = L-a.

Enačbe (9.7.4a), (9.7.4b), (9.7.5a) in (9.7.5b) so štiri homogene enačbe za A, B, C in ( )det 0S = :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 sinh sin cosh cos cosa b a b k Lα β α β α β⎤ + =⎣ ⎦

, (9.7.6) 2 2α β⎡ −

kjer smo predpostavili , kar ustreza vezanim stanjem..

Enačba (9.7.6) velja prav tako tudi za primer, ko je E > 0, kjer

0 0V E− < <

22

2 0, torej: ' in zatom E iα α α=− < = :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 '2 sin ' sin cos ' cos cosa b a b k Lα β α β α β α β⎡ ⎤− + + =⎣ ⎦ (9.7.7) '2

o Enačbo (9.7.6) zapišemo v obliki:

( ) ( )f cosE k L = (9.7.8)

Ker je ( ) ( )cos 1 1kL f E≤ ⇒ ≤ za vse vrednosti parametrov modela (glejte

sliko 9.7.2).

Slika je

a abscisni osi označujejo dovoljene vrednosti E, ki ustrezajo prevodnim pasovom. Prevodni pasovi so ločeni s

temnimi črtami.

E

-1

1

0

f(E)

(9.7.2): Odvisnost f(E), ki predstavlja levo stran enačbe (6), kot funkcija energiE. Temne črte n

prepovedanimi energijskimi pasovi področja E, ki niso označena s

207

o Vrednosti k-jev (število en rgijs ih nivojev) e k

o periodični robni pogoj za cel sistem

Zapišem v obliki (glejte še sliko 9.7.1):

( ) ( )0x x NLΨ = =Ψ = (9.7.9)

Ob upoštevanju iz zgornjega pogoja (9.7.9) sledi:

)ikNLe u NL (9.7.10a) O

0 1 2 N

-

( )ikxke u xΨ=

( ) (0 0 .k kx e u x= = =

b upoštevanju ( ) ( )k ku x u x L= + , torej tudi ( ) ( )0k ku x u x N= = =0 ikNL

L

iz enačbe (9.7.10a) sledi , torej: (9.7.10b) = (9.7.10)

Iz enačbe (9.7.10) pa sledi:

e e=( ) ( )cos sin 1ikNLe kNL kNL= +

2kNL n π= , n = 0, ± 1, ± 2... Torej:

2nkNLπ

=

, n = 0, ± 1, ± 2, . . .

aradi periodi Z čnosti funkcij se torej E ne spremeni, če 2 .k k nLπ

→ +

Torej katerikoli interval k-ja širine 2Lπ zadostuje za našo obravnavo.

N dovoljenih vrednosti za

Izberemo k (oziroma E) , kjer je

kL Lπ π

− < < N število atomov v kristalu

rvalu Znotraj energijskih pasov (slika 9.7.2) za izbrano vrednost k-ja v inte

kL Lπ π

− < < izračunamo ustrezno energijo nivoja iz enačbe (9.7.8).

208

o 9.7.1),

se energijski pasovi za

o Diskusija: ko se razdalja med potencialnimi jamami L povečuje (glejte še slik0 0V E− < < →∞ ožajo. V limiti se skrčijo v

diskretne en

o i absolumijev n

o Kovina: zas d nost energijskih

Lergijske nivoje izoliranih končnih potencialnih jam.

Izolator: izolator ima pr tni temperaturi T = 0 K zapolnjen valenčni pas in prazen prevodni pas. Fer ivo leži nekje vmes med obema pasovoma, velikost

10eVgE ≈ .

e e nivojev v kovini.

E

L

1E

2E

3E

kovina

prevodni pas

valen

energijska špranjagE

čni pas

energija E

E =

FE E

0

=

energija E

209

o olprevodniki: v polprevodnikih se elektroni vzbudijo iz zgornjega valenčnega pasu dno prevodnega pasu.

Pv

energija E

valenčni pas

gE

prevodni pas

Tabela: Širina energijske špranje gE za nekaj polprevodnikov*

( )eVgE

Kristal 0 K 300 K

Si 1.17 1.14Ge 0.744 0.67InP 1.42 1.35GaP 2.32 2.26GaAs 1.52 1.43CdS 2.582 2.42CdTe 1.607 1.45Zno 3.436 3.2ZnS 3.91 3.6*Podatki so vzeti iz: C. Kittel, Introduction

th ed., New York, iley & Sons, 1976.

to Solid State Physics, 5John W

i in akceptorskimi nivoji. Dodatna literatura:

energijska reža

donorski nivo

valenčni pasvrzel

prevodni pas

elektron

akceptorski nivo

Slika 9.7.3: Dopiran polprevodnik z donorskim

210

: Quantum mechanics, 2000, Serway: Physics with Modern Physics (2.nd),

o ed), 4th ed.

o J. Strnad (Fizika III in drugi učbeniki), o Brönsden & Joachaino

Halliday, Resnick, Walker: Fundamentals of Physics (extend

211