KVANTNA MEHANIKA I - pmf.unsa.ba · PDF fileZadaci iz predmeta KVANTNA MEHANIKA I...
Transcript of KVANTNA MEHANIKA I - pmf.unsa.ba · PDF fileZadaci iz predmeta KVANTNA MEHANIKA I...
Zadaci iz predmeta
KVANTNA MEHANIKA I
13. studenog 2012.
Benjamin FetićPrirodno-matematički fakultet, Sarajevo
Odsjek za fiziku
2
1Zadaci
1.1 Statistička interpretacija kvantne mehanike
Zadatak 1.1.1 Talasni paket u trenutku t = 0 opisan je talasnom funkcijom
Ψ(x, 0) = C exp
(− x2
2a2+ ik0x
), k0 = const.
Napisati talasnu funkciju Ψ(x, t) kao superpoziciju ravnih talasa.
Zadatak 1.1.2 U trenutku t = 0 čestica se može opisati talasnom funkcijom
Ψ(x, 0) =
Aa x x ∈ [0, a]
Ab−a(b− x) x ∈ [a, b]
0 inače .
a) Normirati datu talasnu funkciju i odrediti konstantu normiranja.
b) Odrediti tačku sa najvećom vjerovatnoćom nalaženja čestice.
c) Kolika je vjerovatnoća nalaženja čestice u intervalu x ∈ [0, a]. Odrediti očekivanu vrijednostkoordinate x.
Zadatak 1.1.3 Ako je elektron opisan Gaussovom distribucijom
ψ(x) = Ae−λ(x−a)2
,
gdje su A, a i λ konstante, odrediti:
3
Zadaci 1.1 Statistička interpretacija kvantne mehanike
a) konstantnu normiranja,
b) očekivane vrijednosti 〈x〉 i 〈x2〉.
Zadatak 1.1.4 Čestica mase m nalazi se u potencijalnoj jami sa beskonačno visokim zidovima utačkama x = 0 i x = L:
V (x) =
∞ x < 00 0 ≤ x ≤ L∞ x > L
a) Odredi dozvoljene energije čestice.
b) Odredi normirane vlastite funkcije čestice.
c) Ako se čestica u trenutku t = 0 može opisati valnom funkcijom
Ψ(x, 0) =
{ √2L 0 < x < L
2
0 L2 < x < L
odredi vremenski zavisnu funkciju Ψ(x, t).
d) Kolika je vjerovatnoća da se čestica u trenutku t 6= 0 nađe u n−tom stanju?
Zadatak 1.1.5 Naći talasne funkcije i dozvoljene energije čestice mase m koja se nalazi u poten-cijalnoj jami konačne visine:
V (x) =
V0 x < −a0 −a ≤ x ≤ aV0 x > a
.
Zadatak 1.1.6 Čestica mase m kreće se pod uticajem jednodimenzionalnog potencijala V (x). Po-kazati da vrijedi:
a)d〈x〉dt
=〈p〉m
,
b)d〈p〉dt
=
⟨−dVdx
⟩.
Zadatak 1.1.7 Elektron se nalazi u potencijalnoj jami sa beskonačno visokim zidovima čija ješirina L.
a) Odrediti dozvoljene energije elektrona.
b) Odrediti normirane valne funkcije elektrona.
4
1.1 Statistička interpretacija kvantne mehanike Zadaci
c) Odrediti 〈x〉 i 〈x2〉.
d) Odrediti vjerovatnoću nalaženja elektrona u intervalu L3 ≤ x ≤ 2L
3 ako se elektron nalazi utrećem kvantnom stanju.
e) Odrediti energiju i valnu dužinu fotona koji se emituje prelaskom elektrona iz četvrtog u osnovnokvantno stanje ako je širina potencijalne jame jednaka L = 5 nm.
V(x)
x0 L
ψ (x)3
Slika 1.1: Elektron u potencijalnoj jami sa beskonačno visokim zidovima.
Zadatak 1.1.8 Elektron mase m i energije E kreće se slijeva na desno i nailazi na pravougaonupotencijalnu barijeru
V (x) =
0 x < 0V0 0 ≤ x ≤ l0 x > l
,
gdje je V0 > 0 realna konstanta. Naći koeficijent transmisije i refleksije kroz potencijalnu barijeruako je E < V0.
Zadatak 1.1.9 Čestica mase m nalazi se u jednodimenzionalnoj jami sa beskonačno visokim zido-vima:
V (x) =
{0 0 ≤ x ≤ a∞ inače
a) Naći vlastita stanja i vlastite energije čestice.
b) Odrediti očekivanu vrijednost koordinate x.
5
Zadaci 1.1 Statistička interpretacija kvantne mehanike
c) Ako se u trenutku t = 0 čestica nalazila su u stanju
Ψ(x, 0) =
√8
5a
[1 + cos
(πxa
)]sin(πxa
),
naći talasnu funkciju u trenutku t 6= 0. Kolika je vjerovatnoća da se u datom trenutku t česticanađe u prostoru 0 ≤ x ≤ a
2?
Zadatak 1.1.10 Elektron se nalazi u jednodimenzionalnoj potencijalnoj jami
V (x) =
∞ x < 0−V0 0 < x ≤ a
0 x > a,
gdje je V0 > 0 konstantna veličina.
a) Koje granične uslove mora zadovoljavati talasna funkcija. Objasni zašto?
b) Izvesti jednačinu koja određuje moguće energije za vezana stanja (E<0) (pogledati sliku 1.2).
-V0
E
a x
V(x)
Slika 1.2: Vezana stanja u potencijalnoj jami.
Zadatak 1.1.11 Naći vlastite vrijednosti energije čestice mase m koja se kreće pod uticajem po-tencijala nultog radijusa
V (x) = −V0δ(x) , V0 > 0 .
Pokazati da ovakav potencijal može podržati samo jedno vezano stanje (E<0).
Zadatak 1.1.12 Odrediti moguće energije čestice mase m koja se nalazi u potencijalnoj jami saδ(x)-potencijalom (pogledati sliku 1.3):
V (x) =
{V0δ(x) −a ≤ x ≤ a∞ |x| ≥ a ,
gdje je V0 > 0 konstanta.
6
1.1 Statistička interpretacija kvantne mehanike Zadaci
-a a x
V(x)
-ε ε
Slika 1.3: δ-potencijal u potencijaloj jami sa beskonačno visokim zidovima.
Zadatak 1.1.13 Razmotriti česticu mase m koja se kreće pod uticajem potencijala
V (x) = −V0 [δ(x) + δ(x− l)] , V0, l > 0
gdje su V0 i l konstante. Izvesti izraz za nelinearnu jednačinu koja određuje dozvoljene vrijednostienergije.
Zadatak 1.1.14 Elektron se nalazi u jednodimenzionalnoj potencijalnoj jami
V (x) =
0 x < −a
−V0 −a ≤ x ≤ a0 x > a
,
gdje je V0 > 0 konstantna veličina.
a) Koje granične uslove mora zadovoljavati talasna funkcija. Objasni zašto?
b) Izvesti jednačinu koja određuje moguće energije za vezana stanja (E<0).
Posebno razmotriti parna i neparna stanja jer je potencijal simetričan u datom intervalu, V (−x) =V (x).
Zadatak 1.1.15 Elektron mase m = 9, 1 · 10−31 kg i energije E = 10 eV kreće se slijeva nadesno (pogledati sliku 1.4) i nailazi na pravougaonu potencijalnu barijeru širine L = 1 nm i visineV0 = 5 eV.
a) Naći koeficijent refleksije i transmisije kroz potencijalnu barijeru.
b) Objasni razliku u ponašanju između kvantne i klasične čestice pri ovom procesu.
7
Zadaci 1.1 Statistička interpretacija kvantne mehanike
V(x)
x
V0
L
Slika 1.4: Tuneliranje kroz pravougaonu potencijalnu barijeru.
Zadatak 1.1.16 Snop monohromatskih elektrona energije E kreće se u pozitivnom smjeru x-ose inalijeće na potencijalnu barijeru
V (x) = −V0δ(x) ,
gdje je V0 = 10−6 eVm. Naći koeficijent transmisije i refleksije kroz datu potencijalnu barijeru.Kolika je vjerovatnoća transmisije za elektrone energije 50 eV?
Zadatak 1.1.17 Snop monohromatskih elektrona impulsa p kreće se u pozitivnom smjeru x-ose inalijeće na potencijalnu barijeru
V (x) = V0δ(x) , V0 > 0 .
Odrediti koeficijent transmisije i refleksije snopa elektrona kroz datu potencijalnu barijeru.
Zadatak 1.1.18 Čestica mase m vezana je za potencijal V (x) = 12mω
2x2. U trenutku t = 0talasna funkcija čestice je data izrazom
Ψ(x, 0) =1
(πσ2)1/4exp
(− x2
2σ2
), (1.1)
gdje je σ > 0. Odrediti vjerovatnoću mjerenja energije E0 = 12~ω u trenutku t = 0.
Zadatak 1.1.19 Naći vlastite funkcije i vlastite energije naelektrisanog linearnog harmonijskogoscilatora naboja q u homogenom električnom polju inteziteta E .Uputstvo: Hamiltonijan interakcije čestice naboja q i homogenog električnog polja može se napisatiu obliku
Hi = −qEx ,
tako da je totalni hamiltonijan sistema dat izrazom
H = T + V = − ~2
2m
d2
dx2+
1
2mω2x2 − qEx .
Nadopunom na puni kvadrat članova koji opisuju interakciju pokazati da se dati hamiltonijan svodina hamiltonijan linearnog harmonijskog oscilatora.
8
1.2 Mješoviti zadaci Zadaci
Zadatak 1.1.20 Odrediti energetske nivoe izotropnog trodimenzionalnog harmonijskog oscilatorakoji je opisan hamiltonijanom
H = − ~2
2m
(∂2
∂x2+
∂2
∂y2+
∂2
∂z2
)+
1
2mω2
(x2 + y2 + z2
).
Ispitati degeneraciju kvantnih stanja.Uputstvo: Metodom seperacije varijablih, odgovarajuću Schrödingerovu jednačinu rastaviti na trijednačine za linearni harmonijski oscilator.
Zadatak 1.1.21 Naći moguće energije anizotropnog trodimenzionalnog harmonijskog oscilatora
V (x, y, z) =1
2mω2
xx2 +
1
2mω2
yy2 +
1
2mω2
zz2 .
a) Naći vrijednosti energije za najniža tri energetska nivoa za slučaj ωx = ωy = 23ωz i odredi
degeneraciju datih nivoa.
b) Naći komutator[H, Lz
]. Da li su vlastite funkcije hamiltonijana ujedno i vlastite funkcije
operatora ~L2? Obrazložite svoj odgovor.
1.2 Mješoviti zadaci
Zadatak 1.2.1 Razmotriti kretanje čestice masem u beskonačno dubokoj potencijalnoj jami širinea:
V (x) =
{0 −a
2 ≤ x ≤a2
∞ inače
a) Naći dozvoljene energije čestice i stacionarna stanja.
b) Ako je stacionarna talasna funkcija čestice data linearnom kombinacijom dvaju najnižih kvantnihstanja, odrediti vremenski zavisnu talasnu funkciju Ψ(x, t), i očekivane vrijednost operatora x ip.
Zadatak 1.2.2 Linearni harmonijski oscilator u trenutku t = 0 je opisan talasnom funkcijom
Ψ(x, 0) = N
∞∑n=0
cnψn ,
gdje su ψn(x) vlastite funkcije hamiltonijana
H =p2
2m+
1
2kx2 ,
dok su koeficijenti razvoja kompleksni brojevi.
9
Zadaci 1.2 Mješoviti zadaci
a) Naći konstatnu normiranja,
b) Napisati talasnu funkciju u trenutku t > 0.
c) Naći |〈Ψ(x, 0)|Ψ(x, t)〉|2.
Zadatak 1.2.3 Čestica mase m nalazi u potencijalnoj jami sa beskonačno visokim zidovima širinea:
V (x) =
{0 −a
2 ≤ x ≤a2
∞ inače .
a) Naći vlastite funkcije hamitonijana i odgovarajuće vlastite energije.
b) Ako je stacionarna talasna funkcija Ψ(x, 0) čestice data kao linearna kombinacija prva dva po-buđena stanja, naći vremenski zavisnu funkciju Ψ(x, t) kao i očekivane vrijednoste 〈x〉 i 〈p〉.
c) Potvrditi relacijud〈x〉dt
=〈p〉m
.
Zadatak 1.2.4 Razmotriti kretanje naelektrisanog linearnog harmonijskog oscilatora naboja q imase m u oscilatornom električnom polju E(t) = E0 cos(ωt).
a) Odreditid〈x〉dt
,d〈p〉dt
id〈H〉dt
.
b) Riješiti odgovarajuću diferencijalnu jednačinu kretanja zad〈x〉dt
i naći 〈x〉(t) uz početne uslove〈x〉(0) = x0 i 〈v〉(0) = v0.
Zadatak 1.2.5 Ispitati da li hamiltonijan
H0 =1
2m
(p2x + p2y + p2z
)+
1
2mω2
(x2 + y2
)i operatori ~L2 i Lz međusobno komutiraju. Obrazložite svoj odgovor.Uputstvo: Napisati hamiltonijan u sfernim koordinatama i iskoristiti činjenicu da su vlastitefunkcije operatora ~L2 i Lz sferni harmonici.
Zadatak 1.2.6 U trenutku t = 0 talasna funkcija vodikovog atoma je data sa
Ψ(~r, 0) =1√10
(2ψ100 + ψ210 +
√2ψ211 +
√3ψ21−1
).
Naći:
a) Očekivanu vrijednost energije u trenutku t = 0.
b) Naći vremenski zavisnu funkciju Ψ(~r, t).
c) Naći vjerovatnoću nalaženja sistema u stanju l = 1 i m = 0 u trenutku t 6= 0.
10
2Dodatak
2.1 Tablični integrali
1. Γ(n+ 1) =
∫ ∞0
xne−xdx = n!
2.∫ ∞0
x2ne−px2dx =
(2n− 1)!!
2(2p)n
√π
p
3.∫
cos(nx) sin(mx)dx = −cos[(m− n)x]
2(m− n)− cos[(m+ n)x]
2(m+ n)
11