KVANTNA MEHANIKA I - pmf.unsa.ba · PDF fileZadaci iz predmeta KVANTNA MEHANIKA I...

11
Zadaci iz predmeta KVANTNA MEHANIKA I 13. studenog 2012. Benjamin Fetić Prirodno-matematički fakultet, Sarajevo Odsjek za fiziku

Transcript of KVANTNA MEHANIKA I - pmf.unsa.ba · PDF fileZadaci iz predmeta KVANTNA MEHANIKA I...

Page 1: KVANTNA MEHANIKA I - pmf.unsa.ba · PDF fileZadaci iz predmeta KVANTNA MEHANIKA I 13.studenog2012. BenjaminFetić Prirodno-matematičkifakultet,Sarajevo Odsjekzafiziku

Zadaci iz predmeta

KVANTNA MEHANIKA I

13. studenog 2012.

Benjamin FetićPrirodno-matematički fakultet, Sarajevo

Odsjek za fiziku

Page 2: KVANTNA MEHANIKA I - pmf.unsa.ba · PDF fileZadaci iz predmeta KVANTNA MEHANIKA I 13.studenog2012. BenjaminFetić Prirodno-matematičkifakultet,Sarajevo Odsjekzafiziku

2

Page 3: KVANTNA MEHANIKA I - pmf.unsa.ba · PDF fileZadaci iz predmeta KVANTNA MEHANIKA I 13.studenog2012. BenjaminFetić Prirodno-matematičkifakultet,Sarajevo Odsjekzafiziku

1Zadaci

1.1 Statistička interpretacija kvantne mehanike

Zadatak 1.1.1 Talasni paket u trenutku t = 0 opisan je talasnom funkcijom

Ψ(x, 0) = C exp

(− x2

2a2+ ik0x

), k0 = const.

Napisati talasnu funkciju Ψ(x, t) kao superpoziciju ravnih talasa.

Zadatak 1.1.2 U trenutku t = 0 čestica se može opisati talasnom funkcijom

Ψ(x, 0) =

Aa x x ∈ [0, a]

Ab−a(b− x) x ∈ [a, b]

0 inače .

a) Normirati datu talasnu funkciju i odrediti konstantu normiranja.

b) Odrediti tačku sa najvećom vjerovatnoćom nalaženja čestice.

c) Kolika je vjerovatnoća nalaženja čestice u intervalu x ∈ [0, a]. Odrediti očekivanu vrijednostkoordinate x.

Zadatak 1.1.3 Ako je elektron opisan Gaussovom distribucijom

ψ(x) = Ae−λ(x−a)2

,

gdje su A, a i λ konstante, odrediti:

3

Page 4: KVANTNA MEHANIKA I - pmf.unsa.ba · PDF fileZadaci iz predmeta KVANTNA MEHANIKA I 13.studenog2012. BenjaminFetić Prirodno-matematičkifakultet,Sarajevo Odsjekzafiziku

Zadaci 1.1 Statistička interpretacija kvantne mehanike

a) konstantnu normiranja,

b) očekivane vrijednosti 〈x〉 i 〈x2〉.

Zadatak 1.1.4 Čestica mase m nalazi se u potencijalnoj jami sa beskonačno visokim zidovima utačkama x = 0 i x = L:

V (x) =

∞ x < 00 0 ≤ x ≤ L∞ x > L

a) Odredi dozvoljene energije čestice.

b) Odredi normirane vlastite funkcije čestice.

c) Ako se čestica u trenutku t = 0 može opisati valnom funkcijom

Ψ(x, 0) =

{ √2L 0 < x < L

2

0 L2 < x < L

odredi vremenski zavisnu funkciju Ψ(x, t).

d) Kolika je vjerovatnoća da se čestica u trenutku t 6= 0 nađe u n−tom stanju?

Zadatak 1.1.5 Naći talasne funkcije i dozvoljene energije čestice mase m koja se nalazi u poten-cijalnoj jami konačne visine:

V (x) =

V0 x < −a0 −a ≤ x ≤ aV0 x > a

.

Zadatak 1.1.6 Čestica mase m kreće se pod uticajem jednodimenzionalnog potencijala V (x). Po-kazati da vrijedi:

a)d〈x〉dt

=〈p〉m

,

b)d〈p〉dt

=

⟨−dVdx

⟩.

Zadatak 1.1.7 Elektron se nalazi u potencijalnoj jami sa beskonačno visokim zidovima čija ješirina L.

a) Odrediti dozvoljene energije elektrona.

b) Odrediti normirane valne funkcije elektrona.

4

Page 5: KVANTNA MEHANIKA I - pmf.unsa.ba · PDF fileZadaci iz predmeta KVANTNA MEHANIKA I 13.studenog2012. BenjaminFetić Prirodno-matematičkifakultet,Sarajevo Odsjekzafiziku

1.1 Statistička interpretacija kvantne mehanike Zadaci

c) Odrediti 〈x〉 i 〈x2〉.

d) Odrediti vjerovatnoću nalaženja elektrona u intervalu L3 ≤ x ≤ 2L

3 ako se elektron nalazi utrećem kvantnom stanju.

e) Odrediti energiju i valnu dužinu fotona koji se emituje prelaskom elektrona iz četvrtog u osnovnokvantno stanje ako je širina potencijalne jame jednaka L = 5 nm.

V(x)

x0 L

ψ (x)3

Slika 1.1: Elektron u potencijalnoj jami sa beskonačno visokim zidovima.

Zadatak 1.1.8 Elektron mase m i energije E kreće se slijeva na desno i nailazi na pravougaonupotencijalnu barijeru

V (x) =

0 x < 0V0 0 ≤ x ≤ l0 x > l

,

gdje je V0 > 0 realna konstanta. Naći koeficijent transmisije i refleksije kroz potencijalnu barijeruako je E < V0.

Zadatak 1.1.9 Čestica mase m nalazi se u jednodimenzionalnoj jami sa beskonačno visokim zido-vima:

V (x) =

{0 0 ≤ x ≤ a∞ inače

a) Naći vlastita stanja i vlastite energije čestice.

b) Odrediti očekivanu vrijednost koordinate x.

5

Page 6: KVANTNA MEHANIKA I - pmf.unsa.ba · PDF fileZadaci iz predmeta KVANTNA MEHANIKA I 13.studenog2012. BenjaminFetić Prirodno-matematičkifakultet,Sarajevo Odsjekzafiziku

Zadaci 1.1 Statistička interpretacija kvantne mehanike

c) Ako se u trenutku t = 0 čestica nalazila su u stanju

Ψ(x, 0) =

√8

5a

[1 + cos

(πxa

)]sin(πxa

),

naći talasnu funkciju u trenutku t 6= 0. Kolika je vjerovatnoća da se u datom trenutku t česticanađe u prostoru 0 ≤ x ≤ a

2?

Zadatak 1.1.10 Elektron se nalazi u jednodimenzionalnoj potencijalnoj jami

V (x) =

∞ x < 0−V0 0 < x ≤ a

0 x > a,

gdje je V0 > 0 konstantna veličina.

a) Koje granične uslove mora zadovoljavati talasna funkcija. Objasni zašto?

b) Izvesti jednačinu koja određuje moguće energije za vezana stanja (E<0) (pogledati sliku 1.2).

-V0

E

a x

V(x)

Slika 1.2: Vezana stanja u potencijalnoj jami.

Zadatak 1.1.11 Naći vlastite vrijednosti energije čestice mase m koja se kreće pod uticajem po-tencijala nultog radijusa

V (x) = −V0δ(x) , V0 > 0 .

Pokazati da ovakav potencijal može podržati samo jedno vezano stanje (E<0).

Zadatak 1.1.12 Odrediti moguće energije čestice mase m koja se nalazi u potencijalnoj jami saδ(x)-potencijalom (pogledati sliku 1.3):

V (x) =

{V0δ(x) −a ≤ x ≤ a∞ |x| ≥ a ,

gdje je V0 > 0 konstanta.

6

Page 7: KVANTNA MEHANIKA I - pmf.unsa.ba · PDF fileZadaci iz predmeta KVANTNA MEHANIKA I 13.studenog2012. BenjaminFetić Prirodno-matematičkifakultet,Sarajevo Odsjekzafiziku

1.1 Statistička interpretacija kvantne mehanike Zadaci

-a a x

V(x)

-ε ε

Slika 1.3: δ-potencijal u potencijaloj jami sa beskonačno visokim zidovima.

Zadatak 1.1.13 Razmotriti česticu mase m koja se kreće pod uticajem potencijala

V (x) = −V0 [δ(x) + δ(x− l)] , V0, l > 0

gdje su V0 i l konstante. Izvesti izraz za nelinearnu jednačinu koja određuje dozvoljene vrijednostienergije.

Zadatak 1.1.14 Elektron se nalazi u jednodimenzionalnoj potencijalnoj jami

V (x) =

0 x < −a

−V0 −a ≤ x ≤ a0 x > a

,

gdje je V0 > 0 konstantna veličina.

a) Koje granične uslove mora zadovoljavati talasna funkcija. Objasni zašto?

b) Izvesti jednačinu koja određuje moguće energije za vezana stanja (E<0).

Posebno razmotriti parna i neparna stanja jer je potencijal simetričan u datom intervalu, V (−x) =V (x).

Zadatak 1.1.15 Elektron mase m = 9, 1 · 10−31 kg i energije E = 10 eV kreće se slijeva nadesno (pogledati sliku 1.4) i nailazi na pravougaonu potencijalnu barijeru širine L = 1 nm i visineV0 = 5 eV.

a) Naći koeficijent refleksije i transmisije kroz potencijalnu barijeru.

b) Objasni razliku u ponašanju između kvantne i klasične čestice pri ovom procesu.

7

Page 8: KVANTNA MEHANIKA I - pmf.unsa.ba · PDF fileZadaci iz predmeta KVANTNA MEHANIKA I 13.studenog2012. BenjaminFetić Prirodno-matematičkifakultet,Sarajevo Odsjekzafiziku

Zadaci 1.1 Statistička interpretacija kvantne mehanike

V(x)

x

V0

L

Slika 1.4: Tuneliranje kroz pravougaonu potencijalnu barijeru.

Zadatak 1.1.16 Snop monohromatskih elektrona energije E kreće se u pozitivnom smjeru x-ose inalijeće na potencijalnu barijeru

V (x) = −V0δ(x) ,

gdje je V0 = 10−6 eVm. Naći koeficijent transmisije i refleksije kroz datu potencijalnu barijeru.Kolika je vjerovatnoća transmisije za elektrone energije 50 eV?

Zadatak 1.1.17 Snop monohromatskih elektrona impulsa p kreće se u pozitivnom smjeru x-ose inalijeće na potencijalnu barijeru

V (x) = V0δ(x) , V0 > 0 .

Odrediti koeficijent transmisije i refleksije snopa elektrona kroz datu potencijalnu barijeru.

Zadatak 1.1.18 Čestica mase m vezana je za potencijal V (x) = 12mω

2x2. U trenutku t = 0talasna funkcija čestice je data izrazom

Ψ(x, 0) =1

(πσ2)1/4exp

(− x2

2σ2

), (1.1)

gdje je σ > 0. Odrediti vjerovatnoću mjerenja energije E0 = 12~ω u trenutku t = 0.

Zadatak 1.1.19 Naći vlastite funkcije i vlastite energije naelektrisanog linearnog harmonijskogoscilatora naboja q u homogenom električnom polju inteziteta E .Uputstvo: Hamiltonijan interakcije čestice naboja q i homogenog električnog polja može se napisatiu obliku

Hi = −qEx ,

tako da je totalni hamiltonijan sistema dat izrazom

H = T + V = − ~2

2m

d2

dx2+

1

2mω2x2 − qEx .

Nadopunom na puni kvadrat članova koji opisuju interakciju pokazati da se dati hamiltonijan svodina hamiltonijan linearnog harmonijskog oscilatora.

8

Page 9: KVANTNA MEHANIKA I - pmf.unsa.ba · PDF fileZadaci iz predmeta KVANTNA MEHANIKA I 13.studenog2012. BenjaminFetić Prirodno-matematičkifakultet,Sarajevo Odsjekzafiziku

1.2 Mješoviti zadaci Zadaci

Zadatak 1.1.20 Odrediti energetske nivoe izotropnog trodimenzionalnog harmonijskog oscilatorakoji je opisan hamiltonijanom

H = − ~2

2m

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)+

1

2mω2

(x2 + y2 + z2

).

Ispitati degeneraciju kvantnih stanja.Uputstvo: Metodom seperacije varijablih, odgovarajuću Schrödingerovu jednačinu rastaviti na trijednačine za linearni harmonijski oscilator.

Zadatak 1.1.21 Naći moguće energije anizotropnog trodimenzionalnog harmonijskog oscilatora

V (x, y, z) =1

2mω2

xx2 +

1

2mω2

yy2 +

1

2mω2

zz2 .

a) Naći vrijednosti energije za najniža tri energetska nivoa za slučaj ωx = ωy = 23ωz i odredi

degeneraciju datih nivoa.

b) Naći komutator[H, Lz

]. Da li su vlastite funkcije hamiltonijana ujedno i vlastite funkcije

operatora ~L2? Obrazložite svoj odgovor.

1.2 Mješoviti zadaci

Zadatak 1.2.1 Razmotriti kretanje čestice masem u beskonačno dubokoj potencijalnoj jami širinea:

V (x) =

{0 −a

2 ≤ x ≤a2

∞ inače

a) Naći dozvoljene energije čestice i stacionarna stanja.

b) Ako je stacionarna talasna funkcija čestice data linearnom kombinacijom dvaju najnižih kvantnihstanja, odrediti vremenski zavisnu talasnu funkciju Ψ(x, t), i očekivane vrijednost operatora x ip.

Zadatak 1.2.2 Linearni harmonijski oscilator u trenutku t = 0 je opisan talasnom funkcijom

Ψ(x, 0) = N

∞∑n=0

cnψn ,

gdje su ψn(x) vlastite funkcije hamiltonijana

H =p2

2m+

1

2kx2 ,

dok su koeficijenti razvoja kompleksni brojevi.

9

Page 10: KVANTNA MEHANIKA I - pmf.unsa.ba · PDF fileZadaci iz predmeta KVANTNA MEHANIKA I 13.studenog2012. BenjaminFetić Prirodno-matematičkifakultet,Sarajevo Odsjekzafiziku

Zadaci 1.2 Mješoviti zadaci

a) Naći konstatnu normiranja,

b) Napisati talasnu funkciju u trenutku t > 0.

c) Naći |〈Ψ(x, 0)|Ψ(x, t)〉|2.

Zadatak 1.2.3 Čestica mase m nalazi u potencijalnoj jami sa beskonačno visokim zidovima širinea:

V (x) =

{0 −a

2 ≤ x ≤a2

∞ inače .

a) Naći vlastite funkcije hamitonijana i odgovarajuće vlastite energije.

b) Ako je stacionarna talasna funkcija Ψ(x, 0) čestice data kao linearna kombinacija prva dva po-buđena stanja, naći vremenski zavisnu funkciju Ψ(x, t) kao i očekivane vrijednoste 〈x〉 i 〈p〉.

c) Potvrditi relacijud〈x〉dt

=〈p〉m

.

Zadatak 1.2.4 Razmotriti kretanje naelektrisanog linearnog harmonijskog oscilatora naboja q imase m u oscilatornom električnom polju E(t) = E0 cos(ωt).

a) Odreditid〈x〉dt

,d〈p〉dt

id〈H〉dt

.

b) Riješiti odgovarajuću diferencijalnu jednačinu kretanja zad〈x〉dt

i naći 〈x〉(t) uz početne uslove〈x〉(0) = x0 i 〈v〉(0) = v0.

Zadatak 1.2.5 Ispitati da li hamiltonijan

H0 =1

2m

(p2x + p2y + p2z

)+

1

2mω2

(x2 + y2

)i operatori ~L2 i Lz međusobno komutiraju. Obrazložite svoj odgovor.Uputstvo: Napisati hamiltonijan u sfernim koordinatama i iskoristiti činjenicu da su vlastitefunkcije operatora ~L2 i Lz sferni harmonici.

Zadatak 1.2.6 U trenutku t = 0 talasna funkcija vodikovog atoma je data sa

Ψ(~r, 0) =1√10

(2ψ100 + ψ210 +

√2ψ211 +

√3ψ21−1

).

Naći:

a) Očekivanu vrijednost energije u trenutku t = 0.

b) Naći vremenski zavisnu funkciju Ψ(~r, t).

c) Naći vjerovatnoću nalaženja sistema u stanju l = 1 i m = 0 u trenutku t 6= 0.

10

Page 11: KVANTNA MEHANIKA I - pmf.unsa.ba · PDF fileZadaci iz predmeta KVANTNA MEHANIKA I 13.studenog2012. BenjaminFetić Prirodno-matematičkifakultet,Sarajevo Odsjekzafiziku

2Dodatak

2.1 Tablični integrali

1. Γ(n+ 1) =

∫ ∞0

xne−xdx = n!

2.∫ ∞0

x2ne−px2dx =

(2n− 1)!!

2(2p)n

√π

p

3.∫

cos(nx) sin(mx)dx = −cos[(m− n)x]

2(m− n)− cos[(m+ n)x]

2(m+ n)

11